Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1. SISTEM
AS
D
E
ECUACIO
NES
LINEALES
MTRO. MARIO YUSEFF SEGURA MONROY

2. ¿QUÉ ES UN SISTEMA DE ECUACIONES?
• Es un conjunto de ecuaciones con las
mismas variables.
• Es un conjunto de ecuaciones para las cuales
buscamos una solución común.

3. ¿CUÁL ES LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA?
• La solución es el par o los pares ordenados
que satisfacen ambas ecuaciones.
• También, se puede decir que la solución es
una pareja ordenada que hace que ambas
ecuaciones sean verdaderas.

4. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS
Consistente (tiene solución)
Las rectas se intersecan o coinciden.
Existe al menos un par ordenado que satisface
ambas ecuaciones.

5. Inconsistente (no tiene solución)
Las dos gráficas son paralelas
No hay par ordenado alguno que satisfaga ambas
ecuaciones

6. Independiente
Son dos rectas diferentes

7. Dependiente
Dos rectas iguales que se convierten en una sola

8. RESUMEN DE LA CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES
Gráficas de las
ecuaciones
Número de soluciones Terminología
Rectas que se
intersecan en un punto
Sólo una
Consistente e
independiente
La misma recta Infinitas
Consistente y
dependiente
Rectas paralelas Ninguna
Inconsistente e
independiente

9. Ejemplo #1
CLASIFIQUEMOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE
ECUACIONES
Observaciones:
Las rectas se intersecan.
Hay un sólo punto de solución.
Por lo tanto, el sistema de ecuaciones
en la gráfica es consistente e
independiente.

10. EJEMPLO #2
Observaciones:
Las rectas coinciden.
Las soluciones son infinitas.
Por lo tanto, el sistema es
consistente y dependiente.

11. EJEMPLO #3
Observaciones:
Las rectas son paralelas.
No hay puntos de solución.
Por lo tanto, el sistema es
inconsistente e independiente.

12. INTÉNTALO TÚ
Instrucciones:
Clasifica los sistemas de ecuaciones en dependiente,
independiente, consistente e inconsistente. Selecciona
la letra de tu respuesta para corroborar si la misma es
correcta.

13. EJERCICIO #1 El sistema de ecuaciones es:
aa. consistente
bb. inconsistente-
independiente
cc. consistente-independiente
dd. consistente-dependiente
ee. inconsistente

14. EJERCICIO #2
El sistema de ecuaciones es:
aa. consistente
bb. inconsistente
cc. dependiente
dd. independiente
ee. inconsistente-
independiente

15. EJERCICIO #3
El sistema de ecuaciones es:
aa. inconsistente
bb. consistente-dependiente
cc. inconsistente-
independiente
dd. dependiente
ee. consistente-independiente

16. EJERCICIO #4
El sistema de ecuaciones es:
aa. dependiente
bb. consistente
cc. consistente-independiente
dd. consistente-dependiente
ee. inconsistente

17. MÉTODO GRÁFICO
Una manera de resolver un sistema de ecuaciones es
graficar las ecuaciones y encontrar las coordenadas
del punto o puntos de intersección. Ya que el punto o
puntos de intersección están en ambas rectas, estas
parejas ordenadas son soluciones del sistema.

18. EJEMPLO #1
Encuentra gráficamente la solución del siguiente
sistema:
y=2x+3
y=x+1

19. HACER LA TABLA DE VALORES PARA CADA
ECUACIÓN DEL SISTEMA
y=2x +3
X Y
2
1
0
-1
•Asignar los valores para la x
•Evaluar la ecuación en cada uno de
los valores asignados
•Ejemplo sustitución para x=2
y=2x+3
y=2(2)+3
y=4+3
y=7

20. TABLAS DE VALORES PARA CADA ECUACIÓN
y=2x +3 y=x +1
X Y
2 7
1 5
0 3
-1 1
X Y
2 3
1 2
0 1
-1 0

21. TRAZAR LA GRÁFICA PARA CADA UNA DE LAS
ECUACIONES.
y=x+1
y=2x+3

22. Identificar la solución, si es que existe, en la gráfica del
sistema.
y=x+1
y=2x+3
Solución (-2,-1)

23. RECUERDA
Si las rectas de un sistema son paralelas el sistema
NO tiene solución.

24. INTÉNTALO TÚ
Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos
variables. Realiza una tabla de valores para cada
ecuación, grafica las líneas, determina la solución (si
existe) y clasifica el sistema.

25. EJERCICIO #1
y = -x
y = 2x - 6
X YX Y
y=-x y=2x-6
Haz la gráfica del sistema e
identifica si existe una
solución. Clasifica el sistema.

26. EJERCICIO #2
y=2x+6
y=-x-3
X Y X Y
y=2x+6 y=-x-3
Haz la gráfica del sistema e
identifica si existe una
solución. Clasifica el
sistema.

27. EJERCICIO #3
y=2x+3
y=2x+1
X Y X Y
y=2x+3 y=2x+1
Haz la gráfica del sistema e
identifica si existe una
solución. Clasifica el sistema.

28. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN
Si las soluciones no son enteras, la resolución de
sistemas de ecuaciones por el método de graficación
suele ser inexacta. Existen varios métodos para
resolver sistemas de ecuaciones sin graficar. Uno de
ellos se llama el método de sustitución.

29. Si una variable de un sistema de ecuaciones aparece sola
en uno de los miembros de una de las ecuaciones,
podemos sustituirla en la otra.
En ocasiones, ninguna de las ecuaciones tiene alguna
variable sola en uno de sus miembros. Si esto sucede,
despejamos una variable de una de las ecuaciones y
sustituirla en la otra.

30. EJEMPLO #1
1. X + y = 4
y = 3x
Sustituimos así:
X + 3x = 4
4x = 4 Sumamos términos.
4x = 4 Dividimos en ambos lsemejantesados por 4.
• 4
X = 1

31. Como ya tenemos los valores de ambas variables
escribimos la solución del sistema.
x = 1 y = 3
Por lo tanto, la solución es (1,3)

32. Sustituimos el valor de la x para encontrar el de y en una de las
ecuaciones.
y=3x
y=3(1)
y=3

33. INTÉNTALO TÚ
Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos variables por
el método de sustitución. Identifica la solución y verifica tu
respuesta.

34. x + y = 4
y = 2x + 1
EJERCICIO #1
x + y = 10
x – y = 8
EJERCICIO #2
y = 2x - 5
3y – x = 5
EJERCICIO #3

35. MÉTODO DE ELIMINACIÓN (DIRECTA)
Ejemplo #1
x+y=6
-x+3y=-2
Si miramos el
sistema al sumar las
ecuaciones
verticalmente se
elimina directamente
una de las variables.

36. Sumo vertical de las ecuaciones
del sistema.
x+y = 6
+ -x+3y=-2
4y=4
Divido en ambos 4 4
lados por 4
y=1

37. Sustituyo el valor de y en una de
las ecuaciones del sistema.
x+y=6
x+(1)=6
x=6+-1
x=5
Solución (5,1)

38. INTÉNTALO TÚ
Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos
variables por el método de eliminación. Identifica la
solución y verifica tu respuesta.

39. 3x-3y=6
3x+3y=0
EJERCICIO #1
x+y=8
-x+2y=7
EJERCICIO #2
3x-y=9
2x+y=6
EJERCICIO #3

40. MÉTODO DE ELIMINACIÓN
(MULTIPLICANDO POR -1)
5x+3y=17
5x-2y=-3
Para eliminar una de las variables de las ecuaciones
del sistema multiplico todos los componentes de una
de las ecuaciones por -1.

41. 5x+3y=17
+ -1(5x-2y=-3)
5x+3y=17
+ -5x+2y=3
Sumo verticalmente
5y=20
5 5 Divido por 5
y=4

42. Sustituyo el valor de y en una de
las ecuaciones del sistema.
5x+3y=17
5x+3(4)=17
5x+12=17
5x=17+-12
5x=5
5 5
x=1
Solución (1,4)

43. INTÉNTALO TÚ
Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos
variables por el método de eliminación. Para esto
utiliza la propiedad multiplicativa (-1). Identifica la
solución y verifica tu respuesta.

44. 5x+3y=17
5x-2y=-3
EJERCICIO #1
8x+11y=37
-2x+11y=7
EJERCICIO #2
5x+4y=12
3x+4y=4
EJERCICIO #3

45. MÉTODO DE ELIMINACIÓN (MULTIPLICANDO)
4x-3y=15
x-2y=0
Para eliminar una de las variables de mi sistema
multiplico todos los componentes de una de las
ecuaciones de mi sistema.

46. -4(x-2y=0)
4x-3y=15
-4x+8y=0
+ 4x-3y=15
Sumo verticalmente
5y=15
5 5 Divido por 5
y=3

47. Sustituyo el valor de y en una de
las ecuaciones del sistema.
x-2y=0
x-2(3)=0
x+-6=0
x=6
Solución (6,3)

48. INTÉNTALO TÚ
Resuelve cada sistema de ecuaciones lineales en dos
variables por el método de eliminación. Utiliza la
propiedad multiplicativa. Identifica la solución y
verifica tu respuesta.

49. 5x-2y=14
3x+6y=-6
EJERCICIO #1
x+y=5
5x-3y=17
EJERCICIO #2
x-2y=0
4x-3y=15
EJERCICIO #3