Sistemas ecuaciones 2-3 variables

SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES DE 2 Y 3 VARIABLES
Área Académica: Ingeniería Mecánica
Profesor: Ing. Francisco Javier Barrera González.
Periodo: Julio – Diciembre 2016

Resumen
• Los alumnos necesitan saber resolver sistemas de
ecuaciones lineales de varias variables por diferentes
métodos, para aplicarlos a problemas reales.
Abstract
• Students need to know how to solve systems of linear
equations of several variables by different methods to
apply them to real problems.
Keywords: Linear equations.

• Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones con las
mismas incógnitas.
• Un sistema de ecuaciones lineales es un sistema de ecuaciones
en el que cada ecuación es lineal.
• Una solución de un sistema es una asignación de valores para
las incógnitas que hace verdadera cada una de las ecuaciones.
• Resolver un sistema significa determinar todas las soluciones
del sistema.

MÉTODOS DE
SOLUCIÓN
Grafico
Sustitución
Igualación
Determinantes
Crammer.
Gauss-Jordan
Gauss
Suma o
resta

MÉTODO GRAFICO
• EJEMPLO. Resuelve por el método grafico el sistema:
X – 2 y = 10 Ec. (1)
2X + 3 y = – 8 Ec. (2)
De la Ec. (1):
si X = 0 entonces ahora si y = 0 :
-2y = 10 X = 10
y = 10 /(-2)
y = -5

Continuación Método grafico:
De la Ec. (2):
si X = 0 entonces ahora si y = 0 :
3y = -8 2X = - 8
y = - 8 /3 X = -8 /2
X = - 4
Estos valores representan líneas con la intersección en los ejes,
donde se intersectan estas dos rectas así definidas es la solución
la sistema.

Continuación Método grafico:
X – 2y = 10
2X + 3y = - 8
Punto de intersección
de coordenadas (2, -4)

MÉTODO DE SUMA O RESTA (REDUCCIÓN).
Consiste en modificar las ecuaciones del sistema, de tal manera que
se igualen en valor absoluto los coeficientes de una de las incógnitas
y tenga signos contrarios, por lo que al sumarse algebraicamente las
ecuaciones se elimina una de las incógnitas, generando una
ecuación lineal con una incógnita que es fácil de resolver.
EJEMPLO. Resolver el sistema:
4X + 6Y = - 3 Ec. (1)
5X + 7Y = - 2 Ec. (2)

Multiplicamos la Ec. (1) por 5 y la Ec. (2) por (-4), y sumamos los
resultados de las operaciones anteriores:
5 ( 4X + 6Y = – 3 ) 20X + 30Y = – 15
– 4 ( 5X + 7Y = – 2 ) – 20X – 28Y = 8
2Y = – 7
Por lo tanto : Y = – 7 /2
Ahora sustituyendo el valor de (Y) en cualquier de las ecuaciones
originales, obtenemos:
5X + 7 (– 7 /2 ) = – 2
5X – 49/2 = – 2

Continuación Método Suma o Resta (reducción).
5X = – 2 + (49/2) = 45/2
Por lo tanto X = (45/2) / 5 = 45/10
X = 9 / 2
De modo que:
X = 9 / 2
Y = – 7 /2

Método de Igualación.
Éste método consiste en desarrollar los siguientes pasos:
1. Despejar la misma incógnita en cada una de las ecuaciones del
sistema dado.
2. Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, de tal forma
eliminamos una de las incógnitas y quedando una ecuación con
una incógnita.
3. Resolvemos la ecuación de primer grado resultante.
4. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.

EJEMPLO: Resolver el siguiente sistema. Método de igualación
6X + 2Y = – 10
9X + 4Y = – 24
Despejando (Y) en ambas ecuaciones, nos da:
2Y = – 10 – 6X 4Y = – 24 – 9X
Y = (– 10 – 6X)/2 Y = (– 24 – 9X)/4
Igualando entre si ambas expresiones, obtenemos:
(– 10 – 6X)/2 = (– 24 – 9X)/4
4 (– 10 – 6X) = 2(– 24 – 9X)

Continuación Método de igualación.
– 40 – 24X = – 48 – 18X
– 24X + 18X = – 48 + 40
– 6 X = – 8
X = (– 8 / – 6)
X = 4/3
Sustituyendo el valor de (X) en cualquiera de las ecuaciones
originales, obtenemos:
9(4/3) + 4Y = – 24

Continuación Método de igualación.
12 + 4Y = – 24
4Y = – 24 – 12
4 Y = – 36
Y = (– 36 / 4)
Y = – 9

LINEALES DE DOS VARIABLES
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN.
Resolver un sistema por éste método, realizamos los siguientes
pasos:
1. Despejamos en cualquiera de los sistemas de ecuaciones una de
las incógnitas en términos de la otra.
2. Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra
ecuación que no se ha utilizado; se obtiene una ecuación con
una incógnita.
3. Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
4. Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones original para determinar el valor de la otra incógnita.

EJEMPLO METODO DE SUSTITUCIÓN:
Resolver el sistema de ecuaciones:
7X – 4Y = 5 Ec. (1)
9X + 8Y = 13 Ec. (2)
De la Ec. (1) despejamos la “Y” en términos de X:
– 4Y = 5 – 7X
Y = [(5 – 7X)/(– 4)]
Sustituimos éste valor en la Ec.(2), originando una ecuación de una
incógnita.
9X + 8 [(5 – 7X)/(– 4)] = 13

Continuación MÉTODO DE SUSTITUCIÓN:
9X – 10 + 14X = 13
9X + 14X = 13 + 10
23X = 23
X = 1
Sustituyendo el valor obtenido de X en cualquiera de las ecuaciones
originales, determinamos:
7 (1) – 4Y = 5 – 4Y = 5 – 7
Y = (– 2) /(– 4) Y = 1/2

NOTA: Para comprobar la solución de cualquiera de los métodos
anteriores sólo basta con sustituir los valores obtenidos de las
incógnitas en las ecuaciones originales del sistema, si las igualdades
se cumplen entonces la solución es correcta.

Referencias
James Stewart, Lothar Redlin, Saleem watson (y L. Devore (2012).
Precálculo Matemáticas para el cálculo. Cengage Learning, México
6° edición.

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