1. El documento presenta un programa de álgebra que incluye temas como nomenclatura, operaciones fundamentales, ecuaciones de primer y segundo grado, sistemas de ecuaciones, fracciones algebraicas, y aplicaciones del álgebra. 2. Se proveen actividades para practicar cada tema a través de ejercicios de resolución de ecuaciones, factorización, operaciones con fracciones y radicales, entre otros. 3. El ingeniero José Santos Calvillo presenta el programa en Nueva Rosita, Coahuila en octubre de 2022.

1. ING. JOSÉ SANTOS CALVILLO DANIEL
PROBLEMARIO DE ÁLGEBRA: FUNDAMENTOS Y
APLICACIONES.
NUEVA ROSITA, COAH. OCTUBRE 2022

2. 1. Nomenclatura.
2. Operaciones fundamentales.
3. Productos Notables.
4. Factorización.
5. Operaciones fundamentales con fracciones.
6. Fracciones algebraicas.
7. Potenciación.
8. Radicación: propiedades, modificación, semejanza y operaciones.
9. Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas.
11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
13. Aplicaciones del álgebra.
14. Binomio de Newton.
15. Triángulo de Pascal.
16. División sintética (Regla de Ruffini).
17. Teorema del residuo y del factor.
18. Teorema fundamental del álgebra.
19. Fracciones parciales.
Contenido.
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

3. ACTIVIDAD 1. Resolver lo que se pide.
(1). Determina el grado respecto a “x” e “y” como al término de mayor grado.
a. 5𝑥2𝑦2
b. 𝑥5
c. 2𝑎𝑥 + 5𝑦2 – 3𝑥2𝑦 + 𝑎3𝑥3
(2). Simplificar las siguientes expresiones eliminando signos de agrupación y
reduciendo términos semejantes.
a. −2 5 − 3𝑥𝑦 − 𝑧 + 𝑥𝑦 + 5𝑧 + 3 + 4𝑥𝑦
b. 2𝑥 − 4𝑥3
− 3𝑥2
− 5𝑦
c. 3𝑎 + −5𝑥 − −𝑎 + 9𝑥 − 𝑎 − 𝑥
1. Nomenclatura.
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

4. 2. Operaciones fundamentales.
𝐀𝐂𝐓𝐈𝐕𝐈𝐃𝐀𝐃 𝟐: 𝐄𝐟𝐞𝐜𝐭𝐮𝐚𝐫 𝐥𝐚𝐬 𝐨𝐩𝐞𝐫𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐢𝐧𝐝𝐢𝐜𝐚𝐝𝐚𝐬
a) (𝑥2
+ 𝑥 + 1) + (𝑥2
– 2𝑥 – 3)
b) (− 5𝑥2
− 7𝑥 + 9 ) + (− 10𝑥2
– 14𝑥 – 13)
c) 5𝑥4
+ 3𝑥3
– 5𝑥2
– 𝑥 + 3 + 2𝑥4
– 𝑥3
+ 7𝑥2
– 2𝑥 − 4
d) (− 5𝑥2
− 7𝑥 + 9 ) − (− 10𝑥2
– 14𝑥 – 13)
e) (4𝑥2
+ 𝑥 + 1) ÷ (2𝑥 – 3)
f) (𝑥2 + 𝑥 + 1) − (𝑥2 – 2𝑥 – 3)
g) 𝑥 − 4 𝑥 − 2
h) (𝑥 – 3)(𝑥2
+ 𝑥 + 1)
i) (𝑥3
+ 𝑥2
+ 𝑥 + 5) ÷ (𝑥 − 6)
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

5. 3. Productos notables.
ACTIVIDAD 3. Desarrollar binomios aplicando la regla correspondiente.
a) (𝑥 + 3) (𝑥 – 4)
b) (2𝑛 – 3) (3𝑛 + 1)
c) (𝑎 + 1) (𝑎 + 4)
d) (𝑥 + 5) (𝑥 – 2)
e) 𝑎 + 2 2
f) (𝑥 + 𝑎) (𝑥 – 𝑎)
g) 𝑥 + 7 2
h) 2𝑥 − 1 3
i) (7𝑥𝑦 + 1) (7𝑥𝑦 – 1)
j) (𝑎 + 8𝑏) (𝑎 – 7𝑏)
k) (5𝑥 – 7) (5𝑥 + 7)
l) (6𝑥 – 2) (6𝑥 – 4)
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6. 4 Factorización.
ACTIVIDAD 4: Factoriza usando la regla correspondiente:
a) 𝑥3
– 𝑥
b) 25𝑎4𝑏
2
– 30𝑎2𝑏𝑐3 + 9𝑐6
c) 15𝑥3 – 12 𝑥2 + 35𝑥 – 28
d) 10𝑎2
𝑏 – 15𝑎𝑏2
+ 5𝑎𝑏
e) 𝑥2
𝑦 + 𝑥𝑦2
+ 3𝑥 + 3𝑦
f) 𝑥3
+ 8
g) 81𝑎2
– 169
h) 𝑥2
– 2𝑥𝑦 + 𝑦2
i) 8𝑥3 – 1
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

7. 5. Operaciones fundamentales con fracciones.
ACTIVIDAD 5. Resuelve las siguientes fracciones, simplificando en caso necesario.
a.
3
11
+
7
11
b.
9𝑎𝑏
3𝑐
÷
3𝑎2𝑏
6𝑐
c.
5
8
−
3
5
d. 1 −
𝑥
1+
𝑥
1
𝑥−1
e. −
5
4
𝑥 −
4
6
𝑦
f.
𝑥3−𝑦3
𝑥−𝑦
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8. 6. Fracciones algebraicas.
ACTIVIDAD 6. Resuelve las fracciones algebraicas, simplificando el resultado:
1). Simplificar la siguiente expresión algebraica:
a.
𝑥2−4𝑥𝑦+3𝑦2
𝑥2−𝑦2
b.
14𝑥5𝑦−63𝑥4𝑦+28𝑥3𝑦
28𝑥2𝑦2−14𝑥𝑦2
2). Resolver las siguientes operaciones, simplificando el resultado.
a.
2
𝑥+4
+
1
𝑥−3
b.
2𝑥−3
𝑥2−3𝑥−4
−
6
𝑥2−2𝑥−8
c.
𝑥2−9
𝑥2−8𝑥+15
3𝑥2−13𝑥−10
𝑥2+5𝑥+6
d.
𝑥2+9𝑥+18
𝑥−5
÷
5𝑥+15
5𝑥−25
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9. 7. Potenciación.
Actividad 7. Resuelve lo siguiente.
a. 25
b. (– 2𝑥2𝑦3)3
c. 2−4
d. (2𝑥)−3
e. (−4𝑥)−2
f. −
1
2
3
g. 34
h. 4−3
i. 103 0
j.
3
1
2 ∙ 3
−
2
3
3
−
1
2 ∙ 3
1
3
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

10. 8. Radicación.
ACTIVIDAD 8. Resuelve lo siguiente:
1). Reducir las siguientes expresiones radicales a su forma más simple.
a. 18 ; b.
3
80 ; c.
6
81𝑎2
2). Racionalizar el denominador de las expresiones siguientes:
a.
2
3
b.
3
6
c.
1
5
3). Efectuar las operaciones con radicales indicadas.
a) 8 - 48 + 32 - 45 ; b) 2 7 3 5 ; c)
10 6
5 2
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11. 9. Ecuación lineal o de primer grado con una incógnita.
ACTIVIDAD 9. Resolver las ecuaciones de primer grado con una incógnita dadas:
a. 3𝑥 + 2 = 6𝑥 − 4
b. (𝑥 + 3) = 3(𝑥 – 1)
c.
𝑥−2
2
=
2𝑥+1
5
d.
4
𝑥−3
=
5
𝑥−2
e.
5
𝑥
+
5
2𝑥
f. 2𝑥
= 16
g. 2𝑥+2
= 16
h. 9 ∙ 27𝑥
= 27
i. 5 ∙
55𝑥
25𝑥 = 25
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

12. 10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos y tres incógnitas
ACTIVIDAD 10. Resolver por el método que consideres, los siguientes sistemas.
a.
(1)
(2)
5𝑥 + 2𝑦 = 3
2𝑥 + 3𝑦 = −1
b.
(1)
(2)
2𝑥 + 3𝑦 = 3
6𝑦 − 6𝑥 = 1
c.
(1)
(2)
2𝑥 − 𝑦 = 4
𝑥 + 2𝑦 = −3
d.
(1)
(2)
(3)
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 12
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 7;
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 6
e.
(1)
(2)
(3)
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −4
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

13. 11. Ecuación cuadrática o de segundo grado con una incógnita.
ACTIVIDAD 11. Resolver las ecuaciones, usando el método que más convenga.
a. x2 – 16 = 0
b. 4t2 – 9 = 0
c. x2 + 5x – 6 = 0
d. x2 + 3x = 28
e. 5x – 2x2 = 2
f.
2𝑥2−1
𝑥−3
= 𝑥 + 3 +
17
𝑥−3
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

14. 12. Sistemas de ecuaciones cuadráticas con dos incógnitas.
ACTIVIDAD 12. Resolver los sistemas siguientes:
1. Despejando una incógnita de la ecuación lineal y sustituyéndola en la ecuación
cuadrática.
a.
(1)
(2)
𝑥 + 2𝑦 = 4
𝑦2
– 𝑥𝑦 = 7
b.
(1)
(2)
3𝑥 − 1 + 2𝑦 = 0
3𝑥2 – 𝑦2 + 4 = 0
2, Por eliminación de términos independientes.
a.
(1)
(2)
5𝑥2
+ 4𝑦2
= 48
𝑥2
+ 2𝑥𝑦 = 16
3. Usando ecuaciones equivalentes.
a.
(1)
(2)
𝑥3 − 𝑦3 = 35
𝑥 − 𝑦 = 5
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

15. 13. Aplicaciones del álgebra.
Actividad 13. Resolver los siguientes problemas:
a. Hallar las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es igual a
110 cm y que su longitud es 5 cm más pequeña que el doble de su altura.
b. Hallar 2 números positivos sabiendo que uno de ellos es igual al triple del
otro más 5 y que el producto de ambos es 68.
c. El área de un cuadrado excede a la de un rectángulo en 3 cm2. .Hallar el lado
del cuadrado sabiendo que la anchura del rectángulo es 3 cm. más pequeña
que el lado del cuadrado, y que la altura de aquel es 4 cm. mayor que éste.
d. Cuando se aumentan 4 metros a cada lado de un área cuadrada, el área
aumenta 64 𝑚2
. ¿Cuáles son las dimensiones del área original?
e. Diego es dos años mayor que Sebastián y la suma de los cuadrados de ambas
edades es 340 años. Hallar ambas edades.
f. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Encontrar
los números.
g. Entre A y B tienen $ 1154 y B tiene $506 menos que A. ¿Cuánto tiene c/u?
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16. 14. Binomio de Newton.
ACTIVIDAD 14: Desarrollar los siguientes binomios usando el binomio de Newton:
a. 2𝑥 − 1 3
b. 𝑥 + 1 3
c. (𝑎 + 2)4
d. 𝑥 − 𝑦 5
e. 𝑥 − 𝑎 4
f. 𝑥 + 2 5
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

17. 15. Triángulo de Pascal.
ACTIVIDAD 15: Desarrollar los siguientes binomios usando el triángulo de Pascal.
a. 2𝑥 + 1 3
b. 𝑥 + 𝑦 5
c. (2𝑥 − 3𝑦4
𝑧2
)4
d. 𝑥 − 1 6
e. 𝑥 − 𝑎 4
f. 𝑥 + 2 5
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

18. 16. División sintética (Regla de Ruffini).
ACTIVIDAD 16: Por división sintética, hallar cociente y residuo de los polinomios.
a. (4x3 + 15x2 – 6x – 23) ÷ 𝑥 + 4
b. (y5 – 3y4 – 11 y3 + 3y2 + 10 y) ÷ (y + 1)
c. 𝑎3 − 125 ÷ 𝑎 − 5
d. 3𝑥3
− 4𝑥2
− 5𝑥 + 3 ÷ 𝑥 − 2
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

19. 17. Teoremas del residuo y del factor.
Actividad 17. Probar si los binomios dados son factor de cada polinomio:
a. (x + 8) de (x2+11x+24)
b. (x – 4) de (x2 + 3x – 28)
c. (x + 3) de (x2 – 6 x – 27)
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

20. 18. Teorema fundamental del álgebra.
Actividad 18. Encontrar las raíces reales, si existen, de los siguientes polinomios.
a. Hallar las tres raíces, si existen, de 2𝑥3
+ 5𝑥2
− 14𝑥 − 8 = 0
b. Hallar las tres raíces, si existen, de 𝑥3
+ 4𝑥2
+ 𝑥 − 6 = 0
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.

21. 19. Fracciones parciales
ACTIVIDAD 19. Descomponer en fracciones parciales, de acuerdo a cada caso.
a.
7𝑥+3
𝑥2+3𝑥−4
b.
𝑥2+2𝑥+3
𝑥+1 3
c.
2𝑥+1
𝑥3+𝑥
d.
𝑥
𝑥4+9𝑥2+20
e.
𝑥3
𝑥2+2 2
f.
3𝑥2+2
𝑥4+8𝑥2+16
Ing. José Santos Calvillo, Octubre 2022.