Introducción:Los objetivos de Desarrollo Sostenible
Manual de Álgebra: Fundamentos y Aplicaciones
1. ING. JOSÉ SANTOS CALVILLO DANIEL
MANUAL DE ÁLGEBRA: FUNDAMENTOS Y
APLICACIONES.
NUEVA ROSITA, COAH. OCTUBRE 2022
2. 1. Nomenclatura.
2. Operaciones fundamentales.
3. Productos Notables.
4. Factorización.
5. Operaciones fundamentales con fracciones.
6. Fracciones algebraicas.
7. Potenciación.
8. Radicación: propiedades, modificación, semejanza y operaciones.
9. Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
13. Aplicaciones del álgebra.
14. Binomio de Newton.
15. Triángulo de Pascal.
16. División sintética (Regla de Ruffini).
17. Teorema del residuo y del factor.
18. Teorema fundamental del álgebra.
19. Fracciones parciales.
Contenido.
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
3. - Expresión algebraica. Combinación de números, literales y signos de operación.
- Término algebraico. También llamado monomio, consta de símbolos y literales.
- Términos semejantes. Términos que solo difieren en su coeficiente.
- Polinomio. Expresión con más de un término.
- Coeficiente. Indica las veces que se toma una cantidad.
- Grado de un polinomio. Se indica por el término que tenga mayor grado.
- Símbolos de agrupación. Paréntesis ordinario, de corchete, llaves y barra.
Reglas generales para suprimir símbolos de agrupación:
1) Símbolos precedidos de signo (+) se eliminan y deja el mismo signo;
precedidos del signo (−), se eliminan cambiando sus signos.
2) Para suprimir símbolos se procede del centro hacia afuera. Ejemplo:
−𝟐 −𝟑𝒂 − 𝒃 + −𝒂 + 𝟐𝒂 − 𝒃 − −𝒂 + 𝒃 + 𝟑𝒃 + 𝟒𝒂
= −2 −3𝑎 − 𝑏 − 𝑎 + 2𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 𝑏 + 3𝑏 + 4𝑎
= −2 −3𝑎 − 𝑏 + 𝑎 − 2𝑎 + 𝑏 − 𝑎 + 𝑏 − 3𝑏 + 4𝑎
= −2 −𝑎 − 2𝑏 = 𝟐𝒂 + 𝟒𝒃
1. Nomenclatura.
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
4. 2. Operaciones fundamentales.
1) Adición. Operación de reunir dos o más expresiones algebraicas en una sola
(suma). Tiene la propiedad de ser conmutativa y asociativa. Ejemplo:
𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 – 𝒄 + 𝟑𝒂 + 𝟐𝒃 + 𝒄= (3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐) + (2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐) = 𝟓𝒂 + 𝟓𝒃
2) Sustracción. Para restar solo se cambian los signos a la cantidad que se va a
sustraer y se efectúa la suma algebraica. Ejemplo:
(𝟒𝒙– 𝟑𝒚 + 𝒛)– (𝟓𝒛 + 𝟐𝒙– 𝟔) = 4𝑥– 3𝑦 + 𝑧– 5𝑧– 2𝑥 + 6 = 𝟐𝒙– 𝟑𝒚– 𝟒𝒛 + 𝟔
3) Multiplicación. Operación para encontrar el producto dados sus factores.
asociativa (se pueden agrupar términos), conmutativa (no importa el orden);
y es distributiva (distribución de productos).
En la multiplicación se aplican las leyes de los signos y de los exponentes:
Ley de los signos. Al multiplicar signos iguales dan (+) y contrarios (− )
Ley de los exponentes. Exponentes con igual base se suman. 𝒂𝒎
∙ 𝒂𝒏
= 𝒂𝒎+𝒏
Ejemplo (𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑎𝑐𝑥2 + 𝑎𝑑𝒙 + 𝑏𝑐𝒙 + 𝑏𝑑 (distributiva); se suman
términos semejantes de término común 𝒂𝒄𝒙𝟐 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 𝒙 + 𝒃𝒅 (asociativa).
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Ejemplos. Efectuar las siguientes multiplicaciones, aplicando la propiedad
distributiva y las leyes de los signos y los exponentes.
(1). −𝟑𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟐
− 𝟒𝒙 − 𝟓 = −𝟔𝒙𝟓
+ 𝟏𝟐𝒙𝟒
+ 𝟏𝟓𝒙𝟑
.
(2). 𝟕𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 + 𝟒 = 14𝑥2
+ 28𝑥 − 6𝑥 − 12 = 14𝑥2
+ (𝟐𝟖𝒙 − 𝟔𝒙) − 12
= 𝟏𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 (Se reducen términos semejantes)
4) División. Operación para encontrar el cociente, dados el dividendo y divisor.
Ley de los signos. Al dividir, signos iguales dan (+) y signos diferentes dan (–)
Ley de los exponentes. Exponentes de una misma base se restan.
𝒂𝒎
𝒂𝒏 = 𝒂𝒎 −𝒏
Ejemplos. Realizar las divisiones aplicando leyes de signos y exponentes:
(1).
− 𝟐𝒙𝟓
𝟐𝒙𝟐= −1𝑥5 −2
= −𝒙𝟑
. Se resta exponente del denominador del numerador
(2).
𝟐𝒙𝟑
𝟐𝒙𝟑 =1𝑥3 −3
= 1𝑥0
= 𝟏. Toda cantidad elevada a la cero es: 𝒂𝟎
= 𝟏
(3).
𝒙𝟑
𝒙𝟒 = 1𝑥−1
=
𝟏
𝒙
. Toda cantidad elevada a exponente negativo 𝒂−𝒏
=
𝟏
𝒂𝒏
2. Operaciones fundamentales.
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Para dividir dos polinomios, la manera más común es hacerla de forma
tradicional, aplicando las leyes de los signos y de los exponentes.
Ejemplo. Dividir
𝟑𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏𝟎
𝒙+𝟐
𝟑𝒙 − 𝟒 (Cociente).
(Divisor) 𝑥 + 2 3𝑥2
+ 2𝑥 − 10 (Dividendo).
− 3𝑥2
(−) 6𝑥 (Se cambian signos al restar).
−4𝑥 − 10
+ 4𝑥 + 8 (Se cambian signos al restar).
− 𝟐 (Residuo).
Por el algoritmo de la división: 𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎 = (𝟑𝒙 − 𝟒)(𝒙 + 𝟐) + − 𝟐
Otra forma es:
3𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟏𝟎
𝒙+𝟐
= (𝟑𝒙 − 𝟒) +
−𝟐
𝒙+𝟐
2. Operaciones fundamentales.
12. 4 Factorización.
4) Trinomio cuadrado perfecto. T.C.P. 𝒂𝟐 ± 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐. Provienen de 𝒂 ± 𝒃 𝟐
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios, analizando si son T.C.P
(1). 𝟒𝒂𝟐
+ 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
4𝑎2 ± 9𝑏2. Tienen raíz cuadrada exacta.
(2𝑎 +3𝑏). Signo (+) por ser signo intermedio.
12𝑎𝑏 =2 2𝑎 3𝑏 es el doble del primero por el segundo, es s un T.C.P.
Por lo tanto: 𝟒𝒂𝟐
+ 𝟏𝟐𝒂𝒃 + 𝟗𝒃𝟐
= 𝟐𝒂 + 𝟑𝒃 𝟐
(2). 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗
4𝑥2 ± 9 : Tienen raíz cuadrada exacta.
(2𝑥 − 3). Signo (−) por ser signo intermedio.
−12𝑥 = 2 2x −3 , es el doble del primero por el segundo, es un T.C.P.
Luego: 𝟒𝒙𝟐
− 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 = 𝟐𝒙 − 𝟑 𝟐
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13. 4 Factorización.
5) Trinomios forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄. Provienen de binomios con término común
𝒙𝟐
+ 𝒂 + 𝒃 𝒙 + 𝒂𝒃 = 𝒙 + 𝒂 𝒙 + 𝒃 . Ejemplos: Factorizar:
(1). 𝒙𝟐
+ 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 = (𝒙 + 𝟒)(𝒙 + 𝟑)
(4 + 3)𝑥 = 𝟕𝒙; (4)(3) = 12
(2). 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐𝟎 = (𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟒)
−5 + 4 𝑥 = −𝒙; (−5)(4) = −𝟐𝟎
(3). 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟏𝟓 = 𝒙 − 𝟓 𝒙 − 𝟑
−5 − 3 𝑥 = −𝟖𝒙; −5 −3 = + 15
(4). 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝟎 = (𝒙 + 𝟓)(𝒙 − 𝟒)
Nota. Si el signo del tercer término es (+), surge de dos signos iguales al del
segundo término (Ver ejemplos 1 y 3); si es (−), proviene de dos signos
contrarios, empezando por el del segundo término (Ver ejemplos 2 y 4).
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22. 8. Radicación.
Radicales.
1) Propiedades de la radicación.
a. Potencia enésima de una raíz enésima. (𝑛
𝑎)𝑛 = 𝑎.
b. Raíz enésima de un producto.
𝑛
𝑎𝑏 = 𝑛
𝑎 ∙
𝑛
𝑏
c. Raíz enésima de un cociente.
𝑛 𝑎
𝑏
=
𝑛
𝑎
𝑛
𝑏
d. Raíz enésima de una potencia emécima.
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑛
𝑎 𝑚
e. Raíz enésima de una raíz emécima.
𝑛 𝑚
𝑎 = 𝑛𝑚
𝑎
2) Modificación de un radical.
a. Sacando fuera de la raíz las potencias enésimas del subradical. Ejemplo:
𝟑
𝟑𝟐 =
3
8 ∙ 4 =
3
8 ∙
3
4 = 𝟐
𝟑
𝟒
b. Reduciendo el índice del radical. Ejemplo:
𝟒
𝟔𝟒 =
4
26 = 2
6
4 = 2
3
2 = 23 = 8 = 4 ∙ 2 = 2 𝟐
c. Racionalizando el denominador en el subradical. Ejemplo:
-
𝟏
𝟐
=
1
2
=
1
2
=
1
2
2
2
=
𝟐
𝟐
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23. 8. Radicación.
3) Radical binomio en numerador o denominador. Se usa el conjugado.
Ejemplo.
𝟓
𝟑+ 𝟐
=
5( 𝟑− 𝟐)
( 3+ 2)( 𝟑− 𝟐)
=
5 3−5 2
3
2
− 2
2 =
5 3−5 2
𝟏
= 𝟓 𝟑 − 𝟓 𝟐
4) Semejanza de radicales. Igual índice y subradical, sin importar coeficiente.
Ejemplo. 𝟖 ≃ 𝟑𝟐, porque 8 = 2 2 y 32 = 4 2. Luego 2 𝟐 ≃ 4 𝟐
5) Operaciones con radicales.
a. Suma y resta. Se reducen y suman algebraicamente radicales semejantes.
Ejemplo. 𝟖 + 𝟐𝟕 – 𝟓𝟎 + 𝟒𝟖 = 4 ∙ 2 + 9 ∙ 3 − 25 ∙ 2 + 16 ∙ 3
= 2 2 + 3 3 − 5 2 + 4 3 = 𝟕 𝟑 − 𝟑 𝟐
b. Multiplicación de radicales. Se tienen dos casos:
- Mismo índice. Se aplica la propiedad 𝒏
𝒂 ∙
𝒏
𝒃 =
𝒏
𝒂 ∙ 𝒃. Ejemplo:
𝟑
𝟏𝟔 ∙
𝟑
𝟒 =
3
16 ∙ 4 =
3
64 = 4
- Distinto índice. Conviene utilizar exponentes fraccionarios. Ejemplos:
(1).
𝟑
𝟒 ∙ 𝟐 =
3
22 ∙ 2 = 2
2
3 ∙ 2
1
2 = 2
7
6 =
6
27 =
6
26 ∙ 2 = 2
𝟔
𝟐
(2).
𝟑
𝟓 ∙ 𝟐 = 5
1
3 ∙ 2
1
2 = 5
2
6 ∙ 2
3
6 =
6
52 ∙ 23 =
6
25 ∙ 8 =
𝟔
𝟐𝟎𝟎
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24. 8. Radicación.
c. División de radicales. Se tienen dos casos:
- Mismo índice. Se aplica la propiedad
𝒏
𝒂
𝒏
𝒃
=
𝒂
𝒃
. Ejemplos:
(1).
𝟑
𝟏𝟔
𝟑
𝟐
=
3 16
2
=
3
8 = 2
(2).
𝟏𝟎 𝟔
𝟓 𝟐
= 2
6
2
= 𝟐 𝟑
(3).
𝟏
𝒙𝟓/𝟒𝒃𝟐𝒄𝟐
𝒙𝒃𝟏/𝟐𝒄𝟓/𝟒
=
1
𝑥1/4𝑏3/2𝑐3/4
1
=
1
𝑥1/4𝑏6/4𝑐3/4
1
=
1
4
𝑥𝑏6𝑐3
=
1
4
𝑥𝑏6𝑐3
3
(
4
𝑥𝑏6𝑐3)(
4
𝑥𝑏6𝑐3)3
=
4
𝑥𝑏6𝑐3
3
𝒙𝒃𝟔𝒄𝟑
* En la división, exponentes de una misma base se restan.
- Distinto índice. Conviene usar exponentes fraccionarios. Ejemplos:
(1).
𝟔
𝟒
𝟐
=
6
1
2
2
1
4
=
6
2
4
2
1
4
=
4 62
2
=
4 36
2
=
𝟒
𝟏𝟖
(2).
𝟑
𝟒
𝟐
=
2
2
3
2
1
2
=
2
4
6
2
3
6
= 2
1
6 =
𝟔
𝟐
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26. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
1) Sistema 2x2. Puede ser resuelto por cualquiera de los siguientes métodos:
a. Método de reducción (suma y resta).
Ejemplo (1). Resolver el siguiente sistema:
(1)
(2)
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
1º. Multiplicar Ec. ( 1) por 2: 18𝑥 + 22𝑦 = −28 (3)
Multiplicar Ec. (2) por −3: −18𝑥 + 15𝑦 = 102 (4)
37𝑦 = 74; 𝒚 = 𝟐
2º. Sustituir y = 2 en (1): 9𝑥 + 11(2) = −14; 9𝑥 = −36; 𝒙 = −𝟒
b. Método de sustitución. Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
1º. Despejar 𝑥 de Ec. (1) y sustituir en Ec. (2): 𝑥 =
−14−11𝑦
9
(3)
6
−14−11𝑦
9
− 5y = −34;
−84−66𝑦
9
− 5y = −34 (4)
2º. Multiplicar Ec. (4) por 9: −84 − 66𝑦 − 45𝑦 = −306; −111𝑦 = −222; 𝒚 = 𝟐
3º. Sustituir y = 2 en (1): 9𝑥 + 11(2) = −14; 9𝑥 = −36; 𝒙 = −𝟒
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27. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
c. Método de Igualación. Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
1º. Despejar 𝑥 de Ec. (1) y Ec. (2) e igualarlas: 𝑥 =
−14−11𝑦
9
(3); 𝑥 =
−34+5𝑦
6
(4)
−14−11𝑦
9
=
−34+5𝑦
6
; −84 − 66𝑦 = −306 + 45𝑦; −111𝑦 = −222; 𝒚 = 𝟐
2º. Sustituir y = 2 en (1): 9𝑥 + 11(2) = −14; 9𝑥 = −36; 𝒙 = −𝟒
d. Método por determinantes. Regla de Cramer. Fórmulas a utilizar:
𝒙 =
∆𝒙
∆
=
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑥"
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
; y=
∆𝒚
∆
=
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜 "𝑦"
𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
Resolver por éste método el mismo ejemplo (1)
(1)
(2)
9𝑥 + 11𝑦 = −14
6𝑥 − 5𝑦 = −34
∆ =
9 11
6 −5
= (9)(−5) − (6)(11)= −𝟏𝟏𝟏. Se resta segundo producto cruzado.
∆𝒙 =
−14 11
−34 −5
= (−14)(−5) − (−34)(11)= 444. (Se intercambian los de 𝑥).
∆𝒚 =
9 −14
6 −34
= (9)(−34) − (6)(−14)= −𝟐𝟐𝟐. (Se intercambian los de 𝑦).
𝒙 =
∆𝒙
∆
=
444
−111
= −𝟒; y =
∆𝒚
∆
=
−222
−111
= 𝟐
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28. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
e. Método Gráfico. Se resuelve para x, y en punto intersección P(x, y) de rectas.
Resolver el mismo sistema del ejemplo (1).
Ec. 1. 9x+11y= – 14
Ec. 2. 6x – 5y = – 34
P(-4, 2)
Los resultados coinciden con la solución gráfica en el punto de intersección
P( - 4, 2 ) de las líneas.
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29. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
2) Sistema 3x3. Ejemplo (1). Resolver analítico y gráfico
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
a. Método de reducción. Se reducen por parejas de 2 en 2:
1º. Se multiplica (1) por 2 y se suma con la segunda ecuación
2)(2x – y + 2z = 6) = 4x – 2y + 4z = 12
x + 2y – 3z = – 4 → 1 + 2y − 3(3)= – 4 ; y = 2
5x + z = 8 (4)
2º. Se multiplica (1) por (– 1) y se suma con (3) y eliminar misma variable.
– 1 )(2x – y + 2z = 6) = – 2x + y – 2z = – 6
3x – y – 4z = – 11
x – 6z = – 17 (5) → 1 – 6 z = – 17 ; z = 3
3º. Se hacen simultáneas (4) y (5), multiplicando (4) por 6
6)(5x + z = 8) = 30x + 6z = 48
x – 6z = – 17
31x = 31; x = 1
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30. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
b. Método de sustitución. Resolver el ejemplo (1):
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
1º. Despejar “x” en (1) sustituir en (2): 𝒙 =
𝒚−𝟐𝒛+𝟔
𝟐
(4).
2º. Sustituir (4) en (2):
𝑦−2𝑧+6
2
+ 2y – 3z = −4; y – 2z +6 + 4y – 6z = – 8;
= 𝟓𝒚 − 𝟖𝒛 = −14 (5)
3º. Sustituir (4) en (3): 3
𝑦−2𝑧+6
2
– y – 4z =– 11; 3y – 6z + 18 = 2y + 8z – 22;
= 𝑦 – 14𝑧 = −40; 𝒚 = 𝟏𝟒𝒛 − 𝟒𝟎 (6)
4º. Sustituir en (5): 5 14𝑧 − 40 – 8𝑧 = −14;
70𝑧 − 200 − 8𝑧 = −14; z = 3
5º. Sustituir z = 3 en (5): 5𝑦 – 8 3 = −14; 5𝑦 − 24 = −14; y = 2
6º. Sustituir valores obtenidos en (2): x + 2(2) – 3(3) = – 4; luego 𝒙 = 𝟏
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31. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
c. Método de igualación. Resolver ejemplo (1):
(1)
(2)
(3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
1º. Despejar “x” en (1), (2) y (3):
𝑥 =
𝑦−2𝑧+6
2
(4); 𝑥 = −2𝑦 + 3𝑧 − 4 (5); 𝑥 =
𝑦+4𝑧−11
3
(6)
2º. Igualar (4) y (5):
𝑦−2𝑧+6
2
= −2𝑦 + 3𝑧 − 4; 𝑦 − 2𝑧 + 6 = −4𝑦 + 6𝑧 − 8;
5𝑦 = 8𝑧 − 14; 𝑦 =
8𝑧−14
5
(7)
3º. Igualar (4) y (6):
𝑦−2𝑧+6
2
=
𝑦+4𝑧−11
3
; 3𝑦 − 6𝑧 + 18 = 2𝑦 + 8𝑧 − 22;
𝑦 = 14𝑧 − 40 (8)
4º. Igualar en (7) y (8):
8𝑧−14
5
= 14𝑧 − 40; 8𝑧 − 14 = 70𝑧 − 200; 62z = 186
z = 3
5º. Sustituyendo z = 3 en (8): y = 14(3) −40 ; y = 2
6º. Sustituyendo valores de “z” y de “y” en (2): x + 2(2) – 3(3) = −4, x = 1
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32. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
d. Método por determinantes. Resolver mismo ejemplo (1) anterior:
Se repiten abajo las dos primeras filas de coeficientes determinantes del sistema.
Se restan productos en diagonal de abajo para arriba, de los de arriba para abajo.
∆=
𝟐 −1 2
𝟏 𝟐 −3
𝟑 −𝟏 −𝟒
2 −𝟏 2
1 2 − 𝟑
=−𝟑𝟏. Se restan productos abajo de arriba.
= 2 2 −4 + 1 −1 2 + (3)(−1)(−3)
− 1 −1 −4 + 2 −1 −3 + 3 2 2 = −9 − 22 = −𝟑𝟏
Se repiten abajo las dos primeras filas de coeficientes cambiando la “x”.
Se restan productos en diagonal de abajo para arriba, de los de arriba para abajo.
∆𝒙 =
𝟔 −1 2
−𝟒 𝟐 −3
−𝟏𝟏 −𝟏 −𝟒
6 −𝟏 𝟐
−4 2 −𝟑
= −𝟑𝟏. 𝒙=
∆𝒙
∆
=
−𝟑𝟏
−𝟑𝟏
= 1
= 6 2 −4 + −4 −1 2 + (−11)(−1)(−3)
− −4 −1 −4 + 6 −1 −3 + (−11)(2)(2) = −73 + 42 = −𝟑
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33. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
Se repiten abajo las dos primeras filas del determinante cambiando la “y”.
Se restan productos en diagonal de abajo para arriba, de los de arriba para abajo.
∆𝒚 =
2 6 2
1 −4 −3
3 −11 −4
2 6 2
1 −4 −3
= − 𝟔𝟐; 𝒚 =
−𝟔𝟐
−𝟑𝟏
=
−𝟔𝟐
−𝟑𝟏
= 2
= 2 −4 −4 + 1 −11 2 + (3)(6)(−3)
− 1 6 −4 + 2 −11 −3 + (3)(−4)(2) = −44 − 18 = − 𝟔𝟐
Se repiten a la derecha dos primeras columnas determinante cambiando la “z”.
Se restan productos en diagonal de abajo para arriba, de los de arriba para abajo.
∆𝒛 =
2
1
3
−1
2
−1
6
−4
−11
2
1
3
−1
2
−1
= −𝟗𝟑; 𝒛 =
∆𝒛
∆
=
−𝟗𝟑
−𝟑𝟏
= 3
= 2 2 −11 + −1 −4 3 + (6)(1)(−1)
− 3 2 6 + −1 −4 2 + (−11)(1)(−1) = −38 − 55 = −𝟗𝟑
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34. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
e. Método Gráfico. Se resuelve para x, y, z en la intersección espacial P(x, y, z) de
las ecuaciones dadas. Resolver mismo ejemplo (1)
(𝑒𝑐1)
(𝑒𝑐2)
(𝑒𝑐3)
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −4
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11
𝒆𝒄𝟏 𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟔; (𝐞𝐜𝟐) 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = −𝟒; (𝐞𝐜𝟑) 𝟑𝒙 − 𝒚 − 𝟒𝒛 = −𝟏𝟏
Conjunto Solución: P(1, 2, 3) * Elaborada con GeoGebra
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P
z
35. 11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
Ecuación cuadrática. Es una igualdad formada al sustituir la “y” de la función
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 por cero: 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Se tienen 3 tipos:
• Incompletas puras: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎; se resuelven por despeje.
• incompletas mixtas: 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 = 𝟎; se resuelven por factorización.
• Completas: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Se resuelven por factorización, completando
el T.C.P o, aplicando la formula general: 𝒙 =
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
Ejemplos: Resolver cada ecuación, usando despeje o factorización en su caso:
(1) 𝟐𝒙𝟐
= 𝟓𝟎; 𝑥2
=
50
2
= 25; 𝑥 = ± 25; 𝒙𝟏 = 𝟓; 𝒙𝟐 = −𝟓
(2) 𝒙𝟐
= 𝟑𝒙; 𝑥2
− 3𝑥 = 0; 𝑥 𝑥 − 3 = 0; 𝒙𝟏 = 𝟎; 𝒙𝟐 = 𝟑
(3) 𝒚 = 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎; 𝑥2
− 3𝑥 − 10 = 0. Factorizando: 𝑥 − 5 𝑥 + 2 = 0
Igualando a cero cada factor: 𝒙𝟏 = 𝟓; 𝒙𝟐 = −𝟐
(4) 𝒙 = 𝟗𝒙 + 𝟐𝟐; 𝑥2 = 9𝑥 + 22; 𝑥2 − 9𝑥 − 22 = 𝑥 − 11 𝑥 + 2 =0
𝒙𝟏 = 𝟏𝟏; 𝒙𝟐 = −𝟐
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
36. 11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
Ejemplo (5). Hallar las raíces de la ecuación 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, completando T.C.P
1º. Dividir la ecuación entre 𝑎 despejando “c”:
𝑎𝑥2+𝑏𝑥
𝑎
=
−𝑐
𝑎
; 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 =
−𝑐
𝑎
2º. Completar el TCP agregando tercer término al cuadrado de 𝑥2
+
𝑏
𝑎
𝑥 en
ambos lados, entendiendo que, si
𝒃
𝒂
es el doble, su mitad es:
𝒃
𝒂
÷ 2 =
𝒃
𝟐𝒂
:
𝑥2+
𝑏
𝑎
𝑥 +
𝒃
𝟐𝒂
2
=
−𝑐
𝑎
+
𝒃
𝟐𝒂
2
→ 𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
=
𝑏2
4𝑎2 +
−𝑐
𝑎
=
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2 .
3º. Sacando raíz en ambos miembros: 𝑥 +
𝑏
2𝑎
=
± 𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
; 𝒙 =
−𝒃± 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
4º. Raíces de la ecuación: 𝒙𝟏 =
−𝒃+ 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
; 𝒙𝟐 =
−𝒃− 𝒃𝟐−𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
a. Si el Discriminante 𝑏2
−4𝑎𝑐 < 0. (Negativo). Solución imaginaria.
b. Si el Discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0. (Positivo). Soluciones reales y diferentes.
c. Si el Discriminante 𝑏2
− 4𝑎𝑐 = 0. Soluciones reales iguales.
Ejemplo (6). Resolver 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟏 = 𝟎 usando la formula general:
En este caso 𝑎=3, b= − 4 y c = 1; y, sustituir en las raíces de la forma general
𝒙𝟏 =
−(−4)+ (−4)2−4(3)(1)
2(3)
= 1; 𝒙𝟐 =
− −4 − (−4)2−4(3)(1)
2(3)
=
2
6
=
𝟏
𝟑
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37. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Sistemas de ecuaciones cuadráticas. Existen, por lo menos, 3 tipos de sistemas de
ecuaciones que involucran ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas:
1) Una ecuación lineal y una cuadrática.
Ejemplo (1). Resolver el sistema:
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓
𝒙 + 𝒚 = 𝟕
Aplicando método de sustitución:
1º Se despeja 𝑥 de (2): 𝑥 = −𝑦 + 7, luego se sustituye en (1):
(−𝑦 + 7)2+𝑦2 = 25; 𝑦2 − 14𝑦 + 49 + 𝑦2= 25; 2𝑦2 − 14𝑦 + 49 − 25=0:
Luego 2𝑦2
− 14𝑦 + 24 = 0; simplificando: 𝑦2
− 7𝑦 + 12 = 0
2º. Factorizando: 𝑦2 − 7𝑦 + 12 = 𝑦 − 4 𝑦 − 3 = 0; 𝑦1 = 4; 𝑦2 = 3
3º. Sustituyendo 𝑦1 = 4 en (1): 𝑥 + (4) = 7; 𝑥1 = 3. 𝑃1 = (3, 4)
𝑦2 = 3 en (1): 𝑥 + (3) = 7; 𝑥2 = 4. 𝑃2 = (4, 3)
Las 2 soluciones son: 𝑷𝟏 = (𝟑, 𝟒) y 𝑷𝟐 = (𝟒, 𝟑)
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38. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (1)
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝟓 = 𝑪𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝒙 + 𝒚 = 𝟕 = 𝑹𝒆𝒄𝒕𝒂
Se trata de encontrar puntos de intersección entre la recta y la circunferencia.
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución: los puntos de intersección entre la recta secante a la elipse:
𝑷𝟏 = (𝟑, 𝟒) y 𝑷𝟐 = (𝟒, 𝟑)
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39. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
2) Dos ecuaciones de forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒚𝟐
= 𝒄
Ejemplo (1):
(𝟏)
(𝟐)
𝟐𝒙𝟐
− 𝒚𝟐
= 𝟕
𝟑𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟏𝟒
Aplicando método de reducción (Suma y resta)
1º. Se multiplica (1) por 2 y suma (2):
2) 2𝑥2
− 𝑦2
= 7 = 4𝑥2
− 2𝑦2
= 14
3𝑥2
+ 2𝑦2
= 14
7𝑥2
= 28; 𝑥2
= 4; 𝑥 = ±2
2º. Para 𝒙𝟏 = 𝟐, sustituyendo en (2): 3(2)2 + 2𝑦2 = 14; 2𝑦2 = 2; y= ± 𝟏
3º. Para 𝒙𝟐 = −𝟐, sustituyendo en (2): 3(−2)2 + 2𝑦2 = 14; 2𝑦2 = 2; y= ± 𝟏
Las 4 soluciones son: (𝟐, 𝟏), (𝟐, −𝟏); (−𝟐, 𝟏), (−𝟐, −𝟏)
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40. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (1):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝟐𝒙𝟐 − 𝒚𝟐 = 𝟕 = 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐𝒚𝟐
= 𝟏𝟒 = 𝑬𝒍𝒊𝒑𝒔𝒆
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución: puntos de intersección entre la elipse y la hipérbola:
𝑷𝟏 𝟐, 𝟏 ; 𝑷𝟐(𝟐, −𝟏); 𝑷𝟑(−𝟐, 𝟏), 𝑷𝟒(−𝟐, −𝟏)
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41. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
3) Dos ecuaciones de forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙𝒚 + 𝒄𝒚𝟐
= 𝒅. Existen 2 métodos
Ejemplo (1) Resolver el sistema:
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐
+ 𝒙𝒚 = 𝟔
𝒙𝟐 + 𝟓𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟏𝟎
Método 1. Eliminar términos independientes.
1º. Multiplicar (1) por 5 y (2) por − 3 y sumarlas algebraicamente:
5𝑥2 + 5𝑥𝑦 = 30 (3)
−3𝑥2 − 15𝑥𝑦 + 12𝑦2= − 30 (4)
2𝑥2 − 10𝑥𝑦 + 12𝑦2 = 0; simplificando: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐 = 𝟎 (5)
2º. Factorizando 𝑥2
− 5𝑥𝑦 + 6𝑦2
= 𝑥 − 3𝑦 𝑥 − 2𝑦 = 0; 𝒙𝟏 = 𝟑𝒚; 𝒙𝟐 = 𝟐𝒚
3º. Para 𝑥1 = 3𝑦, sustituir en (1): 3𝑦 2+(3y)y=6; 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
→ 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
4º. Para 𝑥2 = 2𝑦, sustituir en (1): 2𝑦 2
+(2y)y=6; 𝒚𝟐= ± 𝟏 → 𝒙𝟐 = ± 𝟐
Las 4 soluciones son: 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ± 𝟏
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42. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Método 2. Haciendo 𝒚 = 𝒎𝒙 en ambas ecuaciones del ejemplo anterior:
1º. De (1) 𝑥2 + 𝑚𝑥2= 6 (3). Factorizando: 𝑥2(𝑚+1)= 6; luego 𝒙𝟐 =
𝟔
𝟏+𝒎
(5)
De (2) 𝑥2 + 5𝑚𝑥2 − 4𝑚2𝑥2 = 10 (4). Factorizando 𝑥2 1 + 5𝑚 − 4𝑚2 = 10
Despejando: 𝒙𝟐
=
10
1+5𝑚−4𝑚2 (6)
2º. Igualando (5) y (6):
𝟔
𝟏+𝒎
=
10
1+5𝑚−4𝑚2; 6 + 30𝑚 − 24𝑚2= 10 + 10𝑚;
reduciendo: 24𝑚2 − 20𝑚 + 4 = 0; simplificando: 6𝑚2 − 5𝑚 + 1 = 0 (7)
3º Factorizando (7): 6𝑚2
− 5𝑚 + 1 = 3𝑚 − 1 2𝑚 − 1 = 0; 𝒎𝟏 =
𝟏
𝟑
; 𝒎𝟐 =
𝟏
𝟐
4º. Como 𝑦 = 𝑚𝑥, si 𝒎𝟏 =
𝟏
𝟑
, entonces 𝒚𝟏 =
𝒙
𝟑
; y, para 𝒎𝟐 =
𝟏
𝟐
, 𝒚𝟐 =
𝒙
𝟐
De aquí procede el Método 1
Sustituyendo valores 𝑚1 en (3);
4𝑥2
3
= 6, luego 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
; 𝒚𝟏 = ±
𝟐
𝟐
Sustituyendo valores 𝑚2 en (3);
3𝑥2
2
= 6, luego 𝒙𝟐= ±𝟐; 𝒚𝟏 = ±𝟏
Las 4 soluciones son: 𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ± 𝟏
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43. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (1):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 = 𝟔 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐
= 𝟏𝟎 𝑯𝒊𝒑é𝒓𝒃𝒐𝒍𝒂
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución: puntos de intersección entre las hipérbolas equiláteras
𝒙𝟏 = ±
𝟑 𝟐
𝟐
, 𝒚𝟏= ±
𝟐
𝟐
; 𝒙𝟐 = ±𝟐, 𝒚𝟐= ±𝟏
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44. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
4) Otro tipo de sistemas de ecuaciones cuadráticas y métodos de resolución.
Ejemplo (1). Resolver:
(1)
(2)
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗
Aplicando método de suma y resta (reducción):
1º. Hacemos simultaneas (1) y (2)
𝒙𝟐+𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
−(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗)
𝑥 + 𝑦 = 5 (3); despejando: 𝒚 = 𝟓 − 𝒙 (4)
2º. Sustituir 𝑦 = 5 − 𝑥 en (1): 𝑥2 + (5 − 𝑥)2+2𝑥 − (5 − 𝑥) = 14:
𝑥2
+ 25 − 10𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥 − 5 + 𝑥 = 14; 𝟐𝒙𝟐
− 𝟕𝒙 + 𝟔=0 (5)
3º. Factorizando: 2𝑥2 − 7𝑥 + 6 = 2𝑥 − 3 𝑥 − 2 =0, luego 𝒙𝟏 =
𝟑
𝟐
, 𝒙𝟐 = 𝟐
4º. Para 𝒙𝟏 =
𝟑
𝟐
, sustituyendo en (4), 𝑦 = 5 −
𝟑
𝟐
; 𝒚𝟏=
𝟕
𝟐
Para 𝒙𝟐 = 𝟐, sustituyendo en (4), 𝑦 = 5 −2; 𝒚𝟐 = 𝟑
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45. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (1):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝒚 = 𝟏𝟒
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
+ 𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝟗
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución: puntos de intersección entre las circunferencias:
𝑷𝟏
𝟑
𝟐
,
𝟕
𝟐
; 𝑷𝟐(𝟐, 𝟑)
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47. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (2):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟑 + 𝒚𝟑 = 𝟑𝟓
𝒙 + 𝒚 = 𝟓
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución, puntos de intersección entre la cúbica y la lineal:
𝑷𝟏(𝟑, 2); 𝑷𝟐(𝟐, 3)
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48. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Ejemplo (3). Resolver:
(𝟏)
(𝟐)
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟑
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
= 𝟏𝟓
Aplicando método usando ecuaciones equivalentes (y la factorización).
1º. Dividir:
𝒙𝟐+𝟑𝒙𝒚+𝟐𝒚𝟐= 𝟑
𝒙𝟐+𝟓𝒙𝒚+𝟔𝒚𝟐=𝟏𝟓
=
𝑥+2𝑦 𝑥+𝑦 =3
𝑥+3𝑦 𝑥+2𝑦 =15
=
(𝑥+𝑦)
(𝑥+3𝑦)
=
1
5
;
2º. Multiplicar cruzado y simplificar: 5𝑥 + 5𝑦 = 𝑥 + 3𝑦; 4𝑥 + 2𝑦 = 0
y, simplificando: 2𝑥 + 𝑦 = 0; 𝒚 = −𝟐𝒙
3º. Sustituir y reducir: y = −𝟐𝒙 en (1): 𝑥2
+ 3𝑥 −2𝑥 + 2(−2𝑥)2
= 3
y, reduciendo: 3𝑥2
= 3; 𝑥2
= 1; 𝒙 = ±𝟏
4º. Para 𝑥1 = 1, 𝑦 = −2𝑥, 𝑦1 = −2; para 𝑥2 = −1, 𝑦 = −2𝑥, 𝑦2 = 2
Las 2 soluciones son: 𝒙𝟏 = 𝟏, 𝒚𝟏 = −𝟐; 𝒙𝟐 = −𝟏, 𝒚𝟐 = 𝟐
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49. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
Aplicando método gráfico, ejemplo (3):
(𝒆𝒄𝟏)
(𝒆𝒄𝟐)
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐 = 𝟑
𝒙𝟐
+ 𝟓𝒙𝒚 + 𝟔𝒚𝟐
= 𝟏𝟓
(Elaborada con GeoGebra)
Conjunto solución, puntos de intersección entre hipérbolas
𝑷𝟏(𝟏, −𝟐; 𝑷𝟐(−𝟏, 𝟐)
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50. 13. Aplicaciones del álgebra.
Aplicaciones del álgebra. Son problemas de razonamiento, en los que hay que
pasar del lenguaje verbal al matemático. Ejemplos:
(1). Hallar dos números cuya suma sea 28 y su diferencia 12:
Planteamiento:
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 − 𝑦 = 12
; Procedimiento:
𝑥 + 𝑦 = 28
𝑥 − 𝑦 = 12
2𝑥 = 40; 𝒙=20
𝑦 = 28 − 20; 𝒚 = 𝟖
Resultado: 20 𝒚 𝟖
(2). La edad de una persona es 41 años y la de su hijo es 9. Hallar al cabo de
cuantos años la edad del padre triplica la del hijo.
Planteamiento: 41 + 𝑥 = 3(9 + 𝑥);
Procedimiento: 41 + 𝑥 = 27 + 3𝑥; 𝒙=7
Resultado: 7 años más.
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51. 13. Aplicaciones del álgebra.
(3). Si Carlos sabe que dentro de 2 años la edad de su amigo será la mitad del
cuadrado de la edad que tenía hace dos años, ¿Cuál es la edad de su amigo?
Datos: Planteamiento:
Edad actual amigo = x; 𝒙 + 𝟐 =
𝟏
𝟐
𝒙 − 𝟐 𝟐
Edad amigo hace 2 años: x – 2;
Edad amigo dentro de 2 años x + 2;
Procedimiento: 𝑥 + 2 =
𝑥2−4𝑥+4
2
; 2𝑥 + 4 = 𝑥2
− 4𝑥 + 4; 𝑥2
− 6𝑥= 𝒙 𝒙 − 𝟔 = 0
Resultado: Edad actual del amigo de Carlos = 6 años
(4). Hallar dos números sabiendo que si uno de ellos se suma con el doble del
otro se obtiene 21; y, que si éste último se suma con el doble del primero
resulta 18.
Datos: Planteamiento: Procedimiento:
Número 1 = x; 𝑥 + 2𝑦 = 21; −2(𝑥 + 2𝑦 = 21)
Número 2 = y; 2𝑥 + 𝑦 = 18; 2𝑥 + 𝑦 = 18 → 2𝑥 + 8 = 18; 𝒙 = 𝟓
−3𝑦 = −24; 𝒚 = 𝟖
Resultado: 𝒙 = 𝟓, 𝒚 = 𝟖
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
52. 13. Aplicaciones del álgebra.
(5). Hace 2 años un padre era 6 veces mayor que su hijo. Hallar sus edades
sabiendo que dentro de 18 años la edad del padre será el doble de la del hijo.
Datos: Planteamiento:
Edad actual del hijo: x; 6(x – 2) + 20 = 2(x + 18)
Edad del hijo hace 2 años: x – 2; 6x – 12 + 20 = 2x + 36
Edad del padre hace 2 años= 6(x – 2); 4x + 8 = 36
Edad del hijo dentro de 18 años: x + 18 4x = 28; x = 7 años
Resultado:
Edad actual del hijo = 7 años
Edad actual del padre = 6(x – 2) + 2 = 6(5) + 2 = 32 años
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
53. 14. Binomio de Newton.
Binomio de Newton. Método para hallar coeficientes de un binomio elevado a
cualquier exponente y puede expresarse de la siguiente manera práctica:
𝒂 + 𝒃 𝒏
=
𝟏
𝟎!
𝑎 𝑛
+
𝒏
𝟏!
(𝑎)𝑛−1
(𝑏)1
+
𝒏 𝒏−𝟏
𝟐!
(𝑎)𝑛−2
(𝑏)2
+
𝒏(𝒏−𝟏)(𝒏−𝟐)
𝟑!
(𝑎)𝑛−3
(𝑏)3
…
𝑛 = número de exponente; así, si 𝑛 =5, entonces:
(𝑛 − 1) = 4; 𝑛 𝑛 − 1 = 5(4); (𝑛 − 2) =3; 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) = 5(4)(3); etc.
0! = Cero factorial; 1!= 1 factorial; 2! = 2 factorial; 3! = 3 factorial, etc.
Por definición 0! = 1; 4! = 4(3)(2)(1) = 24
1!= 1(1) =1; 5! = 5(4)(3)(2)(1) = 120
2! = 2(1) = 2; …
3! = 3(2)(1) = 6; n! = 𝑛 𝑛 − 1 𝑛 − 2 𝑛 − 3 …
Ejemplo (1). Desarrollar 𝑥 + 2 4
aplicando el binomio de Newton:
𝒙 + 𝟐 𝟒
=
1
0!
𝑥 4
+
4
1!
(𝑥)3
(2)1
+
4 3
2!
(𝑥)2
(2)2
+
4(3)(2)
3!
(𝑥)1
(2)3
+
4(3)(2)(1)
4!
(𝑥)0
(2)4
=
1𝑥4
1
+
4 𝑥3(2)
1
+
12 𝑥2(4)
2
+
24 𝑥1(8)
6
+
24(1)(16)
24
= 𝒙𝟒 + 𝟖 𝒙𝟑+24𝒙𝟐+ 32𝒙 + 16
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
56. 16. División sintética (Regla de Ruffini).
División sintética. Al dividir, es común hacerlo entre un polinomio y un monomio
de la forma 𝑥 − 𝑎 que usa solo los coeficientes del polinomio. Ejemplos:
(1). Usando división sintética, dividir 𝟑𝒙𝟐 – 𝟕𝒙 + 𝟐 por 𝒙 – 𝟐. En este caso 𝑎 = 2
3 −𝟕 2 1º. Se ponen coeficientes del dividendo.
+ 6 −2 2 2º Se pone el divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏 0 3º. Bajar 3, multiplicar por divisor y sumar producto con – 7
repetir proceso hasta obtener cociente 𝒒 𝒙 y residuo r
𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏 (se reduce un grado al dividir); r = 0
4º. Por algoritmo de la división:
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥−2
= 𝟑𝒙 − 𝟏
(2). Usando división sintética, dividir 𝟑𝒙𝟐 – 𝟕𝒙 + 𝟐 por 𝒙 + 𝟐. Ahora 𝒂 = −𝟐
3 −𝟕 2 Dividendo: 3𝑥2
− 7𝑥 + 2
−6 + 26 −𝟐 Divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏𝟑 28 𝒒 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑, r = 28
Por algoritmo de la división:
𝟑𝒙𝟐−𝟕𝒙+𝟐
𝒙−𝟐
= (𝟑𝒙 − 𝟏) +
𝟐𝟖
𝒙+𝟐
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
57. 17. Teoremas del residuo y del factor.
1) Teorema del residuo. Si un polinomio f (x) se divide por un binomio de forma
(𝑥 − 𝑎), entonces 𝑞(𝑥) es el cociente y el residuo “r” es 𝑓(𝑎). Ejemplos:
(1). Hallar cociente y residuo: f x = 3𝑥2
– 7𝑥 + 2 entre 𝑥 – 2. (Divisor 𝑎 = 2)
3 −𝟕 2 𝒓 = 𝑓 2 = 3(2)2−7 2 + 2 = 12 – 14 + 2 = 0
+ 6 −2 2 Divisor 𝑎 = 2
3 −𝟏 0 𝐪 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏 (Se redujo un grado con respecto a f(x)
Por algoritmo de la división:
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥−2
= 3𝑥 − 1
(2). Hallar cociente 𝒒 𝒙 ,residuo r: f(x)=𝟑𝒙𝟐
– 𝟕𝒙 + 𝟐 entre 𝒙 + 𝟐. Así 𝑎 = −2
3 −𝟕 2 𝒓 = 𝒇(−𝟐) = 3(−2)2
−7 −2 + 2 = 12+14+2 = 28
−6 +26 −𝟐 Divisor 𝑎 = − 2
3 −𝟏𝟑 28 q 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟏𝟑
Por algoritmo de la división:
3𝑥2−7𝑥+2
𝑥+2
= (3𝑥 − 1) +
28
𝑥+2
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
58. 17. Teoremas del residuo y del factor.
2) Teorema del factor. Un polinomio f(x) tiene un factor (𝑥 − 𝑎) solo si 𝑓 𝑎 = 0
Ejemplos:
(1). Dividir f x = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 por 𝒙 – 𝟐. En este caso 𝒂 = 𝟐
1 2 −𝟖 𝒓 = 𝑓 2 =(2)2+2 2 − 8 = 8 – 8 =0 =𝑓 𝑎 = 𝑟 = 0
+2 + 8 2 Por lo tanto: (𝒙 – 𝟐) es un factor de 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙 − 𝟖
1 4 0 𝐪 𝒙 = 𝒙 + 𝟒
Por algoritmo de la división:
𝒙𝟐+𝟐𝒙−𝟖
𝒙−𝟐
= 𝒙 + 𝟒
Luego: 𝑥2 + 2𝑥 − 8 = 𝒙 − 𝟐 𝒙 + 𝟒 = Factores del producto.
(2). Prueba que (𝑥 − 2) es un factor de 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 + 2
𝒇 𝟐 = 𝟐 3 − 4(𝟐)2+ 3 (2) + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0 = 𝒇 𝒂 = 𝒓 = 𝟎
Por lo tanto (𝒙 − 𝟐) es un factor de 𝒙𝟑
− 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.
59. 18. Teorema fundamental del álgebra.
Teorema. Toda ecuación 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏
+ 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏
+ ⋯ + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟎 de grado
𝑛 ≥ 1, con coeficiente real o complejo (parte real, parte imaginario), debe tener
al menos una raíz real o compleja.
Cualquier raíz racional se forma por un factor positivo del último término entre
uno de los factores del coeficiente del primer término y sus multiplicidades.
Ejemplo (1). Encuentra las raíces posibles de 𝑓 𝑥 = 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥+3
2𝑥3 + 3𝑥2 − 8𝑥 + 3. Raíces (+):
𝟏
𝟏
,
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟏
,
𝟑
𝟐
; y, por multiplicidad: ±𝟏, ±
𝟏
𝟐
, ±𝟑, ±
𝟑
𝟐
1 1
2 3
Para las raíces (residuo cero) de 𝑓 𝑥 por división sintética, probar 𝑓 𝒂 = r = 0
Probando 𝒂 = 𝟏 en 𝒇(𝒙)𝟏: 𝑓 𝟏 =2(𝟏)𝟑
+3(𝟏)𝟐
−8(𝟏) + 3 = 2+3 – 8 + 3 = 0 = r.
2 3 – 8 3 𝐸𝑐. 1: 2𝑥3
+ 3𝑥2
− 8𝑥 + 3 = 0
+ 2 +5 – 3 1 Raíz 1: 𝒙 = 𝟏; Factor 1: 𝒙 − 𝟏 = 𝟎
2 5 – 3 0 𝑞1 𝑥 : 2𝑥2
+ 5𝑥 − 3; r = 0
𝑬𝒄. 𝟐: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟑 = 0 (se redujo un grado de la Ec.1)
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.