Ecuaciones de movimiento de fluidos

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA DE SEGURIDAD Y SALUD EN EL
TRABAJO
ECUACIONES DE MOVIMIENTOS DE
FLUIDOS
ING. ALICIA BACA GUTIERREZ
alicia,bacag@gmail.com

ECUACIONES DE MOVIMIENTOS DE FLUIDOS
Líneas de corriente: Línea imaginaria continua, tangente en cada punto al
vector velocidad de la partícula que en un instante determinado pasa por dicho
punto. Las líneas de corriente son las envolventes de la velocidad de todas las
partículas en un determinado instante, por lo que varían, en general, con el tiempo.
Las líneas de corriente no pueden cortarse (excepto en puntos singulares como
fuentes o sumideros), pues entonces una misma partícula pertenecería a la vez a
ambas y tendría dos direcciones simultáneas de movimiento.
Tubo de corriente o superficie de corriente: Tubo real o imaginario
cuyas paredes son líneas de corriente. En los flujos en tuberías el tubo de corriente
puede ser uno de los tubos reales que la componen.
Vena líquida: Volumen de líquido delimitado por el tubo de corriente. La
superficie de contorno limitante puede ser una pared sólida (tubería), el propio
líquido o la atmósfera.

Filete de corriente: Tubo de corriente de sección transversal elemental en el que la
velocidad de las partículas líquidas es constante. Cuando la sección transversal tiende a
cero, entonces el filete se transforma en una línea de corriente. · Trayectoria: Lugar
geométrico de las posiciones que describe una misma partícula en el transcurso del
tiempo.
Línea de traza o emisión: Lugar geométrico instantáneo de todas las partículas que
han pasado por un punto determinado. Pueden observarse cuando se inyecta un
colorante a un líquido en movimiento.
Caudal másico: Masa de líquido que atraviesa una sección en la unidad de tiempo.
Caudal volumétrico: Volumen de líquido que atraviesa una sección en la unidad de
tiempo.

Las corrientes de líquido pueden ser de dos tipos: con superficie libre o forzada.
Corrientes con superficie libre son aquéllas en las que parte de la sección
transversal está en contacto con la atmósfera. Es el caso de los canales.
Corrientes a presión o conducciones forzadas todo el contorno está mojado,
es decir, funcionan a plena sección, y el movimiento del líquido se debe a la
presión reinante en su interior, pudiendo presentar, por tanto, pendientes y
contrapendientes.
El eje hidráulico en las corrientes forzadas es el lugar geométrico de los
baricentros de todas las secciones transversales, por lo que coincide con el eje
geométrico de la tubería. En corrientes libres es el lugar geométrico de los
baricentros de las superficies libres en contacto con la atmósfera.
CORRIENTES CON SUPERFICIE LIBRE Y FORZADA

CORRIENTE LAMINAR Y CORRIENTE TURBULENTA
Régimen laminar y régimen turbulento. Cuando un fluido circula por una tubería lo
puede hacer en régimen laminar o en régimen turbulento. La diferencia entre estos
dos regímenes se encuentra en el comportamiento de las partículas fluidas, que a su
vez depende del balance entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas o de
rozamiento.
Régimen laminar: las partículas del líquido se mueven siempre a lo largo de
trayectorias uniformes, en capas o láminas, con el mismo sentido, dirección y magnitud.
Suele presentarse en los extremos finales de los laterales de riego y en microtubos de
riego. En tuberías de sección circular, si hacemos un corte transversal, las capas de igual
velocidad se disponen de forma concéntrica, con v » 0 junto a las paredes de la tubería y
velocidad máxima en el centro. Corresponde el régimen laminar a bajos valores del
número de Reynolds y suele darse a pequeñas velocidades, en tubos con pequeño
diámetro y con fluidos muy viscosos (aceites). En estas condiciones, las fuerzas viscosas
predominan sobre las de inercia.

Régimen turbulento: las partículas se mueven siguiendo trayectorias
erráticas, desordenadas, con formación de torbellinos. Cuando aumenta la
velocidad del flujo, y por tanto el número de Reynolds, la tendencia al
desorden crece. Ninguna capa de fluido avanza más rápido que las
demás, y sólo existe un fuerte gradiente de velocidad en las proximidades
de las paredes de la tubería, ya que las partículas en contacto con la pared
han de tener forzosamente velocidad nula

El paso de régimen laminar a turbulento no se produce de manera instantánea. Cuando se trabaja
en régimen laminar, a velocidades bajas, y se fuerza al fluido para que adquiera mayor velocidad,
comienzan a aparecer ondulaciones (régimen crítico), y de persistir este aumento llevará al fluido
a alcanzar el régimen turbulento. Así, un filete de colorante inyectado en una corriente laminar
sigue una trayectoria bien definida. Si aumentamos la velocidad, el filete comenzará a difundirse
hasta terminar coloreando toda la corriente (régimen turbulento).
Dentro del régimen turbulento se pueden encontrar tres zonas diferentes:
Régimen turbulento liso: las pérdidas que se producen no dependen de la
rugosidad interior del tubo. Se presenta para valores del número de Reynolds bajos por
encima de 4000.
Régimen turbulento de transición: las pérdidas dependen de la rugosidad del
material del tubo y de las fuerzas de viscosidad. Se da para números de Reynolds
altos, y depende del número de Reynolds y de la rugosidad relativa.
Régimen turbulento rugoso: Las pérdidas de carga son independientes del
número de Reynolds y dependen sólo de la rugosidad del material. Se da para valores
muy elevados del número de Reynolds.

Osborne Reynolds (1842–1912) publicó en 1883 su clásico experimento mediante el
que estableció que el paso de régimen laminar a turbulento, que varía al modificar la
velocidad y/o la viscosidad, quedaba condicionado a un valor de la agrupación
adimensional, hoy llamado Número de Reynolds
NUMERO DE REYNOLDS:
Re < 2000 Régimen Laminar
2000 < Re < 4000 Zona Crítica o de Transición
Re > 4000 Régimen Turbulento
Matemáticamente, el Re es un parámetro adimensional que expresa la relación entre las
fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad o de fricción en el interior de una corriente.
La velocidad media que marca un paso de un
régimen a otros se conoce como velocidad
crítica Vc

Definición de traslación, rotación y vibración
Traslación: las posiciones de todas las partículas del
cuerpo se desplazan una misma cantidad.
Vibración: oscilación en torno a una
posición de equilibrio
Rotación: el movimiento de cambio de orientación de
un sólido extenso de forma que, dado un punto
cualquiera del mismo, este permanece a una
distancia constante de un punto fijo.

Partícula en un movimiento de rotación.
Posición angular o posición de rotación
Supongamos una partícula que gira sobre sí misma.
La manera más fácil de describir su posición en ese movimiento de
rotación es describiendo su orientación con respecto a alguna dirección
de referencia fija.
Podemos utilizar un ángulo, medido a partir de una dirección de referencia, como
una medida de la posición de rotación o posición angular.

Partícula en un movimiento de rotación. Posición angular o posición de
rotación
Supongamos un objeto plano que gira alrededor de un eje
fijo perpendicular al objeto y que pasa por un punto O.
Hay una estrecha relación entre el movimiento de rotación
del objeto y el movimiento de una partícula a lo largo de una
trayectoria circular.
Todas las partículas del objeto describen un movimiento
circular alrededor de O.
La partícula indicada por el punto negro se encuentra a una
distancia fija r del origen y gira alrededor de O describiendo
un círculo de radio r.

Partícula en un movimiento de rotación. Coordenadas polares
Resulta conveniente representar la posición de una
partícula mediantes sus coordenadas polares
A medida que un partícula del objeto se mueve a lo largo del
círculo de radio r desde el eje x positivo (q = 0) hasta el punto
P, se está moviendo a lo largo de un arco de longitud s, que
está relacionado con el ángulo q por la expresión
En este sistema de referencia, la única coordenada de una
determinada partícula que cambia con el tiempo es q,
permaneciendo r constante
Se elige como centro del sistema de coordenadas polares
un punto que coinida con el centro de las trayectorias
circulares de las partículas

Partícula con movimiento circular: definición de radián
Un radián representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un
arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.
Grados 0° 30° 45° 60° 90°
180
°
270°
360
°
Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
Equivalencia entre grados y radianes

Partícula con movimiento circular: definición de velocidades angulares
Mientras la partícula se mueve desde A hasta B en un
tiempo , el vector correspondiente al radio
barre el ángulo que equivale al
desplazamiento angular durante ese intervalo de tiempo

Vector velocidad angular
Vector velocidad angular
Módulo: celeridad angular
Dirección: perpendicular al plano del movimiento
Sentido: tornillo a derechas
Como
Podemos escribir
Derivando el vector velocidad, obtenemos la aceleración

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante
En el caso de movimiento de rotación alrededor de un eje fijo, el movimiento
acelerado más simple es el movimiento bajo aceleración angular constante
Y además
Podemos integrar esta expresión directamente para calcular la velocidad angular final

Cinemática de rotación: cuerpo rígido con aceleración angular constante
Integrando una vez más obtenemos el ángulo en función del tiempo
Si eliminamos el tiempo de
Y eliminando la aceleración angular

Cinemática de rotación:cuerpo rígido con aceleración angular constante
Las expresiones cinemáticas para el movimiento de rotación bajo aceleración
angular constante tienen la misma forma matemática que las del movimiento de
traslación bajo aceleración de traslación constante, sustituyendo

Relaciones entre las magnitudes de rotación y traslación
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo
se mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro
Una partícula de un cuerpo rígido en rotación se
mueve en un círculo de radio r alrededor del eje z
Dado que la partícula se mueve en una trayectoria
circular, su vector velocidad es siempre
perpendicular a la trayectoria
(a menudo se denomina velocidad tangencial)
El módulo de la velocidad tangencial viene dado por
Donde s es la distancia recorrida por la partícula a lo
largo de la trayectoria circular
El módulo de la velocidad tangencial de la partícula
es igual a la distancia de la partícula al eje de giro
multiplicada por la velocidad angular de la partícula

Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula del cuerpo se
mueve alrededor de un círculo cuyo centro es el eje de giro
Una partícula de un cuerpo rígido en rotación se
mueve en un círculo de radio r alrededor del eje z
El módulo de la velocidad tangencial de la partícula
es igual a la distancia de la partícula al eje de giro
multiplicada por la velocidad angular de la partícula
Aunque cada punto del sólido rígido tenga la misma velocidad
angular, no todos los puntos tienen la misma velocidad
tangencial, puesto que r cambia de punto a punto.
La velocidad tangencial de un punto en un objeto que rota
aumenta según nos separamos del eje de giro

Podemos establecer una relación entre la aceleración angular de la partícula y su
aceleración tangencial , cuya componente es tangente a la trayectoria del movimiento
La componente tangencial de la aceleración de traslación de una
partícula que experimenta un movimiento circular es igual a la
distancia de la partícula al eje de giro multiplicada por la
aceleración angular
Módulo de la aceleración de traslación totalAceleración de traslación total
Pero la aceleración de traslación también tiene una componente centrípeta

Energía cinética rotacional
Supongamos que podemos considerar el objeto
como un conjunto de partículas que rotan
alrededor del eje z con una celeridad angular
Cada una de esas partículas tiene una energía
cinética caracterizada por su masa y el módulo
de su velocidad tangencial
Aunque todas las partículas tengan la misma celeridad
angular, las celeridades tangenciales individuales
dependerán de su distancia al eje de rotación
La energía cinética total del sólido rígido vendrá dada por la suma de las energías
cinéticas de todas las partículas que lo componen

Momento de inercia
El momento de inercia se define como
Tiene por dimensiones ML2, siendo sus unidades en el SI (kg  m2)

La energía cinética rotacional toma el valor
La energía cinética rotacional no es una nueva forma de
energía.
Simplemente se trata de energía cinética ordinaria (se ha
calculado como la suma de la energía cinética de las
partículas contenidas en el sólido rígido).
Sin embargo, la nueva expresión matemática es más
conveniente cuando tratamos con rotaciones (siempre
que sepamos como calcular el momento de inercia)
Ahora, en el lado correspondiente al almacenamiento, dentro de la ecuación de conservación de
la energía, deberemos ahora considerar que el término de la energía cinética es la suma de los
cambios tanto en la energía cinética de traslación como de rotación.

La energía cinética total de un cuerpo que rota es la suma de la energía cinética de
rotación y la energía cinética traslacional del centro de masas
Si las fuerzas que actúan sobre un sistema son
conservativas, la energía mecánica del sistema se
conserva (es una constante)

Analogía entre la energía cinética asociada con las rotaciones y la
energía cinética asociada con movimiento lineal
La energía cinética rotacionalLa energía cinética de traslación
El papel de … … lo juega
Esto va a ocurrir cada vez que comparemos una ecuación del movimiento
lineal con su correspondiente análogo en el movimiento rotacional
El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a cambiar su
estado de movimiento rotacional

Analogías y diferencias entre masa y momento de inercia
Momento de inerciaMasa
Es una medida de la resistencia de un objeto
a cambiar su estado de movimiento
rotacional
Es una medida de la resistencia de un objeto
a cambiar su estado de movimiento lineal
Analogías
Diferencias
Es una propiedad intrínseca del objeto
(asumiendo velocidades no relativistas)
Depende de la elección del eje de rotación
(no hay un valor único del momento de inercia
de un objeto).
No sólo depende de la masa, sino de cómo
está distribuida la masa alrededor del eje de
giro.
Es un escalar Es un tensor

Cálculo del momento de inercia en un sistema discreto
Sistema discreto
Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa
despreciable que está situado sobre el plano xy.
Si la rotación se produce alrededor del eje y con celeridad angular w, calcular:
- el momento de inercia Iy con respecto al eje y
- la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje.
Las dos esferas de masa m que están situadas en el
eje y no contribuyen a Iy
Las dos esferas de masa m no se mueven alrededor
del eje y y, por tanto, no tienen energía cinética

Cálculo del momento de inercia en un sistema discreto
Sistema discreto
Ejemplo: cuatro pequeñas esferas están unidas a las cuatro esquinas de un marco de masa
despreciable que está situado sobre el plano xy.
Si la rotación se produce alrededor del eje z con celeridad angular w, calcular:
- el momento de inercia Iz con respecto al eje z
- la energía cinética de rotación con respecto a dicho eje.
Dado que ri representa la distancia perpendicular al eje de giro
El momento de inercia y la energía cinética de rotación asociada a
una celeridad angular determinada cambia con respecto al eje de
giro

Cálculos de momentos de inercia
Sistema discreto
Sistema continuo
Placa plana

Cálculo del momento de inercia en un sistema continuo
En el caso de un objeto continuo:
1. Se divide el objeto en muchos elementos infinitesimales de masa
2. Aproximamos el momento de inercia del sólido continuo a partir de la expresión para un
sistema discreto
donde es el cuadrado de la distancia entre el elemento de masa finita y el eje de giro
3. Tomamos el límite de la suma cuando . En este caso, la suma se
convierte en una integral.
4. Generalmente es más fácil calcular momentos de inercia en términos de volumen de
los elementos, más que en sus masas. Podemos hacer la transformación ya que
Si el sistema es homogéneo r es contante y la
integral se puede evaluar para una geometría dada.

Teorema de Steiner: demostración
Supongamos que un objeto rota en el plano xy alrededor del eje z.
Supongamos además que las coordenadas del centro de masas son e
Tomemos un elemento de masa situado en las coordenadas
La distancia desde este elemento al eje de rotación (eje z) es
Y el momento de inercia con respecto al eje z vale

Teorema de Steiner: demostración
Tomemos un elemento de masa situado en las coordenadas
Si ahora escogemos un sistema de coordenadas con origen en el centro de masas del
objeto, las nuevas coordenadas del elemento de masa serán

Definición de momento angular o cinético
Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición
y que se mueve con una cantidad de movimiento
El momento angular instantáneo de la partícula relativo al origen O se define como el
producto vectorial de su vector posición instantáneo y del momento lineal instantáneo

Definición de momento angular o cinético
Consideremos una partícula de masa m, con un vector de posición
y que se mueve con una cantidad de movimiento
Unidades SI: kg • m2/s
Dirección: perpendicular al plano formado por y
Sentido: regla de la mano derecha
Módulo:
Tanto el módulo, la dirección como
el sentido del momento angular
dependen del origen que se elija

Momento angular o cinético: Casos particulares
cuando es paralelo a . Es decir, cuando la partícula se mueve a lo largo de una línea
recta que pasa por el origen tiene un momento angular nulo con respecto a ese origen
máxima cuando es perpendicular a . En ese momento la partícula se mueve
exactamente igual que si estuviera en el borde de una rueda que gira alrededor del origen
en el plano definido por y (movimiento circular).
Módulo
Dirección y sentido

Conservación del momento angular
En general, si sobre la partícula actuase más de una fuerza
Ecuación análoga para las rotaciones de las segunda ley de Newton para las traslaciones
Esta ecuación es válida:
- sólo si los momentos de todas las fuerzas involucradas y el momento angular se
miden con respecto al mismo origen.
-válida para cualquier origen fijo en un sistema de referencia inercial.

Si
Esto se verifica si:
La fuerza se anula (caso, por ejemplo, de la partícula libre)
La fuerza es paralela a la posición (fuerzas centrales)
(ley de Gravitación Universal)

Momento angular total de un sistema de partículas
El momento angular total de un sistema de partículas con respecto a un determinado
punto se define como la suma vectorial de los momento angulares de las partículas
individuales con respecto a ese punto.
En un sistema continuo habría que reemplazar la suma por una integral

Momento angular total de un sistema de partículas
A priori, para cada partícula i tendríamos que calcular el torque asociado con:
- fuerzas internas entre las partículas que componen el sistema
- fuerzas externas
Sin embargo, debido al principio de acción y reacción, el torque neto debido a
las fuerzas internas se anula.
Se puede concluir que el momento angular total de un sistema de partículas
puede variar con el tiempo si y sólo si existe un torque neto debido a las
fuerzas externas que actúan sobre el sistema

Momento angular de una partícula en un movimiento circular
Supongamos una partícula que se mueve en el plano xy en un movimiento circular de radio r.
Hallar la magnitud y dirección de su momento angular con respecto al origen O si su velocidad
lineal e
Como el momento lineal de la partícula está en
constante cambio (en dirección, no en
magnitud), podríamos pensar que el momento
angular de la partícula también cambia de
manera contínua con el tiempo
Sin embargo este no es el caso
Magnitud
Dirección
Perpendicular al plano de la pantalla y saliendo
hacia fuera (regla de la mano derecha)
Una partícula en un movimiento circular uniforme
tiene un momento angular constante con respecto a
un eje que pase por el centro de la trayectoria

Ecuación del movimiento para la rotación de un sólido rígido
Supongamos que el eje de rotación del sólido coincide con uno de sus ejes principales,
de modo que el momento angular tiene la misma dirección que la velocidad angular
Derivando esta expresión con respecto al tiempo
Si asumimos que el momento de inercia no cambia con el tiempo

El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en
módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula
Tercera ley de conservación: en un sistema aislado se conserva:
- energía total
- el momento lineal
- el momento angular
El principio de conservación del momento angular es un resultado general que se puede
aplicar a cualquier sistema aislado.
El momento angular de un sistema aislado se conserva tanto si el sistema es un cuerpo
rígido como si no lo es.

El momento angular total de un sistema es contante, tanto en dirección como en
módulo si el torque resultante debido a las fuerzas externas se anula
Para un sistema aislado consistente en un conjunto de partículas, la ley de
conservación se escribe como

Si la masa de un sistema aislado que rota sufre un redistribución, el momento
de inercia cambia
Como la magnitud del momento angular del sistema es
La ley de conservación del momento angular requiere que el
producto de I por w permanezca constante
Es decir, para un sistema aislado, un cambio en I requiere un cambio en w
Esta expresión es válida para:
- una rotación en torno a un eje fijo.
- una rotación alrededor de un eje que pase por el centro de masas de un sistema que rota.
Lo único que se requiere es que el torque neto de la fuerza externa se anule

ECUACIÓN DE EULER
CONSIDERACIONES:
 EL FLUJO TIENE ESTRUCTURA DE CHORRO, COMPUESTO POR UNA GRAN
CANTIDAD DE TUBOS DE CORRIENTE QUE REPRODUCEN LA GEOMETRÍA DE
LOS ÁLABES
 EL FLUJO TIENE SIMETRÍA AXIAL, TODOS LOS TUBOS DE CORRIENTE SON
ABSOLUTAMENTE IDÉNTICOS GEOMÉTRICA Y CINEMÁTICAMENTE
 EL FLUJO ES PLANO, NO HAY GRADIENTE DE VELOCIDAD A LO LARGO DEL
EJE PARALELO AL EJE GEOMÉTRICO DE LA MÁQUINA
alicia.bacag@gmail.com

ECUACIÓN DE EULER:
PRIMERA FORMA:
PUNTO DE PARTIDA
APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DEL MOMENTO DE LA CANTIDAD DE
MOVIMIENTO A LA MASA DENTRO DEL CANAL: EL IMPULSO DE LAS FUERZAS
EXTERIORES QUE ACTÚAN SOBRE LA MASA ES IGUAL A LA VARIACIÓN DEL
MOMENTO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
 1122 lQClQCMt rr 

ECUACIÓN DE EULER:
PASOS:
1. SUSTITUIR EL VALOR DE L, POR EL RADIO CONSTRUCTIVO, R
2. DEL TRIÁNGULO DE VELOCIDADES SUSTITUIR C POR CU
222
111
cos
cos


Rl
Rl


222
111
cos
cos


CC
CC
u
u



ECUACIÓN DE EULER
3. SUSTITUIR EL MOMENTO POR LA POTENCIA
4. UTILIZAR EL CONCEPTO DE TRABAJO Y SU RELACIÓN CON LA CARGA Y LA
POTENCIA
w  tt MN
  ttt QgHQLN rr

ECUACIÓN DE EULER:
 
g
CuuCuu
Ht 1122 

 1122 CuuCuuPt  r
CONSIDERANDO EL NÚMERO FINITO DE ÁLABES
 HtHt  : COEFICIENTE DE
CORRECCIÓN
ECUACIONES DE EULER

ECUACIÓN DE EULER PRIMERA FORMA:
EXPRESIÓN ENERGÉTICA
+ MÁQUINAS MOTORAS
- MÁQUINAS GENERADORAS
UNIDADES S.I.: m2/s2
EXPRESIÓN EN ALTURA
UNIDADES S.I.: m

ECUACIÓN DE EULER SEGUNDA FORMA:
EXPRESIÓN ENERGÉTICA
+ MÁQUINAS MOTORAS
- MÁQUINAS GENERADORAS
UNIDADES S.I.: m2/s2
EXPRESIÓN EN ALTURA
UNIDADES S.I.: m

ECUACIÓN DE EULER EN SU SEGUNDA FORMA:

GRADO DE REACCIÓN
EL GRADO DE REACCIÓN EN UNA TURBO MÁQUINA SE REFIERE AL MODO COMO
TRABAJA EL RODETE
Hp: ALTURA DE PRESIÓN DEL RODETE
Hu: ALTURA TOTAL DEL RODETE (ALTURA DE EULER), SIENDO Hu SIEMPRE
POSITIVO

GRADO DE REACCIÓN

GRADO DE REACCIÓN
 MÁQUINAS CON GRADO DE REACCIÓN IGUAL A CERO, SON MÁQUINAS DE
ACCIÓN
 TODAS LAS BOMBAS SON DE REACCIÓN
 LAS TURBINAS HIDRÁULICAS SON DE ACCIÓN Y REACCIÓN

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