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Matemática desde la cosmovisión de los pueblos y su aprendizaje
Módulo I

NOTA DE GÉNERO
En este texto se utilizan en forma indistinta y variada términos tales como alumnas, alumnos,
maestros, maestras, y otros similares, para evitar repeticiones que puedan entorpecer la
lectura. Sin embargo, reconocemos y valoramos la presencia y el protagonismo de las
mujeres en estas instituciones y en estos procesos de gestión cultural.
CRÉDITOS ÍNDICE
TEMA PÁG.
Módulo 1. En el mundo de la Matemática en la escuela
primaria
8
Unidad 1. ¿Qué es la Matemática? o ¿qué son las
Matemáticas?
8
Los fines de la 13
El valor social de las 18
Matemática y 24
El pensamiento 26
El pensamiento holístico y la cosmovisión maya 28
Las cosmovisiones y el significado de los números 29
Principios holísticos en las distintas cosmovisiones 34
Principios de la filosofía hermética, griega y alemana 35
Unidad 2. La exploración del espacio en la escuela primaria 37
La Geometría sagrada y la Geometría de la Naturaleza 38
La sucesión de Fibonacci 39
Fractales 40
La cinta de Möbius 41
El número de oro o número phi (ø) 43
El cosmos maya y la ubicación del ser humano en el espacio 47

5
4
INTRODUCCIÓN
Uno de los problemas del proceso educativo consiste en lograr aprendizajes significativos
y desarrollar competencias en el área de Matemática en el nivel primario. En ocasiones, no
se tiene claro qué es la Matemática, ni cuáles son los fines del aprendizaje de esta ciencia
y su relación con la vida cotidiana. Muchas veces, se cree que los temas matemáticos en la
escuela primaria deben limitarse al cálculo y con énfasis en la operatoria mecánica y árida de
grandes números. En este sentido, se olvida el valor educativo del juego y su vinculación con
la Matemática, así como la importancia de desarrollar las operaciones lógicas elementales y
abordar otras áreas de la disciplina.
En este curso se pretende dar respuesta a esas interrogantes y llenar los vacíos que
tradicionalmente no son cubiertos cuando se trata de estudiar la Matemática y su
aprendizaje. Adicionalmente, en el presente módulo, se persigue dar una amplia orientación
acerca de lo que significa el abordaje del aprendizaje y enseñanza desde la perspectiva de
la etnomatemática y la cosmovisión de los pueblos. En tal sentido, al introducir al niño en
las nociones matemáticas, es conveniente contextualizarse de la lengua materna que habla
y entienden los alumnos, así como el contexto, la cultura y los conocimientos previos de los
niños, en especial, aquellos que provienen de saberes ancestrales.
Una rama de la Matemática que posibilita aprendizajes nuevos y la oportunidad de abordajes
distintos en la escuela, lo constituye la exploración del espacio. Desde tiempos antiguos, los
diferentes pueblos en el mundo descubrieron ciertos principios geométricos en la Naturaleza.
De ahí que aprendieron a concebir que la Geometría es sagrada y en consecuencia plasmaron
esos principios en sus construcciones.
En el módulo se proponen algunos ejemplos de la Geometría sagrada y se dan sugerencias
para implementarla en la escuela. La Geometría Maya constituye un ejemplo cercano para el
estudio de la Geometría sagrada y la Matemática desde la cosmovisión de los pueblos. En el
texto, se hace un estudio al respecto y se proponen diferentes sugerencias para el abordaje
de la Geometría en la escuela primaria. El propósito del módulo, es ser una herramienta
de apoyo, para que el estudiante cuente con elementos conceptuales y prácticos para
desarrollar su aprendizaje e incidir en el aula, mejorando la calidad y pertinencia del acto
educativo. Las actividades que se proponen, se orientan a facilitar los aprendizajes, a
desarrollar competencias, a la construcción de conocimientos, y sobre todo, al mejoramiento
de la práctica docente.
TEMA PÁG.
La creación del Universo 47
La ubicación espacial desde el Cosmos 48
Geometría Maya 48
La Geometría en la escuela 58
Recursos didácticos para el aprendizaje de la Geometría 63
Bloques lógicos de Dienes 63
Geoplano 65
Tangram 67
Mosaicos 69
Mi propuesta didáctica 70
Bibliografía 75
ÍNDICE

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Módulo I- Matemática desde la cosmovisión de los pueblos y su aprendizaje Módulo I- Matemática desde la cosmovisión de los pueblos y su aprendizaje
Módulo I
En el mundo de la Matemática en la escuela primaria
Ubicación temática
El presente módulo contiene:
a) Aspectos conceptuales generales general de la Matemática en general y de las Geometría
en particular.
b) Sugerencias didácticas para la realización de actividades de aprendizaje de los
contenidos del curso.
c) Actividades de reflexión y contextualización en relación con el área que trabajan como
docentes los estudiantes del curso, explorando saberes previos y formas alternas de
realizar el proceso enseñanza-aprendizaje de los contenidos que se tiene previsto
desarrollar.
d) Actividades prácticas recomendadas para llevar a cabo en la escuela con los niños.
e) Bibliografía sugerida para consulta complementaria, que puede ser útil para el desarrollo
de las actividades de aprendizaje.
A lo largo del módulo, se trata de ajustar los contenidos teórico-prácticos al contexto
guatemalteco, como una manera imprescindible de proceder en la formación de los
estudiantes-maestros.
Además, al final de cada una de las grandes partes del módulo, se incluyen evaluaciones
para que el estudiante-maestro pueda autoverificar sus niveles de aprendizaje y tomar las
acciones correspondientes de revisión y consolidación si detecta algunas deficiencias.
Se recomienda al estudiante-maestro, tanto durante el curso Área de Matemática desde la
cosmovisión de los pueblos y su Aprendizaje como a lo largo de su ejercicio docente en el
nivel primario, complementar la lectura de este y los otros módulos con libros y otras fuentes
de consulta en los que se encuentren los temas correspondientes a la Matemática.
Se recomienda reflexionar permanentemente acerca de los métodos, técnicas y estrategias
utilizadas para la realización de las actividades de aprendizaje de los niños, con el fin de
realizar innovaciones en este aspecto que, como resultado final, causen mejoras en la
construcción del conocimiento, así como en el desarrollo de habilidades y actitudes.
El módulo ofrece herramientas pertinentes para el aprendizaje y la enseñanza de la
Matemática desde la perspectiva o el enfoque de la cosmovisión de los cuatro pueblos de
Guatemala. Desde esta perspectiva, constantemente se entrelazarán los diferentes temas
de la Matemática con secciones, párrafos o citas tomadas del pensamiento o textos de
cualquiera de estas cosmovisiones. En lo concerniente a la cosmovisión ladina, se adoptó
el criterio de que esta se ha nutrido de diferentes fuentes, en especial, las cosmovisiones
judeocristiana y grecolatina.

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UNIDAD 1
¿Qué es la Matemática? o ¿ Qué son
las Matemáticas?
Iniciaremos con una breve reflexión acerca de qué es la Matemática o
qué son las Matemáticas.
(¿Qué sé...?)
¿Te has preguntado qué es la Matemática?
¿Es válido hablar de Matemáticas o de Matemática?
Te sugerimos que reflexiones al respecto, hagas un repaso a tus
saberes previos y a lo que tú has aprendido. Luego, si así lo
consideras: consulta con diferentes fuentes y anota el resultado
de tus reflexiones y consultas.
Francisca Ortiz Rodríguez, cita a Mina Rees para enlistar la esencia de
las Matemáticas contemporáneas. Algunas anotaciones de Ortiz: Las
Matemáticas son un lenguaje que debe aprenderse, y es necesario
aprender sus técnicas si queremos usar este lenguaje.
LasMatemáticassonalavezinductivasydeductivas,perolaimaginación
es totalmente indispensable para su desarrollo.
Las Matemáticas crecen por acumulación, las nuevas formas se crean a
veces por intuición, y a veces por formalismos lógicos.
Las demostraciones y justificaciones dependen de la lógica habitual,
pero el matemático es libre de modificar esta lógica si lo necesita.
Las fuentes de la invención matemática residen a veces en las propias
Matemáticas y otras veces en las realidades del mundo que nos rodea.
María Pilar Ruesga, citando a varios autores, afirma que la Matemática
es una ciencia que precisa establecer relaciones entre datos y hechos.
Expone además que: “toda situación problemática resoluble en el
ámbito de las Matemáticas precisa establecer relaciones por medio de
analogías y metáforas. Esta necesidad se hace patente en ámbitos muy
diferentes y constituye una característica que hace de la Matemática
una ciencia que trata de las relaciones (Alsina y otros 1992) que pueden
establecerse entre variables y hechos cuantificables. Inducción,
deducción, generalización, particularización, abstracción son procesos
que forman parte del razonamiento en Matemáticas e implican poner en
relación situaciones reales o hipotéticas” (Polya 1984; Schoenfeld citado
en Davis y Hersh 1989; Guzman 1997).
A este respecto, cita también a Dreyfus, quien afirma lo siguiente:
“Descubrir relaciones, por ejemplo, está a menudo considerada como la
forma más efectiva para que los niños aprendan matemáticas...” Tommy
Dreyfus (1994:40)
Ortiz, también cita a Ian Nicholas Stewart (Inglaterra, 1945) quien afirma
que: “Las matemáticas, no son lo que la gente supone. Incluso cuando
parece como si fueran lo que se supone que son, basta con volver la
espalda un momento para que ya hayan cambiado. Ciertamente, no se
limitan a ser un cuerpo de conocimientos inamovible, su desarrollo no se
reduce a inventar números nuevos…”
Esta definición, resulta muy similar a dos que tomamos de la conferencia
de Rafael Pérez Gómez, de la Universidad de Granada, España en la
Olimpiada Iberoamericana de Matemática: La primera que daremos es,
la célebre definición de Bertrand Russell (1872-1970): “Es la materia
en la que no sabemos de qué estamos hablando, ni si lo que decimos
es verdad”. O la de David Hilbert (1862-1943): “Es un juego formal sin
significación”.
Podrían provocar risa estas definiciones. ¿No?
Sin embargo. Si las analizamos un poco más, veremos que coinciden con
lo que afirmaba un extraordinario profesor guatemalteco, el Dr. Bernardo
Morales en sus clases de Matemáticas por allá por 1980: “La Matemática
es un edificio en construcción”. Luis Santaló piensa lo mismo de esta
disciplina. Santaló también afirma lo siguiente: “más que una aplicación
práctica, lo interesante es la creación de nuevas matemáticas”.
ACTIVIDAD 1

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(reflexión)
1. ¿Has considerado la posibilidad de que las Matemáticas puedan ser vistas como
un juego?
2. ¿Te has apoyado alguna vez del juego para lograr aprendizajes matemáticos en tus
alumnos?
3. Lista algunos juegos que practican tus alumnos, ya sea de manera informal,
espontánea o guiados por ti.
4. ¿Qué características comunes puedes enumerar en esos juegos?
5. ¿Qué opinión te merecen los siguientes textos: ““Grande fue la alegría de sus
corazones al escuchar noticia de la pelota…”((Popol Wuj P.73)
“Muy contentos se fueron al campo de juego. Por largo tiempo estuvieron jugando
solos”. (Popol Wuj P.76).
Sugerencia didáctica: te recomendamos que propicies que los niños aprendan y se diviertan
con diferentes juegos como: totito, damas españolas, damas chinas, dominó, ajedrez, entre
otros.
Totito
Propón a los niños que jueguen al totito. Primero como un juego libre. Luego llévalos
a que descubran la estrategia para ganar siempre en el juego.
El juego de Nim1
Se necesita de un número determinado de piezas. Estas pueden
ser palillos, cerillos, tapitas, pequeñas piedras, botones u otros
materiales. En este juego, sugerimos 17 objetos. Dos jugadores
juegan a retirar los objetos de manera alterna. Pueden retirar 1, 2 o
3 objetos a la vez. Pierde el que se vea forzado a retirar el último.
Realiza el juego hasta que los alumnos descubran la manera
de ganar siempre. Una vez todos los niños han comprendido la
estrategia a seguir para ganar, se puede cambiar el número de
objetos o alguna de las reglas del juego.
Una vez has completado la actividad anterior, te invitamos a continuar
con la lectura.
Es claro que las Matemáticas se pueden comparar con un juego y
como los juegos en general, han sido creados por la mente humana. En
cualquier juego se necesita ante todo de:
Jugadores
Objetos
Reglas del juego y
Una meta a alcanzar, lo más rápido o eficazmente posible.
Elige cualquier juego infantil que prefieras. Identifica jugadores,
objetos necesarios para realizar el juego, una o dos reglas del
juego y su finalidad.
Así es el futbol, el dominó, la luisa, el juego de Nim y los demás juegos
infantiles.
ACTIVIDAD 2
ACTIVIDAD 3
ACTIVIDAD 4
1 Imagen tomada de: Encuentra la estrategia y gana: Juegos de nim. Ver en: Taller de Matemáticas:
http://www.madrimasd.org/cienciaysociedad/taller/matematicas/nim/default.asp
ACTIVIDAD 5

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Pilar Ruesga Ramos, cita a Daniel Solow y su libro “Cómo entender y
hacer demostraciones en Matemáticas”, Solow expone lo siguiente:
“Después de terminar mis estudios de licenciatura, comencé a
preguntarme por qué había sido tan difícil aprender Matemáticas puras.
A medida que avanzaba en mis estudios de postgrado me di cuenta
que las Matemáticas poseen muchos de los aspectos de un juego:
un juego en el cual las reglas habían estado parcialmente escondidas.
¡Imagínese tratando de jugar ajedrez antes de saber cómo se mueven
todas las piezas! No es sorprendente que tantos estudiantes hayan
tenido problemas con las Matemáticas abstractas”.
“Para jugar al ajedrez, usted debe aprender primero cómo se mueven
cada una de las piezas. Solamente después de que estas reglas han
sido asimiladas por su subconsciente usted podrá concentrar toda su
atención en aspectos creativos como estrategias, tácticas, etc. De igual
forma sucede en Matemáticas. Al principio se necesita trabajar mucho
para aprender las reglas fundamentales y lograr que se conviertan en
algo muy conocido. Entonces encontrará que su mente puede enfocarse
hacia los aspectos creativos de las matemáticas.” (Solow 1992: 9)
Si las Matemáticas son un juego, porque no introducir elementos
afectivos positivos y superiores a su aprendizaje. A este respecto, Jaime
Escalante, el insigne profesor de Matemáticas de EEUU: proponía a sus
alumnos que aprendieran Matemáticas “con ganas de triunfar”. Una
elocuente manera de presentar el lado bello de las Matemáticas, es lo
que han dicho los eminentes profesores de educación matemática, el
Dr. Eugenio Fillol en México y el Dr. Bernardo Morales: “la mejor manera
de enseñar Matemáticas es con gusto”. Y no solo ellos, el distinguido
profesor Claudio Alsina en España dice: “la Matemática hermosa se
enseña con el corazón”.
¿De qué manera enseñas Matemáticas?
¿Qué te inspira o motiva para su enseñanza y para hacer
Matemática?
Ortiz hace referencia también a las siguientes fuentes de inspiración
matemática: el número, la forma, el movimiento, el tiempo y el azar.
En relación al número y la forma, es evidente que el edificio en
construcción de las Matemáticas, les debe mucho. ¿Pero, y el azar?
Santaló dice al respecto: “hay que introducir las ideas básicas de la probabilidad y de la
estadística. La Matemática en la escuela se ha pensado siempre como determinista, en
la cual los problemas se debían resolver exactamente, hasta cualquier cifra decimal. Hay
que cambiar este pensar determinista por el pensar probabilista o estadístico, basado en
valores medios, grandes números, extrapolaciones e inferencias, pues los fenómenos y las
situaciones aleatorias son los que más aparecen en la Naturaleza y en la vida de relación”.
Basta citar como ejemplo, que una opción natural para organizar grupos es la del azar.
Muchas veces cuando queremos ordenar un conjunto, lo hacemos por ejemplo de mayor a
menor o en orden alfabético. Pero el azar también cuenta, como cuando se decide escuchar
música de un cd rom o un ipod, no en orden, sino en forma aleatoria.
¿Podría incidir en la formación de una persona, acostumbrarse a ver como normales procesos
aleatorios? Quizá podría contribuir a que esta persona sea, menos rígida y más flexible. La
flexibilidad es una de las grandes competencias de la vida. Santaló recomienda: “otros
puntos que deben ir incluyendo el ciclo de la enseñanza para todos:
a) Elementos de la teoría de muestreo para poder entender las bases de las encuestas
de opinión o de los grados de audiencia de ciertos programas de la televisión (rating)
y apreciar su grado de confiabilidad.
b) Puesto que la vida es un continuo de decisiones que cada uno debe tomar con
frecuencia y que influyen o pueden influir mucho en su futuro, la escuela debe
informar sobre la existencia de una teoría de la decisión, construyendo algunas
matrices simples referentes a problemas elementales que llamen la atención del
alumno…”.
A partir de algunas de las citas anteriores, podemos empezar a respondernos una
pregunta, como la siguiente ¿Y cuáles serán las razones por las cuales es importante
aprender y hacer Matemáticas?
Los fines de la Matemática
Inicialmente, podemos encontrar muchas razones en la relación que tienen las Matemáticas
con las demás ciencias. A este respecto, Pérez Gómez explica lo siguiente: “nada tiene de
extraño el que suela decirse que las Matemáticas son la reina de las ciencias ya que todas
necesitan de su autoridad para que la de cada una se reconozca. Aunque, si bien es la
reina, también es su doncella porque a todas sirve en sus desarrollos. No obstante, y como
muy bien concluye, son la reina de las ciencias porque tienen, además, una característica
que las diferencia del resto: la posibilidad de vida independiente. Es decir, su sangre azul
radica en el hecho de su capacidad de existir en cualquiera de los mundos posibles sin
ACTIVIDAD 6
ACTIVIDAD 7
(reflexión)

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más necesidad que el desarrollo de las habilidades llamadas de orden
superior del intelecto humano”
Santaló, apunta que el ser humano: “necesita los conocimientos
matemáticos para su actuación en el campo laboral y para comprender,
aunque sea superficialmente, las bases y las posibilidades de la moderna
tecnología…”. Afirma además que “la Matemática que necesitan todos
los ciudadanos debe ser una mezcla coordinada y bien equilibrada de
Matemática pura y aplicada”.
Es decir, las Matemáticas tienen una doble finalidad: La primera es
formativa y la segunda: La instrumental. En su valor formativo, la
Matemática ayuda a estructurar el pensamiento, agilizar el razonamiento
deductivo, el pensamiento lógico. Es innegable su importancia para el
desarrollo de la capacidad de pensar, para desarrollar la agudeza mental.
En su aspecto instrumental, constituye una herramienta útil para la vida
diaria, para muchas actividades laborales y para el aprendizaje de otras
ramas del saber.
En su aspecto formativo, Santaló sigue diciendo: “desde los primeros
grados hay que ir educando no sólo en la Matemática propiamente
dicha, sino también en el razonamiento lógico y deductivo que es la
base de la Matemática, pero que es también imprescindible para ordenar
asimilar toda clase de conocimiento. Es decir, hay que ir educando al
alumno en el lenguaje apropiado para comprender la nomenclatura y
funcionamiento de la actual tecnología, así como la base científica que
la sustenta”.
Para Santaló el aprendizaje de los conocimientos de lógica, debe
realizarse con frecuencia en clase y asimilarse como parte natural del
lenguaje y del pensar cotidiano, en forma similar a como se aprende a
hablar, con ejemplos concretos a medida que van apareciendo.
La lógica y particularmente, la lógica matemática estudian las relaciones
que existen entre proposiciones lógicas y su valor de verdad. Persigue
bases lógicas seguras para los fundamentos matemáticos, pretende
además la perfección del método deductivo. Aquí entra en acción las
operaciones lógicas elementales que deben estimularse desde los
primeros años de la escolaridad, como:
Comparar
Clasificar
Seriar
Reunir
Repartir
Relacionar
Corresponder
Negar.
Busca en el diccionario el significado de cada una de las palabras
de la lista anterior. Formula al menos una actividad para realizar
con tus alumnos.
¿Quién sigue?
Una serie es un conjunto de cosas que se suceden unas a
otras y que están relacionadas entre sí. Para lograr una mejor
comprensión con tus alumnos, te sugerimos que con los niños
realices actividades de seriación, como las siguientes.
1. Proponles a los niños que se coloquen en fila. La condición
es que se coloquen de manera alterna. Por ejemplo un niño
y una niña o por ejemplo un niño de frente y un niño de
espaldas.
2. A continuación que realicen la misma actividad, pero con
objetos. Por ejemplo colocar en fila un lápiz y a continuación
un bolígrafo. Puedes apoyarte también con tapitas, pajillas,
paletas de helado u otros objetos a tu discreción.
3. Puedes continuar con series en las que intervengan tres tipos
diferentes de objetos. Un recurso valioso para realizar esta
actividad se encuentra en los bloques lógicos de Dienes. Con
este o un recurso similar, puedes proponer que construyan
una serie con triángulos, cuadrados y círculos.
4. Una vez los niños han adquirido práctica en el juego, puedes
proponerles diferentes dibujos en los que aparezcan series
con dos, tres o cuatro elementos distintos. Posteriormente
puedes realizar ejercicios con números. Por ejemplo
0, 2, 4, 6, 8, 10, …
1, 3, 5, 7, 9, 11, …
0, 3, 6, 9, 12, 15, …
0, 4, 8, 12, 16, 20, …
0, 5, 10, 15, 20, 25, …
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Este tipo de ejercicios más adelante serán muy importantes
para el aprendizaje de la adición y de las tablas de multiplicar.
Sin embargo, es conveniente llevar a los niños a que aprendan
a realizar el ejercicio mentalmente. También es recomendable
sacarlos de la mecanicidad. Un recurso valioso para ejercitar
conteos es la moneda. Para el efecto, puedes proponer a los
niños que representen monedas (fichas) y billetes de diferentes
valor y que a partir de ahí jueguen a compras y ventas y ejerciten
el conteo con números distintos de uno.
5. Puedes sugerir cambios como los siguientes:
Cuenta de tres en tres, pero a partir de 5. En este caso, la serie
resultara así:
8, 11, 14, 17, 20, …
Cuenta de cuatro en cuatro, pero a partir de 7.
7, 11, 15, 19, …
Es importante en este caso, estar alerta para detectar errores y
corregirlos.
6. Completa estas otras series:
• 1, 3, 5, 7, 9, …
• 1, 1, 2, 3, 5, 8, …
• 5, 6, 8, 11, 15, 20, …
• 1, 2, 9, 4, 25, 6, …
• 1, 4, 3, 16, 5, 36, …
• 100, 99, 95, 86, 70, …
• 1, 5, 11, 19, 29, 41, …
• 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, …
• 100, 90, 81, 73, 66, 60, 55, …
• 10, 1, 9, 2, 8, 3, 7, …
• a, b, d, g, k, …
• 4, 8, 6, 12, 10, 20, …
Además de estas relaciones matemáticas básicas, hay también
competencias matemáticas a desarrollar. El ser humano debe desarrollar
la capacidad de explorar, analizar, estimar, abstraer, generalizas, inferir,
argumentar. Debe estimular su imaginación e intuición, así como su
creatividad y fomentar su capacidad para enfrentar situaciones nuevas.
Según María. Antonia Canals, una prestigiada educadora catalana, el
razonamiento lógico matemático incluye las capacidades de: Identificar,
relacionar, operar”
“El razonamiento lógico matemático permite desarrollar competencias
que se refieren a la habilidad de solucionar situaciones nuevas de las
que no se conoce de antemano un método mecánico de resolución
(Alsina y Canals).
A este respecto, ha jugado un papel importante los aportes de Z. P.
Dienes y sus bloques lógicos con los cuales y mediante el juego niñas y
niños desarrollan el razonamiento lógico.
Sin embargo, es importante hacer notar que, a finales del siglo XX, primero
se recomendaba que niñas y niños realizaran muchos ejercicios de
seriación, clasificación y correspondencias, como prólogo al aprendizaje
de los números. Esta metodología, conducía a una enseñanza un tanto
desvinculada de la realidad.
Hoy se concibe que si bien, las nociones relativas a clasificar, seriar,
ordenar, corresponder, son básicas, no deben ser previas a la adquisición
de la noción de número. Pueden y deben ir en forma paralela. Es decir,
que los descubrimientos de los últimos tiempos nos indican que niñas y
niños van adquiriendo la noción de número desde la edad preescolar y
no hay que hacer esperar que adquieran una noción, que van moldeando
en la interacción con su entorno. La noción de número se adquiere,
como se aprende a hablar y se adquiere a lo largo de mucho tiempo.
Es decir, que lo recomendable en la actualidad es plantear situaciones
problemáticas para que con ellas, niñas y niños se familiaricen con los
números de forma natural. Estas situaciones problemáticas, pueden ser
muchos juegos, como los juegos de recorridos con apoyo de dados,
como por ejemplo: la Luisa.

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El valor social de las Matemáticas
De esta manera, entramos a una parte importante del tema: la solución de problemas,
que se convierte en uno de los valores sociales más importantes de las Matemáticas.
En la vida, constantemente nos enfrentamos a problemas, las realizaciones humanas,
están directamente relacionadas con la capacidad para resolver problemas. De ahí que
los seres humanos, deben prepararse desde pequeños a no derrumbarse o frustrarse ante
los problemas que se les plantean, sino más bien, a verlos como retos interesantes y que
se acostumbren a esforzarse por resolverlos.
Hay problemas sencillos y complicados. Para unas personas son difíciles unos problemas
y para otras no lo son. También ocurre que algunos problemas varían su grado de dificultad,
según las circunstancias. Pero en muchos de ellos, las Matemáticas están presentes
de anera directa. En otros no. Pero probablemente, con el entrenamiento matemático,
adquiriríamos gran capacidad para resolverlos.
Un problema trivial podría referirse a establecer el tiempo que resta para que se aproxime
una tormenta. También el de saber cuánta gasolina gastaremos en un viaje o en la semana.
Podría ser un problema inexistente si alguien dice: yo solo me preocupo por llenar el
tanque y ya. Pero a cuántas personas les ha ocurrido quedarse varadas en la carretera, en
especial, en distancias largas y por donde hay escasas estaciones de servicio. O cuántos
no pueden circular en épocas de carestía o racionamiento de gasolina.
Ejercicios sencillos y educación del consumidor
1. La pastilla de jabón. Una pastilla de jabón de cierta marca comercial, tiene un
precio de venta de Q7.85. El empaque con dos pastillas, se vende al público a
Q15.00 y la presentación de 6 pastillas, tiene un precio de venta al público de
Q46.20. Luís quiere comprar varias pastillas para uso familiar durante todo el
mes. ¿Qué presentación le conviene más?
2. El quetzal de tortillas. Lucía vende tortillas a 5 unidades por Q1.00. María
desea comprar Q0.50 de tortillas. ¿Crees que Lucía pudo resolver el problema
y vender las tortillas requeridas? ¿Cómo lo resolvería?
Muchas situaciones de la vida cotidiana están vinculadas a las
Matemáticas. Así por ejemplo, a veces nos tienta determinado
comerciante: “si no quiere factura le rebajo el iva”. O bien, queremos
comprar un automóvil, una casa o terreno, hacer un préstamo y los
anuncios en el banco nos encandilan con bajos intereses. Pero con
el tiempo descubrimos que no era tan así. En sentido inverso, quizá
tenemos que emitir factura y debemos calcular el 5% o el 17% o el 31%
de nuestras ganancias, tenemos que calcular costos para determinar si
un negocio dejará ganancias o no. Hay empresarios que tienen dos o
más negocios y han desconocido por años que el negocio mimado y al
que le dedican toda su pasión, es el que no les da beneficio y se come
las pocas ganancias que proporcionan los otros. Ante estos errores,
mucho tiene que ver la ausencia de competencias matemáticas.
Otros ejemplos sencillos que se relacionan con las fracciones, podrían
ser los de las herramientas calibradas, las llaves de media, de tres
cuartos, etc. O el ejemplo de la pizza de 12 pedazos y el niño que no
sabe si 7 pedazos es más o es menos que los ¾ de la pizza.
Las Matemáticas sirven en la vida diaria, también para educación del
consumidor. Frecuentemente escuchamos expresiones como: oferta de
de tal producto en botella a tal precio, pero en la etiqueta se lee: 635 ml
o 700 ml u otra medida distinta a una botella. O escuchamos que la libra
de tal producto está a tal precio. Pero resulta que lo que compramos son
450 g del producto. O nos venden 2 libras de tal o cual leche, pero al leer
lo que compramos, leemos que fueron 800 g de leche. Quizá queremos
comprar un producto en cuya etiqueta se lee: 1500 g. Pero no sabemos
si la masa del producto es mayor o menor a dos libras. O cuantas libras
equivalen a un kilogramo. Este tipo de ejercicios son básicos al comparar
precios Recordemos que en Guatemala los productos deben venderse
por su masa en gramos o su volumen en mililitros.
La botella de aceite comestible. En un mercado informal, compiten por
vender su producto dos vendedores de aceite comestible. Uno de ellos
tiene mucha gente aglomerada a su alrededor deseosa de comprarle.
Mientras tanto, el otro, solo se dedica a espantar moscas. ¿Por qué un
a un vendedor se le aglomera la clientela y el otro no vende nada del
producto, siendo similar?
La razón es simple: aquel anuncia que su aceite es “más barato por
botella”. Y a simple vista es cierto, la diferencia en precio es muy
significativa respecto de la del otro vendedor. Lo que no perciben los
clientes es que el envase contiene 500 ml y el del otro vendedor, el que
no vende nada, esa de 750 mil.
Naturalmente que hay muchas más circunstancias en las que estamos
rodeados de las Matemáticas y pasan desapercibidas ante nosotros:
la compra de aire del teléfono celular, las cámaras digitales, los cajeros
ACTIVIDAD 10

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automáticos, la predicción del tiempo. Particularmente, las nociones de proporcionalidad
y de escala tienen innumerables aplicaciones en la vida. Por ejemplo para recetas de
cocina, para mezclar fertilizantes, para lectura de mapas, etc. El mundo tecnológico de
hoy, debe mucho a las Matemáticas. Los números binarios están siempre presentes en las
computadoras, las telecomunicaciones o la telefonía celular.
Las Matemáticas a veces pueden resultar mágicas ante el mundo. Como ocurre con la
maravillosa cinta de Moebius o probablemente en la antigüedad cuando los sacerdotes
mayas predecían un eclipse. Algo similar se cuenta que ocurrió con el descubrimiento de
Neptuno. A este respecto, Pérez Gómez cita la siguiente anécdota de la historia de las
Matemáticas “Por citar sólo un caso, y aunque esta predicción a la que voy a referirme
no está al alcance de cualquiera, recordaré la del algebrista John Couch Adams, quien
con lápiz y papel, demostró en 1846 la existencia de Neptuno a partir de las alteraciones
sufridas en la órbita de Urano por “un elemento extraño”; señaló las coordenadas del
objeto que alteraba la órbita y a los expertos sólo les quedó enfocar sus telescopios”.
Las Matemáticas se encuentran en íntima relación con otras disciplinas y aparecen en la
vida laboral cuando menos lo esperamos. Muchas empresas multinacionales optan por
proponer problemas lógicos y matemáticos a los candidatos para determinados puestos.
Plantean a sus candidatos problemas como los siguientes:
1. “Si tienes 8 pelotas, de las cuales 7 pesan exactamente lo mismo y la última
tiene un peso ligeramente menor. ¿Cómo haces para determinar qué pelota
pesa menos?, si dispones de una balanza y solo dos oportunidades para
utilizarla”.
2. “Te proporcionan dos recipientes con capacidad para llenarlos con cierto líquido.
Los recipientes no tienen una forma convencional, sino más bien retorcida y
son opacos. La capacidad de uno de los recipientes es de 3 litros y la del otro:
5 litros. Tienes que verter líquido en el recipiente de mayor capacidad hasta
que contenga 4 litros, ni más, ni menos. ¿Cómo lo harías?”.
Finalmente, la importancia de las Matemáticas para la sociedad: su
función social, nos enseña a resolver problemas y a tomar decisiones:
En la vida continuamente tenemos que resolver problemas y estamos
eligiendo o decidiendo. A veces hay una sola manera de hacer las cosas.
Pero muchas veces, hay diferentes opciones, diversidad de maneras
de resolver un problema. Y a este respecto, es importante que nos
habituemos a buscar otros puntos de vista, otros matices, otra manera
para salir de un atolladero, cuando pensamos que no hay solución.
vSe recomienda proponer varias opciones a los alumnos y alumnas para
que resuelvan problemas en Matemáticas, hasta que encuentren el atajo,
el algoritmo, la manera en la que les resulte más fácil y conveniente.
Muchas veces se repite una frase atribuida a Einstein y que dice más
o menos así: “no podemos obtener resultados distintos si seguimos
haciendo las cosas de la misma manera”. Las Matemáticas no solo
proporcionan la oportunidad de resolver problemas, también nos invitan
a proponer nuevos, a retar nuestras capacidades constantemente.
Recordemos que no es el acomodamiento el que mueve el mundo. Los
cambios sociales siempre han sido impulsados por las personas que se
abren a lo nuevo, que piensan y actúan diferente.
Lectura complementaria
Para ampliar y profundizar en los temas anteriormente, se
recomienda el estudio de la unidad 1 del libro: “Didáctica de la
Matemática –Módulo educativo”del colectivo Paulo Freire con
apoyo de Edumaya y Prodessa. Este documento se entrega
digitalmente, como anexo del curso.
Etnomatemática. El Dr. Leonel Morales Aldana, explica la
Etnomatemática de la siguiente manera: “Se busca una definición de
la Matemática desarrollada por los pueblos Mayas. Distintos pueblos
han desarrollado distintas definiciones de Matemática y distintos tipos
de matemática; por ejemplo los pueblos Mayas, en mesoamérica,
desarrollaron un sistema de numeración que dejaron esculpido en las
estelas y grabado en los códices; los pueblos Incas en América del
sur, tenían una numeración basada en nudos hechos en cuerdas, con
representación de cantidades y fechas. Por otro lado, se tiene la época
de oro de Grecia, con un desarrollo de la Geometría y muy poco uso
ACTIVIDAD 11 ACTIVIDAD 12

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del álgebra, la cual se desarrolla en la India. También se conoce el imperio Romano con
una matemática dedicada a la construcción civil, control y administración de los pueblos
conquistados”.
“La definición de matemática cambia. Cada generación y cada matemático serio, en una
generación dada, formulan una definición de acuerdo con su entendimiento. Podemos
agregar al comentario de Davis, el hecho que cada sociedad tiene una definición de
la matemática que utiliza y produce; no es sólo la generación y el individuo, sino que
también la colectividad, la función que la matemática desarrolla en esta sociedad es lo
que determina su definición”.
“Se reconoce que matemática es mucho más que contar y medir, también se deben aceptar
otras formas (no académicas) del hacer y del pensar matemático. No académica porque
ella está necesitando de una nueva epistemología. Define D’Ambrosio: “Etnomatemática
es el arte o técnica de explicar y conocer”.
“Etnomatemática, como un programa de Investigación es un programa Pedagógico, una
identificación y búsqueda de los factores externos que influyen en el comportamiento.”
(D’Ambrosio, 1987). Programa que lleva el reconocimiento tácito de que el aprendizaje
no es un proceso de transmisión de una vía, de profesor a estudiante, y sí como resultado
de la interacción con su medio social y natural (El profesor es una componente de su
medio social) (D’Ambrosio, 1990, pag. 4)”.
La investigación-acción (I-A). Es una forma de entender la práctica docente para
mejorarla sistemáticamente. Busca entender mejor el contexto y condicionantes de esa
práctica. En nuestro caso: de la práctica docente. No es sólo una ayuda para resolver los
problemas de la práctica. Es un proceso para problematizar la práctica, para descubrir la
naturaleza o la causa de la problemática de la enseñanza. Al problematizarla, se pretende
reorientar el sentido de la misma, así como nuestra valoración de lo que esta debiera ser
y a lo que debiera aspirar.
El ciclo de la I-A
1. Parte de un problema inicial, que es el que te sitúa en el proceso de indagación y de
transformación de tu práctica docente.
2. Profundiza en el significado de ese problema: ¿por qué es un problema?, ¿cuáles
son sus características?, ¿cómo puedes describir el contexto en que se produce?
Incluye los diferentes aspectos de la situación y las distintas perspectivas para su
estudio.Obten cuantos datos te puedan ayudar a analizar las claves del problema.
3. A partir de tus pretensiones educativas, analiza los datos e interpretaciones obtenidas.
Vislumbrar el sentido de la mejora deseable. Has la propuesta inicial de estrategias
para provocar el cambio de tu práctica y pruébala con tus alumnos.
4. Decide las acciones a realizar. A partir de aquí comenzarás una nueva etapa en la
que recopilarás nuevos resultados o evidencias de la práctica. Esos resultados,
te llevarán a un nuevo análisis, a determinar el estado actual del problema y los
resultados obtenidos. Determinarás las nuevas circunstancias, éxitos y problemas
derivados de los cambios realizados en tu labor docente.
Mi proyecto de investigación-acción
Problema: El desarrollo de competencias matemáticas, básicas y para la vida en los niños.
Etapas de realización: durante el desarrollo del curso el proyecto se dividirá en 3 etapas:
Se hará entregas de informes en los presenciales 2, 4 y 6.
Etapa 1. Inicia el ciclo de la investigación, en el contexto del grado y temas que estés
desarrollando con los alumnos y realiza lo indicado en los incisos 1 y 2.
• Apóyate en el CNB para identificar las competencias esperadas e indicadores de logro.
• Apóyate en tu experiencia docente, en los conocimientos obtenidos en este curso y en
los saberes ancestrales del Pueblo y la cultura de la comunidad.
• Establece las necesidades matemáticas requeridas en las actividades cotidianas.
• Obtén los permisos necesarios para recibir la información, realizar entrevistas y
para que figuren como referentes en el documento a elaborar como resultado de la
investigación. Preferentemente, entrevista: abuelos, ajq’ijab’, comadronas, curanderas,
obreros, artesanos, vendedores, entre otros).
• Con mucho respeto, involúcrate en las actividades a observar y las de tus entrevistados.
Elabora tu informe en el idioma de la comunidad y en idioma español.
Etapa 2: realiza las acciones descritas en el punto 3.
Etapa 3: después de la reflexión y análisis de los resultados, continuarás con el ciclo tal
y como se indica en el inciso 4.
De esta investigación, se derivará una propuesta didáctica que entregarás en el
presencial 8.

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Matemática y cosmovisión
Actividad 13
Reflexiona, responde y anota en tu portafolio:
1. ¿Qué entiendes por cosmos?
2. ¿Qué saberes previos tienes acerca de lo que es una
cosmovisión?
3. A lo largo de tu vida, ¿has vivido conforme a una sola
cosmovisión?, ¿a dos o más, ¿o a ninguna?
4. ¿Cuál es tu cosmovisión?
5. ¿En qué principios se rige tu vida o se sustenta tu
cosmovisión?
6. ¿Cuál es la cosmovisión de tus alumnos?
7. ¿Respetas, aceptas y valoras la cosmovisión de tus
alumnos?
8. ¿Aceptas y compartes principios de la cosmovisión de
tus alumnos?
9. ¿Impulsas entre tus alumnos la vivencia, el cultivo
de los valores y la comprensión de su respectiva
cosmovisión?
10. Lee la siguiente reflexión: “La estrella polar es el
referente de la cosmovivencia de los pueblos del norte.
La constelación de la Cruz del sur es el referente de
la cosmovivencia de los pueblos y culturas del sur”
(Joaquín Torres García). ¿Tiene algún significado para
ti? ¿Compartes esta reflexión? ¿Has aspectos que no
compartes? ¿Cuáles serían?
Qué es una cosmovisión. Una cosmovisión es una visión o
concepción del mundo o del Universo. Es la manera como cada
persona a lo largo de su vida o un grupo cultural, sociedad o pueblo
imagina, modela, percibe, valora o concibe el mundo, la realidad y la
existencia humana. Esa manera de ver el mundo corresponde a una
época determinada. También se puede definir como: “el conjunto
de opiniones y creencias que conforman la imagen o concepto
general del mundo que tiene una persona época o cultura, a partir
de la cual interpreta su propia naturaleza y la de todo lo existente.
Una cosmovisión define nociones comunes, que se aplican a todos los
campos de la vida, desde la política, la economía o la ciencia hasta la
religión, la moral o la filosofía”2
. Es decir, que una cosmovisión abarca
los diferentes aspectos de la vida. Por ende: es integral, holística.
“Surge a partir de las actividades vitales de la experiencia de la vida y
de la estructura de la totalidad psíquica, estando por ende sometidas
a las variaciones de la historia de la cultura”3
. El término cosmovisión
fue empleado inicialmente filósofos alemanes, entre ellos: Emmanuel
Kant y Wilhelm Dilthey. Aquellos cuya formación es exclusivamente
monocultural, que piensan que su cosmovisión es la única valedera e
“intentan imponer su cosmovisión por la fuerza y no aceptan la disidencia
son conocidos como fundamentalistas”4
. De ahí que en la educación
actual resulte importante el enfoque intercultural.
Cada pueblo, cada grupo cultural, cada persona tiene su propia
cosmovisión. Ejemplos de Cosmovisiones, son la cosmovisión
judeocristiana, la cosmovisión grecolatina, la cosmovisión china, egipcia
o sumeria para referirnos a los pueblos originarios de Asia y de Europa. En
forma similar, existe una cosmovisión propia de cada uno de los pueblos
originarios de América. Es así como el pueblo inca, azteca, maya, xinca,
entre otros, tienen su propia cosmovisión. Pero también otros pueblos,
como el garífuna. En la mayoría de miembros del pueblo ladino o
mestizo de Guatemala, su cosmovisión está influida en gran medida por
la cosmovisión judeocristiana y por la cosmovisión grecolatina.
Sin embargo, la cosmovisión de algunos guatemaltecos, es diferente.
Entre estas Cosmovisiones, se encuentra la cosmovisión materialista y
la cosmovisión capitalista.
El desarrollo de los diferentes pueblos del mundo y de las diferentes
épocas, ¿estará vinculado a las correspondientes cosmovisiones?
¿Cuál es tu opinión al respecto?
Desde tiempos antiguos, en la cosmovisión judeocristiana, además de
los números y la aritmética, han sido importantes las medidas. Así, en
Éxodo, se dedica mucho espacio a las medidas exactas que deben
tener el Tabernáculo y los diferentes elementos contenidos en él. Desde
esa época se habla del codo, como unidad de medida.
Cosmos
Según el DRAE, la palabra se
origina en el latín: cosmos, y
este del griego: . Un
cosmos es un sistema ordenado
y armonioso. Es la antítesis del
caos. Generalmente, la palabra se
toma como sinónimo del mundo y
el Universo o espacio exterior a la
Tierra.
2 Cosmovisión. Ver en Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Cosmovisi%C3%B3n
3 -Cosmovisiones y filosofías. (2011). Estado Plurinacional de Bolivia. Ministerio de Educación. 15
4 Definición de cosmovisión. Ver en: http://definicion.de/cosmovision/
A partir de lo anterior, es oportuno
preguntarte:
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El siguiente versículo da cuenta de la relación entre las Matemáticas y la cosmovisión:
“No hagas injusticia en juicio, en medida de tierra, en peso ni en otra medida. Balanzas
justas, pesas justas y medidas justas tendrás”. (Lv 19:35). En forma similar, en el diálogo
entre Jehová y Job, se lee lo siguiente: “Dónde estabas tú cuando yo fundaba la Tierra?
Házmelo saber, si tienes inteligencia. ¿Quién ordenó sus medidas, si lo sabes? ¿O quién
extendió sobre ella cordel? ¿Sobre qué están fundadas sus bases? ¿O quién puso su
piedra angular”. (Jb 38:4-6)
En el Salmo 39 se lee lo siguiente: “Hazme saber, Jehová, mi fin, y cuánta sea la medida
de mis días; Sepa yo cuán frágil soy. He aquí, diste a mis días término corto, y mi edad es
como nada delante de ti”. En Proverbios 20: “Pesa falsa y medida falsa, ambas cosas son
abominación a Jehová”.
El Nuevo Testamento, no escapa a la interrelación entre Matemática y cosmovisión.
Veamos: No juzguen, para que no sean juzgados. Porque con el juicio con que juzgan,
serán juzgados, y con la medida con que miden, les será medido”. (Mt 7:1-2). “A fin de
que, arraigados y cimentados en amor, sean plenamente capaces de comprender con
todos los santos cuál sea la anchura, la longitud, la profundidad y la altura”. (Ef 3:18)
Finalmente, en el libro de Revelaciones, se lee: “El que hablaba conmigo tenía una caña de
medir, de oro, para medir la ciudad, sus puertas y su muro. La ciudad se halla establecida
en cuadro, y su longitud es igual a su anchura; y él midió la ciudad con la caña, doce mil
estadios; la longitud, la altura y la anchura de ella son iguales. 17 Y midió su muro, ciento
cuarenta y cuatro codos”. (Ap 21:15-17)
El pensamiento holístico
1. ¿Sabes qué es el pensamiento holístico?
2. Anota tus saberes previos acerca del holismo
3. ¿Qué elementos propios de tu cosmovisión se pueden entender desde la
perspectiva holística?
4. ¿Consideras que en tu vida cotidiana y en tu labor docente practicas el
pensamiento holístico?
5. Anota, al menos dos ejemplos, en los que empleas el pensamiento holístico.
Desde la antigüedad y en las diferentes culturas del mundo los seres humanos fijaban su
atención en las íntimas relaciones existentes entre todas las cosas. “A veces en la talla,
pintura, transmisión oral y más tarde en forma escrita, nuestros antepasados narraron la
vinculación existente entre la propia naturaleza, de ésta con el hombre y en la convivencia
grupal. Con el pasar de los años, en occidente, el cientificismo y el dogmatismo nos
llevaron al predominio de la visión fragmentaria de las cosas, la separación entre ciencia y
filosofía consolidó esta grieta”.
“Recientemente ante la insuficiencia del paradigma científico, sustentado casi
exclusivamente en la experimentación, surgieron esfuerzos por encontrar nuevas vías
para el desarrollo del conocimiento. En la primera mitad del siglo XX, desde los diversos
ángulos de las aportaciones de Jan Smuts, Norbert Weiner, Shannon y Weaver, Neumann
y Morgenstern, se abrió la senda a un nuevo modelo de comprensión: el holismo (del gr.
Olós: todo, entero), es decir la visión que busca totalidades en lugar de fragmentaciones”.
(Abel Pérez Rojas).
“A partir de 1968 cobra especial interés la Teoría General de los Sistemas expuesta por
el biólogo Ludwing Von Bertalanffy (1901-1972). En la Teoría General de los Sistemas se
define a un sistema como un conjunto de elementos que, relacionados ordenadamente
entre sí, contribuyen a determinado objeto, asimismo que todos los sistemas están
formados por elementos de interacción, y que estos elementos son a su vez sistemas; es
decir, que todo lo que nos rodea tiene una vinculación entre sí”.
El DRAE da la siguiente definición para el concepto de holismo:
“holismo.
(De holo- e -ismo).
1. m. Fil. Doctrina que propugna la concepción de cada realidad como un todo distinto de
la suma de las partes que lo componen.
En Wikipedia, encontramos la siguiente explicación al holismo y al pensamiento holístico:
“El holismo (del griego [holos]; todo, entero, total) es la idea de que todas las
propiedades de un sistema dado, (por ejemplo, biológico, químico, social, económico,
mental o lingüístico) no pueden ser determinados o explicados por las partes que los
componen por sí solas. El sistema como un todo determina cómo se comportan las partes.
Como adjetivo, holística significa una concepción basada en la integración total frente a
un concepto o situación”.
El principio general del holismo fue resumido concisamente por Aristóteles en la serie de
libros conocida como: metafísica (libros que escribió después de los física): “El todo es
mayor que la suma de sus partes”.
Se puede definir como el tratamiento de un tema que implica todos sus componentes, con
sus relaciones invisibles por los cinco sentidos, pero evidentes igualmente. Se usa como
una tercera vía o un nuevo enfoque a un problema. El holismo enfatiza la importancia
del todo, que es más grande que la suma de las partes (propiedad de sinergia), y da
importancia a la interdependencia de éstas.
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El pensamiento holístico y la cosmovisión maya
En la Introducción al libro: Raxalaj Mayab’ K’aslemalil –Cosmovisión Maya plenitud de la
vida, publicado por el PNUD, encontramos los siguientes párrafos que dan cuenta del
pensamiento holístico en la cosmovisión maya:
“Hemos hecho nuestras vidas humanas en comunión con la vida y la dignidad de las
sierras y los cerros; los volcanes, los valles y los caminos; las piedras, las plantas y
los animales; los pozos, los ríos, los lagos y los océanos; el aire,, las nubes y la lluvia.
Hemos aprendido y recreado, en nuestras vidas humanas, la vida que la Madre Tierra y
el Universo nos han legado”.
“Por eso, el Pueblo maya y su territorio son una unidad; así como la humanidad, las
plantas, los animales, la Madre Tierra y el Universo, somos una unidad”.
Más adelante se lee en el libro citado: “De generación en generación hemos aprendido a
ser y a vivir en equilibrio y armonía con el Universo y sus manifestaciones. Aprendemos
nuestra cosmovisión desde el vientre de nuestras madres”.
A manera de ejemplo, en el capítulo II del libro: Me llamo Rigoberta Menchú y así me
nació la conciencia”, se lee lo siguiente: “Después, cuando tenga la señora siete meses,
es cuando la señora se pone en contacto con toda la naturaleza, según nuestra cultura.
Saldrá al campo, irá a caminar en el monte. Así el niño el niño está encariñándose con
toda la naturaleza. Tiene que ir forzosamente, tiene que enseñarle al niño la vida que
vive la madre. Por ejemplo, si la madre se levanta a las tres de la mañana. Mucho más
cuando está embarazada. Se levanta a las tres de la mañana, hace sus servicios, sale a
caminar, se encariña con los animales, se encariña con toda la naturaleza, llevando en
mente que el niño lo está recibiendo y empieza a platicar constantemente con su hijo,
desde cuando está en su vientre. Le dice que tiene que vivir una vida difícil. Es como si
estuviera acompañada de un turista, donde le explica las cosas. Por ejemplo: “De esta
naturaleza nunca tienes que abusar y esta vida la tienes que vivir constante como yo la
vivo”. Sale en el campo, pero explicándole a su hijo los detalles”.
Volviendo a la relación íntima que existe entre el pensamiento holístico y la cosmovisión
maya, en el libro del PNUD, ya citado leemos: “Aprendemos en nuestras familias que sólo
llegamos a ser seres humanos en colectividad, en comunión con la Madre Naturaleza y
el Cosmos. Reunidos alrededor del fuego familiar disfrutamos la dulzura de la sabiduría
que nuestros ancestros nos legaron. Aprendemos de las historias que nuestras abuelas
y abuelos, nuestras madres y padres, han recibido a través de los milenios, como medio
para orientarnos a la conexión con la Sagrada Naturaleza, con el Universo y con la
humanidad”.
Además se lee lo siguiente: “Por eso nuestra organización social se caracteriza por la
comunitariedad, sistema que se sustenta en el principio de reconocer a la Naturaleza
y a las otras personas en la vida propia. Sobre este sustento, la estructura social se
basa en los valores del respeto, la complementariedad y la solidaridad como realidades
cotidianas”. (P: 20)
“En ese concepto cosmogónico realizamos nuestra vida en toda su plenitud. Mediante la
ciencia, la tecnología, la estética y la espiritualidad creadas milenariamente, entramos en
comunión con la Naturaleza y el Universo para construir nuestra plenitud”. (P:20-21).
Las cosmovisiones y el significado de los números
En la Matemática occidental, heredera de los matemáticos griegos se estudian los
números primos. Estos son aquellos que solo son divisibles por sí mismos y por la unidad.
Los primeros números primos son: 2, 5, 7, 11, 13, 17.
El colador de números
Construye una Criba de Eratóstenes para determinar los números primos menores
que 100.
Asociados a los números primos, pero estudiados más como una curiosidad histórica, se
encuentran diferentes tipos de números, entre ellos, los siguientes:
Número perfecto: es un número natural que es igual a la suma de sus divisores sin
incluirse el mismo número. Por ejemplo: el número 6. Sus divisores son 1, 2 y 3. La suma
de 1, 2 y 3 es igual a 6.
Número deficiente: es un número natural que es mayor que la suma de sus divisores
propios exceptuándose a sí mismo.
Número abundante: es un número natural en el que la suma de todos sus divisores
supera a su doble. Por ejemplo, el número 12. Sus divisores son: 1, 2, 3, 4, 6 y 12. La suma
de todos sus divisores es igual a 28 que supera al doble de 12: 24.
Números amigos: son aquellos en los que la suma de los divisores de uno es el otro.
Ejemplos de números amigos son: 220 y 284.
Números gemelos: son dos números primos en los que uno de ellos es igual al otro más
dos unidades. Son ejemplos de números gemelos: 3 y 5, 11 y 13.
Números triangulares: son aquellos que pueden recomponerse en la forma de un triángulo
equilátero (1, 3, 6, 10, …). Una forma práctica de representar los números triangulares, es
mediante fichas o pequeñas esferas (cincos o canicas).
Números poligonales: son aquellos que pueden representarse mediante polígonos
regulares.
ACTIVIDAD 16

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Determina si los números 10, 16 y 28 son deficientes, abundantes o perfectos.
Los griegos establecieron más categorías de números que presentaban características
peculiares. Un caso particular de estas clasificaciones, lo constituye el número áureo y
que se estudiará más adelante.
En la Grecia clásica, existieron grandes matemáticos, entre ellos destaca Pitágoras, quien
fundó una escuela de filósofos: los pitagóricos. Los miembros de esta escuela consideraban
que el orden cósmico se basaba en relaciones numéricas. Atribuían significado místico a
los números. “La escuela pitagórica, existente en Crotona (Italia meridional) y fundada
hacia el año -530, tenía cierto carácter de sociedad secreta, y sus discípulos veían en los
números el fundamento único o esencia de todas las cosas” 5
.
Los pitagóricos tenían especial veneración por los números perfectos. Es decir, por los
números que son iguales a la suma de sus divisores. Ejemplos de números perfectos son
el 6 y el 28. Divisores de 6 son: 1, 2 y 3. 1 + 2 + 3 = 6. El número que merecía el mayor
respeto para los pitagóricos era el número 10, denominado “tetrakto divino”, debido a
que es el resultado de sumar los primeros cuatro números enteros: 1 + 2 + 3 + 4 = 10. La
representación triangular del número 10 era considerada un símbolo sagrado.
Endiferentescosmovisiones,losnúmerostienenunsignificadomultidimensionalyholístico.
Van más allá de la noción abstracta de cantidad y no se limita a asociar determinadas
magnitudes (como longitudes, áreas, volúmenes, masas o pesos) a los números. De esta
manera, los números en sus diversos significados, tienen relación con la vida personal y
con los diferentes acontecimientos humanos y naturales. Los números responden a un
plan cósmico, se asocian con cualidades, valores, aptitudes, tendencias, vibraciones, el
destino y otros aspectos. En diversas culturas, el Universo surgió y se sustenta por leyes
asociadas al número, la medida y el peso. En consecuencia, la divinidad creadora se basa
en la Geometría para su creación o construcción. Además de esta manera se considera
que el número es santo y es infinito. Todos los números son considerados entidades
vivientes.
Como ejemplo de lo anterior, en la cosmovisión hebrea se estudia la Matemática desde
esta perspectiva. Es la ciencia holística que se conoce como Cábala, la ciencia tradicional
de los hebreos y el álgebra de la fe, según Eliphas Levi y otros investigadores del tema.
La cábala en la escuela primaria, puede resultar una opción interesante para la enseñanza
de valor absoluto, los múltiplos de diez y hasta las potencias de diez.
De acuerdo con la Cábala, cada letra hebrea es a la vez un número. Es así como una palabra
o un nombre se corresponde con un valor que resulta de sumar los valores numéricos de
cada letra. En consecuencia, cada nombre propio tendrá un significado relacionado con
determinado número. El alfabeto semita o mejor dicho, el álef bet o abyad hebreo, consta
de 22 caracteres consonánticos. Las primeras letras hebreas son: Alef, Bet, Guimel, Dálet,
He. Las últimas Resh, Sin y Tau. Curiosamente, estas 22 consonantes constituyen los 22
capítulos del Salmo 119 en la Biblia hebrea. En el judaísmo, la primera letra representa la
presencia divina y su valor es uno. La última letra simboliza la verdad.
Malba Tahan, en su obra: “El hombre que calculaba6
” narra una hermosa historia
relacionada con un bazar en el que todos los artículos que en él se ofrecían, se
vendían por el precio de 4 dinares. El nombre del negocio era por demás singular:
“Los cuatro cuatros”. En dicho relato, el personaje central de la obra: Beremiz Samir
narra “una de las maravillas del Cálculo: empleando cuatro cuatros podemos formar
un número cualquiera”.
Con ayuda de cuatro números cuatro y de las cuatro operaciones matemáticas,
intenta obtener los números dígitos, es decir, los primeros 10 números (de 0 a 9).
En distintas culturas, los números están asociados a múltiples aspectos de su respectiva
cosmovisión. Es así como en la cosmovisión judeocristiana, el número tres, se asocia
con el misterio de la Santísima Trinidad: Padre, Hijo y Espíritu Santo. Además se asocia a
la relación: padre, madre, hijo. En otras cosmovisiones, también se encuentran diversas
relaciones con el número tres. En la cosmovisión hindú, la Trimurti hace referencia a los
tres dioses principales: Brahma, Visnú y Shiva. En el Popol Wuj se lee que “Corazón
del Cielo” se identifica con una poderosa fuerza: “Huracán” con tres manifestaciones
distintas: “Uk’u’x kaj llamado Jun Raqan. Kaqulja Jun Raqan, el primero, el segundo es
Ch’ipi Kaqulja y el tercero Raxa Kaqulja. Eran tres, pues, las manifestaciones de Uk’u’x
Kaj”7
.
El número tres, se asocia también a las fuerzas positiva, negativa y neutra. Los físicos
sostienen que en el momento del Big Bang, solo existían tres fuerzas: la fuerza nuclear
fuerte, la fuerza nuclear débil y la fuerza electromagnética. Las múltiples relaciones que
se pueden encontrar con el número tres, han llevado a algunos filósofos, como George
Gurdjieff a formular lo que define como “la ley de tres”8
.
ACTIVIDAD 17
5 H. Wieleitner –Historia de la Matemática. Pág 24)
ACTIVIDAD 18
6 Malba Tahan. El hombre que calculaba. 28 y 29
7 Sam Colop. Popol Wuj. Páginas 26 y 27.
8 P. D. Ouspensky. Fragmentos de una enseñanza desconocida. (1975). Buenos Aires. Hachette. 114

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En forma similar, en la cosmovisión judeocristiana, el número siete aparece múltiples
veces en la Biblia. Se asocia con los siete días de la creación y con la Semana Santa,
en la historia de Abel y Caín, este es castigado siete veces, Noé subió siete parejas de
“animales limpios” al arca, Jacob por amor a Raquel sirve a Labán por siete años y en
la historia de José relativa al sueño de Faraón hay repetidas referencias al número siete:
siete vacas, siete espigas, siete años. Los judíos celebran la fiesta de las cosechas siete
semanas después de primavera, siete son los sacramentos de la iglesia Católica y siete
los pecados capitales y virtudes principales. En el Apocalipsis, el número siete aparece
de diversas maneras: siete iglesias de Asia, siete espíritus ante el trono de Dios, siete
trompetas, siete candeleros.
En el Popol Wuj el número siete aparece asociado a diferentes nombres de la cosmovisión
maya: Wuqub Kak’ix (Siete Guacamaya) y que se asocia también con la Osa Mayor, la
constelación más brillante del firmamento y que curiosamente, consta de siete estrellas
visibles a simple vista. Otro nombre asociado al número siete es el de Wuqub Junajpu9
.
Curiosamente, en la Naturaleza y en la ciencia se encuentran interesantes relaciones con
el número siete: las siete notas o sonidos fundamentales y los siete niveles de energía
atómica para citar algunos ejemplos. Por si fuera poco, en la vida cotidiana: siete son los
días de la semana. En forma similar al número tres. Filósofos del pensamiento holístico,
como Gurjieff han formulado lo que denominan: “la ley de siete”10
.
El calendario sagrado maya (tzolkín o cholq’ij) constituye un excelente ejemplo en el que los
números se combinan con múltiples aspectos de la vida de cada persona. Tanto en sentido
espiritual, como en la vida cotidiana. Se asocia a diferentes energías, a la celebración de
ceremonias religiosas, el destino y características personales. “Este instrumento permite a
cada persona ubicarse en el mundo, saber sus propensiones, capacidades y debilidades,
y encaminar su existencia en armonía con su propósito de vida para desarrollar así toda
su potencialidad ”11
.
Los cuadrados mágicos
Otro ejemplo extraordinario en el que se relacionan los números con fuerzas espirituales
y elementos religiosos, lo constituyen los “cuadrados mágicos”. Están presentes desde
tiempos antiguos y en diferentes culturas. Se sabe que los sacerdotes egipcios los
empleaban para predecir el futuro, y en China, en el año 2200 a. C. el emperador Shu vio
un cuadrado mágico en el caparazón de una tortuga en el río Lo. En un manuscrito árabe
del Siglo VIII se cita como creador de uno de esos místicos cuadrados a Apolonio de
Tiana, (Tiana, Capadocia) del año 3dC, quien fue un filósofo, matemático y místico griego
de la escuela pitagórica. Cornelius Agrippa y Paracelso estudiaron diversas propiedades
de estos cuadrados, entre ellas, las de talismanes. A siete de estos los asocian con Venus,
Mercurio, Marte, Júpiter, Saturno, la Luna y el Sol 12
.
Rafael Martínez, al explicar la relación entre los cuadrados mágicos y la
cosmovisión renacentista anota que: “entender el simbolismo asociado
con los cuadrados mágicos requiere reconocer algunos de los elementos
culturales propios de las elites europeas de los albores del siglo XVI. En
esos años cobra ímpetu el movimiento de transición que llevó de la visión
aristotélica o escolástica del mundo a la fase newtoniana. El contraste
entre ambas es evidente para explicar el mundo y su funcionamiento, los
escolásticos hacían caso omiso de la cuantificación de los fenómenos
y, en lugar de ello, recurrían a las cualidades y a las “formas”, en tanto
que la idea de causa incluía algo tan extraño a nuestras mentes como
“el propósito o fin último de los procesos”. Su método eras el de la
filosofía y la teología, valoraban el debate y lo dicho por las “autoridades”
del pasado lejano –Aristóteles, Platón, san Agustín, los Padres de la
Iglesia y los comentaristas, así como Alberto Magno, santo Tomás, y
Pedro Hispano-, dejando de lado la observación y la experimentación.
Vinculadas con la primera posición estaban las explicaciones de corte
mágico y alquímico que, inspiradas en antiguas doctrinas pitagóricas,
se habían transmitido al Renacimiento gracias al resurgimiento del
neoplatonismo. A caballo con estas ideas, llegaron las nociones que
defendían la existencia de lazos entre los números y los objetos del
mundo material, el cual ocupaba los espacios interiores de la esfera de
la Luna” 13
.
Construye el cuadrado mágico de orden 3.
En una hoja de cuadrícula, marca un casillero cuadrado de 3 X 3
casillas, es decir, de 9 casillas.
En cada una de las 9 casillas, anota uno de los números digitos
de 1 a 9.
Debes colocar todos los números en el casillero y no debe repetirse
ningún dígito.
La suma de los dígitos de cada una de las 3 filas, de las 3 columnas
y de las dos diagonales, debe ser igual a 15.
9 Sam Colop. Popol Wuj. Página 43.
10 G. Gurdjieff. Del todo y de todo –libro tercero. (1980). Buenos Aires. Hachette 15
11 Ludovia Squirru y Carlos Barrios. El libro del destino –Kam Wuj. (2000). Buenos Aires. Editorial Sudamericana, 135
12 Historia de los cuadrados mágicos. Ver en: http://www.portalciencia.net/historia.html
dibujar un cuadrado que en su
interior tenga 9 cuadrados (un
cuadrado de 3 cuadrados x 3
cuadrados)
ACTIVIDAD 19
13 J. Rafael Martínez E. –Los cuadrados mágicos en el renacimiento. Matemáticas y magia natural
en el Occulta Philosophia de Agrippa –(2004). Educación Matemática, agosto, año/vol. 16,
número 002. México. Santillana, pp 77-92
14 Tomado de: Cuadrados mágicos. Ver en: Departamento de Matemática: http://www.
iesezequielgonzalez.com/matematicas/cuadrmagico.htm

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34
Principios holísticos en las distintas cosmovisiones
Es difícil entender estas relaciones entre números, fenómenos y cosmovisiones desde el
pensamiento racional y desde la concepción atomista del conocimiento. Para encontrar y
comprender las múltiples relaciones existentes entre los diferentes fenómenos, se requiere
del pensamiento holístico. Es decir, se requiere de una manera de pensar diferente. Desde
esta perspectiva, resulta sumamente importante aprender a interrelacionar conceptos,
tener presente que todos los fenómenos ocurren proporcionalmente en diferentes
circunstancias con sus correspondientes escalas. Lo que ocurre en el todo, se repite en
sus partes. Un ejemplo maravilloso de este principio se puede observar en la Geometría
de la Naturaleza, en especial, en la Geometría fractal.
De acuerdo con la manera holística de estudiar los fenómenos, la relación proporcional
entre el todo y sus partes entrelaza microcosmos con macrocosmos. En tal sentido, un
individuo, está fuertemente interrelacionado con la Naturaleza y la sociedad de la que es
parte. El ser humano y cada uno de los seres existentes en el mundo, están influenciados
e influencian a nuestro planeta.
Un principio generador del conocimiento holístico establece que “la diversidad es la
unidad”. Todos los fenómenos y seres del Universo están interrelacionados y establecen
mutuas relaciones y dependencias. La cosmovisión maya ejemplifica el pensamiento
holístico.
“La cosmovisión maya es una actitud y un planteamiento ante la vida, es la forma en
que aprendemos a convivir con nuestras percepciones de la realidad. Todo es un hecho
integral y nada está aislado de la secuencia de la vida; cada acto tiene una relación e
integración con las fuerzas cósmicas, la manifestación de la naturaleza y la energía telúrica.
Nosotros somos el producto de esta convergencia que surge de la conciencia universal.
La existencia es una continuidad” 15
.
Domingo Yojcom cita a León-Portilla, quien afirma que: “cada uno de los pueblos
alcanzaron a forjar para sí deferentes visiones del mundo, que les ayuda a explicar y
a comprender su universo, los sabios mayas con su peculiar forma de construir sus
conocimientos, inventaron una cosmovisión basada fundamentalmente en la historia, la
medida y la predicción de la realidad total cuya esencia es el tiempo” 16
.
Yojcom hace referencia además a los principios del pensamiento maya. Estos son:
interdependencia, complementariedad, dualidad, diversidad, equilibrio y transitoriedad.
Yojcom explica lo siguiente: “Las personas, los animales, las plantas, los cerros, las
montañas y cuanto ser existe en esta Tierra están en una relación de interdependencia
en este planeta y con el cosmos mismo… Todo cuanto existe en forma de materia y
energía cumple con el principio de complementariedad, es entonces una condición natural
de interrelación y convivencia entre elementos homogéneos y heterogéneos, iguales
y divergentes, positivos y negativos que forman un todo… En la práctica cotidiana, la
dualidad es la razón fundamental de la comprensión de todo fenómeno, es decir causa y
efecto, el bien y el mal, el día y la noche, la grandeza y la decadencia, etc… La diversidad
se manifiesta a través de los elementos que conforman el todo, es el sustento y la esencia
misma del todo en cuanto materia y energía…. El equilibrio en la vida cotidiana del ser
humano es un estado de balance dinámico en pensamientos, actitudes y relaciones… La
transitoriedad no sólo se aplica al dominio de los animales, plantas y personas, sino a todo
ser (material y energético) que existe en el cosmos, y es al mismo tiempo la inestabilidad
presente en algunos elementos de la naturaleza. La transitoriedad se da en el tiempo y en
el espacio multidimensional del pensamiento maya” 17
.
Principios de la filosofía hermética, griega y alemana
A través de las diversas cosmovisiones, el ser humano ha intuido los principios holísticos
universales. Así como en el pensamiento maya, en otras culturas se han dilucidado
principios similares. En la filosofía hermética inspirada en el pensamiento egipcio se
estudia el principio de correspondencia entre las diferentes leyes, fenómenos y seres. Un
aforismo sintetiza este principio con el siguiente enunciado: “Tal como es arriba es abajo”.
Otro principio de la filosofía hermética es el principio de vibración, que explica que todo
está en movimiento y que nada permanece inmóvil.
Un tercer principio de esta filosofía establece que todo es dual, todo tiene dos polos, todo
tiene su par de opuestos. Este es el principio de polaridad. El principio de ritmo establece
que todo fenómeno ocurre de acuerdo con el movimiento pendular, todo se desenvuelve
en un movimiento de ida y vuelta de flujo y reflujo. El principio de causa y efecto afirma que
nada ocurre casualmente y que todos los fenómenos ocurren conforme a leyes 18
.
Principios similares fueron formulados por los filósofos denominados presocráticos en la
antigua Grecia. Es así como a Anaximandro se le atribuye admitir “el eterno movimiento
de las cosas”. De Anaximandro es el siguiente fragmento: “de allí de donde les viene el
nacimiento a los seres, allí encuentran también su destrucción, según la necesidad. Es
como si se pagaran mutuas retribuciones y penas por su injusticia, según el orden del
tiempo” 19
.
De acuerdo con tu cosmovisión, anota los principios holísticos que rigen tu vida.
15 Ludovica Squirru & Carlos Barrios. Kam Wuj El libro del destino –astrología maya. Página 77
16 Domingo Yojcom. La epistemología de la Matemática maya. Página 59.
17 Yojcom 81.
18 Anónimo. El Kybalion. (1973). México. Ed Orión.
19 Emilio Lledó y otros. Historia de la Filosofía 2. Santillana. Página 9
ACTIVIDAD 20

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De la filosofía de Heráclito se tienen noticias que esta incluía el principio de la armonía de
los contrarios. A este filósofo se le atribuyen frases como: “Uno y lo mismo es lo viviente
y lo que muere, lo despierto que lo dormido, lo joven que lo viejo” 20
. También herencia
del pensamiento de Heráclito es la idea de que todo está en constante cambio y de que
no podemos bañarnos dos veces en las mismas aguas de un río. El mismo Platón en el
Crátilo pone en labios de Sócrates la siguiente afirmación: “Heráclito dice que todo pasa,
que nada permanece, y comparando las cosas con el curso de un río, dice que no puede
entrarse dos veces en un mismo río” 21
.
Más recientemente, los filósofos alemanes plantearon principios similares, en especial, G.
W. F. Hegel 22
quien descubrió los principios de la dialéctica. Algunas leyes de la dialéctica
son: la ley de la interacción universal que establece que “nada existe aisladamente. Aislar
un hecho, un fenómeno, y mantenerlo luego en ese aislamiento mediante el entendimiento,
es privarlo de sentido, de explicación, de contenido” 23
. Otras leyes de la dialéctica son la
ley del movimiento universal y la ley de la unidad de los contradictorios.
Yojcom afirma además que la preocupación científica maya abarca tres grandes
dimensiones íntimamente relacionadas:
1. Loq’olaj Kaaj (La Bóveda Celeste ). La concepción de bóveda celeste (Loq‘olaj Kaaj)
se refiere a ese firmamento que nuestros ojos alcanzan a ver, pero también está ligado con
las fuerzas y energías que nuestra visión humana no logra detectar.
2. Loq’olaj Ruwach’uleew (La Tierra). La Tierra como dimensión en donde cohabitan
una diversidad de seres vivos17, es considerada como madre y progenitora, algunas
comunidades como los Q‘eqchi‘ y Tz‘utujil lo relacionan con la mujer, o sea, la madre
naturaleza, porque es la que sustenta y da vida a todo cuanto en ella existe. El término
Loq‘olaj Ruwach‘uleew (Loq laj = sagrado, Ruach‘ulew = tierra) puede ser reducido a la
parte física o lo que nuestros sentidos alcanzan a percibir; sin embargo el concepto de
tierra es mucho más amplio, implica la naturaleza misma y el espíritu de esta.
3. Xib’ib’al b’eey (El Camino de la Precaución o El Mundo del Más Allá). Es una
dimensión que corresponden al mundo del más allá, conocido por los antropólogos e
etnógrafos como el inframundo, aunque esta idea no está muy descabellada, puesto que
en el pensamiento maya se puede concebir a Xib‘ilba‘l b’eey como un mundo invisible
paralelo al que los seres humanos habitan.
Es importante aprender a encontrar las múltiples relaciones entre la Matemática y los
diferentes principios holísticos aquí estudiados. Por ejemplo, la comprensión de la ley de
causa y efecto de acuerdo con las diferentes cosmovisiones, contribuye eficazmente al
desarrollo del pensamiento lógico matemático.
La exploración del espacio en la escuela
primaria
El saber geométrico, a través de la historia de la humanidad, ha sido una
útil herramienta en la evolución cognoscitiva del hombre. Su utilización,
desde sus formas visuales y empíricas, hasta en sus estructuras teóricas,
ha logrado un desarrollo del pensamiento al intentar el descubrimiento de
relaciones y nexos con los objetos. Este saber posiblemente es la parte
de las Matemáticas con mayor inclinación a la intuición, la concreción
y la realidad. Ella posibilitó desde la antigüedad una genuina ciencia
experimental llevada a varias ramas del saber y la técnica que precisan
el uso del espacio, tal es el caso de la astronomía, la arquitectura y la
producción agraria.
Por otra parte, la Geometría como una disciplina, se apoya en un proceso
extenso de formalización, el cual se ha venido desarrollando por más de
2000 años en niveles crecientes de rigor, abstracción y generalidad… La
Geometría no solo desarrolla el área cognitiva y el pensamiento espacial,
que da paso a una actividad intelectual que exige el análisis, la síntesis,
la generalización, la particularidad, la abstracción y la concreción
como formas de trabajo y pensamiento matemático, sino que logra
paralelamente el desarrollo de habilidades y capacidades mentales
generales, así como de cualidades positivas de la personalidad. ” 25
.
En la actualidad, el aprendizaje de la Matemática en general y de
la Geometría en particular, se concibe como un proceso en el que
se posibilite la construcción de conocimientos y la exploración de
posibilidades que le den significado a los nuevos saberes a partir de
conocimientos previos y nuevas experiencias. Es en las vivencias
cotidianas y del ambiente escolar que se deben proponer situaciones
problemáticas que permitan trabajar de acuerdo con el enfoque de
resolución de problemas. En este sentido debe procurarse presentar
a los alumnos las más diversas situaciones que les den oportunidad
de desarrollar sus capacidades. Es recomendable reducir el privilegio
que se le da a la enseñanza memorística y a la resolución mecánica de
operaciones matemáticas.
Por todo lo anterior, debe tomarse en cuenta que: “la enseñanza de la
Geometría es una de las áreas de las Matemáticas en las que hay más
puntos de desencuentro entre matemáticos y educadores, no sólo en
relación con sus propósitos y contenidos sino también con la manera
de enseñarla. Es probable que esto ocurra debido a los aspectos que
abarca: por un lado la Geometría es considerada como una herramienta
para el entendimiento, tal vez la parte de las Matemáticas más intuitiva,
concreta y ligada a la realidad” 26
.
20 Lledó y otros. Página 11.
21 Platón. Diálogos. (1976). México. Ed. Porrua. Página 263
22 Georg Wilhelm Friedrich Hegel en Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Hegel
23 Henri Lefebvre. Lógica formal Lógica dialéctica. (1977). México. Siglo XXI editores. Página 275
UNIDAD 2
“El Universo es un libro escrito en el
lenguaje de las Matemáticas, siendo
sus caracteres triángulos, círculos
y otras figuras geométricas, sin las
cuales es humanamente imposible
comprender una sola palabra: sin
ellos solo se conseguirá vagar por un
oscuro laberinto” Galileo Galilei” 24
.
24 La aventura del saber. Serie “Más por Menos”: El número aúreo. Ver en: http://www.rtve.es/
alacarta/videos/mas-por-menos/aventura-del-saber-serie-mas-menos-numero-aureo/1290977/
25 Aldama Cruz A. Análisis sobre el proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría en la escuela
primaria
26 Mónica Schulmaister en: La Enseñanza de la Geometría. Página 15

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38
La exploración del espacio o el estudio de la Geometría en la escuela
primaria comprende el estudio de líneas y figuras geométricas de dos o
tres dimensiones. Se propone facilitar la adquisición de los conocimientos
geométricos como una aventura interesante. Aquí jugarán un papel
importante la cantidad y calidad de experiencias que se le brinden al
niño en relación con el espacio que percibe. Desde esta perspectiva
se ofrece la Geometría como la ciencia que modela el espacio o como
la Matemática del espacio. Aunque el educador deberá tener claro que
existen diversas geometrías y que la que corresponde al nivel primario
es solo una manera de modelar el espacio.
A partir de aquí será importante también definir el punto de partida para
comenzar el estudio de la Geometría. Tradicionalmente y en especial, en
el mundo occidental, ´para el aprendizaje y enseñanza de las primeras
nociones geométricas se parte del entorno inmediato. En las diversas
cosmovisiones antiguas, como en la cosmovisión maya se parte del
cosmos. Este será el camino que se propone en este curso. Sin embargo,
para tener un mejor acercamiento a la exploración y modelación del
espacio desde la cosmovisión de los pueblos, será conveniente hacer
un breve estudio a la Geometría sagrada.
La Geometría sagrada y la Geometría de la
Naturaleza
Múltiples construcciones en diferentes centros ceremoniales de las
diversas cosmovisiones del mundo constituyen una muestra de un
conocimientogeométricoprofundoporpartedelosantiguosconstructores.
En diferentes lugares sagrados y en la Naturaleza es notable la presencia
de patrones geométricos y ritmos cósmicos. Este es el campo de lo que
se ha denominado como Geometría Sagrada. Su campo de estudio es
“la existencia de patrones geométricos ideales que reglan el Universo,
como expresión material y funcional de un ordenamiento inteligente.
Aplicando el Principio de Correspondencia —y su significado holístico—
será entonces un hecho que si Macrocósmicamente existe tal orden,
Microcósmicamente (nosotros, nuestras relaciones interpersonales,
nuestra salud física, nuestros afectos, nuestro desempeño material,
nuestra vida toda) será susceptible de estar ordenada de acuerdo,
también, a ciertos patrones o matrices geométricas” 27
.
La Sucesión de Fibonacci
Un ejemplo de la Geometría de la Naturaleza lo constituye la serie
de Fibonacci29
formulada por el matemático Leonardo de Pisa30
o
Fibonacci en el siglo XII. ¿Qué significa esto?
¿Leíste el Código Da Vinci o viste la película? ¿Recuerdas el último
número escrito por Jacques Saunière y su cuenta bancaria?
Has el siguiente ejercicio.
Escribe el número uno y vuélvelo a escribir: 1, 1
Ahora súmalo con él mismo y anota el resultado como el último de una
serie numérica: 1, 1, 2
Suma ambos números, anota a continuación el resultado y escríbelo
como el siguiente número de la secuencia: 1, 2, 3
Suma ahora los dos últimos números de la secuencia y repite el
procedimiento indicado líneas arriba. Es decir, anota el resultado y
escríbelo como el último número de la secuencia: 1, 2, 3, 5
Sigue encontrando más números de la serie.
Seguramente encontrarás que los primeros ocho números de la serie
son: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,…
¿Cuál es el número siguiente?
En la Naturaleza, hay recurrentes ejemplos que se relacionan con “la
sucesión de Fibonacci”. “La distribución de las hojas alrededor del
tallo, la reproducción de los conejos o la disposición de las semillas en
numerosas flores y frutos se produce siguiendo secuencias basadas
exclusivamente en estos números”31
. Dicha sucesión se encuentra a
nivel macrocósmico en una curva muy especial, en la espiral de una
galaxia, como a nivel microcósmico, en la espiral de un caracol, de un
repollo colorado cortado transversalmente, en los cuernos de algunos
rumiantes o del pabellón de la oreja humana. Esta propiedad de la
Naturaleza fue descubierta en el renacimiento por el pintor Alberto
Durero. Es conocida como la espiral de Durero.
Ampliación de conocimientos
Te recomendamos que observes
tu práctica docente y analices sus
resultados. Asimismo que refuerces
tus conocimientos metodológicos
para facilitar de mejor manera los
conocimientos matemáticos con
tus alumnos. Te sugerimos que leas
el capítulo titulado: El aprendizaje
desde la cultura maya y que se
encuentra en el documento:
“Desarrollo del aprendizaje de
la Matemática Maya” que se te
entrega como anexo del curso.
Finalmente: te sugerimos estudiar
el texto: “La enseñanza de la
Geometría” que te proporcionará
abundantes sugerencias
metodológicas para el abordaje de
la Geometría en la escuela primaria
en tu labor docente.
Pirámide de Kukulcán en Chichén Itzá, México 28
.
27 Gustavo Fernández. Curso de Geometría Sagrada. Página 4.
28 ]Foto: Laura y Mayevi Galindo.
ACTIVIDAD 21
Imagen que muestra la relación entre la distancia
entre las espiras del interior espiralado de un caracol.
Fue descubierta originalmente en el nautilus .
29 La Sucesión de Fibonacci. Ver en: http://www.ite.educacion.es/formacion/enred/web_espiral/
naturaleza/vegetal/fibonacci/fibonacci.htm
30 Leonardo de Pisa o Fibonacci en Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Leonardo_de_Pisa
31 La sucesión de Fibonacci en la naturaleza. Ver en: http://www.neoteo.com/la-sucesion-de-
fibonacci-en-la-naturaleza/
32 Imagen tomada de: Ibermática. Ver en: http://rtdibermatica.com/?p=428

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40
Fractales
1. ¿Has oído hablar de la Geometría fractal?
2. ¿Sabes de la existencia de fractales en la Naturaleza?
3. ¿Alguna vez has propuesto el aprendizaje de fractales a tus
alumnos?
4. Propón a tus alumnos que observen fractales en la
Naturaleza. Puedes proponerles que observen un brócoli o
un repollo. Luego puedes sugerirles que observen láminas
del sistema sanguíneo y del sistema nervioso en el cuerpo
humano.
La observación de fractales en la Naturaleza y el trazo de fractales
sencillos por parte de los niños es una estupenda manera de que
los alumnos establezcan relaciones espaciales, refuercen nociones
geométricas de lateralidad, simetría, proporcionalidad, semejanza y
dibujos a escala.
Otro ejemplo evidente de la Geometría Sagrada en la Naturaleza, lo
constituyen los fractales. “Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas.
El término fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos
casos los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o
iterativo capaz de producir estructuras autosimilares independientemente
de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas
que combinan irregularidad y estructura. Aunque muchas estructuras
naturales tienen estructuras de tipo fractal, un fractal matemático es un
objeto que tiene por lo menos una de las siguientes características: Tiene
detalle en escalas arbitrariamente grandes o pequeñas. Es demasiado
irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales. Tiene
auto-similitud exacta o estadística. Es definido recursivamente. Puesto
de manera sencilla, un fractal es una forma de la Naturaleza —gigantesca
o minúscula— que se repite a sí misma indefinidamente hacia “arriba” o
hacia “abajo”. Lo Microcósmico en lo Macrocósmico” 34
.
Ejemplos de fractales en la Naturaleza, son los copos de nieve,
alimentos como el brócoli o en el cuerpo humano: redes nerviosas,
vasos sanguíneos o conductos biliares. “Las formas de la Naturaleza son
fractales y múltiples procesos de la misma se rigen por comportamientos
fractales. Esto quiere decir que una nube o una costa pueden definirse
por un modelo matemático fractal que se aproxime satisfactoriamente al
objeto real. Esta aproximación se realiza en toda una franja de escalas,
limitadas por valores mínimos y máximos” 35
. En la cosmovisión hindú
muchos fractales adoptan la forma de mándalas. Mándala es un término
de origen sánscrito que significa diagrama o representaciones simbólicas
bastante complejas. Estas figuras fueron utilizadas en el budismo y en el
hinduismo. Significa círculo, óvalo, círculo sagrado. (“Mandala,)36
La cinta mágica o banda de Möbius (Moebius)38
En el estudio de la Geometría Sagrada y la Geometría de la Naturaleza,
es oportuno proponer un experimento propio de las denominadas
“paradojas matemáticas”: la cinta o banda de Möbius “llamada así en
honor a su descubridor, el astrónomo y físico suizo August Ferdinand
Möbius.(Tal su apellido original, pero como las antiguas máquinas de
escribir no tenían diéresis, se solía reemplazar por la pronunciación
aproximada, “oe”. Sigo esta tradición al escribir, por costumbre entonces,
Moebius.) quien sin embargo, pese a la casi obsesión intelectual que le
acompañó el resto de su vida, nunca pudo explicar”.
“Repitamos el experimento. Tomemos una banda de papel cualquiera.
Como sabemos, tiene dos caras y cuatro lados, con vértices A, B, C
y D. Si deseamos hacer un anillo, sabemos que podemos unir A con
C y B con D, quedándonos un anillo de lógicamente dos caras y dos
lados o bordes (dos, obviamente, desaparecerán al pegarlos entre sí).
Pero si esta unión la efectuamos luego de hacer una torsión al papel de
modo que ahora A pegue sobre D y B sobre C, surgen las sorpresas:
constatando, por ejemplo, al deslizar un bolígrafo sobre su superficie,
resultará una sola cara. Y si deslizamos nuestro dedo desde un punto
cualquiera en el borde nuevamente habrá quedado uno solo. ¿Adónde
se fueron el lado y el borde faltantes?. No hay construcción matemática
que pueda explicarlo”.
“Hay otras opciones divertidas. Si tomando un par de tijeras cortan la
banda exactamente por su línea media, obtendrán ustedes una banda
de Moebius el doble de larga y la mitad de ancha. Pero si el corte lo
realizan descentrado, resultarán tantas bandas de Moebius entrelazadas
como cortes haga”39
.
ACTIVIDAD 22
Los fractales se encuentran fácilmente en la
naturaleza. Se observan en el brócoli, la coliflor, los
helechos, las lineas costeras del Pacífico y más 33
.
33 Tomado de: Fractales en su aula. Ver en: http://www.cientec.or.cr/matematica/fractales.html
34 Curso de Geometría sagrada. Página 10
Fractal de triángulo autorreplicado 37
.
35 Fractales en la Naturaleza. Ver en: http://www.oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/fnatural.htm
36 Mandalas y fractales en: http://creatividad-mandala.blogspot.com/2009/01/mandalas-y-fractales.
html
37 Tomado de: Abran textos. Ver en: http://rtdibermatica.com/?p=428
38 La cinta de Moebius. Ver en: http://matesmates.wordpress.com/2011/02/16/la-cinta-de-moebius/
39 Curso de Geometría sagrada 2. Página 3
40
Tomado de: ¡Mates, Mates! Ver en: http://matesmates.wordpress.com/2011/02/16/la-cinta-de-
moebius/
cinta de Moebius 40
.

Universidad
de
San
Carlos
de
Guatemala
-
Escuela
de
Formación
de
Profesores
de
Enseñanza
Media
Universidad
de
San
Carlos
de
Guatemala
-
Escuela
de
Formación
de
Profesores
de
Enseñanza
Media
43
42
Construye una cinta mágica con tus alumnos
• Entrega a cada niño una hoja de papel bond (tamaño carta u
oficio)
• Propón a los niños que a lo largo de la hoja, corten una tira de
papel de 2 a 3 cm de ancho.
• ¿Cuántas caras o superficies tiene la cinta de papel?
• Sugiéreles que formen aros con la cinta de papel y con goma o
cola peguen los extremos.
• Recomiendales que por el centro de la superficie exterior tracen
una línea a lo largo de la cinta. ¿Pídeles que predigan lo que
ocurrirá? Luego sugiéreles que a lo largo de la cinta y siguiendo
la ruta del lápiz, corten el aro de papel. ¿Qué va a ocurrir?
• Indícales a los niños que corten otra cinta de papel, similar a la
anterior y que formen un nuevo aro. En este caso, se hará una
pequeña variante: sugiérels que roten (le den vuelta) a uno de
los extremos de la cinta de papel. ¿Pregúntales cuántas caras o
superficies tiene?
• Recomiéndales que con su lápiz tracen una línea a lo largo de la
nueva cinta, hagan predicciones de lo que ocurrirá, observen y
expliquen lo que ocurre.
• A continuación, proponles que corten longitudinalmente la cina,
al iniciar el corte, hagan una predicción de lo que ocurrirá y al
hacerlo comenten sus resultados.
El número de oro o número phi (ø)
1. ¿Has oído acerca de la proporción áurea y del número dorado?
2. ¿Has recibido una clase relativa al tema?
3. ¿Has realizado ejercicios con tus alumnos acerca del número
de oro?
4. Realiza el siguiente ejercicio con los miembros de tu familia,
compañeros de la escuela, amigos o con tus alumnos.
En parejas, midan la estatura de cada uno y anotan la medida
obtenida. Luego midan la altura del ombligo de cada uno.
Finalmente establezcan la razón entre ambas medidas, es
decir, dividen el valor obtenido para la estatura entre el valor
obtenido por la altura del suelo al ombligo de cada uno. Luego
tracen en el pizarrón o en un pliego de papel una tabla de tres
columnas. En la primera columna coloquen las estaturas, en la
segunda la altura correspondiente del ombligo y en la tercera
la razón obtenida. Comparen los resultados en búsqueda de
coincidencias.
5. Ahora, prueba a hacer un ejercicio similar con huevos de
gallina. Mide (idealmente con ayuda de un calibrador o pie de
rey), la altura máxima de cada huevo y a continuación mide la
anchura máxima. Luego establece la razón por cociente de
ambos números. Compara los resultados con las medidas
de varios huevos. Para evitar accidentes indeseables, se
recomienda hacerlo con huevos cocidos o huevos duros.
¿Obtienes razones similares a las que obtuviste con el cuerpo
humano.
El número áureo se ha encontrado en múltiples figuras y construcciones
geométricas. Puede encontrarse en las proporciones que guardan
edificios, esculturas, diferentes objetos, partes del cuerpo humano y
de los animales. Fue descubierto en la antigüedad y desde esa época
es considerado como un canon de armonía estética. Se trata de una
Para construir una banda o cinta de
Moebius te sugerimos veas videos
de youtube como los siguientes:
http://www.youtube.com/
watch?v=WPVJh57zSIw
watch?v=x8ISCkWq37c
ACTIVIDAD 23
Junto con tus compañeros vean la
película: Entre maestros. Pueden
verla directamente en uno de los
siguientes enlaces:
watch?v=0NBbS5sbhps
http://www.rtve.es/alacarta/videos/
el-documental/documental-entre-
maestros/2018668/
“Un número nada fácil de imaginar
que convive con la humanidad
porque aparece en la naturaleza
y desde la época griega hasta
nuestros días en el arte y el diseño.
Es el llamado número de oro
representado habitualmente con
la letra griega phi (ø) conocido
también como sección áurea,
proporción áurea o razón áurea” 41
.
ACTIVIDAD 24
41 El número de oro. Ver en: http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm

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