Pdf con los enunciados y enlaces de los problemas cuyas soluciones están en el Blog Cálculo 21.

1. Ecuaciones diferenciales
Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA
CÓMPUTO Y MODELADO
CUARTA EDICIÓN
EDWARDS y PENNEY
Solución de los problemas
(En video o imagen )
por
Juan Carlos Beltrán B.
Colombia 2017

2. Capítulo 3
Ecuaciones lineales de orden superior
Capítulo 3.1
Introducción:
Ecuaciones lineales de segundo orden
En los problemas del 1 al 16 se proporciona una ecuación diferencial lineal de
segundo orden homogénea, dos funciones y1 y y2 y un par de condiciones iniciales.
Verifique primero que y1 y y2 son soluciones de la ecuación diferencial.
Posteriormente, encuentre una particular de la forma 1 1 2 2y c y c y  que satisfaga
las condiciones iniciales dadas. Las primas significan derivadas con respecto a x.
   1 20; , ; 0 0, 0 5x x
y y y e y e y y
      1.
   3 3
1 29 0; , ; 0 1, 0 15x x
y y y e y e y y
       2.
   1 24 0; cos2 , sen 2 ; 0 3, 0 8y y y x y x y y      3.
   1 225 0; cos5 , sen5 ; 0 10, 0 10y y y x y x y y       4.
   2
1 23 2 0; , ; 0 1, 0 0x x
y y y y e y e y y        5.
   2 3
1 26 0; , ; 0 7, 0 1x x
y y y y e y e y y
         6.
   1 20; 1, ; 0 2, 0 8x
y y y y e y y
        7.
   3
1 23 0; 1, ; 0 4, 0 2x
y y y y e y y        8.
   1 22 0; , ; 0 2, 0 1x x
y y y y e y xe y y 
         9.
   5 5
1 210 25 0; , ; 0 3, 0 13x x
y y y y e y xe y y        10.
   1 22 2 0; cos , sen ; 0 0, 0 5x x
y y y y e x y e x y y        11.
   3 3
1 26 13 0; cos2 , sen 2 ; 0 2, 0 0x x
y y y y e x y e x y y 
        12.

3.    2 2
1 22 2 0; , ; 1 3, 1 1x y xy y y x y x y y        13.
   2 2 3
1 22 6 0; , ; 2 10, 2 15x y xy y y x y x y y
        14.
   2
1 20; , ln ; 1 7, 1 2x y xy y y x y x x y y        15.
       2
1 20; cos ln , sen ln ; 1 2, 1 3x y xy y y x y x y y        16.
En los tres problemas siguientes ilustre el hecho de que el principio de
superposición generalmente no se cumple para ecuaciones no lineales.
2
Muestre que 1/ es una solución de 0, pero que si
0 y 1, entonces / no es una solución.
y x y y
c c y c x
  
  
17.
3 4
2 3
Compruebe que es una solución de 6 , pero que si
1, entonces no es solución.
y x yy x
c y cx
 
 
18.
 
2
1 2
1 2
Demuestre que 1 y son soluciones de 0,
pero que su suma no es solución.
y y x yy y
y y y
    
 
19.
Determine cuál de los pares de funciones en los problemas 20 al 26 son
linealmente independientes o dependientes en toda la recta real.
2 2
( ) y ( ) cos senf x g x x x  20.
3 2
( ) y ( )f x x g x x x 21.
( ) 1 y ( ) 1f x x g x x   22.
( ) y ( )x x
f x xe g x x e 23.
2
( ) sen y ( ) 1 cos2f x x g x x  24.
( ) sen y ( ) cosx x
f x e x g x e x 25.
( ) 2cos 3sen y ( ) 3cos 2senf x x x g x x x   26.
 
Sea una solución particular de la ecuación no homogénea
, y sea una solución de su ecuación homogénea
asociada. Muestre que es una solución de la ecuación no
homogénea d
p
c
c p
y
y py qy f x y
y y y
   
 
27.
ada.
1 2
Sea 1 una solución particular de la ecuación no homogénea
1, y sea cos sen una solución de la ED
homogénea asociada 0, encuentre una solución de la no
homogénea que satisfag
p
c
y
y y y c x c x
y y

   
 
28.
   a las condiciones iniciales 0 0 1.y y 

4.    
2 3
1 2
2
Muestre que y son dos soluciones diferentes de
4 6 0,
y que ambas satisfacen las condiciones iniciales
0 0 0.
y x y x
x y xy y
y y
 
   
 
29.
 
3 3
1 2
2
1 2
( ) Demuestre que y son soluciones linealmente
independientes en toda la recta real de la ecuación
3 3 0. ( ) Verifique que , es
idénticamnte
a
b
cero. ¿Por qué esta evi
y x y x
x y xy y W y y
 
   
30.
dencia no contradice el
Teorema 3?
2 2
1 2Encuentre que sen y cos son funciones linealmente
independientes, pero que su wronskiano se anula en 0.
¿Por qué esto implica que ecuación diferencial de la forma
( )
y x y x
x
no existe
y p x y q
 

  
31.
1 2
( ) 0 con y continuas en todo el intervalo,
teniendo a y como soluciones?
x y p q
y y

Aplique los teoremas 5 y 6 para encontrar las soluciones generales de las
ecuaciones diferenciales dadas en los problemas 33 al 42. Las primas significan
derivadas con respecto a x.
Encuentre la solución general de la ED 3 2 0.y y y   33.
Encuentre la solución general de la ED 2 15 0y y y   34.
Encuentre la solución general de la ED 5 0y y  35.
Encuentre la solución general de la ED 2 3 0y y  36.
Encuentre la solución general de la ED 2 0y y y   37.
Encuentre la solución general de la ED 4 8 3 0y y y   38.
Encuentre la solución general de la ED 4 4 0y y y   39.
Encuentre la solución general de la ED 9 12 4 0y y y   40.
Encuentre la solución general de la ED 6 7 20 0y y y   41.
Encuentre la solución general de la ED 35 12 0y y y   42.

5. En cada uno de los problemas 43 al 48 se proporciona una solución general
y(x) de una ecuación diferencial de segundo orden homogénea 0ay by c    con
coeficientes constantes. Encuentre la ecuación.
10
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Halle la ecuación.
x
y x c c e
ay by c

 
   
43.
10 10
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Halle la ecuación.
x x
y x c e c e
ay by c

 
   
44.
10 10
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Hallar la ecuación.
x x
y x c e c xe
ay by c
 
 
   
45.
10010
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Hallar la ecuación.
x x
y x c e c e
ay by c
 
   
46.
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Hallar la ecuación.
y x c c x
ay by c
 
   
47.
 2 2
1 2( ) es la solución general de una ED de segundo
orden homogénea con coeficientes constantes 0.
Hallar la ecuación.
x x x
y x e c e c e
ay by c

 
   
48.
Los problemas 49 y 50 abordan las curvas solución de 3 2 0y y y   
mostradas en las figuras 3.1.6 y 3.1.7.
Encuentre el punto más alto de la curva solución, de la ED 3 2 0,
que pasa por el punto (0, 1) y donde la pendiente de la recta
tangente a la curva
.
en es de 6.
y y y
P
P
   49
Encuentre el punto más alto de la curva solución, de la ED 3 2 0,
que pasa por el punto (0, 1) y donde la pendiente de la recta
tangente a la curva
.
en es de 6.
y y y
P
P
   50

6. 2
La de segundo orden es de la forma
0 ( )
donde , y son constantes.
( ) Verifique que si 0, entonces la sustitución ln
transforma la ecuacio
.
1
a
ax y bxy cy
a b c
x v x
   
 
ecuación de Eu51 ler
 
2
2
1 2
n de Euler en la ecuación lineal de coficientes
constantes
0 ( )
con variable independiente .
( ) Si las raíces y de la ecuación caracter
2
ística en ( ) son
reales y
2b
d y dy
a b a cy
dvdv
v
r r
   
1 2
1 2
distintas, concluya que la solución general de la ecuación
de Euler en ( ) es ( ) .1 r ry x c x c x 
Lleve a cabo la sustitución v = ln x del problema 51 para encontrar las
soluciones generales (para x > 0) de las ecuaciones de Euler en los problemas 52 al 56.
2
Resuelva la ecuación de Euler 0 haciendo la
sustitución ln .
x y xy y
v x
   

52.
2
Resuelva la ecuación de Euler 2 12 0 haciendo la
sustitución ln .
x y xy y
v x
   

53.
2
Resuelva la ecuación de Euler 4 8 3 0 haciendo la
sustitución ln .
x y xy y
v x
   

54.
2
Resuelva la ecuación de Euler 0 haciendo la
sustitución ln .
x y xy
v x
  

55.
2
Resuelva la ecuación de Euler 3 4 0 haciendo la
sustitución ln .
x y xy y
v x
   

56.