Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad y estadística. Define probabilidad como una medida numérica entre 0 y 1 de la posibilidad de que ocurra un evento. Explica que un espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Define eventos como subconjuntos del espacio muestral. Introduce conceptos como intersección de eventos, unión de eventos, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad condicional. Incluye ejemplos resueltos y propuestos para ilustrar estos conceptos

1. Universidad Central de Ecuador
Facultad de Ciencias Económicas
Nombre: BryanIvánLara Estévez
Materia: Estadística Probabilística
Curso:47

2. Año Lectivo:2015
ESTADÍSTICA PROBABILÍSTICA
PROBABILIDAD
La probabilidadesunamediciónnuméricaque vade 0 a 1 de la posibilidadde que uneventoocurra.Si
da cerca de 0 es improbable que ocurrael eventoysi dacerca de unoes casi seguroque ocurra.
P (a):nº de resultadosenque ocurraa
Nº de resultadosposibles
Espacio muestral
En el estudiode laestadísticatratamosbásicamente conla presentacióne interpretación de resultados
fortuitosque ocurrenenunestudioplaneadooenunainvestigacióncientífica.
Definición
Al conjuntode todoslosresultadosposiblesde unexperimentoestadísticose le llamaespaciomuestral
y se representaconel símboloS.
Eventos
En cualquierexperimentodado,podríamosestarinteresadosenlaocurrenciade ciertos eventos,más
que enla ocurrenciade un elementoespecíficoenel espaciomuestral.Por ejemplo,quizásestemos
interesadosenel eventoA,enel cual el resultadode lanzarun dado esdivisible entre 3.Estoocurrirá si
el resultadoesunelementodelsubconjunto
A = {3, 6} del espaciomuestral S1del ejemplo2.1.Otro ejemplo:podríamosestarinte-
resadosenel eventoBde que el númerode artículosdefectuososseamayorque 1 enel
ejemplo2.3.Estoocurrirá si el resultadoesunelementodel subconjunto
B = {DDN,DND, NDD,DDD}

3. Considere el espaciomuestral
S = {libro,teléfonocelular,mp3,papel,papelería,computadora}.
SeaA = {libro,papelería,computadora,papel}.Entonces,el complementode A esA′ = {teléfonocelular,
mp3}.
Consideremosahoraciertasoperacionesconeventosque daráncomoresultado la formaciónde
nuevoseventos.Estoseventosnuevosseránsubconjuntosdelmismoespaciomuestralque loseventos
dados.Supongaque A y B sondos eventosque se asocian conun experimento.Enotraspalabras,A y B
son subconjuntosdel mismoespaciomues- tral S.Porejemplo,enel lanzamientode undadopodríamos
hacer que A seael evento de que ocurra unnúmeropar y B el eventode que aparezcaun número
mayor que 3.
Entonces,lossubconjuntosA = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6} son subconjuntosdel mismo espaciomuestral
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Observe que tantoA como B ocurrirán enun lanzamientodadosi el resultadoesunelementodel
subconjunto{4,6}, el cual es precisamentelaintersecciónde A yB.
La intersecciónde doseventosA yB, que se denotacon el símboloA ∩ B, esel eventoque contiene
todosloselementosque soncomunesaA y a B.
SeanV = {a, e,i, o,u} y C = {l,r, s,t}; entonces,se deduce que V ∩ C = ϕ.Es decir,V y C no tienen
elementoscomunes,porlotanto,nopuedenocurrirde formasimultánea.
Para ciertosexperimentosestadísticosnoesnadaextrañodefinirdoseventos,A y B, que no pueden
ocurrir de formasimultánea.Se dice entoncesque loseventosA yB sonmutuamente excluyentes.
Expresadode maneramás formal,tenemoslasiguiente
definición:
Dos eventosA yB sonmutuamente excluyentesodisjuntossi A ∩ B = ϕ;es decir,
si A y B no tienenelementosencomún.
A = {2, 4, 6} y B = {4, 5, 6},
podríamosestar interesadosenque ocurranA o B, o enque ocurran tanto A comoB. Tal evento,que se
llamauniónde A yB, ocurrirá si el resultadoesunelementodel subconjunto{2,4,5, 6}.

4. La uniónde dos eventosA y B, que se denota con el símboloA ∪ B, es el eventoque
contiene todoslos elementosque pertenecena A o a B, o a ambos.
Conteode puntos muestrales
Uno de losproblemasque el estadísticodebeconsiderare intentarevaluaresel elementode
aleatoriedadasociadoconlaocurrenciade ciertoseventoscuandose realizaunexperimento.Estos
problemaspertenecenal campode laprobabilidad,untemaque se estudiaráenlasección2.4. En
muchoscasos debemossercapacesde resolverunproblemade probabilidadmediante el conteodel
númerode puntosenel espaciomuestral,sinlistarrealmentecadaelemento. El principiofundamental
del conteo,a menudodenominadoreglade multiplicación
EJERCICIO RESUELTO
1.-El 60% de losalumnosde unaclase de Estadísticason chicasy se sabe que e;l 30% de laschicas son
rubias.¿Cuál el laprobabilidadde escogerunalumnode laclase que seachica rubia?
Resolución
F= Ser de sexofemenino
M=Ser de sexomasculino
R =Tenerpelorubio
P(R∩ F) = P(R/F)P(F)=0.3.0.6 =0.18
LA PROBABILIDADDE ESCOGER UNA CHICA RUBIA ES DE 0.18

5. EJERCICIO PROPUESTO
2.-Supongaque unafamiliasale de vacacionesde veranoensucasa rodante y que M esel eventode
que sufriránfallasmecánicas,Tesel eventode que recibiránunainfracciónporcometerunafaltade
tránsitoy V es el eventode que llegarána unlugar para acampar que esté lleno.Remítase al diagrama
de Vennde la figura2.5 y exprese conpalabrasloseventosrepresentadosporlassiguientesregiones:
a) región5;
b) región3;
c) regiones1y 2 juntas;
d ) regiones4y 7 juntas;

6. e) regiones3, 6, 7 y 8 juntas.
PREGUNTAS
¿Que es un Evento?
a) Se mide de 0 a 1
b) Conjuntode unoo más resultadosde unexperimento
c) Todas lasobservacionesposibles
d) Sucesoproveniente de unexperimento
¿Que es un experimento?
a) Procesoque conduce a que ocurra varias observacionesposibles
b) La ocurrenciade unono tiene que verconla ocurrenciadel otro
c) Si el eventonoocurre,el otro debe ocurrir
d) Ningunode losanteriorespuedensucederal mismotiempo
PROBABILIDAD CONDICIONAL
La probabilidadde que ocurraun evento Bcuandose sabe que ya ocurrióalgúneventoA se llama
probabilidadcondicionalyse denotaconP(B|A).El símboloP(B|A) porlogeneral se lee como“la
probabilidadde que ocurraB,dado que ocurrióA”, o simplemente,“laprobabilidadde B,dadoA”.

7. Considere el eventoBde obteneruncuadradoperfectocuandose lanzaun dado.El dadose construye
de modo que losnúmerosparestenganel doble de probabilidadde ocurrenciaque losnúmerosnones.
Con base enel espaciomuestral S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}, en el que a losnúmerosimparesya lospares se les
asignaronprobabilidadesde 1/9y 2/9, respectivamente,laprobabilidadde que ocurraB es de 1/3.
Formula
P(A/B)=
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
Dos eventosA yB sonindependientessi ysólosi
P(B|A) = P(B) oP(A|B) = P(A),
Si se asume laexistenciade probabilidadcondicional.De otraforma,A y B son dependientes.
EJERCICIO RESUELTO
La probabilidadde que unvehículoque entraa lasCavernasLuray tengamatrícula de Canadá es0.12,
la probabilidadde que seaunacasarodante es 0.28 y la probabilidadde que seaunacasa rodante con
matrícula de Canadá es0.09. ¿Cuál esla probabilidadde que…
a) una casa rodante que entraa las CavernasLuray tengamatrícula de Canadá?
b) un vehículocon matrículade Canadáque entra a las CavernasLuraysea una casa rodante?
c) un vehículoque entraa lasCavernasLuray no tengamatrícula de Canadá o nosea una casa ro
dante?
P(M)= 0.12
P(R)=0.28
P(M∩R)=0.09
-Resoluciónpuntoa
a) P(M/R)=P (M∩R)/P(R)= 0.09/0.28=0.32
-Resolución puntob
b) P=(M/R)= 0.09/0.12=0.75

8. -Resoluciónpuntoc
c)P(MUR)=P(M) + P(R) - P(M∩R)= 0.30
EJERCICIO PROPUESTO
La probabilidad de que cuando se tenga que llenar el tanque de gasolina de un automóvil
también se necesite cambiarle el aceite es 0.25, la probabilidad de que también se le tenga que
cambiar el filtro de aceite es 0.40, y la probabilidad de que se necesite cambiarle el aceite y el
filtro es 0.14.
a) Si se le tiene que cambiar el aceite, ¿cuál es la probabilidad de que también se necesite
cambiarle el filtro?
b) Si se le tiene que cambiar el filtro de aceite, ¿cuál es la probabilidad de que también se le
tenga que cambiar el aceite?

9. PREGUNTAS
¿Que eventodebe teneruna probabilidadcondicional?
a) Mutuamente NoExcluyente
b) Mutuamente Excluyente
c) Colectivamente Exhaustivo
d) Independientes
Seleccionarla características de una ProbabilidadCondicional
a) Debemostenerunsucesoparaluegotenerotro.
b) Necesitamos2eventos
c) Son Mutuamente noexcluyentes
d) Tiene siempre unaintersección
REGLA DELA MULTIPLICACIÓN
Si en unexperimentopuedenocurrirloseventosA yB,entonces
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A),siempre que P(A)>0.

10. Por consiguiente,laprobabilidadde que ocurranA y B esigual a la probabilidadde que
ocurra A multiplicadaporlaprobabilidadcondicional de que ocurraB,dado que ocurre A.
Comolos eventosA ∩ B y B ∩ A sonequivalentes,del teorema
FORMULA
P(A1) . P(A2/A1) . P(A3/A2∩A1) . P(A4/A3 ∩A2)
EJERCICIO RESUELTO
Un fabricante de una vacunapara lagripe estáinteresado endeterminarlacalidadde susuero.Conese
fintresdepartamentosdiferentesprocesanlosloteasde sueroytienentasasde rechazode 0.10, 0.08 y
0.12, respectivamente.Lasinspeccionesde lostresdepartamentossonsecuencialese independientes.
a)¿Cuál esla probabilidadde que unlote de suerosobrevivaalaprimerainspeccióndepartamentalpero
searechazadopor el segundodepartamento?
b)¿Cuál eslaprobabilidadde que unlote de suerosearechazadoporel tercer departamento?
Resolución Puntoaa:
P(A)=0.10 P(Sobrevivir)=0.10 – 100=0.90
P(B)=0.08
P (c )=0.12 Teoremade la multiplicación
P(1)=(0.90)(0.08)(0.12)= 0.0086 SobrevivalaPrimeraInspeccion
P(2)= ( 0,9)(0,08)(0,88) = 0,06336 Rechazodel segundodepartamento
Suma p(1)=0.0086 + 0.063= 0.0716
Resoluciónpuntob:
P(rechazado 3 departamento)=
(0.90)(0.92)(0.12)= 0.099 de que searechazadopor el tercerdepartamento

11. EJERCICIO PROPUESTO
Un agente de bienesraícestiene 8llavesmaestrasparaabrir variascasas nuevas.Sólo1 llave maestra
abrirá cualquierade lascasas.Si 40% de estascasas por logeneral se dejanabiertas,¿cuál esla
probabilidadde que el agente de bienesraícespuedaentrarenuna casa específica,si selecciona3llaves
maestrasal azar antesde salirde laoficina?

12. PREGUNTAS
¿Que necesitamospara que realice la reglade la multiplicación?
a) Dos eventosA yB
b) EventosIndependientes
c) Eventosmutuamente excluyentes
d) Eventosdependientes
¿Con que parte la reglade la multiplicación?
a) Probabilidadcondicional
b) Experimento
c) Evento
d) Espaciomuestral
PROCESOS ESTOCÁSTICOS FINITOS Y DIAGRAMAS DEL ARBOL
Consideremosunproceso estocástico(finito),esdecir,unasucesiónfinitade experimentos,dondecada
experimentotiene unnúmerofinitode resultadosconsusprobabilidadesdadas.Unaforma
convenientede describirtalesprocesosespormediode undiagramade árbol

13. Un procesoestocásticoesaquel enel que se representantodosycada unode los pasosnecesariospara
realizarunaactividad,ademásde lasformaso manerasenque cada unode los pasospuede serllevado
a efectoy susrespectivasprobabilidades,dichode otramanera,cualquierprocesoenel que se
involucrenprobabilidadesesunprocesoestocástico.
EJERCICIO RESUELTO
Un banco local reportaque el 80% de sus clientestienenunacuentade cheques,60% unacuentade
ahorros y50% tiene ambas.Si se seleccionaun cliente al azar¿Cuál esla probabilidadque tengauna
cuentade chequesounade ahorros?¿Cuál esla probabilidadde que el cliente notenganingunade las
dos?
Cuentacheques
ResoluciónEjercicioa
P(AoB)=0.80 + 0.60 – 0.5 = 0.9
CuentaAhorros
ResoluciónEjerciciob
P(Ninguna) = 1 – 0.90 = 0.10
BANCO
0.80
0.60

14. EJERCICIO PROPUESTO
6.-La empresaAll SeasonsPlubing cuentacondoscamionesde servicioque se descomponen
frecuentemente.Si laprobabilidadde que el primercamionestadisponiblees0.75 la de que el segundo
camióntambiénloeste es0.50, yla probabilidadde que amboscamionesesténdisponibleses0.30 ¿
Cual es laprobabilidadde que ningúnvehiculoeste deisponible

15. PREGUNTAS
¿Que es un diagrama del árbol?
a) Representaciónnuméricapararesolverejercicios
b) Sucesiónfinitade experimentos
c) Representacióngráficaparaorganizarcálculosque abarcan variasetapas
d) Tiene unnúmerofinitode resultadosconsusprobabilidades.
¿Cuál esel número de resultadosenun diagrama del árbol?
a) Tiene resultadosfinitosyestosresultadostienenprobabilidades
b) Sus resultadossoninfinitos
c) Sus resultadosse loscalcula atravezdel numerode eventos
d) Tiene resultadosfinitos
TEOREMA DE BAYES
La estadísticabayesianaesunconjuntode herramientasque se utilizaenuntipoespecial de
inferenciaestadísticaque se aplicaenel análisisde datosexperimentalesenmuchas situaciones
prácticas de cienciae ingeniería.Lareglade Bayeses unade lasnormas más importantesde la
teoría de probabilidad,yaque es el fundamentode lainferencia bayesiana.

16. P(A) = P [(E∩ A) ∪ (E_ ∩ A)] = P(E∩ A) + P(E_∩ A)
= P(E)P(A|E)+P(E`)P(A|E`).
Reglade Bayes
Si los eventosB1,B2,...,Bk constituyenunaparticióndel espaciomuestral S,donde P(Bi) ≠0 para i =
1, 2,...,k,entonces,paracualquiereventoA enS, tal que P(A) ≠ 0,
-Mediante ladefiniciónde probabilidadcondicional
𝑃( 𝐵𝑟𝐴) =
𝑃(𝐵𝑟 ∩ 𝐴)
𝑃(𝐴)
FORMULA
𝑃 (𝐵3 |𝐴) =
𝑃 (𝐵3 )𝑃 (𝐴|𝐵3 )
𝑃 (𝐵1 )𝑃 (𝐴|𝐵1 ) + 𝑃 (𝐵2 )𝑃 (𝐴|𝐵2 ) + 𝑃 (𝐵3 )𝑃 (𝐴|𝐵3 )
Espacio Muestral
EJERCICIOS RESUELTO
La policíaplaneahacerrespetarloslímitesde velocidadusandounsistemade radaren4 diferentes
puntosa las orillasde laciudad.Las trampasde radar encada unode los sitiosL1, L2, L3 y L4 operarán
40%, 30 %,20% y 30% del tiempo.Si unapersonaque excede el límite de velocidadcuandovaa su
trabajotiene probabilidadesde 0.2,0.1, 0.5 y0.2, respectivamente,de pasarporesoslugares
a) ¿Cuál esla probabilidadde que reciba unamultaporconducircon excesode velocidad?
A1 A2 A3
An

17. b) ¿Cuál esla probabilidadde recibirunamultaenL1?
Resolución puntoa
P(B1)P(A|B1) =(0.4)(0.2) = 0.08,
P(B2)P(A|B2) =(0.30)(0.1) = 0.03
P(B3)P(A|B3) =(0.20)(0.5) = 0.1
P(B4)P(A|B4) =(0.30)(0.2) = 0.06
P(A)=0.08 + 0.03 + 0.1 + 0.06= 0.27
Resoluciónpuntob
P(A/B1)= (0.40)(0.2) / 0.27 =
0.08/0.27= 0.30
P(B1)=0.40
P(B2)0.30
P(B3)=0.20
P(B4)=0.30
P(A/B1)=0.2
P(A/B2)=0.1
P(A/B3)=0.5
P(A/B4)=0.2

18. EJERCICIO PROPUESTO
En ciertaregióndel país se sabe por experienciaque laprobabilidadde seleccionarunadultomayorde
40 años de edadcon cáncer es0.05. Si la probabilidadde que undoctordiagnostique de formacorrecta
que una personaconcáncer tiene laenfermedades0.78,y la probabilidadde que diagnostiquede
formaincorrectaque una personasincáncer tiene laenfermedades0.06, ¿cuál esla probabilidadde
que a un adultomayorde 40 años se le diagnostiquecáncer?

19. PREGUNTAS
¿Que es el Teorema de Bayes?
a) Permite probabilidadessubjetivas
b) Es un eventoaleatorioconBy A
c) VinculaA con B con eventosrepetibles
d) Es un eventoaleatorioque vinculalaprobabilidadde A dadoB con laprobabilidadde BdadoA.
¿Que es necesariorealizar para el teoremade Bayes?
a) Diagrama de Venn
b) Condicional
c) Diagrama del Árbol
d) Campanade Gauss

20. TÉCNICAS DE CONTAR
PERMUTACIONES
Una permutaciónesunarreglode todoo parte de un conjuntode objetos. Considere lastresletrasa,b
y c. Las permutacionesposiblessonabc,acb, bac, bca, cab y cba, por lotanto,vemosque hay6 arreglos
distintos.Si utilizamoslaregla2.2podemosllegarala respuesta6sin listarrealmente lasdiferentes
ordenaciones.Hay n1= 3 opcionesparalaprimeraposición.Sinimportarcuál letrase elija,siempre
habrá n2 = 2 opcionesparalasegundaposición.Porúltimo,independientementede cuál de lasdos
letrasse elijaparalas primerasdosposiciones,sólohayn3= 1 elecciónpara laúltimaposición,loque da
un total de
n1n2n3 = (3)(2)(1) = 6 permutaciones
. En general,nobjetos distintosse puedenarreglaren n(n– 1)(n– 2) ··· (3)(2)(1) formas.
Existe unanotaciónpara una cifracomo ésta.
Para cualquierenterononegativon,n!,denominado“nfactorial”se define como
N! = n(n– 1) ··· (2)(1), conel caso especial de 0!= 1.
El númerode permutacionesde nobjetosesn!
El númerode permutacionesde lascuatroletrasa,b, c y d será 4! = 24. Consideremos ahorael número
de permutacionesque sonposiblestomandodosde lascuatroletras a la vez.Éstasserían ab, ac, ad, ba,
bc, bd,ca, cb,cd, da, db y dc. De nuevo,si utilizamos tenemosdosposicionesparallenarcon n1 = 4
opcionesparala primeraydespuésn2= 3 opcionesparalasegunda,para un total den1n2= (4)(3) = 12
FORMULA
𝑛𝑃𝑟 =
𝑛!
( 𝑛 − 𝑟)!
Ejercicios Resueltos
¿De cuántas formas sepueden cubrir las 5 posiciones iniciales en un equipo de
baloncesto con 8 jugadores quepueden jugar cualquiera de las posiciones?
Resolucion
Es una permutación porquesi importa el orden y es una sucesión sin repetición

21. 𝑛𝑃𝑟 =
𝑛!
( 𝑛 − 𝑟)!
8𝑃5 =
8!
(8−5)!
=6720
EJERCICIO PROPUESTO
A los participantes de una convención seles ofrecen seis recorridos, cada uno de
tres días, a sitios de interés. ¿Decuántas maneras se puede acomodar una
persona para que vaya a uno de los recorridos planeados por la convención?

22. COMBINACIÓN
El númerode combinaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es
( 𝒏
𝒓⁄ ) =
𝒏!
𝒓( 𝒏 − 𝒓)!
EJERCICIO RESUELTO
¿Cuántasformashay para seleccionara3 candidatosde 8 recién graduadosigualmenteclasificadospara
lasvacantesde unaempresacontable?
Resuelto
( 𝒏
𝒓⁄ ) =
𝒏!
𝒓( 𝒏 − 𝒓)!
𝟖𝑪𝟑 =
𝟖!
𝟑( 𝟖−𝟑)!
= 56

23. EJERCICIO PROPUESTO
¿De cuántas formasdistintasse puede responder unapruebade falso-verdaderoque constade 9
preguntas?
PREGUNTAS
¿Que son las técnicas de contar?
a) Son el total de experimentosdados
b) Métodoque sirve para enumerarel numerode resultadosposiblesde uneventoparticular
c) Se determinaparaencontrarel numerode arreglosposiblesdentrode unaprobabilidad
d) Arreglode t objetosseleccionadosde unsologrupode n
Cualesson las características de la permutación
a) Tomamosde un grupo
b) Un conjuntode n objetosenunordendado
c) No importael orden
d) Tiene unorden
Cualesson características de la Combinación
a) Tomamosde un grupo
b) Ordenaciónde unconjuntode n objetosenunordendado
c) No importael orden

24. d) Tiene unorden
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
El conjuntode paresordenados(x,f (x)) esunafunciónde probabilidad,unafunciónde masade
probabilidadounadistribuciónde probabilidadde lavariable aleatoriadiscretaXsi,para cada resultado
x posible,
1. f (x) ≥ 0,
2.∑ 𝒇 (𝒙 ) = 𝟏,𝒙
3. P (X = x ) = f (x ).
La funciónde ladistribuciónacumulativaF(x) de unavariable aleatoriadiscretaX
con distribuciónde probabilidadf (x) es
F(x ) = P (X ≤ x ) =∑ 𝑓(𝑡)t≤x para
f (t),para - ∞ < x< ∞
Para la variable aleatoriaM,el númerode emparejamientoscorrectos
Es necesarioobservarenparticularel hechode que lafunción de ladistribuciónacumulativa esuna
funciónnodecreciente monótona,lacual nosólose define paralosvalores que tomala variable
aleatoriadadasinopara todoslosnúmerosreales.

25. EJERCICIO RESUELTO
Calcule e interprete el valoresperado, lavarianzayladesviaciónestándardel experimentode lanzar
una monedatresvecesyobservarel númerode caras.
EspacioMuestras
S
X Ni P(x)
0 1 1/8
1 3 3/8
2 3 3/8
3 1 1/8
total 8 1
Moneda
C
S
C
S
C
S
S
C
C
S
S
C
C
S

26. EJERCICIO PROPUESTO
Para recolectarlosdatosde unproyectode investigacionunestudiante de mercadeoenunauniversidad
pequenaenel centrode EstadosUnidosconto en50 cursos de negocioel numero deestudiantesque
habiancompradorecientemente discoscompactos.En12 clasesnoencontroestudiantesque hubieran
hechodichacompra, 3 estudianteshabiancompradoen8 clases,4 habiancompradoen9 clases,5 en
15 clasesy 7 estudiantes,de lasseisclasesrestanteshabianaumentadosuscoleccionesde musica.El
estudiante deseabacomenzarsuinvestigacionresumiendosusdatos¿Cómopodriaustedayudarle?

27. PREGUNTAS
En que consiste la distribuciónde probabilidades elegirlas correctas
a) Lista de todoslosresultadosposiblesde algúnexperimento
b) Probabilidadque se larelacionaacada resultado
c) La variable aleatoriasontodoslosposiblesresultados
d) Total de experimentosdadosenunexperimento
Caracteristica de la variable discreta
a) Númerospares
b) Números impares
c) Númerosenteros
d) Númerosfraccionarios
ESPERANZA MATEMÁTICA
SeaX una variable aleatoriacondistribuciónde probabilidadf (x).Lamediaovalor esperadode Xes
si X es discreta,y
μ = E (X) =∑ 𝑥𝑓(𝑥)𝑥
μ = E (X) = ∫ 𝑥𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
si X es continua.
El lectordebe advertirque laformapara calcularel valor esperado,omedia,que se muestraaquíes
diferente delmétodoparacalcularlamediamuestral,donde lamediamuestral se obtuvousandolos
datos.En la esperanzamatemáticael valoresperado se obtieneusandoladistribuciónde probabilidad.
Sinembargo,lamediasuele considerarse unvalor“central”de ladistribuciónsubyacente
Definición
En estadísticala esperanzamatemática(tambiénllamadaesperanza,valoresperado,mediapoblacional
o media) de unavariable aleatoria X,es el número operatorname{E}[X] que formalizalaideade valor
mediode unfenómenoaleatorio.

28. Cuandola variable aleatoriaesdiscreta,laesperanzaesigual alasuma de la probabilidadde cada
posible sucesoaleatoriomultiplicadoporel valorde dichosuceso.Porlo tanto,representalacantidad
mediaque se "espera"comoresultadode unexperimentoaleatoriocuandolaprobabilidadde cada
sucesose mantiene constante yel experimentose repiteunelevadonúmero de veces.Cabe decirque el
valorque toma la esperanzamatemáticaenalgunoscasospuede noser"esperado"enel sentidomás
general de lapalabra- el valorde laesperanzapuede serimprobable oinclusoimposible.
EJERCICIO RESUELTO
Se lanzauna monedahastaque se presentan3 caras sucesivamente.Liste sóloaquelloselementosdel
espaciomuestral que requieren6omenoslanzamientos.¿Eséste unespaciomuestral discreto?
Explique surespuesta.
X P(X) XP(X) 𝑿 𝟐 𝑿 𝟐 𝑷(𝑿)
0 1/8 0 0 0
1 3/8 3/8 1 3/8
2 3/8 6/8 4 12/8
3 1/8 3/8 9 9/8
TOTAL 12/8 24/8
Desviación√ 𝟐𝟒/𝟖= 1,73

29. EJERCICIO PROPUESTO
Una monedaestácargada de maneraque la probabilidadde ocurrenciade unacara estresvecesmayor
que la de una cruz. Calcule el númeroesperado de crucessi estamonedase lanzados veces.
PREGUNTAS
Ejemplode la Variable Continua
a) Estatura de una persona
b) Numerode celulares
c) Automóvilesenlaciudad
d) Edad
Que se necesitapara el calculo de una esperanzamatemática
a) Espaciomuestral
b) DesviaciónEstándar
c) Moda
d) Media

30. II HEMISEMESTRE
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Con frecuencia un experimento consta de pruebas repetidas, cada una con dos
resultados posibles que se pueden denominar éxito o fracaso. La aplicación más
evidente tiene que ver con la prueba de artículos a medida que salen de una línea
de ensamble, donde cada 144 Capítulo 5 Algunas distribuciones de probabilidad
discreta prueba o experimento puede indicar siun artículo está o no defectuoso
Distribución binomial
El número X de éxitos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable
aleatoria binomial. La distribución de probabilidad de esta variable aleatoria
discreta sellama distribución binomial y sus valores sedenotarán como b(x; n, p),
ya que dependen del número de ensayos y de la probabilidad de éxito en un
ensayo dado. Por consiguiente, para la distribución de probabilidad de X el
número de productos defectuosos es
P (X = 2) = f (2) = 𝑏(2;3;1/4) =
9
64
Generalicemos ahora la ilustración anterior con el fi n de obtener una fórmula
para b(x; n, p). Esto significa que deseamos encontrar una fórmula que dé la
probabilidad de x éxitos en n ensayos para un experimento binomial. Empiece por
considerar la probabilidad de x éxitos y n – x fracasos en un orden específi co.
Como los ensayos son independientes, podemos multiplicar todas las
probabilidades que corresponden a los diferentes resultados. Cada éxito ocurre
con probabilidad p y cada fracaso con probabilidad q = 1 – p. Por lo tanto, la
probabilidad para el orden específi co es 𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
. Ahora debemos determinar el
número total de puntos muestrales en el experimento que tienen x éxitos y n – x
fracasos. Estenúmero es igual al número de particiones de n resultados en dos
grupos con x en un grupo y n – x en el otro, y se escribe n/x como se presentó en
la sección

31. Como estas particiones son mutuamente excluyentes, sumamos las
probabilidadesdetodas las diferentes particiones para obtener la fórmula general
o simplemente multiplicamos
FORMULA= 𝑛𝐶𝑟𝑝 𝑟
𝑞 𝑛−𝑟
EJERCICIO RESUELTO
La probabilidadde que unpaciente se recupere de unadelicadaoperaciónde corazónes0.9. ¿Cuál esla
probabilidadde que exactamente5de los siguientes7pacientesintervenidossobrevivan?
Resolución
.n=7 FORMULA 𝑛𝐶𝑟 𝑝 𝑟 𝑞 𝑛−𝑟
.r=5 7C5 (0.90)5 (0.10)2
P=0.90 Respuesta=0.124
Q=0.10

32. EJERCICIO PROPUESTO
Supongaque losmotoresde un aviónoperande formaindependiente yque tienenunaprobabilidad
de fallade 0.4. Se supone que unavióntiene unvuelosegurosi funcionanal menoslamitadde sus
motores.Si unavióntiene 4 motoresyotro tiene 2, ¿cuál de los dostiene laprobabilidadmásaltade un
vueloexitoso?

33. PREGUNTAS
Que debe tenerpara seruna distribuciónBinomial
a) Éxitoo fracaso
b) Éxito
c) Fracaso
d) ResultadosInfinitos
Cualesla fórmula para la distribuciónBinomial
a) 𝑛𝐶𝑟 𝑝 𝑟 𝑞 𝑛−𝑟
b) 𝑟𝐶𝑛 𝑞 𝑛 𝑝 𝑟
c)
𝑒−𝑥 𝑥
𝑥 𝑒
d)
(𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥)(𝑟𝐶𝑥)
𝑁𝐶𝑛
DISTRIBUCIÓN DE MULTINOMIAL
El experimentobinomial se convierte enunexperimentomultinomialsi cadapruebatiene másde
dos resultadosposibles.Laclasifi caciónde unproductofabricadocomoligero,pesadooaceptable,
y el registrode losaccidentesenciertocrucerode acuerdocon el día de la semana,constituyen

34. experimentosmultinomiales.Extraerconreemplazounacarta de una baraja tambiénesun
experimentomultinomial si los4 palossonlosresultadosde interés.
En general,si unensayodadopuede tenercomoconsecuenciacualquierade losk resultados
posiblesEl,E2,...,Ek con probabilidadespl,p2,..., pk,la distribuciónmultinomial darála
probabilidadde que El ocurraxl veces,E2 ocurra x2 veces...yEkocurra xk vecesenn ensayos
independientes,donde
x 1 +x 2 +· · · +x k = n.
FORMULA
𝑃(𝑥1; 𝑥2 …… 𝑥 𝑘 ) =
𝑛!
𝑥1!…… 𝑥 𝑘 !
EJERCICIO RESUELTO
Las probabilidadesde que undelegadollegue aciertaconvenciónenavión,autobús,automóvil otren
son de 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1, respectivamente.¿Cuál esla probabilidadde que,de 9delegadosque asistena
estaconvenciónseleccionadosal azar,3 lleguenenavión,3enautobús,1 enautomóvil y2 entren?
Resolución
P(X1=3; X2=3; X3=1; X4=2)=
9!
3!3!1!2!
(0.4)3
(0.2)3
(0.3)1
(0.1)2
Respuesta=0.00774

35. EJERCICIO PROPUESTO
Un estudiante que conduce haciasuescuelaencuentraunsemáforo,el cual permanece verdepor35
segundos,amarillocincosegundosyrojo60 segundos.Supongaque todalasemanael estudiante
recorre el caminoa laescuelaentre las8:00 y las8:30 a.m.Sea Xl el númerode vecesque encuentra
una luzverde,X2el númerode vecesque encuentraunaluzamarillayX3 el númerode vecesque
encuentraunaluzroja. Calcule ladistribuciónconjuntade X1,X2 y X3.

36. PREGUNTAS
Seleccionarlas características que correspondana DistribucionMultinomial
a) Varioseventosconsusdebidasprobabilidades
b) Tiene unorden
c) Se tiene 1 resultado
d) Se tiene cualquiernumerode resultados
Cual esel eventode la distribuciónMultinomial
a) Dependientes
b) Independientes
c) Mutuamente Excluyentes
d) Mutuamente noexcluyentes
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA
La maneramás simple de verladiferenciaentre ladistribuciónbinomial de lasecciónyladistribución
hipergeométricaconsisteenobservarlaformaenque se realizael muestreo.Lostiposde aplicaciones
de la distribuciónhipergeométricasonmuysimilaresalosde la distribuciónbinomial.Nosinteresael
cálculode probabilidadesparael númerode observacionesque caenenunacategoría específi ca.Sin

37. embargo,ladistribuciónbinomial requiere que losensayosseanindependientes.Porconsiguiente,si se
aplicaestadistribución,digamos,tomandomuestrasde unlote de artículos(barajas,lotesde artículos
producidos),el muestreose debe efectuarreemplazandocadaartículodespuésde observarlo.Porotro
lado,la distribuciónhipergeométricanorequiere independenciayse basaen el muestreoque se realiza
sinreemplazo.
Las aplicacionesde ladistribuciónhipergeométrica se encuentranenmuchoscampos,sobre todoenel
muestreode aceptación,laspruebaselectrónicasyloscontrolesde calidad.Evidentemente,enmuchos
de estoscampos el muestreose realizaaexpensasdelartículoque se prueba;esdecir,el artículose
destruye,porloque no se puede reemplazarenlamuestra.Porconsiguiente,el muestreosinreemplazo
esnecesario.
Aplicacion
La distribuciónde probabilidadde lavariable aleatoriahipergeométricaX,el númerode éxitosenuna
muestraaleatoriade tamañon que se seleccionade N artículos,enlosque k se denominaéxitoyN – k
fracaso
FORMULA
𝑷( 𝒙) =
(𝑵 − 𝒓𝑪𝒏− 𝒙)(𝒓𝑪𝒙)
𝒏𝑪𝒏
EjercicioResuelto
Una empresagrande tiene unsistemade inspecciónparaloslotesde compresorespequeñosque
compra a losvendedores.Unlote típicocontiene 15compresores.Enel sistemade inspecciónse
seleccionaunamuestraaleatoriade 5compresoresparasometerlosaprueba.Supongaque enel lote
de 15 hay2 defectuosos.
a) ¿Cuál esla probabilidadde que enunamuestradeterminadahayauncompresordefectuoso?
b) ¿Cuál esla probabilidadde que lainspeccióndescubralos2 compresoresdefectuosos?
Resoluciónpuntoa
r=2 FORMULA=𝑃( 𝑥) =
(𝑁−𝑟 𝐶 𝑛−𝑥)(𝑟 𝐶 𝑥)
𝑁𝐶 𝑛
x=1
N=15 p(X)=
(15−2 𝐶 5−1)(2 𝐶 1)
15 𝐶 5
n=5 Resultado=0.47

38. Resoluciónpuntob
r=2 FORMULA=𝑃( 𝑥) =
(𝑁−𝑟 𝐶 𝑛−𝑥)(𝑟 𝐶 𝑥)
𝑁𝐶 𝑛
x=2
N=15 p(X)=
(15−2 𝐶 5−2)(2 𝐶 2)
15 𝐶 5
n=5 Resultado=0.095
EJERCICIO PROPUESTO
De unlote de 10 misiles,se seleccionan4al azar y se disparan.Si el lote contiene 3misilesdefectuosos
que no puedendispararse,¿cuál eslaprobabilidadde que
a) los4 puedandispararse?
b) a losumofallen2?

39. PREGUNTAS
Que determinala distribuciónHipergeometrica
a) Si las probabilidadesde uneventosonconstantes
b) Determinanloséxitosyfracasos
c) Determinalaprobabilidadde unéxitonoseaconstante
d) Determinalamodamediayvarianza
Cuál esla fórmulade la Distribución Hipergeometrica
a) (𝑁−𝑟𝐶𝑛−𝑥)(𝑟𝐶𝑥)
𝑁𝐶𝑛
b) 𝑚𝐶𝑟 𝑝 𝑟 𝑟 𝑛−𝑟
c) 𝑋−𝑢
𝑜
d) n. p.q
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
1. El númerode resultadosque ocurrenenunintervalooregiónespecífi caesindependientedel
númeroque ocurre encualquierotrointervalode tiempooregióndel espaciodisjunto.De estaforma
vemosque el procesode Poissonnotiene memoria.
2. La probabilidadde que ocurraunsoloresultadodurante unintervalode tiempomuycortoo enuna
regiónpequeñaesproporcionalala longituddel intervalooal tamaño de la región,yno depende del
númerode resultadosque ocurrenfuerade este intervalode tiempooregión.
3. La probabilidadde que ocurramásde unresultadoental intervalode tiempocortooque caiga ental
regiónpequeñaesinsignificante.El númeroXde resultadosque ocurrendurante unexperimentode
Poissonse llamavariable aleatoriade Poissonysudistribuciónde probabilidadse llamadistribuciónde
Poisson.El númeromediode resultadosse calculaapartir de μ = λt, donde t esel “tiempo”,la
“distancia”,el “área”o el “volumen”específicosde interés.Comolasprobabilidadesdependende λ,
denotaremoslatasade ocurrenciade losresultadosconp(x;λt).La derivaciónde lafórmulaparap(x;
λt),que se basaen lastres propiedadesde unprocesode Poissonque se listaronantes,estáfueradel
alcance de este texto.
FORMULA
(𝑁 − 𝑟 𝐶 𝑛 − 𝑥)(𝑟 𝐶 𝑥)
𝑁𝐶 𝑛

40. EJERCICIO RESUELTO
Una empresagrande tiene unsistemade inspecciónparaloslotesde compresorespequeñosque
compra a losvendedores.Unlote típicocontiene 15compresores.Enel sistemade inspecciónse
seleccionaunamuestraaleatoriade 5compresoresparasometerlosaprueba.Supongaque enel lote
de 15 hay2 defectuosos.
a) ¿Cuál esla probabilidadde que enunamuestradeterminadahayauncompresordefectuoso?
b) ¿Cuál esla probabilidadde que lainspeccióndescubralos2 compresoresdefectuosos?
Resoluciónpuntoa
r=2 FORMULA=𝑃( 𝑥) =
(𝑁−𝑟 𝐶 𝑛−𝑥)(𝑟 𝐶 𝑥)
𝑁𝐶 𝑛
x=1
N=15 p(X)=
(15−2 𝐶 5−1)(2 𝐶 1)
15 𝐶 5
n=5 Resultado=0.47
Resoluciónpuntob
r=2 FORMULA=𝑃( 𝑥) =
(𝑁−𝑟 𝐶 𝑛−𝑥)(𝑟 𝐶 𝑥)
𝑁𝐶 𝑛
x=2
N=15 p(X)=
(15−2 𝐶 5−2)(2 𝐶 2)
15 𝐶 5
n=5 Resultado=0.095

41. EJERCICIO PROPUESTO
De unlote de 10 misiles,se seleccionan4al azar y se disparan.Si el lote contiene 3misilesdefectuosos
que no puedendispararse,¿cuál eslaprobabilidadde que
a) los4 puedandispararse?
b) a losumofallen2?

42. PREGUNTAS
Que mide la Distribuciónde Poisson
a) Numerode lapoblación
b) Altura
c) Peso
d) Tiempo, EspacioyVolumen
Cual esla formulade la distribuciónde poisson
a)
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!
b) 𝑚𝐶𝑟 𝑝 𝑟 𝑟 𝑛−𝑟
c) 𝑋−𝑢
𝑜
d) .n.p. q

43. DISTRIBUCIÓN NORMAL
La distribuciónde probabilidadcontinuamásimportante entodoel campode la estadísticaesla
distribuciónnormal.Sugráfi ca,denominadacurvanormal,eslacurva con formade campanade lafi
gura 6.2, lacual describe de maneraaproximadamuchosfenómenosque ocurrenenlanaturaleza,la
industriayla investigación.Porejemplo,lasmedicionesfísicasenáreascomolosexperimentos
meteorológicos,estudiosde laprecipitaciónpluvial ymedicionesde partesfabricadasamenudose
explicanmásque adecuadamenteconunadistribuciónnormal.Además,loserroresenlasmediciones
científicasse aproximanmuybien mediante unadistribuciónnormal.En1733, AbrahamDeMoivre
desarrollólaecuaciónmatemáticade lacurvanormal,la cual sentólas basessobre lasque descansa
gran parte de la teoríade laestadísticainductiva.Ladistribuciónnormal amenudose denomina
distribucióngaussianaenhonorde Karl FriedrichGauss(1777-1855), quientambiénderivósuecuación
a partir de un estudiode erroresenmedicionesrepetidasde lamismacantidad.
σ
μ
Se denominavariable aleatorianormal.Laecuaciónmatemáticaparaladistribuciónde probabilidadde
la variable normal depende de losdosparámetrosμy σ,sumediaysu desviaciónestándar,
respectivamente.Porello,denotamoslosvaloresdeladensidadde Xpor n(x;μ,σ).
FORMULA
𝑍 =
𝑥 − 𝑢
𝑜
EJERCICIOS RESUELTOS
Las barras de pande centenoque ciertapanaderíadistribuyealastiendaslocalestienenunalongitud
promediode 30 centímetrosy unadesviaciónestándarde 2centímetros.Si se supone que las
longitudesestándistribuidasnormalmente,¿qué porcentaje de lasbarras
son
a) más largasque 31.7 centímetros?
b) de entre 29.3 y 33.5 centímetrosde longitud?

44. c) más cortas que 25.5 centímetros?
Resoluciónpuntoa
𝑍 =
𝑥−𝑢
𝑜
=
𝑍 =
31.7−30
2
=0.85
0.5 – 0.3023=0.197
30 31.7
Resolución punto b
𝑍 =
29.3−30
2
=-0.35
𝑍 =
33.5−30
2
=1.75
0.136+0.4599=0.5959 29.3 30 33.5
Resolución punto c
𝑍 =
25.5−30
2
= -2.25
0.5 – 0.4878=0.0122
25.5 30
0.197
0.5959
0.0122

45. EJERCICIO PROPUESTO
26.-El diámetrointeriordel anillode unpistónterminadose distribuye normalmente conunamediade
10 centímetrosyuna desviaciónestándarde 0.03 centímetros.
a) ¿Qué proporciónde anillostendrádiámetrosinterioresque excedan10.075 centímetros?
b) ¿Cuál esla probabilidadde que el anillode unpistóntenga undiámetrointeriorde entre 9.97 y 10.03
centímetros?
c) ¿Por debajode qué valordel diámetrointeriorcaeráel 15% de losanillosde pistón?

46. PREGUNTAS
Que se incluye en la DistribuciónNormal subraye la respuestacorrecta
a) Medio,mediana,moda
b) Media, moda
c) Cuartil perceptil,decil
d) Media,moda,mediana,cuartil,perceptil,decil
Subraye la característica correcta de la DistribucionNormal
a) Distribucioncontinuase larealizaporlacampana de Gauus
b) DistribucionDiscreta
c) Se la realizaatravez del diagramadel árbol
d) Se utilizael factorde corrección
APROXIMACIÓN DE LA NORMAL A LA BINOMIAL
Las probabilidadesasociadasconexperimentosbinomialesse obtienenfácilmenteapartirde la fórmula
b(x;n,p) de la distribuciónbinomialode latabla A.1 cuando n espequeña.Además,lasprobabilidades
binomialesestándisponiblesenmuchospaquetes de software.Sinembargo,resultaaleccionador
conocerla relaciónentre ladistribuciónbinomial ylanormal.Enla sección5.5 explicamoscómose
puede utilizarladistribución de Poissonparaaproximarprobabilidadesbinomialescuandonesmuy
grande y p se acerca muchoa 0 o a 1. Tanto la distribuciónbinomial comolade Poissonsondiscretas.La
primeraaplicaciónde unadistribucióncontinuade probabilidadparaaproximarprobabilidadessobre un
espaciomuestral discretose demostróenel ejemplo dondese utilizólacurvanormal.La distribución

47. normal a menudoesuna buenaaproximaciónaunadistribucióndiscretacuando laúltimaadquiere una
formade campanasimétrica.Desde unpuntode vistateórico,algunasdistribucionesconvergen ala
normal a medidaque susparámetrosse aproximana ciertoslímites.Ladistribución normal esuna
distribuciónde aproximaciónconveniente,yaque lafunciónde distribuciónacumulativase tabulacon
mucha facilidad.Ladistribuciónbinomial se aproxima bienpormediode lanormal enproblemas
prácticoscuando se trabaja con lafunciónde distribuciónacumulativa.Ahoraplantearemosunteorema
que nos permitiráutilizaráreasbajolacurva normal para aproximarpropiedadesbinomialescuandon
essuficientemente grande
FORMULA:
𝑍 =
𝑋 − 𝑛𝑝
√ 𝑛𝑝𝑞
Factor de Corrección
•Si P(X=n) usaP(n – 0,5 < X < n + 0,5)
•Si P(X>n) usaP(X> n + 05)
•Si P(X≤n) usaP(X< n + 0,5) Si P (X<n) usaP(X< n – 0,5)
•Si P(X≥ n) usa P(X> n – 0,5)
EJERCICIO RESUELTO
Un paciente tiene 0.9de probabilidadde recuperarse de unaoperaciónde corazóndelicada.De los
siguientes100 pacientesque se sometenaestaoperación,¿cuál eslaprobabilidadde que
a) sobrevivanentre 84y 95 inclusive?
b) sobrevivanmenosde 86?
u= n . p
100 . 0.90 = 90
O= n . p . q
100. 0.90 . 0.10= 9
√9 = o = 3 83.5 90 95.5
0.9472

48. 𝑍 =
83.5−90
3
= -2.17 0.4808 +0.4664=0.9472
𝑍 =
95.5−90
3
= 1.83
85.5 90
𝑍 =
85.5−90
3
=-1.5 0.5 – 0.4332 =0.0668
EJERCICIO PROPUESTO
28.-Un procesoproduce 10% de artículos defectuosos.Si se seleccionanal azar100 artículosdel
proceso,¿cuál esla probabilidadde que el númerode defectuosos
a) excedalos13?
b) sea menorque 8?
0.0668

49. PREGUNTAS
Que se necesitapara resolverla AproximaciónBinomial a Normal
a) Moda
b) Media,Moda
c) Varianza,Media,Valorz
d) Valorz
Cuando se utiliza el factor de Correcciónen la AproximaciónBinomial a la Normal
a) Nunca
b) Siempre
c) Casi siempre
d) Casi nunca
APROXIMACIÓN BINOMIAL A LA NORMAL
Aunque paran finitolasdistribucionesde PoissonyNormal nocoinciden,esposibleaproximarla
primerapor lasegunda,de acuerdoa la reglasiguiente:

50. λ ≥ 10 aproximara laNormal de mediaλ,varianzaλ
λ < 10 no aproximar,calcularconla variable original
EJERCICIO RESUELTO
Para los varios millares de artículos que se mantienen en existencia en una empresa, existe una
probabilidad global del 0.08 de que un artículo en específico (incluyendo tamaño y color
determinados etcétera) no se encuentren en existencia si un embarque cubre los pedidos para
120 artículos distintos ¿Cuál es la probabilidad de que 15 o más de ellos no se encuentren en
existencia?
Resolución
𝑦 =
𝑥−𝜆
√𝜆
𝑦 =
14.5−120
√120
= - 9.63 equivale a 0.5= 0.1915
0.5 + 0.1915= 0.6915
15 120
EJERCICIO PROPUESTO
30.-En el periodo más ocupado, entre las 4 PM y 6PM, un automóvil entra a una gasolinera cada
3 minutos, en promedio.
¿Cuál es la probabilidad de que cuando menos 25 automóviles entren a la gasolinera entre las 4
y las 5 PM
0.6915

51. PREGUNTAS
Cuando utilizamosla aproximaciónPoisson a la Normal
a) λ. < 5
b) .λ. < 10
c) λ. > 10
d) λ. ≥ 10
¿Cuál esla fórmula de la AproximaciónPoissona la Normal?
a)
𝜆 𝑥 𝑒−𝜆
𝑥!
b) 𝑚𝐶𝑟 𝑝 𝑟 𝑟 𝑛−𝑟
c) 𝑋−𝑢
𝑜
d)
𝑥−𝜆
√ 𝜆

52. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
En la explicaciónanteriorestablecimoslasbasesparalaaplicaciónde ladistribuciónexponencial enel
“tiempode llegada”otiempoparaproblemasconeventosde Poisson.Aquíilustraremosalgunas
aplicacionesde modeladoy despuésprocederemosaanalizar el papel que ladistribucióngamma
desempeñaenellas.Observe que lamediade la distribuciónexponencial esel parámetroβ, el recíproco
del parámetroenla distribución de Poisson.El lectordeberíarecordarque con frecuencia se dice que la
distribuciónde Poissonnotiene memoria,locual implicaque lasocurrenciasenperiodossucesivosson
independientes.El importante parámetroβesel tiempopromedioentreeventos.Enla teoría de
confiabilidad, dondelafallade equipoconfrecuenciase ajustaaeste proceso de Poisson,βse
denominatiempomedioentrefallas.Muchasdescomposturasde equipo siguenel procesode Poissony
por ellose aplicaladistribuciónexponencial.Otras aplicacionesincluyen tiemposde supervivenciaen
experimentosbiomédicosytiempo de respuestade computadoras.
En el siguiente ejemplomostramosunaaplicaciónsimple de ladistribuciónexponencial aunproblema
de confiabilidad.Ladistribuciónbinomial tambiéndesempeñaun papel enlasolución.
FORMULA
P(x)= 1 − 𝑒−𝜆 . 𝑥
EJERCICIO RESUELTO
El númerode automóvilesque lleganaciertaintersecciónporminutotieneunadistribuciónde Poisson
con una mediade 5. Existe interésporel tiempoque transcurre antesde que 10 automóvilesaparezcan
enla intersección.
P(x)= 1 − 𝑒−𝜆 . 𝑥
P(x)=1−𝑒−1/5 . 10=0.864
Respuesta

53. El tiempo transcurrido fue de 0.864
EJERCICIO PROPUESTO
32.-El tiempo necesarioparaque unindividuoseaatendidoenunacafeteríaesuna variable aleatoria
que tiene unadistribuciónexponencial conunamediade 4 minutos.¿Cuál eslaprobabilidadde que una
personaseaatendidaenmenosde 3 minutosenal menos4 de lossiguientes6días?

54. PREGUNTAS
La distribuciónExponencial para que se la utiliza:
a) Mide el paso del tiempoentre doshechos
b) Mide tiempoespacioyvolumen
c) Distribuciondiscreta
d) Mide la velocidad
Cual esla Formulade la DistribuciónExponencial
a) 1 − 𝑒−𝜆(𝑢)
b) 𝑋−𝑢
𝑜
c)
𝑥−𝜆
√ 𝜆
d)
𝜆 𝑥
𝑒−𝜆
𝑥!

55. BIBLIOGRAFIA
 Estadísticapara AdministraciónyEconomíaAutor:Lind Marchal Madson
 EstadísticaAplicadaa losNegociosya la Economía Autor:WebsterAllen,
 ProbabilidadparaingenieríayCienciasAutor:Wapole
 EstadísticaDescriptivayprobabilidad Autor:EspejoMiranda