calculo

1. Capítulo 5
RECTAS Y PLANOS EN R3
Divide las dificultades
que examinas en tantas
partes como sea posible
para su mejor solución.
RENÉ
DESCARTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la unidad, el estudiante reconoce la posición entre dos rectas en el espacio de-
terminando si son paralelas u ortogonales, halla el ,angulo entre rectas y resuelve problemas de
aplicación entre rectas”
5.1. La Recta
5.1.1. Ecuación Vectorial de la Recta
Una recta en el espacio está bien determi-
nada, si se especifica su dirección y uno de sus
puntos; es así que podemos denotar la ecuación
de una recta L como aquella que pasa por un
punto P0 y en la dirección de un vector −→v pa-
ralelo a ella, está dada por:
L : P = P0 + t−→v t ∈ R
Donde:
P : punto cualquiera (x, y, z)
P0 : punto de paso (x0, y0, z0)
t : parametro t ∈ R
−→v : vector director (a, b, c)
5.1.2. Ecuaciones Paramétricas de la
Recta
En la ecuación vectorial tenemos: (x, y, z) =
(x0, y0, z0) + t (a, b, c), de donde:
L :



x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
; t ∈ R
5.1.3. Ecuación Simétrica de la Rec-
ta
Es aquella ecuación que resulta de despejar
el parámetro t en cada una de las ecuaciones
parámetricas e igualarlas, se tiene:
L : x−x0
a
= y−y0
b
= z−z0
c
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2. RECTAS Y PLANOS EN R3
Ejemplo 58. Determine la ecuación vectorial,
paramétrica y simétrica de la recta que pasa
por los puntos A (2, −2, −3) y B (−1, 4, −2).
Solución. :
5.2. Distancia de un Punto a
una Recta en el Espacio
La distancia de un punto Q (x1 , y1 , z1 ) ∈
R3a la recta L : P = P0 + t−→v , se determina
mediante la fórmula:
d (Q, L) =
−−→
P0Q
2
−
−−→
P0Q·−→v
−→v
2
Ejemplo 59. :Hallar la distancia desde el pun-
to Q (3, 2, 0) ∈ R3 a la recta x−2
3 = y−1
4 = 2−z
5
Solución. :
5.3. Distancia entre dos Rectas
Paralelas
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v ;
L2 : P = P2 + t−→w paralelas, la distancia en-
tre ambas rectas está determina por la fórmula
anterior, considerando un punto de una de las
recta (en este caso P2 ∈ L2 ), es decir:
d (P2 , L) =
−−−→
P1P2
2
−
−−−→
P1P2·−→v
−→v
2
5.4. Distancia entre dos rectas
No Paralelas
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v ;
L2 : P = P2 + t−→w NO paralelas, la distancia
entre ambas rectas está determina por:
d (L1 , L2 ) =
−−−→
P1P2·(−→v ×−→w )
−→v ×−→w
Ejemplo 60. Hallar la distancia perpendicu-
lar entre las rectas L1 : x+2
2 = y−1
3 = z+1
−1 y
L2 : x−1
−1 = y+1
2 = z−2
4
Solución. :
.
UTP Sede Arequipa Página 78

3. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 9 Sesión 01
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar todas las ecuaciones de la rec-
ta que pasa por los puntos A (1, 0, 2)y
B −1, 1
3 , −2
3 y encuentre otros dos pun-
tos.
Solución. :
Respuesta:
2. Hallar la ecuación vectorial de la
recta L1 : x = −4; y + z = 6 y
la distancia entre las rectas L1 y
L2 : P = (1, 2, −2) + t (0, 2, 1)
Solución. :
Respuesta:
3. Determine si los puntos A(2, 1, 0);
B(3, −3, 1) perteneces a la recta
L1 :x−3
5 = 1 − y = 2z − 1
Solución. :
Respuesta:
4. Determine las ecuaciones paramétricas de
las rectas L1 :8x−5
4 = y − 3; z = 3;
L2 :3z = 4−3y; x = t; L3 :x = y; z =
3;
Solución. :
Respuesta:
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4. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar todas las ecuaciones de la recta
que pasa por los puntos A (−1, 3, −2)y
B (−1, 4, 5) y encuentre otros dos pun-
tos
Solución. :
Respuesta:
2. Hallar la distancia de la recta L1 :x =
2, y−3
2 = z+1
−2 a la recta L2 que pasa por
los puntos A (2, 1, 3) y B (1, 1, 2)
Solución. :
Respuesta:
3. Hallar la distancia desde el pun-
to Q (4, −3, −4) a la recta
L1 : P = (2, 3, 2) + t (2, −1, 0)
Solución. :
Respuesta:
4. Hallar la ecuación paramétrica y simétri-
ca de la recta que pasa por A (−3, 2, 3)
y B (4, 3, 3)y determine los puntos de in-
tersección de está recta con los planos XY
; YZ
Solución. :
Respuesta:
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5. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Determine la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por los puntos
A (5, 1, −1) y B (4, −2, 3)
2. Determine la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por los puntos
A (10, 3, 1) y B (5, 6, −3) y determine dos puntos más
3. Determine la ecuación paramétrica y simétrica de la recta que pasa por (1, −1, 1) y es
paralela a la recta L2 :x−3
1 = 2y−7
2 = 3−z
−3
4. Determine la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por el punto (0, 14, −10)
y el paralela a la recta L : x = −1 + 2t; y = 6 − 3t; z = 3 + 9t
5. Determine la distancia del punto (0, 14, −10) a la recta L :



x = −1 + 2t
y = 6 − 3t
z = 3 + 9t
6. Hallar la ecuación paramétrica y simétrica de la recta que pasa por A (2, −1, 4) y B (4, 6, 1)y
determine los puntos de intersección de está recta con los planos XY ; XZ
7. Determine la distancia entre las rectas L1 que pasa por (3, 4, 0) y (5, 0, 3) y la recta L2 que
pasa por (0, 4, −1) y (−1, −1, −1)
UTP Sede Arequipa Página 81