Coordenadas cilindricas y esféricas

Ing. José Luis Morillo S.
x Y
Z z
x Y

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• Los conceptos irán apareciendo en el orden en que
fueron designados.
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• Hay párrafos largos (por mejorar) cuya lectura es e
importancia para comprender el contexto. No las evites.
• Los ejemplos se despliegan muy despacio para su mejor
comprensión, no avances hasta que se despliegue por
completo cada parte del mismo.
jlms/2015
Ing. José Luis Morillo - Marzo 2015

Luego de conocer los sistemas de
coordenadas rectangulares en R1 y R2, así
como el sistema de coordenadas polares en
R2, veremos ahora los sistemas de
coordenadas alternativos para representar
puntos en R3.

El sistema de coordenadas cilíndricas es la extensión del sistema de
coordenadas polares en R2 a R3,
Imagínese un sistema de
coordenadas polares en el
plano, como el de la figura.
Ahora imagínese que se
coloca un eje z (la tercera
dimensión para llevar a R3)
justo en el polo y
perpendicular a la pantalla.
Desde esta perspectiva no se
puede ver el eje z, pero si se
gira el plano de la pantalla
como en la siguiente figura…
θ
A(r, θ)
r
POLO

… ahora, desde esta nueva perspectiva se puede ver el eje z que pasa
por el polo, con sus dos extremos (negativo y positivo) aportando la
tercera coordenada (z) al punto A, de manera que las coordenadas de
un punto en coordenadas Cilíndricas son:
Nótese que las dos primeras coordenadas son las mismas que en
coordenadas polares en el plano, de allí el punto A se eleva (polo arriba)
o se deprime (polo abajo) tantas unidades como indique la coordenada
“z”.
• r: longitud del
segmento que va
desde e origen de
coordenadas hasta el
pie de la perpendicular
del punto.
• θ: ángulo medido
desde el lado positivo
del eje x hasta el
segmento “r”.
• z: distancia desde la
base del plano xy hasta
el punto A
A(r, θ, z)
z
POLO
-z
z

A(4,5 ; 45º ; 1,0) B(3,0 ; 150º ; 3,0) C(3,5 ;300º ; -2,0)
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
z
-z
AB
C
45ª
150ª
300ª
A continuación se muestran tres puntos en coordenadas cilíndricas y su
representación gráfica. Nótese que los puntos A y B se encuentran en el
lado positivo del eje Z, mientras que el punto C se encuentra hacia el
lado negativo del mismo
Un sistema se coordenadas cilíndricas consta de infinitos cilindros
concéntricos sobre los cuales se trazan los puntos, como se ve a
continuación…

1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
z
-z
AB
C
Así, el punto A se encuentra en la superficie de un cilindro de radio r= 4,5; el punto B en uno de
r=3 y C en uno de r= 3,5.

Coordenadas rectangulares a cilíndricas
Datos: (x, y, z)
Se quiere obtener: (r, θ, z)
Z = Z
Se hace coincidir el eje polar con el eje “X” para visualizar la relación entre ambos sistemas de
coordenadas. Obsérvese que la coordenada “z” es la misma en coordenadas rectangulares y en
coordenadas cilíndricas

Coordenadas Cilíndricas a Rectangulares:
Datos: (r, θ, z)
Se quiere obtener. (x, y, z)
Usando las mismas relaciones entre
coordenadas,como se observa en la figura: A(x, y, z)
En cualquier caso, conocidos los datos, se
sustituye en las ecuaciones obtenidas de la
entre los sistemas coordenadas y se realiza
el cálculo correspondiente.
A continuación de muestra un ejemplo:

Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto A(3, -2, 1) son: A( ; 326,31°; 1)
Solución (a):
El punto A se encuentra en el IV octante, entonces, según la regla para el ángulo θ:
Para calcular “r”, se usan los valores de “x” e “y”, sustituyendo en la ecuación, resulta:
Nótese que el ángulo obtenido
corresponde efectivamente al
IV octante, que es donde se
encuentra el punto original. Es
importante chequear estas
correspondencias.
Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares,
esto es: z=1.
Determine las coordenadas cilíndricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:
a) A(3, -2, 1)
b) B( , 10, -6)
Transformación de coordenadas
Rectangulares a coordenadas cilíndricas

Solución (b):
El punto B se encuentra en elVI octante, entonces, según la regla para el ángulo θ:
Igual que en el ejemplo anterior, sustituyendo los valores de “x” e “y” en la ecuación, resulta:
Nótese de nuevo que el ángulo
obtenido corresponde efectivamente
al VI octante, que es donde se
encuentra el punto original. Es
importante chequear estas
correspondencias.
Por último, la coordenada z en cilíndricas es la misma que en coordenadas rectangulares,
esto es: z=-6.
Entonces, las coordenadas cilíndricas del punto B( , 10, -6) son: B(12; 146,44°; -6)
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
RECTANGULARES A CILÍNDRICAS

CILÍNDRICAS A RECTANGULARES
Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas cilíndricas son:
a) A(3, π/6, -3)
b) B( 2, -45º, -3)
Solución: Punto A
A( r , θ , z )
A( 3, π/6, -3 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
Así, las coordenadas rectangulares de A(3, π/6, -3) son: A(2,59 ; 1,5 ; -3)
También de puede expresar en radicales y fracciones:

CILÍNDRICAS A RECTANGULARES
Solución: Punto B
B( r , θ , z )
B( 2 , -45° , 2 ) Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
Así que las coordenadas rectangulares de B( 2 , -45° , 2 ) son: B(1,41 ; -1,41 ; 2)

Los antiguos navegantes se guiaban por las
estrellas hasta que se descubrió la manera de
ubicar con exactitud la posición de un navío en
altamar.
Haciendo uso del sextante y cronómetros muy
precisos, fueron capaces de determinar el ángulo
por encima o por debajo del ecuador (latitud) y a
la izquierda o derecha del meridiano de Greenwich
(longitud)
Este es un ejemplo de aplicación de un sistema de coordenadas esféricas.
En la actualidad, los sistemas de posicionamiento vía satélite (GPS) al alcance de cualquier
teléfono inteligente de gama media, usan un principio similar donde el objetivo es
establecer la ubicación exacta de un objeto o persona sobre el globo terráqueo.
Cada uno de nosotros tiene un par de coordenadas GPS que indica el lugar en que nos
encontramos en un determinado momento, esa es nuestra posición en un sistema de
coordenadas esféricas. A continuación se presenta en detalle la descripción de este sistema
y su relación con otro tipo de coordenadas.

x Y
z
φ
𝚹
r
ρ
Otro sistema de coordenadas en
R3 donde los puntos se trazan
sobre la superficie de una esfera
de radio ρ. En la figura se
observan las coordenadas
esféricas y su posición relativa
respecto a un sistema de
coordenadas rectangulares.
Las componentes de un punto en
coordenadas esféricas son
A(ρ, 𝚹, φ), donde ρ es la distancia
del origen de coordenadas al
punto A, 𝚹 es el ángulo medido
desde el lado positivo del eje X
hasta el radio vector de la
proyección del punto A sobre el
plano XY, y φ es el ángulo medido
desde el lado positivo del eje z
hasta el radio vector que va del
origen al punto A.
A( ρ ; θ ; φ )

El rango de variación de los ángulos
𝚹 y φ es:
x Y
z
Esto implica que no habrá
valores de θ mayores que
360º ni valores de φ
mayores que 180º (no
tendría sentido)
NOTA IMPORTANTE: los ejes coordenados X,Y y Z se colocan sólo como referencia, para
efectos de visualizar la relación entre las coordenadas rectangulares y esféricas. En los
ejemplos siguientes se puede ver que las referencias X,Y,Z no se usan para graficar puntos en
este sistema de coordenadas..

Ejemplos de puntos trazados en un sistema de coordenadas esféricas:
• A(3; 60º; 120º)
• B(5/2; 270º; 45º)
• C(1, 315º, 90º )
x Y
z
A(3; 60º; 120º)
V octante
60º
Punto A( 60º ;
120º
120º)3 ;
A( ρ ; θ ; φ )
Solución:

x Y
z
Punto B(
270º
270º
Obsérvese que no se usan
escalas en los ejes
coordenados para trazar
los puntos, solo se usan
los ángulos θ y φ. Una
vez localizada la dirección
que marcan los ángulos,
se traza la longitud de ρ
a lo largo de dicha
dirección.
( ρ ; θ ; φ )
45º
5/2 ; ; 45º )
5/2
B(5/2; 270º; 45º)
Entre III y IV octantes

x Y
z
Punto C ( ; ; )315º
C ( ρ ; θ ; φ )
Solución: Punto C
90º
315º
90º
1
C
1

x Y
z
φ
θ
r
ρ
Coordenadas rectangulares a Esféricas:
Se conocen las coordenadas rectangulares A(x, y, z) y
se quiere conocer las coordenadas Esféricas
correspondientes A(ρ, θ, φ)
Las relaciones de las componentes
sobre el plano xy permanecen igual
que en coordenadas polares:
A( ρ ; θ ; φ )

Coordenadas Esféricas a rectangulares:
Se conocen las coordenadas esféricas A( ρ ; θ ; φ ) y se
quiere conocer las coordenadas rectangulares A(x, y, z)
correspondientes
Las relaciones son las siguientes:
A continuación de presentan unos ejemplos para ilustrar el cálculo con la conversión de
coordenadas

Determine las coordenadas rectangulares de los puntos cuyas coordenadas esféricas son:
a) A(6, 60º, 60º)
b) B(4, π/4; π/3)
Solución: Punto A
A(6 ; 60º ; 60º):
A( ρ ; θ ; φ )
Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
Así, las coordenadas rectangulares de A(6, 60º, 60º) son: A(2,59 ; 4,5 ; 3)
Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones:A( ; ; )
ESFÉRICAS A RECTANGULARES

ESFÉRICAS A RECTANGULARES
Punto B:
B(4 ; π/4; π/3)
B( ρ ; θ ; φ )
Sustituyendo los valores en las ecuaciones correspondientes:
Así, las coordenadas rectangulares de B(4 ; π/4; π/3) son: B(1,41 ; 2,45 ; 2) .
Se pueden dejar indicadas como radicales y fracciones: B( ; ;2)

RECTANGULARES A ESFÉRICAS
Determine las coordenadas esféricas de los puntos cuyas coordenadas rectangulares son:
a) A(1 , -2 , 3)
b) B(-3 , 2 , 0)
Solución: Punto A
A(1 , -2 , 3)
A(x , y , z)
Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:
Así, las coordenadas esféricas de A(1 , -2 , 3) son:
A está en el IV octante, por lo tanto:
De igual manera, de pueden expresar en decimales: A(3,74 ; 296,56º ; 36,70º)

RECTANGULARES A ESFÉRICAS
Solución: Punto B
B(-3 , 2 , 0)
B(x , y , z)
Sustituyendo en las ecuaciones correspondientes:
B está en el II octante, por lo tanto:

Toda la información incluida en esta presentación ha sido recopilada, procesada,
editada y montada en su totalidad por:
José Luis Morillo S.
Ingeniero Químico y docente de la cátedra de Geometría Analítica en la Universidad
José Antonio Páez.Valencia.Venezuela .
Esta presentación se hizo con fines estricta y exclusivamente educativos , el uso de la
misma es libre si es con el mismo fin que motivó su creación.
Comentarios y/o sugerencias serán bien recibidos en: academico.general@gmail.com
Todo lo puedo en Cristo que me fortalece
Valencia, Abril 2015

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