2. 01. (1.5 puntos) Dados los vectores u
r
= (– 2, 1) y v
r
= (4, – 5), calcula:
(a) |2u
r
+ 3v
r
| (b) |7u
r
– 2v
r
| (c) u
r
· v
r
RESOLUCIÓN:
(a) |2u
r
+ 3v
r
|
2u
r
+ 3v
r
= 2·(– 2, 1) + 3·(4, – 5) =
= (– 4, 2) + (12, – 15) =
= (– 4 + 12, 2 – 15) =
= (8, – 13)
|2u
r
+ 3v
r
=
22
138 + = 233 ≅ 15.26 unidades
(b) |6u
r
– 2v
r
|
6u
r
– 2v
r
= 6·(– 2, 1) – 2·(4, – 5) =
= (– 12, 6) – (8, –10) =
= (– 12 – 8, 6 – (–10)) =
= (– 20, 16)
|6u
r
– 2v
r
|=
22
1620 + = 656 = 4 41 unidades
(c) u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= (– 2, 1) · (4, – 5) =
= (– 2) · 4 + 1 · (– 5) =
= – 8 – 5 =
= – 13
02. (1.25 puntos) Dado el vector u
r
= (− 1, 6), halla:
(a) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
(b) El valor de k para que w
r
= (1, k) sea perpendicular a u
r
RESOLUCIÓN:
(a) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
w
r
|| u
r
(2, k) || (− 1, 6)
Condición de paralelismo:
1
2
−
=
6
k
12 = – 1k
k = – 12
k = – 12
Para que sean paralelos, k = – 12
(b) El valor de k para que w
r
= (1, k) sea perpendicular a u
r
w
r
⊥ u
r
(1, k) ⊥ (− 1, 6)
Condición de perpendicularidad: el producto escalar es cero
w
r
· u
r
= 0
(1, k) · (− 1, 6) = 0
– 1 + 6k = 0
6k = 1
4. | AB | = 22
43 +
| AB | = 25 = 5 unidades
La distancia entre los puntos A y B es de 5 unidades.
(b) El punto medio del segmento AB .
A (– 1, 3) y B (2, – 1)
M
−+−
2
13
,
2
21
= M
2
2
,
2
1
= M
1,
2
1
Coordenadas del punto medio: M
1,
2
1
05. (2 puntos) Calcula 4 ecuaciones diferentes de la recta (señalando el nombre específico
que recibe cada forma de expresarse), que pasa por el punto A (– 3, 1) y que tiene por
vector director BC, siendo B (1, 2) y C (3, 5).
RESOLUCIÓN:
Determinamos el vector director BC:
BC = (2, 3)
(x, y) = (a, b) + k BC
(x, y) = (– 3, 1) + k (2, 3) Ecuación vectorial
(x, y) = (– 3, 1) + (2k, 3k)
(x, y) = (– 3 + 2k, 1 + 3k)
x = – 3 + 2k
y = 1 + 3k
Ecuaciones paramétricas
Despejamos la k x + 3 = 2k
k =
2
3+x
y – 1 = 3k
k =
3
1−y
2
3+x
=
3
1−y
Ecuación continua
3 · (x + 3) = 2 ·(y – 1)
3x + 9 = 2y – 2
3x – 2y + 11 = 0 Ecuación general
06. (1.75 puntos) Sea s la recta que pasa por P (− 2, 5) y es perpendicular a la recta:
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0.
(a) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta "s".
(b) Estudia la posición relativa de la recta "s" con la recta t ≡ x + y – 2 = 0
RESOLUCIÓN:
(A) Conocemos el punto por el que pasa P (− 2, 5)
(B) Necesitamos conocer el vector director de la recta r:
r ≡ 3x − 2y + 1 = 0
n
r
r = (3, − 2)
s
r
= (3, − 2)
P (−2, 5)
n
r
s = (2, 3)
s
6. Recta t
t ≡ x + y – 2 = 0 Ecuación general de la recta t
x + y = 2
Para estudiar la posición relativa de dos rectas, resolvemos el sistema formado por las mismas:
=+
=+
11y32x
2yx
→
=+
=−
11y32x
-4y22x-
y = 7
x + y = 2
x = 2 – 7
x = – 5
Son 2 rectas que se cortan en el punto (– 5, 7)
07. (1.25 puntos) Sea r ≡ 6x – y + 1 = 0, calcula la ecuación general de la recta "s" paralela a
"r" que pasa por el punto A (1, 2).
RESOLUCIÓN:
Sabemos el vector normal de r → n
r
r = (6, – 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos s, pasa por el punto A (1, 2) y tiene como
vector normal el mismo que r porque son paralelas.
Como el vector normal de r es (6, – 1)
El vector normal de s es (6, – 1)
s ≡ 6x – y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto A (1, 2)
6· 1 – 2 + C = 0
4 + C = 0
C = – 4
s ≡ 6x – y – 4 = 0
r ≡ 6x – y + 1 = 0
n
r
r = (6, – 1)
A (1, 2)
n
r
s = (6, – 1)
s