Estadistica

1. A1 A2
A3 A4
An
S
B
Teorema de Bayes: Para un espacio S, los eventos A1, …, An constituyen una
partición de S, tal que P(Ai) > 0 donde i = 1, …, n; y B sea un evento arbitrario tal
que P(B) > 0.
Suponga que desea obtener la probabilidad de que suceda el evento A1, dado
que ya sucedió el evento arbitrario B; es decir P (A1  B), de acuerdo con la
definición de probabilidad condicional, esto es:
   
 
B
P
B
A
P
B
A
P 1
1  (1)

2.    
 
B
P
B
A
P
B
A
P 1
1 
   
 
1
1
1
A
P
B
A
P
A
B
P 
A1 B
P (A1  B)
A1 B
P (B  A1 )
La interpretación geométrica
de P(A1B):
A1 B
P (A1 B)
La interpretación geométrica de las
probabilidades condicionales:
ó
En ambos casos se observa que:
     
B
A
P
B
P
B
A
P 1
1 
     
B
A
P
A
P
A
B
P 1
1 
(2)
(3)
De la ecuación (1):

3. P(A1B)
P(A2B)
P(A3B) P(A3B) P(AnB)
      )
(
...
2
1 B
A
P
B
A
P
B
A
P
B
P n



 (4)
De acuerdo a la ecuación (3) se desarrolla la ecuación (4):
             
n
n A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
P 


 ...
2
2
1
1 (5)
La interpretación geométrica de la probabilidad de B es:
B
Sustituyendo (3) y (5) en la ecuación (1):
     
           
n
n A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P




...
2
2
1
1
1
1
1
Generalizando:
     
       
n
n
i
i
i
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
A
P
A
B
P
B
A
P



...
1
1

4. De un determinado juicio se quiere saber la probabilidad de que el
acusado sea culpable dadas las evidencias:
Sean, A1: Culpable
A2: Inocente
B: Evidencias
Se define la probabilidad de que sea culpable dadas las evidencias
como:
Del teorema de Bayes obtenemos:
(6)
 
   
       
1 1
1
1 1 2 2
P B A P A
P A B
P B A P A P B A P A


 
1
P A B

5. Asignamos Probabilidades:
Sustituimos en la ecuación (6):
Por lo tanto la probabilidad de que sea culpable dadas las evidencias
es :
 
 
1
1
1
1
2
1
|
2
1
( )
2
P A B
P B A
P A



 
2
2
1
( )
2
1
|
2
P A
P B A


 
1
1 1 1 1
4 1
2 2 4 4
1 1 2
1 1 1 1 8 2
4 4 4
2 2 2 2
P A B
 
 
 
    
      

     
     
 
1
1
2
P A B 