2. Por medio del presente trabajo he querido
mostrar de la forma más sencilla y practica los
conceptos de puntos y vectores en el espacio,
buscando siempre la simplicidad y practicismo
para aclarar y evitar dudas básicas en los
tópicos aquí tratados.
Es importante poder seguir la secuencia del
trabajo con el fin de poder sacar el mejor
provecho a la información aquí presentada.
3. ¨Para ampliar el concepto de función a las funciones de cualquier número de variables,
debemos considerar primero puntos en el espacio numérico n-dimensional. Así como
un punto en R1 lo representamos por un número real x, un punto en R2, por un par
ordenado de números reales (x,y) y un punto en R3, por una triada de números reales
(x, y, z). A un punto en el espacio n-dimensional , Rn lo representaremos por un n-ada
ordenada, de números reales.¨
¨Definición: El conjunto de todas las n-adas ordenadas de números reales se llama
espacio numérico n-dimencional y se representa por Rn . Cada n-ada ordenada (x1,
x2, ….,xn) se considera como un punto en el espacio n-direccional. ¨
P1(1,3,
0) Ejemplo de 2 puntos en el espacio R3. P1(1,3,2) y P2(1,3,0) Fig. 1 .
4. Si P(x1,x2,……,xn) y A(a1, a2,….an) son dos puntos en Rn,
entonces la distancia entre P y A, designada por :
|| P-A|| = ((x1-a1)2 + (x2-a2)2 + (xn-an)2) ½
Ejemplo: Halle la distancia entre los puntos P(1,2,1) y
Q(5,2,7) .
| |P-Q | | =((1-5)2 + (2-2)2 + (1-7)2) ½
= (16 + 36) ½
= (52)
5. Sean A(x1,y1,z1) y B(x2,y2,z2) los extremos de un segmento, el punto medio del
segmento viene dado por : M(x1+x2 , y1 + y2, z1 + z2 ). A B
2 2 2 M
Ejemplo: Dados los puntos A(3,-2,5) y B(3,1,7)
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.
M(3+3, -2+1, 5+7) M(3,-1/2, 6)
2 2 2
6. La ecuación de la esfera esta dada por : ( x-x0 )2 + ( y-y0 )2 + ( z-z0 )2 = r2
Donde (x0, y0, z0) son las coordenadas del centro de la esfera y r en el radio de la
esfera.
Ejemplo. Graficar (x – 2) 2 + y2 + (z – 1)2 = 4
(x - 2)2 + (y-0)2 + (z – 1)2 = 4
La ecuación corresponde a una esfera de
Punto (2, 0, 1) y radio 2. Ubicamos el centro y
luego se traza una esfera con este radio, como se
Muestra en la figura a la derecha.
7. Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o
componentes del vector r son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
origen.
Componentes de un rector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas
del origen.
AB = (x2 – x1 . Y2 – y1 , z2 – z1 )
8.
9. Para v otro vector Rn se cumple la desigualdad triangular ||a + v || <= || u || < ||v||
La dirección de está
definida por la medida de los ángulos
que forma la línea de acción del
segmento de recta con los ejes x, y, z
12. He logrado determinar la importancia de los tópicos
tratados en esta investigación los cuales me
permitirán un mejor entendimiento en temas tales
como funciones de varias variables, graficar en el
espacio tridimensional, características de los
vectores .
13. • El Calculo Louis. Leithold.
• El calculo Earl. W. Swokowski.
• http://inciomiguel.blogspot.com/2012/06/vectores-en-r3-un-vector-de-r3-
es-una.html
Notas del editor
1. El Calculo con Geometria analitica. Louis Leithol.
