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2. Tema: NÚMEROS COMPLEJOS
ÁLGEBRA

3. Objetivos:
Manejar a los números complejos en
sus diversas formas.
Operar adecuadamente los números
complejos y las propiedades que esta
tiene.
Resolver problemas tipo examen de
admisión que involucren a los número
complejos

4. 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶
El nombre de Cardano es conocido por los
médicos, por loa matemáticos y por los
mecánicos. Cardano perfeccionó las brújulas
marinas de su tiempo y hoy en día, la energía del
motor del automóvil se trasmite a las ruedas por
el sistema de Cardano
Cardano publica su famoso libro Ars Magna,
donde presenta la fórmula general para
encontrar las soluciones de la ecuación cúbica y
las cuales muchas de ellas implican sacar la raíz
cuadrada de números negativos.

5. UNIDAD IMAGINARIA
𝑖𝑖 = −1
Se denota por Euler como “𝑖𝑖” y se define:
Donde: 𝑖𝑖2
= −1
POTENCIAS ENTERAS DE 𝑖𝑖
Se definen: 𝑖𝑖0
= 1 𝑖𝑖1
= 𝑖𝑖
𝒊𝒊𝟐𝟐
= −𝟏𝟏
𝒊𝒊𝟏𝟏
= 𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟑𝟑
= −𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟒𝟒
= 𝟏𝟏
𝒊𝒊𝟔𝟔
= −𝟏𝟏
𝒊𝒊𝟓𝟓
= 𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟕𝟕
= −𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟖𝟖
= 𝟏𝟏
𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏
= −𝟏𝟏
𝒊𝒊𝟗𝟗
= 𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏
= −𝒊𝒊
𝒊𝒊𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝟏𝟏
Donde:
PROPIEDADES
Sean 𝑘𝑘, 𝑛𝑛 ∈ ℤ, se cumple:
𝒊𝒊𝟒𝟒𝟒𝟒
= 𝒊𝒊
̇
𝟒𝟒
= 𝟏𝟏
1
• 𝑖𝑖40
= 𝑖𝑖4(10) = 𝑖𝑖 ̇
4
= 1
• 𝑖𝑖5616
= 𝑖𝑖16
= 𝑖𝑖 ̇
4
= 1
• 𝑖𝑖−32
= 𝑖𝑖 ̇
4
= 1
Ejemplos
Cada 4 potencias se repite
ℝ
𝕀𝕀
1
× 𝑖𝑖
𝑖𝑖
× 𝑖𝑖
−1
× 𝑖𝑖
−𝑖𝑖
× 𝑖𝑖

6. = 𝑖𝑖44+2
= 𝑖𝑖24+1
𝒊𝒊𝟒𝟒𝟒𝟒+𝒏𝒏
= 𝒊𝒊𝒏𝒏
2
• 𝑖𝑖25 = 𝑖𝑖
= 𝑖𝑖1
• 𝑖𝑖1746 = −1
= 𝑖𝑖2
Ejemplos
̇
4
= 𝑖𝑖46
̇
4
= 𝑖𝑖−16+1
= 𝑖𝑖28+3
• 𝑖𝑖78931
= −𝑖𝑖
= 𝑖𝑖3
• 𝑖𝑖−15 = 𝑖𝑖
= 𝑖𝑖1
𝒊𝒊 + 𝒊𝒊𝟐𝟐
+ 𝒊𝒊𝟑𝟑
+ ⋯ + 𝒊𝒊
̇
𝟒𝟒
= 𝟎𝟎
3
= 𝑖𝑖31
̇
4
̇
4
• 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
+ 𝑖𝑖3
+ ⋯ + 𝑖𝑖16
= 0
• 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
+ 𝑖𝑖3
+ ⋯ + 𝑖𝑖100
= 0
• 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
+ 𝑖𝑖3
+ ⋯ + 𝑖𝑖42
=
= 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖2
+ 𝑖𝑖3
+ ⋯ + 𝑖𝑖40
+ 𝑖𝑖41
+ 𝑖𝑖42
0
= 𝑖𝑖1
+ 𝑖𝑖2
= 𝑖𝑖 − 1
Ejemplos

7. DEFINICIÓN DE UN NÚMERO COMPLEJO
Un número complejo 𝑧𝑧 es un par ordenado de
número reales
𝑧𝑧 = (𝑎𝑎; 𝑏𝑏) 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ
FORMA BINÓMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎; 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1
Parte real
𝑅𝑅𝑅𝑅(𝑧𝑧)
Parte imaginaria
𝐼𝐼𝐼𝐼(𝑧𝑧)
Ejemplos
• 𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖 • 𝑤𝑤 = 2 − 3𝑖𝑖
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑧𝑧 = 3
𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑧𝑧 = 4
𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑤𝑤 = 2
𝐼𝐼𝐼𝐼 𝑤𝑤 = −3
DEFINICIONES
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
Conjugado
̅
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖
Opuesto
𝑧𝑧∗
= −𝑎𝑎 − 𝑏𝑏𝑖𝑖
Módulo
𝑧𝑧 = 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2
𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1
𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖
̅
𝑧𝑧 = 3 − 4𝑖𝑖
𝑧𝑧∗
= −3 − 4𝑖𝑖
𝑧𝑧 = 32 + 42
= 5
2 − 𝑖𝑖
2 + 𝑖𝑖
−2 + 𝑖𝑖
22 + (−1)2
= 5

8. IGUALDAD DE DOS NÚMEROS COMPLEJOS
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 = 𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑛𝑛 ↔ 𝑎𝑎 = 𝑚𝑚 ∧ 𝑏𝑏 = 𝑛𝑛
𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛 ∈ ℝ; 𝑖𝑖 = −1
OPERACIONES
Adición
3 + 7𝑖𝑖
2 − 4𝑖𝑖
+
5 + 3𝑖𝑖
Sustracción
5 + 8𝑖𝑖
2 − 4𝑖𝑖
−
3 + 12𝑖𝑖
Multiplicación
4 + 3𝑖𝑖 2 − 3𝑖𝑖
= 8 −12𝑖𝑖 +6𝑖𝑖−9𝑖𝑖2
= 17 − 6𝑖𝑖
División
(1 + 2𝑖𝑖)
(3 + 𝑖𝑖)
(3 − 𝑖𝑖)
(3 − 𝑖𝑖)
=
1
2
+
𝑖𝑖
2
𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 𝟒𝟒
= −𝟒𝟒
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝟐𝟐
= 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏 − 𝒊𝒊 𝟐𝟐
= −𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟏𝟏 − 𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊
= −𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊
𝟏𝟏 − 𝒊𝒊
= 𝒊𝒊
𝟏𝟏 + 𝒊𝒊 𝟒𝟒
= −𝟒𝟒
RESULTADOS
NOTABLES

9. PROPIEDADES DEL CONJUGADO
• �
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛
• 𝒛𝒛 + �
𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝐑𝐑𝐑𝐑 𝒛𝒛
• 𝒛𝒛 + 𝒘𝒘 = �
𝒛𝒛 + �
𝒘𝒘
• 𝒛𝒛 − 𝒘𝒘 = �
𝒛𝒛 − �
𝒘𝒘
• 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = �
𝒛𝒛. �
𝒘𝒘
•
𝒛𝒛
𝒘𝒘
=
�
𝒛𝒛
�
𝒘𝒘
• 𝒛𝒛𝒏𝒏 = �
𝒛𝒛𝒏𝒏
• 𝒏𝒏
𝒛𝒛 =
𝒏𝒏
�
𝒛𝒛
• 𝒛𝒛 − �
𝒛𝒛 = 𝟐𝟐𝐈𝐈𝐈𝐈 𝒛𝒛 𝒊𝒊
Ejemplos
• 𝑧𝑧 + (1 + 4𝑖𝑖) = ̅
𝑧𝑧 + 1 − 4𝑖𝑖
• 𝑧𝑧 × (1 + 𝑖𝑖) = ̅
𝑧𝑧 × (1 − 𝑖𝑖)
• 2 + 4𝑖𝑖 3 = 2 − 4𝑖𝑖 3
• 4 + 7𝑖𝑖 = 4 + 7𝑖𝑖 = 4 − 7𝑖𝑖

10. INTERPRETACIÓN GRÁFICA DEL MÓDULO DE
UN NÚMERO COMPLEJO
Sea el complejo 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, su módulo es
graficamente, la distancia del polo al afijo
Ejemplos
• 𝑧𝑧 = 1 + 3𝑖𝑖 𝑧𝑧 = 3
2
+ −1 2
= 2
+ 3
2
12
PROPIEDADES DEL MÓDULO
𝟏𝟏) 𝒛𝒛 ≥ 𝟎𝟎 ∀𝒛𝒛 ∈ ℂ
𝟐𝟐) 𝒛𝒛 = �
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛∗
𝟑𝟑) 𝒛𝒛 𝟐𝟐
= 𝒛𝒛. �
𝒛𝒛
𝟒𝟒) 𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = 𝒛𝒛 𝒘𝒘
𝟓𝟓)
𝒛𝒛
𝒘𝒘
=
𝒛𝒛
𝒘𝒘
𝟔𝟔) 𝒛𝒛𝒏𝒏
= 𝒛𝒛 𝒏𝒏
𝟕𝟕) 𝒏𝒏
𝒛𝒛 =
𝒏𝒏
𝒛𝒛
𝑧𝑧 = 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 =
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦
Re
Im
• 𝑧𝑧 = 3 + 4𝑖𝑖 𝑧𝑧 = 3
2
+ −1 2
= 5
+ 42
32
Ejemplos
• 3 + 4𝑖𝑖 = 3 − 4𝑖𝑖 = −3 − 4𝑖𝑖 = 5
• (1 + 3𝑖𝑖)(1 − 3𝑖𝑖) = 1 + 3𝑖𝑖
2
= 22
• (1 + 𝑖𝑖)(3 + 4𝑖𝑖)= 1 + 𝑖𝑖 3 + 4𝑖𝑖 = 2 × 5

11. FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN COMPLEJO
Sea 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 ∈ ℂ
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐼𝐼𝐼𝐼
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑧𝑧 = (𝑎𝑎; 𝑏𝑏)
= 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝜃𝜃
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝜽𝜽
𝒃𝒃 = 𝑧𝑧 sen𝜃𝜃
𝒂𝒂 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃
Como 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 cos𝜃𝜃+ 𝑧𝑧 sen𝜃𝜃. 𝑖𝑖
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽
𝜃𝜃 ∶ Argumento de 𝑧𝑧 (𝐀𝐀𝐀𝐀𝐠𝐠 𝒛𝒛 ) 𝟎𝟎 ≤ 𝜽𝜽 < 𝟐𝟐𝟐𝟐
Observación
𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 + 𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽 = 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽 = 𝒆𝒆𝜽𝜽𝜽𝜽
Forma cis
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 𝜽𝜽
Forma exponencial
𝒛𝒛 = 𝒛𝒛 𝒆𝒆𝜽𝜽𝜽𝜽
Ejemplos
1) 𝒛𝒛 = 𝟓𝟓 + 𝟓𝟓𝒊𝒊
Exprese en las otras formas los siguientes números:
𝑅𝑅𝑅𝑅
𝐼𝐼𝐼𝐼
5
5
𝑧𝑧= 5 + 5𝑖𝑖
𝟒𝟒𝟒𝟒°=
𝝅𝝅
𝟒𝟒
5
5
𝑧𝑧 =5 2�cos
𝜋𝜋
4
�
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
4
𝑧𝑧 = cis
𝜋𝜋
4
5 2
𝑒𝑒
𝜋𝜋
4
𝑖𝑖
𝑧𝑧 =5 2
Forma polar o
trigonométrica

12. 2) 𝑤𝑤 = −2 + 2 3𝑖𝑖
𝑹𝑹𝑹𝑹
𝑰𝑰𝑰𝑰
−𝟐𝟐
𝟐𝟐 𝟑𝟑
𝒘𝒘
2
𝒘𝒘
2 3
60°
= 4
120°
=
2𝜋𝜋
3
𝑧𝑧 =4�cos
2𝜋𝜋
3
�
+ 𝑖𝑖sen
2𝜋𝜋
3
𝑧𝑧 = cis
2𝜋𝜋
3
4
𝑒𝑒
2𝜋𝜋
3
𝑖𝑖
𝑧𝑧 =4
Complejos Notables
𝟏𝟏 =
−𝟏𝟏 =
𝒊𝒊 =
= 𝑒𝑒0𝑖𝑖
= 𝑒𝑒
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= cis
𝜋𝜋
2
(cos0+ 𝑖𝑖sen0)= cis 0 �cos
𝜋𝜋
2
�
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
2
= 𝑒𝑒𝜋𝜋𝑖𝑖
(cos𝜋𝜋 + 𝑖𝑖sen𝜋𝜋)= cis 𝜋𝜋 −𝒊𝒊 = = 𝑒𝑒
3𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= cis
3𝜋𝜋
2
�cos
3𝜋𝜋
2
�
+ 𝑖𝑖sen
3𝜋𝜋
2

13. TEOREMAS
Sean los números complejos 𝑧𝑧 y 𝑤𝑤 no nulos.
𝑧𝑧 = = 𝑧𝑧 cis(𝜃𝜃) = 𝑧𝑧 𝑒𝑒𝜃𝜃𝑖𝑖
𝑧𝑧 (cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖sen𝜃𝜃)
𝑤𝑤 = = 𝑤𝑤 cis(𝛼𝛼)= 𝑤𝑤 𝑒𝑒𝛼𝛼𝑖𝑖
𝑤𝑤 (cos𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen𝛼𝛼)
Donde se cumplen:
𝒛𝒛. 𝒘𝒘 =
𝑧𝑧 . 𝑤𝑤
𝑧𝑧 . 𝑤𝑤 cos 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼
𝑧𝑧 . 𝑤𝑤 cis 𝜃𝜃 + 𝛼𝛼
𝑒𝑒 𝜃𝜃+𝛼𝛼 𝑖𝑖
𝒛𝒛
𝒘𝒘
=
𝑧𝑧
𝑤𝑤
cos 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼 + 𝑖𝑖sen 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼
cis 𝜃𝜃 − 𝛼𝛼
𝑧𝑧
𝑤𝑤
𝑒𝑒 𝜃𝜃−𝛼𝛼 𝑖𝑖
𝑧𝑧
𝑤𝑤
Ejemplos
Sean los números complejos
𝑧𝑧 = 6 cos
𝜋𝜋
4
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
4
y 𝑤𝑤 = 2 cos
𝜋𝜋
8
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
8
𝒛𝒛. 𝒘𝒘 = cos
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
6.2
𝒛𝒛. 𝒘𝒘 =12 cos
3𝜋𝜋
8
+ 𝑖𝑖sen
3𝜋𝜋
8
= 12cis
3𝜋𝜋
8
= 12𝑒𝑒
3𝜋𝜋
8
𝑖𝑖
𝒛𝒛
𝒘𝒘
=
6
2
cos
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
4
+
𝜋𝜋
8
𝜋𝜋
4
−
𝜋𝜋
8
𝜋𝜋
4
−
𝜋𝜋
8
𝒛𝒛
𝒘𝒘
=3 cos
𝜋𝜋
8
+ 𝑖𝑖sen
𝜋𝜋
8
= 3cis
𝜋𝜋
8
= 3𝑒𝑒
𝜋𝜋
8
𝑖𝑖

14. TEOREMA DE MOIVRÉ
Dado el número complejo no nulo
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 (cos𝜃𝜃 + 𝑖𝑖sen𝜃𝜃)
Se tiene(𝑛𝑛 ∈ ℕ)
𝒛𝒛𝒏𝒏
=
[cos(𝜃𝜃𝒏𝒏) + 𝑖𝑖sen(𝜃𝜃𝒏𝒏)]
𝑧𝑧 𝒏𝒏
cis(𝜃𝜃𝒏𝒏)
𝑧𝑧 𝒏𝒏
𝑒𝑒(𝜃𝜃𝒏𝒏)𝑖𝑖
𝑧𝑧 𝒏𝒏
Ejemplos
𝟏𝟏. cos36° + 𝑖𝑖sen36° 𝟓𝟓 = cos(36°. 𝟓𝟓) + 𝑖𝑖sen(36°. 𝟓𝟓)
= −1
= cos(180°) + 𝑖𝑖sen(180°)
+ 𝑖𝑖. 0
= −1
𝟐𝟐. 2 cis
𝜋𝜋
3
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 2
𝟏𝟏𝟏𝟏
= 29
cis 𝟏𝟏𝟏𝟏.
𝜋𝜋
3
cis 6𝜋𝜋
= 512cis(0)
= 512( 1 + 0𝑖𝑖 )
= 512
𝟑𝟑. 5𝑒𝑒
7𝜋𝜋
4
𝑖𝑖
𝟔𝟔
= 5
𝟔𝟔
𝑒𝑒
21𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
. 𝑒𝑒𝟔𝟔�
7𝜋𝜋
4
𝑖𝑖
= 53
= 125𝑒𝑒
10𝜋𝜋+
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= 125𝑒𝑒
𝜋𝜋
2
𝑖𝑖
= 125( 0 + 1𝑖𝑖 )
= 125𝑖𝑖
𝐈𝐈.