METODOS ENERGETICOS-ANALISIS ESTRUCTURAL

1. CAPITULO V
METODOS ENERGETICOSMETODOS ENERGETICOS

2.  L ét d éti Los métodos energéticos son muy
importantes dentro del calculo de
estructuras y se basan fundamentalmente en
la energía de deformación comola energía de deformación como
consecuencia de la aplicación de cargas en
una estructura.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

3. Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momento
Ahora se definirá cómo se calcula el trabajo hecho por una fuerza
y un momento sobre una estructura.

4. Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momento
Cuando se está en el rango elástico lineal, se tiene:
P
Rango Elástico Lineal
d

5. Trabajo de una fuerza y un momentoTrabajo de una fuerza y un momento
Es importante distinguir cuando una fuerza se aplica o no en forma
gradualgradual
P F CP + F C
P DB
 
 ’A G F P
P + F
’
Rango Elástico Lineal
 ’ P + F

6. Conservación de la energíaConservación de la energía
El principio de conservación de la energía para estructuras se
enuncia como sigue:
“El trabajo efectuado sobre una estructura elástica por
fuerzas aplicadas estáticamente (en forma gradual) es igual
al trabajo realizado por las fuerzas internas,o sea,la energía
de deformación almacenada en la estructura”
Matemáticamente se expresa como:
We=Wi ó Ue=Wi
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

7. Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elástica
La forma de energía más común considerada en elAnálisis de
Estructuras es la energía potencial elástica.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

8. Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elástica
Se presenta a continuación la energía de deformación para varios
los tipos más comunes de estructuras usadas en la Ingeniería Civil.
Armaduras
Vigas
Pórticos

9. Energía de deformación elásticaEnergía de deformación elástica
Consideraciones importantes:
• Las deformaciones por fuerzas cortantes en las vigas suelen
despreciarse debido a que son bastante pequeñas a comparación de
las debidas por flexión
• Las deformaciones por fuerzas axiales en pórticos son mucho
menores que las debidas a flexión y suelen despreciarse en el
análisis.
• Cuando alguna de las funciones F(x), V(x), M(x) y T(x) no son
continuas en los elementos, entonces este debe dividirse en
l d d l f í lsegmentos tales donde las anteriores funciones sí lo sean para que
la suma o integral sea continua. Luego, se suma la contribución de
d l t bt l í d d f ió t t l
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7
cada elemento para obtener la energía de deformación total.

10. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717. Es una poderosa
herramienta analítica en muchos problemas de mecánica
estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras:
 Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos
rígidos: El método de Müller-Breslau para el trazado de líneas de
influencia está basado en esta forma de expresar el principio.
 Principio de fuerzas virtuales para los cuerpos
deformables: Se emplea para el cálculo de deflexiones.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has
conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7

11. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
El principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidosp p p p p g
se enuncia así:
“Si un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio bajo un sistema
de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtualf y j q p
de cuerpo rígido,el trabajo virtual realizado por las fuerzas
externas es cero”
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

12. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
El principio de fuerzas virtuales para los cuerpos deformables sep p p p
enuncia así:
“Si una estructura deformable está en equilibrio bajo un sistema
virtual de fuerzas (y pares) y si se sujeta a cualquierf (y p ) y j q
deformación real pequeña,coherente con las condiciones de apoyo
y continuidad de la estructura,entonces el trabajo virtual externoy j
realizado por las fuerzas externas (y pares externos) virtuales
que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones)
externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por
las fuerzas internas (y pares internos) que actúan a través de los
( ) ”"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7
desplazamientos (y rotaciones) internos reales”

13. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Armaduras:
• Para el caso de armaduras se usa la siguiente expresion:Para el caso de armaduras se usa la siguiente expresion:

NnL

EA
NnL

N= Fuerza axial interna debida a cargas
reales.
n=fuerza axial interna debida a lan fuerza axial interna debida a la
aplicación de carga virtual unitaria
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las
angustias." Salmo 31: 7

14. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Vigas: Si bien en una viga es posible tener fuerzas axiales, cortantes y
momentos flectores, sólo se consideran prominentes el momento, p
flector y la fuerza cortante. Para la gran mayoría de vigas se desprecia
el trabajo interno efectuado por las fuerzas cortantes virtuales quep q
actúan a través de las deformaciones causadas por esas cortantes.
En este caso, es posible calcular deflexiones y pendientes.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las
angustias." Salmo 31: 7

15. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Vigas: La expresión derivada a partir la aplicación del principio del
trabajo a vigas se presentan a continuación:j g p

L
EI
Mmdx

M= momento flector debido a cargas
reales.
 EI0
m=momento flector debido a la
aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión debe ser evaluadas en tramos en los cuales la
función de momento sea continua.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

16. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientesp y p
• Pórticos: La expresión derivada a partir la aplicación del principio
del trabajo a pórticos se presenta a continuación:j p p

L
EI
Mmdx

M= momento flector debido a cargas
reales.
 EI0
m=momento flector debido a la
aplicación de carga virtual unitaria
La anterior expresión debe ser evaluada en tramos en los cuales la
función de momento sea continuafunción de momento sea continua.
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7

17. Principio del Trabajo VirtualPrincipio del Trabajo Virtual
Aplicaciones al cálculo de deflexiones y pendientes:p y p
Es posible que en vigas o pórticos se tengan otras posibles situaciones
que causen deflexiones.Aunque es poco el aporte de estas a la energíaq q p p g
de deformación, la cual será en forma primaria debida a flexión, se
expondrán de igual forma.p g
Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial,Las acciones adicionales que se incluirán son debidas a fuerza axial,
fuerza cortante, momentos torsores
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7

18. L
 
LL
o
JG
Ttdx
GAs
Vvdx
EA
NnL
0
 
L
EI
Mmdx

o 0EI0
M = momento debido a cargas reales
m= momento debido a cargas virtualesm= momento debido a cargas virtuales
N = fuerza normal debida a cargas reales
n= fuerza normal debida a cargas virtuales
V= fuerza cortante debido a cargas realesV= fuerza cortante debido a cargas reales
v= fuerza cortante debido a cargas virtuales
T=momento torsor debido a cargas reales
t=momento torsor debido a cargas virtualest momento torsor debido a cargas virtuales
A=area o seccion transversal
As= area de corte
J= momento polar de inerciaJ p
I= momento de inercia
E= modulo de elasticidad
G=modulo de corte
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

19. TRABAJO VIRTUAL EN PORTICOS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

20. RVE=0.5KN RVA=1.5KN RHA=O
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7

21. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

22. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

23. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

24. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

25. TRABAJO VIRTUAL EN CERCHAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las
angustias." Salmo 31: 7

26. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

27. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

28. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias." Salmo 31: 7

29. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

30. PRIMER
TEOREMA DE
CASTIGLIANOCASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

31. TEOREMA DE CASTIGLIANO
En 1879 Alberto Castigliano, ingeniero italiano de ferrocarriles, publicó un libro donde
escribía un método para determinar el desplazamiento de un cuerpo, sólo se aplica a
cuerpos de temperatura constante , de material con comportamiento elástico lineal; esp p p
decir nos ayuda a calcular las deflexiones producidas en una viga a causa de una
determinada carga que debe soportar y por ende nos ayuda a elegir el mejor material para
la construcción de estás según su resistencia y para que propósito la necesitamos. Si se va a
calcular el desplazamiento en un punto, el teorema establece que ese
desplazamiento es igual a la integral calculada entre cero y la longitud de la
barra, del momento flector por la derivada del momento flector respecto a
una fuerza P todo entre el módulo de elasticidad del material por el
momento de inercia del área transversal, respecto a x
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

32. Estas ecuaciones se pueden utilizar para portico y una cercha
TRABAJOVIRTUAL
PRIMERTEOREMA DE CASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

33. CALCULAR LA DEFLEXIONY ROTACION EN EL PUNTO C DE LAVIGA
MOSTRADA USANDO ELTEOREMA DE CASTIGLIANOMOSTRADA USANDO ELTEOREMA DE CASTIGLIANO
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

34. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

35. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

36. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

37. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

38. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

39. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

40. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

41. PROBLEMAS
"Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

42. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto mi aflicción;has conocido mi alma en las
angustias." Salmo 31: 7

43. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

44. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

45. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7

46. "Me gozaré y alegraré en tu misericordia,porque has visto
mi aflicción;has conocido mi alma en las angustias."
Salmo 31: 7