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Entregable 2
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA
Cuatrimestre: 7 “E”
Carrera: Ingeniería en Mecatrónica
Materia: Matemáticas para Ingeniería
Profesor (a): Alma Delia Ocotitla Muñoz
Nombre:
María Helena Ramírez Soto
Fecha de Entrega:
17 de Septiembre 2017
Superficies en el espacio
Y=5
CILINDRO ELIPTICO
Z=2
CILINDRO ELIPTICO
Y^2+z^2=9
ELIPSOIDE
Y^2+z=6
PARABOLOIDE ELIPTICO
4x^2+y^2=4
ELIPSOIDE
^2-z^2=16
HIPERBOLIDE DE DOS HOJAS
Funciones racionales
𝑓( 𝑥) =
𝑥2
− 7𝑥
𝑥4 − 81
= 𝑥 = 3, 𝑥 = −3
𝑥4
− 81 = 0
𝑥4
− 34
= 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑥2
+ 9 = 0
𝑥2
− 9 = 0
𝑥 = 3, 𝑥 = −3
Entregable 2
𝑓( 𝑥) =
6𝑥3
− 2𝑥 + 6
𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥
= 𝑥 = −2, 𝑥 = 3
𝑥(𝑥2
− 𝑥 − 61) = 0
𝑥4
− 𝑥 − 6 = 0
𝑥( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3) = 0
𝑥 = −2
𝑥 = 3
𝑓( 𝑥) =
20𝑥
𝑥2 − 8𝑥 + 16
= 𝑥 = 4, 𝑥 = 4
20𝑥
𝑥2 − 8𝑥 + 16
= 0
𝑥1 𝑥2 =
−(−8) ± √(−8)2(−4)(1)(16)
(2)(1)
𝑥 = 4
𝒇( 𝒙) =
𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟒
𝒙 𝟑 − 𝟏𝟎𝒙 𝟐 + 𝟐𝟏𝒙
𝑥3
− 10𝑥2
+ 21𝑥 = 0
𝑥( 𝑥2
− 10𝑥 + 21) = 0
( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 7) = 0
𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 7
𝒉( 𝒙) =
𝒙 𝟑
− 𝟏
𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙
𝑥( 𝑥2
+ 𝑥 − 6) = 0
( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 3)
𝑥2 = 2 𝑥3 = −3
Límites de funciones
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐)
𝒙
𝒚
Desarrollando el límite:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐)
𝒙 = 𝟎
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐)
𝒚 = 𝟐
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐)
𝒙
𝒚
=
𝟎
𝟐
= 𝟎
Limite 15.
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−( 𝟏,𝟏)
𝒙𝒚
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
Desarrollando el límite:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 = ( 𝟏)( 𝟏) = 𝟏
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
(𝒙 𝟐
+𝒚 𝟐) = (𝟏 𝟐
+ 𝟏 𝟐) = 𝟐
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚
𝒙 𝟐+𝒚 𝟐
=
𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟓
Límite 23:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 − 𝟏
𝟏 + 𝒙𝒚
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 − 𝟏 = 𝟏( 𝟏) − 𝟏 = 𝟎
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝟏 + 𝒙𝒚 = 𝟏 + ( 𝟏)( 𝟏) = 𝟐
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 − 𝟏
𝟏 + 𝒙𝒚
=
𝟎
𝟐
= 𝟎
Limite 27:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟎)
𝒙 − 𝒚
√ 𝒙 − √ 𝒚
=
𝟎
𝟎
Derivadas parciales.
En el siguiente apartado podremos visualizar de una manera más general la
resolución además de distintas variedades de las derivadas parciales.
1.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟑
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −5
2.- 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2
𝑦3
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥𝑦3
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 3𝑥2
𝑦2
3.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙√ 𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= √ 𝑦
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝑥
2√ 𝑦
3.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐
− 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚 𝟐
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 4𝑦
Con respecto a Y.
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −4𝑥 + 6𝑦
4.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒆 𝒙𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑒 𝑥𝑦
(𝑦)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥𝑦( 𝑥)
5.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐
𝒆 𝟐𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑥2
𝑒2𝑦(2𝑦) + 2𝑥𝑒2𝑦
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 2𝑥2
𝑒2𝑦
6.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐧
𝒙
𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
1
𝑥
𝑦
=
1
𝑥
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −
1
𝑦
7.-𝒇( 𝒙, 𝒚) 𝐥𝐧(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
2𝑥
𝑥2 + 𝑦2
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
2𝑦
𝑥2 + 𝑦2
8.-𝒇( 𝒙, 𝒚) =
𝒙 𝟐
𝟐𝒚
+
𝟑𝒚 𝟐
𝒙
𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐
𝟐𝒚−𝟏
+ 𝟑𝒚 𝟐
𝒙−𝟏
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑥2𝑦−1
+ (−3𝑦2
𝑥−2
)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2
− 2𝑦−2
+ 6𝑦𝑥−1
9.- 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑒(𝑥2+𝑦2)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑒(−𝑥2−𝑦2)(2𝑥)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑒(−𝑥2+𝑦2)
(2𝑦)
10.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒐 (𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐)
𝟏
𝟐
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)
1
2
Con respecto a Y.
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)
1
2
11.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= − sin 𝑥𝑦 ( 𝑦)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −sin 𝑥𝑦( 𝑥)
12.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐭𝐚𝐧( 𝟐𝒙 − 𝒚)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑠𝑒𝑐2(2 − 𝑦)(2)
Con respecto a Y.2qa
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥 − 𝑦)(1)
13.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒆 𝒚
𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= −𝑒 𝑦
cos 𝑥𝑦 ( 𝑦)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= −𝑒 𝑦
cos 𝑥𝑦 ( 𝑥)
14.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧𝐡( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚)
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= cosh(2𝑥 + 3𝑦)(2)
Con respecto a Y.
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= cosh(2𝑥 + 3𝑦)(3)
1.- 𝒘 = 𝒙𝒚 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑦 = 𝑒−2𝑡
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑦𝑒 𝑡
+ 𝑦𝑒−2𝑡(−2)
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑦𝑒 𝑡
− (2𝑦𝑒−2𝑡)
2.-𝒘 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) 𝑥 = 𝑡2
𝑦 = 1
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= − sin( 𝑥 − 𝑦) (−𝑦)2𝑡 + (− sin( 𝑥 − 𝑦) (1))
3.-𝒘 = 𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝒚 𝟐
𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡2
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡)
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑦 cos 𝑧 + 𝑥 cos 𝑧2𝑡 + 𝑥𝑦 − sin 𝑧
𝜕𝑤
𝜕𝑡
= 𝑦 cos 𝑧 + 2𝑥𝑡 cos 𝑧 − 𝑥𝑦 sin 𝑧
DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN
𝒛 = 𝒙𝒚 𝟐
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 3𝑦2
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑥
= 0
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
= 𝟔𝒚
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 6𝑥𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑦
= 6𝑥
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
= 𝟔𝒚
𝒛 = 𝒙𝒚 𝟐
− 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚 𝟐
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑥 − 2𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑥
= 𝑥
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
= −𝟐
𝑑𝑧
𝑑𝑦
= −2𝑥 + 6𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑦
= 𝑦
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
= −𝟐
−𝒛 = √(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝜕𝑧
𝜕𝑥
=
𝑥
(𝑥2 + 𝑦2)
1
2
=
𝑥
√𝑥2 + 𝑦2
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑥
=
𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)√𝑥2 + 𝑦2
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝒙𝒚
(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝟑
𝟐
𝜕𝑧
𝜕𝑦
=
𝑦
(𝑥2 + 𝑦2)
1
2
=
𝑦
√𝑥2 + 𝑦2
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑦
=
𝑦2
(𝑥2 + 𝑦2)√𝑥2 + 𝑦2
𝝏 𝟐
𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝒚𝒙
(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝟑
𝟐
𝑍 = 𝑒 𝑥
tan 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑒 𝑥
tan 𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑥
= 𝑒 𝑥
tan 𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑥
= 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑦 =
2𝑦 𝑥
𝑠𝑒𝑐2( 𝑦) tan(𝑦)
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑥
= 𝑒 𝑥
𝑠𝑒𝑐2
𝑦
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠 x y
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦) 𝑦
𝜕2
𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦
= 𝑦2
cos(𝑥𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑥 𝜕𝑦
= 𝑥𝑦 cos( 𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= (−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦) 𝑥
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑦
= 𝑥2
cos(𝑥𝑦)
𝜕𝑧
𝜕𝑦 𝜕𝑥
= 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠( 𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
DERIVADAS DIFERENCIALES
𝑑𝑤
𝑑𝑡
=
dw
𝑑𝑥
dx
𝑑𝑡
+
dw
𝑑𝑦
dy
𝑑𝑡
𝑤 = 𝑥𝑦 𝑥 = 𝑒 𝑡
𝑦 = 𝑒−2𝑡
dw
𝑑𝑡
= 𝑦 𝑒 𝑡
+ −2x 𝑒−2𝑡
w = cos(x − y) x = 𝑡2
𝑦 = 1
𝑑𝑤
𝑑𝑡
− 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦)2𝑡 + (−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦)
w = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 22
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧 = 𝑒 𝑡
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑧𝑒 𝑡
w = xy cosz x = t y = 𝑡2
𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 + ( 𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑧)
−1
√1 − 𝑡2
𝑤 = 𝑥𝑦2
+ 𝑥2
z + y𝑧2
x = 𝑡2
y = 2t z = 2
𝑑𝑤
𝑑𝑡
= ( 𝑦2
+ 2x)(2t) + (2yx + 𝑧2)2 + ( 𝑥2
+ 2zy)0
2𝑦2
t+4xt + 4yx + 2𝑧2

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Entregable 2

  • 1. Entregable 2 UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PUEBLA Cuatrimestre: 7 “E” Carrera: Ingeniería en Mecatrónica Materia: Matemáticas para Ingeniería Profesor (a): Alma Delia Ocotitla Muñoz Nombre: María Helena Ramírez Soto Fecha de Entrega: 17 de Septiembre 2017
  • 2. Superficies en el espacio Y=5 CILINDRO ELIPTICO Z=2 CILINDRO ELIPTICO Y^2+z^2=9 ELIPSOIDE
  • 4. HIPERBOLIDE DE DOS HOJAS Funciones racionales 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 𝑥4 − 81 = 𝑥 = 3, 𝑥 = −3 𝑥4 − 81 = 0 𝑥4 − 34 = 0 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥2 + 9 = 0 𝑥2 − 9 = 0 𝑥 = 3, 𝑥 = −3
  • 6. 𝑓( 𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥 + 6 𝑥3 − 𝑥2 − 6𝑥 = 𝑥 = −2, 𝑥 = 3 𝑥(𝑥2 − 𝑥 − 61) = 0 𝑥4 − 𝑥 − 6 = 0 𝑥( 𝑥 + 2)( 𝑥 − 3) = 0 𝑥 = −2 𝑥 = 3
  • 7. 𝑓( 𝑥) = 20𝑥 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 𝑥 = 4, 𝑥 = 4 20𝑥 𝑥2 − 8𝑥 + 16 = 0 𝑥1 𝑥2 = −(−8) ± √(−8)2(−4)(1)(16) (2)(1) 𝑥 = 4
  • 8. 𝒇( 𝒙) = 𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟒 𝒙 𝟑 − 𝟏𝟎𝒙 𝟐 + 𝟐𝟏𝒙 𝑥3 − 10𝑥2 + 21𝑥 = 0 𝑥( 𝑥2 − 10𝑥 + 21) = 0 ( 𝑥 − 3)( 𝑥 − 7) = 0 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = 7 𝒉( 𝒙) = 𝒙 𝟑 − 𝟏 𝒙 𝟑 + 𝒙 𝟐 − 𝟔𝒙 𝑥( 𝑥2 + 𝑥 − 6) = 0 ( 𝑥 − 2)( 𝑥 + 3) 𝑥2 = 2 𝑥3 = −3
  • 9. Límites de funciones 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐) 𝒙 𝒚 Desarrollando el límite: 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐) 𝒙 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐) 𝒚 = 𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟐) 𝒙 𝒚 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 Limite 15. 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−( 𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 Desarrollando el límite: 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 = ( 𝟏)( 𝟏) = 𝟏 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) (𝒙 𝟐 +𝒚 𝟐) = (𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 𝒙 𝟐+𝒚 𝟐 = 𝟏 𝟐 = 𝟎. 𝟓 Límite 23: 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 − 𝟏 𝟏 + 𝒙𝒚 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 − 𝟏 = 𝟏( 𝟏) − 𝟏 = 𝟎 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝟏 + 𝒙𝒚 = 𝟏 + ( 𝟏)( 𝟏) = 𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟏,𝟏) 𝒙𝒚 − 𝟏 𝟏 + 𝒙𝒚 = 𝟎 𝟐 = 𝟎 Limite 27: 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)−(𝟎,𝟎) 𝒙 − 𝒚 √ 𝒙 − √ 𝒚 = 𝟎 𝟎
  • 10. Derivadas parciales. En el siguiente apartado podremos visualizar de una manera más general la resolución además de distintas variedades de las derivadas parciales. 1.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟑 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = −5 2.- 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑦3 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥𝑦3 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 3𝑥2 𝑦2 3.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙√ 𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = √ 𝑦 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥 2√ 𝑦 3.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑𝒚 𝟐 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥 − 4𝑦 Con respecto a Y.
  • 11. 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = −4𝑥 + 6𝑦 4.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒆 𝒙𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥𝑦 (𝑦) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥𝑦( 𝑥) 5.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐 𝒆 𝟐𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑥2 𝑒2𝑦(2𝑦) + 2𝑥𝑒2𝑦 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 2𝑥2 𝑒2𝑦 6.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐥𝐧 𝒙 𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 1 𝑥 𝑦 = 1 𝑥 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = − 1 𝑦 7.-𝒇( 𝒙, 𝒚) 𝐥𝐧(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥 𝑥2 + 𝑦2 Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 2𝑦 𝑥2 + 𝑦2 8.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐 𝟐𝒚 + 𝟑𝒚 𝟐 𝒙 𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒙 𝟐 𝟐𝒚−𝟏 + 𝟑𝒚 𝟐 𝒙−𝟏
  • 12. 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 2𝑥2𝑦−1 + (−3𝑦2 𝑥−2 ) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥2 − 2𝑦−2 + 6𝑦𝑥−1 9.- 𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑒(𝑥2+𝑦2) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑒(−𝑥2−𝑦2)(2𝑥) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑒(−𝑥2+𝑦2) (2𝑦) 10.- 𝒇( 𝒙, 𝒚) = √𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒐 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) 𝟏 𝟐 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑥 (𝑥2 + 𝑦2) 1 2 Con respecto a Y. 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑦 (𝑥2 + 𝑦2) 1 2 11.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = − sin 𝑥𝑦 ( 𝑦) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = −sin 𝑥𝑦( 𝑥) 12.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐭𝐚𝐧( 𝟐𝒙 − 𝒚) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2(2 − 𝑦)(2) Con respecto a Y.2qa 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑠𝑒𝑐2(2𝑥 − 𝑦)(1)
  • 13. 13.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝒆 𝒚 𝐬𝐢𝐧 𝒙𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = −𝑒 𝑦 cos 𝑥𝑦 ( 𝑦) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = −𝑒 𝑦 cos 𝑥𝑦 ( 𝑥) 14.-𝒇( 𝒙, 𝒚) = 𝐬𝐢𝐧𝐡( 𝟐𝒙 − 𝟑𝒚) 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = cosh(2𝑥 + 3𝑦)(2) Con respecto a Y. 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = cosh(2𝑥 + 3𝑦)(3) 1.- 𝒘 = 𝒙𝒚 𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑦 = 𝑒−2𝑡 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = 𝑦𝑒 𝑡 + 𝑦𝑒−2𝑡(−2) 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = 𝑦𝑒 𝑡 − (2𝑦𝑒−2𝑡) 2.-𝒘 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝒚) 𝑥 = 𝑡2 𝑦 = 1 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = − sin( 𝑥 − 𝑦) (−𝑦)2𝑡 + (− sin( 𝑥 − 𝑦) (1)) 3.-𝒘 = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝑥 = 𝑡 𝑦 = 𝑡2 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = 𝑦 cos 𝑧 + 𝑥 cos 𝑧2𝑡 + 𝑥𝑦 − sin 𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑡 = 𝑦 cos 𝑧 + 2𝑥𝑡 cos 𝑧 − 𝑥𝑦 sin 𝑧
  • 14. DERIVADAS DE SEGUNDO ORDEN 𝒛 = 𝒙𝒚 𝟐 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 3𝑦2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑥 = 0 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝟔𝒚 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 6𝑥𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑦 = 6𝑥 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝟔𝒚 𝒛 = 𝒙𝒚 𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚 𝟐 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 2𝑥 − 2𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑥 = 𝑥 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = −𝟐 𝑑𝑧 𝑑𝑦 = −2𝑥 + 6𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑦 = 𝑦 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = −𝟐 −𝒛 = √(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑥 (𝑥2 + 𝑦2) 1 2 = 𝑥 √𝑥2 + 𝑦2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥𝜕𝑥 = 𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)√𝑥2 + 𝑦2
  • 15. 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝒙𝒚 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) 𝟑 𝟐 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑦 (𝑥2 + 𝑦2) 1 2 = 𝑦 √𝑥2 + 𝑦2 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦𝜕𝑦 = 𝑦2 (𝑥2 + 𝑦2)√𝑥2 + 𝑦2 𝝏 𝟐 𝒛 𝝏𝒚𝝏𝒙 = 𝒚𝒙 (𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐) 𝟑 𝟐 𝑍 = 𝑒 𝑥 tan 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 tan 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 tan 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 = 2𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑐2( 𝑦) tan(𝑦) 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑐2 𝑦 𝑍 = 𝑐𝑜𝑠 x y 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = (−𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑦) 𝑦 𝜕2 𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝑦2 cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 = 𝑥𝑦 cos( 𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥𝑦) 𝜕𝑧 𝜕𝑦 = (−𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦) 𝑥 𝜕2 𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑦 = 𝑥2 cos(𝑥𝑦) 𝜕𝑧 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠( 𝑥𝑦) + 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦)
  • 16. DERIVADAS DIFERENCIALES 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = dw 𝑑𝑥 dx 𝑑𝑡 + dw 𝑑𝑦 dy 𝑑𝑡 𝑤 = 𝑥𝑦 𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑦 = 𝑒−2𝑡 dw 𝑑𝑡 = 𝑦 𝑒 𝑡 + −2x 𝑒−2𝑡 w = cos(x − y) x = 𝑡2 𝑦 = 1 𝑑𝑤 𝑑𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥 − 𝑦)2𝑡 + (−𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦) w = 𝑥2 + 𝑦2 + 22 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑧 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑡 + 2𝑦𝑐𝑜𝑠𝑡 + 2𝑧𝑒 𝑡 w = xy cosz x = t y = 𝑡2 𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠𝑧 + 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑧 + ( 𝑥𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑧) −1 √1 − 𝑡2 𝑤 = 𝑥𝑦2 + 𝑥2 z + y𝑧2 x = 𝑡2 y = 2t z = 2
  • 17. 𝑑𝑤 𝑑𝑡 = ( 𝑦2 + 2x)(2t) + (2yx + 𝑧2)2 + ( 𝑥2 + 2zy)0 2𝑦2 t+4xt + 4yx + 2𝑧2