guia de estudio sobre espacio vectorial

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIDAD EDUCATIVA COLEGIO PABLO NERUDA
BARQUISIMETO ESTADO LARA
INTEGRANTES: García, Ricardo
Marchán, Roger
Colmenárez, Diego
Goyo, Jorge
Mavares, Danilo
AÑO Y SECCIÓN: 5º B
BARQUISIMETO, NOVIEMBRE 2014

2. ESPACIO VECTORIAL
El Espacio R3
El espacio R3 Es el conjunto de ternas ordenadas (X, Y, Z) de números reales,
es decir, R3 = {(X,Y, Z ) = X ÎR, y ÎR , Z ÎR} por lo tanto cada punta P del
espacio R3 se puede representar por una terna de números reales (X, Y, Z) llamadas
coordenadas del punto P y anotamos P = (X,Y, Z) .
Ejemplo:
· Son las puntas del espacio R3 : P = (1,-3,4); q = (1/ 2, 2, - 3)
· Representación de puntos en el espacio R3
Plano Zy
Z+
X-
y+ y -
X+
Z-
Plano XZ
Plano Xy

3. Para representar un punto P = (X ,Y, Z) , primero representamos las
coordenadas X, y de P en el plano XY, lo cual de un punto en el plano XY, luego
partiendo de este punto, subimos o bajamos (de acuerdo al signo de Z Z unidades en
línea paralela al y Z podrás notar que plano XY = {(X,Y,O): X,Y ÎR}: plano
XZ = {(X,O, Z ): X, Z ÎR}; plano YZ = {(X ,Y,O): X ,Y ÎR}
Ejemplo: P (3,2,4) en R3
Z
Y
2
XY
Dirección de una Recta en el Espacio
X
Para caracterizar la posición de una recta en el espacio no solo hace falta saber
la ubicación de dos de sus puntos sino que se debe tener conocimiento de su
dirección, la cual queda determinada por la dirección del vector libre que ella

4. contiene. Consideremos la recta ℓ, dicha recta contiene a los vectores AB y BA
tales que ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 A X , Y , Z y B X ,Y ,Z .
La dirección del AB esta determinada por los cosenos de los ángulos que
forma con los ejes coordenadas. A esos cosenos los denominaremos coseno
directores, y son:
a = X - X = - a = Z -
Z
cos 2 1 , cos 2 1 , cos 2 1 d
Y Y
d
b
d
Módulo o Distancia entre dos Puntos en el Espacio
Sean los puntos ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 P X ,Y ,Z y P X ,Y ,Z en el espacio. La distancia de
d = P P está dada por d ( P P ) = ( X - X ) 2
+ ( Y -Y ) 2
+ ( Z - Z
)2
1 2 1 2 2 1 2 1
2 1
Dados los puntos A(1,-5,3) , B (3,1,-2) hallar la distancia y dirección
d ( AB ) = ( X - X ) + ( Y - Y ) + ( Z -
Z
)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
= - + - - + - -
3 1 1 ( 5) 2 3
d AB
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) 55
2 2 2
= + + + -
2 1 5 5
= + +
4 36 25
2
2 1
2
2 1
2
2 1
=
d AB
d AB
d AB

5. = -
b
Y Y
= - -
1 ( 5)
b
= -
1 5
6
55
cos
b
b
=
cos 0,8
cos (0,8)
35º 59' 51,98''
cos
55
cos
55
cos
1
2 1
=
=
=
-
b
b
b
d
Vectores en el Espacio
= -
X X
2 1
a
= -
d
3 1
55
2
55
cos
a
cos
a
cos
=
=
a
cos 0,26
-
1
cos (0,26)
74º 21' 17,2''
=
a
=
= -
Z Z
2 1
f
d
= - -
2 3
55
5
f
= -
55
cos
cos
f
cos
f
= -
cos 0,67
-
f
= 1
-
cos ( 06,7)
132º 23' 31,36''
f
=
Si p y q son puntos del espacio, llamamos vector pq al segmento orientado
a
de origen p y extremo q. Al vector pq en el espacio lo representamos por pq
o también mediante una letra, así U
Y
d
c
e
X
c
b
Z

6. Elementos de un Vector
a) la dirección está determinada por la recta que contiene al vector
b) Sentido: viene dado por la orientación que se le haya dado al segmento y se
indica por la punta de la flecha
c) Módulo: Es la longitud del segmento que define al vector
Vectores Equipolentes o Iguales
Dos o más vectores del espacio, son equipolentes o iguales si tienen la misma
dirección, módulo y sentido.
Y
X
Z
5 cm
a
b

7. ab » cd
Componentes de un Vector
Los componentes de un vector V , son los componentes del punto
p = (X , Y, Z ) que le corresponde en el espacio V = p = (X , Y, Z,)
Ejemplo: Si p = (2,3,4) entonces op = (2,3,4)
Si V es equipolente a op V = (2,3,4,)
Y
X
Z
a
b
d
c

8. Terminación de los Componentes de un Vector en el Espacio
( , , ) ( , , ), 1 1 1 2 2 2 Si a = X Y Z y b = X Y Z entonces los componentes del vector
ab son:
( ) 2 1 2 1 2 1 ab = X -X , Y -Y , Z - Z
Ejemplo:
1) Si a = (1, 2, 3) y b = (4, 3 -1) hallar los componentes de ab
( )
( )
(3, 5, 2)
= - - -
, , 2 1 2 1 2 1
ab X X Y Y Z Z
= - - - -
4 1, 3 2, 1 3
= - -
ab
ab
Y
X
5 cm
a
p(2,3,4)
2
3
4

9. 2) Sea ( 1 2 3 ) S = S ,S ,S el origen del vector equipolente a pq , cuyo extremo
es t = (- 4, 2,6) y Pq = (- 5, 4 - 7)
( ) ( )
= ⇒ - - - - = - -
St Pq S S S
. 4 , 2 , 6 5, 4, 7
- = - - - = - = -
4 S 5 2 S 4 6 S
7
1 2 3
+ = - = + =
4 5 2 4 6 7
S S S
1 2 3
= = - =
9 2 13
S S S
1 2 3
(9, 2, 13)
1 2 3
= -
S
Operaciones con Vectores en el Espacio
Adición de Vectores en R3
La adición de vectores en R3 en una operación que hace corresponder a los
vectores ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 a = a ,a ,a , b = b ,b ,b
En vector suma ( ) 1 1 2 2 3 3 a + b = a + b , a + b , a + b