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1. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 1
ACTIVIDAD 10.
Sea “r” la recta que pasa por P (3, −2) y es perpendicular a la recta s ≡ 2x − y + 4 = 0.
(a) Obtén las ecuaciones paramétricas de la recta r.
(b) Estudia la posición relativa de la recta r con la recta t ≡



+−=
−=
ky
kx
1
3
RESOLUCIÓN apartado (a)
(A) Conocemos el punto por el que pasa P (3, − 2)
(B) Necesitamos conocer el vector director de la recta r:
Sabemos el vector normal de s es (2, – 1)
La ecuación de la recta nueva, que llamamos r, pasa por el punto P (3, – 2)
El vector director de “r” coincide con el vector normal de s, porque son perpendiculares.
El vector director de r es (2, – 1) → r
r
= (2, – 1)
Luego, ya tenemos un punto de la recta P (3, − 2) y vector director r
r
(2, – 1)
x = 3 + 2k
y = – 2 – 1k Ecuaciones paramétricas
RESOLUCIÓN apartado (b)
Para resolver el sistema de las dos ecuaciones, vamos a obtener sus ecuaciones generales:
Recta r:
Método directo a partir de las ecuaciones paramétricas:
x = 3 + 2k
y = – 2 – 1k Ecuaciones paramétricas de r
2
3−x
=
1
2
−
+y
Ecuación continua de la recta r
– 1 (x – 3) = 2(y + 2)
– x + 3 = 2y + 4
r ≡ – x – 2y – 1 = 0 Ecuación general de la recta r
– x – 2y = 1
Método sin partir de ecuaciones paramétricas:
Sabemos el vector normal de s → (2, – 1)
s ≡ 2x - y + 4 = 0
n
r
s = (2, − 1)
r
r
= (2, − 1)
P (3, − 2)
n
r
r = (1, 2)
r
s ≡ 2x - y + 4 = 0
n
r
s = (2, − 1)
r
r
= (2, − 1)
P (3, − 2)
n
r
r = (1, 2)
r

2. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS2
La ecuación de la recta nueva, que llamamos r, pasa por el punto P (3, – 2)
El vector director de “r” coincide con el vector normal de s, porque son perpendiculares.
El vector director de r es (2, – 1)
El vector normal de r es (1, 2)
r ≡ x + 2y + C = 0
Para averiguar C utilizamos el punto P (3,− 2)
3 + 2 · (− 2) + C = 0
3 − 4 + C = 0 → C = 1
r ≡ x + 2y + 1 = 0
Recta t
Calculamos la ecuación general de la recta "t"



+−=
−=
ky
kx
1
3
1
3
−
−x
=
1
1+y
Ecuación continua de la recta t
x – 3 = – y – 1
x + y – 2 = 0 Ecuación general de la recta t
x + y = 2
Para estudiar la posición relativa de dos rectas, resolvemos el sistema formado por las mismas:



=−
=+
1yx-
2yx
2
– y = 3
y = – 3
x + y = 2
x = 2 – y
x = 2 – (– 3)
x = 5
Son 2 rectas que se cortan en el punto (5, – 3)
ACTIVIDAD 11
Dado el vector u
r
= (− 3, 4), halla:
(a) El ángulo que forma con v
r
= (2,−1)
(b) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea paralelo a u
r
(c) El valor de k para que w
r
= (2, k) sea perpendicular a u
r
RESOLUCIÓN del apartado (a)
u
r
= (− 3, 4) ; v
r
= (2,−1)
Expresión analítica del ángulo de dos vectores

3. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 3
cos α =
|v|·|u|
|v·u|
rr
rr
Expresión analítica del producto escalar
u
r
= (u1, u2) ; v
r
= (v1, v2)
u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
= (− 3, 4) v
r
= (2,− 1)
u
r
· v
r
= (− 3) · 2 + 4 · (− 1)
u
r
· v
r
= − 6 – 4 = − 10
Expresión analítica del módulo de un vector
|u
r
| = 2
2
2
1 uu +
| v
r
| = 2
2
2
1 vv +
cos α =
2222
1243
10
++
−
·
||
cos α =
5·5
10
cos α =
5
52
α = arc cos
5
52
α = 26º 33' 54.18''
ACTIVIDAD 12
Calcula el ángulo que forman las siguientes parejas de vectores:
(a) u
r
= (− 4, 3), v
r
= (2,− 3)
(b) u
r
= (1, 3), v
r
= (− 4, 3)
(c) u
r
= (2, − 4), v
r
= (4,− 1)
(d) u
r
= (0, − 3), v
r
= (− 2,− 5)
RESOLUCIÓN del apartado (a)
(a) u
r
= (− 4, 3), v
r
= (2,− 3)
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
cos α =
|v|·|u|
|v·u|
rr
rr
Expresión analítica del producto escalar
u
r
= (u1, u2) ; v
r
= (v1, v2)
u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= (− 4) · 2 + 3 · (− 3)
u
r
· v
r
= − 8 – 9 = − 17
Expresión analítica del módulo de un vector
|u
r
| = 2
2
2
1 uu +

4. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS4
| v
r
| = 2
2
2
1 vv +
cos α =
2222
32·34
|17|
++
−
cos α =
13·5
17
α = arc cos
13·5
17
α = 19º 26' 24.13''
RESOLUCIÓN del apartado (b)
(b) u
r
= (1, 3), v
r
= (− 4, 3)
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
cos α =
|v|·|u|
|v·u|
rr
rr
Expresión analítica del producto escalar
u
r
= (u1, u2) ; v
r
= (v1, v2)
u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= 1 · (− 4) + 3 · 3
u
r
· v
r
= − 4 + 9 = 5
Expresión analítica del módulo de un vector
|u
r
| = 2
2
2
1 uu +
| v
r
| = 2
2
2
1 vv +
cos α =
2222
34·31
|5|
++
cos α =
5·10
5
=
10
1
α = arc cos
10
1
α = 71º 33' 54.18''
RESOLUCIÓN del apartado (c)
(c) u
r
= (2, − 4), v
r
= (4,− 1)
Expresión analítica del ángulo de dos vectores

5. Matemáticas Académicas 4ºESO
© Marta Martín Sierra 5
cos α =
|v|·|u|
|v·u|
rr
rr
Expresión analítica del producto escalar
u
r
= (u1, u2) ; v
r
= (v1, v2)
u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= 2 · 4 + (− 4) · (− 1)
u
r
· v
r
= 8 + 4 = 12
Expresión analítica del módulo de un vector
|u
r
| = 2
2
2
1 uu +
| v
r
| = 2
2
2
1 vv +
cos α =
2222
14·42
|12|
++
cos α =
17·20
12
=
85
856
α = arc cos
85
856
α = 49º 23' 55.34''
RESOLUCIÓN del apartado (d)
(d) u
r
= (0, − 3), v
r
= (− 2,− 5)
Expresión analítica del ángulo de dos vectores
cos α =
|v|·|u|
|v·u|
rr
rr
Expresión analítica del producto escalar
u
r
= (u1, u2) ; v
r
= (v1, v2)
u
r
· v
r
= u1 · v1 + u2 · v2
u
r
· v
r
= 0 ·(− 2) + (− 3) · (− 5)
u
r
· v
r
= 0 + 15 = 15
Expresión analítica del módulo de un vector
|u
r
| = 2
2
2
1 uu +
| v
r
| = 2
2
2
1 vv +
cos α =
2222
52·30
|15|
++

6. Geometría Analítica en el plano
TEMA 09 – GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL PLANO – RESUELTOS6
cos α =
29·9
12
=
29
294
α = arc cos
29
294
α = 42º 1' 52.01''