Desarrollo del pensamiento matematico

Ricardo Cantoral • Rosa María Farfán • Francisco Cordero
Juan Antonio Al ~ • Rosa Amelia Rodriguez • Adolfo Garza
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DESARROLLO
DEL PENSAMIENTO~
MATEMATICO
Ricardo Cantoral • Rosa María Farfán • Francisco Cordero
Juan Antonio Alanís • Rosa Amelia Rodríguez • Adolfo Garza
EDITORIAL ~~~
TRILLAS ,~
México, Argentina, España
Colombia, Puerto Rico, Venezuela ®

Catalogación en la fuente
Desarrollo del pensamiento matemático 1 Ricardo
Cantora/ ... [et al.] -- México : Trillas : ITESM,
Universidad Virtual, 2005.
225 p. : gráfs. ; 24 cm.
Incluye bibliografías e índices
ISBN 968-24-7203-2
l . Matemáticas - Filosofía. l. Cantora/, Ricardo.
D- 510.1'D367 LC- QA8.4 'D4
La presentación y disposición en conjunto de
DESARROLLO DEL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
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3375
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www.trillas.com.mx
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial. Reg. núm. 158
Preedición, 2000 (ISBN 968-24-6229-0)
Reimpresión, 2003
Primera edición, febrero 2005
ISBN 968-24-7203-2
Impreso en México
Printed in Mexico

Prólogo
Este libro tiene una orientación novedosa, pues a la par que trata con la mate-
mática del bachillerato, se ocupa de presentar Jos procesos del pensamiento invo-
lucrados para entenderla. En este sentido, su presentación no se reduce a una repeti-
ción temática de los contenidos escolares que las profesoras y los profesores enseñan
en sus aulas, sino que pretende ser un apoyo para la reflexión didáctica de los docen-
tes de matemáticas.
El libro se compone de dos grandes partes. La uno trata de los aspectos teórico-
metodológicos de carácter general e introductorio, así como de una serie de ejem-
plos breves e ilustrativos al respecto, mientras que la dos se ocupa de desarrollar con
más detalle lo que hemos denominado líneas de desarrollo de la matemática del
bachillerato. Los capítulos de la parte dos incluyen diversos artículos de investi-
gación en el campo de la matemática educativa.
Algunas consideraciones de inicio darán un cierto contexto general a la necesidad
de abordar el problema de la enseñanza de la matemática en la escuela contemporánea.
Partamos de la tesis de que la sociedad ha aceptado como útil al conocimiento cientí-
fico, dado que ha conferido a las instituciones educativas cierta autonomía en su fun-
ción escolar y deja en sus manos la noble y difícil función de cultivarlo.
La matemática, la ciencia y la tecnología son ingredientes fundamentales de
la cultura, en tanto que existen y se desarrollan en un medio social históricamente
determinado. Se forjan como formas de interpretar al mundo y sus relaciones y
como medios para transformarlo; son espacios en los que se cultiva la relación y
comunicación interpersonal. En nuestra opinión, las matemáticas contribuyen a
que se forje entre la población un pensamiento científico y tecnológico. En ello
radica la importancia que la sociedad le concede mediante la escuela, y que de
alguna manera un profesor concreta cuando en su clase comunica, conserva y cul-
tiva los saberes científicos y tecnológicos.
Naturalmente, este proceso de culturización científica y tecnológica tiene ni-
veles y matices diferenciados, que abarcan desde la alfabetización hasta la espe-
cialización en matemáticas, ciencia y tecnología. En nuestra opinión, la escuela
5

6 PRÓLOGO
logra parcialmente en los estudiantes lo primero y restringe sólo a unos pocos lo
segundo. La cuestión socialmente pertinente que deseamos plantear a la luz de
este programa educativo es la del justo medio: ¿qué dosis de competencia habrá
de desarrollar un ciudadano alfabetizado, cultivado o especializado? Esta cuestión
sin duda se refiere a la sociedad, pero se desarrolla en la escuela, es decir, ¿de qué
manera debe la escuela dirigir el proceso de formación de la visión científica del
mundo en las nuevas generaciones?
El acelerado crecimiento en la matrícula educativa en sus niveles medio y
superior durante la década de los setenta en Latinoamérica, aunado a la asunción
mecánica y simplista de la llamada matemática moderna, trajo además de una pro-
funda dependencia de modelos educativos importados, una profunda desvincu-
lación de la matemática escolar con las necesidades de promoción y desarrollo
social que la ciencia y la tecnología nos planteaban. Se produjo, además, un severo
proceso de improvisación en la conformación de la planta magisterial, así como
en la elección de los materiales didácticos pertinentes. Esta situación se vio agra-
vada con la carencia de planes de formación de docentes para los niveles medio
superior y superior en las instituciones educativas, lo que propagó una concepción
de la enseñanza ligada a la capacitación para una "subprofesión". Los efectos de
esta desvalorización social pueden constatarse en diversos estudios recientes sobre
el funcionamiento de nuestro sistema escolar.
Esta doble situación descrita, la formación de una visión científica y la con-
secuente formación y actualización de maestros, obliga, necesariamente, a pensar
de nueva cuenta en el proceso de formación de una cultura científica y tecnológi-
ca para la escuela contemporánea. Para ello proponemos rebasar las innovaciones
educativas tradicionales, para buscar modificaciones sustanciales tanto en el con-
tenido de la enseñanza como en el papel que habrá de desempeñar el profesor en
un verdadero movimiento de reforma. Partamos, pues, de la consideración de que
la labor del profesor de matemáticas y ciencia debe considerarse desde la pers-
pectiva de una genuina actividad profesional.
Ahora bien, la matemática escolar comparte una naturaleza dual: es un instru-
mento para el profesionista usuario del saber matemático, pero también se consti-
tuye como un objeto de conocimiento para el especialista en algún tópico mate-
mático. En nuestra perspectiva entendemos que la matemática escolar no sólo se
limita a la parte del currículo que se consigna en programas y temas de estudio,
sino que atañe también a los procesos del pensamiento que ellos ponen en fun-
cionamiento; tal sería el caso de la abstracción, la demostración, el razonamiento
bajo hipótesis o la resolución y planteamiento de problemas.
Allí radica la problemática de nuestro quehacer docente en el campo de las
matemáticas: cómo conciliar esta doble función de ser a la vez que un instrumen-
to, un objeto de conocimiento.
Desde nuestra perspectiva teórica, asumimos que el fenómeno educativo es de
naturaleza eminentemente social; de ahí que la investigación atienda a los prota-
gonistas principales del hecho educativo: el saber, el maestro y los alumnos, desde
una perspectiva sistémica. De modo que el criterio que guía la escritura de este
libro pretende una adecuada articulación de los saberes matemáticos para que los
estudiantes efectivamente logren su aprendizaje en el ámbito escolar.

Agradecimientos
Toda obra es producto del esfuerzo y de la participación cooperativa de colec-
tivos humanos. Este caso no es la excepción. Un libro así no hubiese sido posible
sin la participación de destacados investigadores y profesores que se han interesa-
do, con distintas perspectivas teóricas y en diversas partes del mundo por enten-
der a la matemática desde la óptica de quien la aprende. Este conocimiento sobre
las prácticas educativas y los procesos de entendimiento de los conceptos y pro-
cesos matemáticos abre una esperanza en nuestro intento por lograr que la ense-
ñanza produzca efectivamente aprendizaje.
Este libro no hubiese sido posible .sin el apoyo y el entusiasmo que el Dr. Anto-
nio Millán y la Mtra. Blanca Silvia López han puesto en este proyecto, así como el
decidido apoyo del Lic. Juan Manuel Silva al propiciar la fundación del Cimate-
Centro de Investigación en Matemática Educativa y Didáctica de las Ciencias
Experimentales en el ITESM, Campus Monterrey.
Hemos contado también, en todo momento, con la colaboración y asesoría de
la Mtra. Rosa María Garza y el Mtro. Fernando Lozano en la búsqueda por lograr
una mejor articulación entre nuestras ideas y el diseño propiamente instruccional
que toda obra educativa requiere. Debemos agradecer también a los entusiastas
colaboradores, quienes en su proceso de profesionalización están logrando hacer
realidad la tesis de que la investigación ayuda a transformar positivamente el fun-
cionamiento del sistema didáctico en el campo de las matemáticas.
El equipo de escritura se conformó con investigadores activos e investigado-
res en formación, así como con profesores en servicio de diversas instituciones,
donde destacan naturalmente el Centro de Investigación y de Estudios Avanzados
del IPN y el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey. A todos
debemos agradecer su tiempo, el entusiasmo y sobre todo, su calidad humana y
profesional. Este esfuerzo tampoco hubiese sido posible sin el empeño que al nivel
institucional se ha puesto en este proyecto; agradecemos por tanto la oportunidad
que la Universidad Virtual del ITESM, el ILCE y la EDUSAT brindan a los do-
centes de matemáticas del Sistema Nacional de Educación Media Superior.
7

Prólogo
Agradecimientos
Introducción
Objetivos
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lndice de contenido
PARTE 1
El pensamiento matemático
Cap. l. Aspectos preliminares. ¿Qué entendemos por pensamiento
5
7
11
13
matemático? 17
Cap. 2. Delimitación teórica. Diversas aproximaciones al aprendizaje
en matemáticas 25
Cap. 3. Pensamiento matemático y enseñanza de la matemática 33
Cap. 4. Teoría de situaciones didácticas 41
Primera etapa, 46. Segunda etapa, 50.
PARTE II
Estudios sobre didáctica y cognición en el campo
de la matemática escolar
Cap. 5. Un modelo para el desarrollo del pensamiento matemático 55
Diseño de situaciones del cálculo. El comportamiento tendencia! de
las funciones: la linealidad del polinomio, 62.
9

10 ÍNDICE DE CONTENIDO
Cap. 6. Introducción al pensamiento numérico 81
Cap. 7. Lenguaje algebraico y pensamiento funcional 89
Un estudio de funciones pretextando la resolución de desigual-
dades, 89.
Cap. 8. Visualización y percepción espacial 145
La geometría y los niveles de aprendizaje, 15l.
Cap. 9. Tratamiento matemático y calculadoras gráficas 169
Enseñanza y aprendizaje en ambientes tecnológicos: El caso de la
matemática escolar, 169.
Cap. 10. Situaciones de cambio, pensamiento y lenguaje variacional 185
Pensamiento y lenguaje variacional en la introducción al análisis,
187.
Cap. 11. Pensamiento matemático avanzado 205
Pensamiento matemático avanzado: Una revisión de los enfoques
a la investigación sobre didáctica del análisis, 205.
Cap. 12. Hacia una visión de conjunto 219
La predicción: un hilo conductor para el desarrollo de un curso de
cálculo, 219.

Introducción
Una creencia ampliamente difundida respecto de la relación que existe entre
la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas supone una relación de transfe-
rencia simple de la enseñanza hacia el aprendizaje: el alumno "graba" lo que se le
comunica por medio de la enseñanza, tal vez con algunas pérdidas de información.
La investigación contemporánea ha demostrado lo inexacto de este punto de vista,
haciendo evidente que los alumnos construyen regularmente conocimientos que
no forman parte del discurso de la enseñanza y resultan con frecuencia inadecua-
dos e incluso erróneos desde un punto de vista matemático. Estos hechos favore-
cen el desarrollo de investigaciones que antecedan a todo proyecto de actualiza-
ción docente. Así la investigación puede ayudar a caracterizar las condiciones que
deben ponerse en acción en las prácticas educativas con el fin de favorecer los
aprendizajes de saberes matemáticos en situaciones escolares.
Nuestras propuestas, principalmente contenidas en la segunda parte del libro,
se refieren todas a las matemáticas que se tratan en la educación contemporánea.
En este sentido, se diseñó una serie de análisis didácticos con los que pretendemos
que los profesores profundicen su propio proceso de apropiación de procedimien-
tos y nociones matemáticas fundamentales, y que encuentren en ello una fuente de
información para modificar sus propias prácticas de enseñanza. El diseño de estas
secuencias fue realizado con base en un análisis de carácter múltiple. Nos guiamos
por una aproximación que incorpora elementos epistemológicos, didácticos, cog-
nitivos y sociológicos del saber matemático escolar.
Este análisis nos ha permitido, por citar un ejemplo, el establecimiento de
líneas novedosas de desarrollo de un rediseño del discurso matemático escolar en
el que se incorporen aspectos de predicción, estimación, promediación, equili-
bración, visualización, demostración, deducción o razonamiento bajo hipótesis,
por citar algunos.
Por otra parte, dado que la matemática se ha constituido socialmente, en ámbi-
tos no escolares, su introducción al sistema de enseñanza le obliga a una serie de
11

12 INTRODUCCIÓN
modificaciones que afectan directamente su estructura y su funcionamiento; de ma-
nera que afectan también por ejemplo, las relaciones que se establecen entre los
estudiantes y su profesor. Este proceso de incorporación de los saberes al sistema
didáctico plantea una serie de problemas teóricos y prácticos no triviales, que pre-
cisan para su estudio de acercamientos metodológicos y teóricos adecuados. El
desarrollo de tales aproximaciones se efectúa mediante estudios que nos permiten
entender los mecanismos de adaptación del saber a las prácticas de profesores y
estudiantes. Como hemos dicho, nos interesa sobremanera esclarecer las condi-
ciones del aprendizaje de ideas complejas.
En este libro hacemos una introducción a temas específicos que contemplan
los contenidos tradicionales del bachillerato, a saber:
• Introducción al pensamiento numérico
• Lenguaje algebraico y pensamiento funcional
• Visualización y percepción espacial
• Tratamiento matemático y calculadoras gráficas
• Situaciones de cambio y pensamiento y lenguaje variacional
• Pensamiento matemático avanzado.
Los temas matemáticos que serán tratados se ocupan, como era de esperarse,
de aquellos que son propios del bachillerato como aritmética, álgebra, trigonome-
tría, geometría euclidiana, geometría analítica, precálculo y cálculo diferencial e
integral. Sin embargo, el acercamiento propuesto será lo suficientemente nove-
doso como para apoyar al profesor en el desarrollo de métodos de enseñanza que
favorezcan al aprendizaje, por ejemplo, sobre el estudio de concepciones, repre-
sentaciones, obstáculos epistemológicos, cognitivos y didácticos, razonamiento
bajo hipótesis, fenómenos de transposición o del envejecimiento de las situaciones
de enseñanza, análisis del discurso matemático escolar y elementos del apren-
dizaje cooperativo en el campo de las matemáticas escolares.

Objetivos
Objetivo general
• Profundizar y compartir el conocimiento sobre pensamiento matemático, a fin
de favorecer decisiones relativas a la elaboración y análisis de situaciones
didácticas en el campo de la matemática escolar con el fin de usarlo con alum-
nos y favorecer, a su vez, el desarrollo del pensamiento matemático entre los
estudiantes.
Objetivos específicos
• Valorar los usos del pensamiento matemático tanto en el nivel de los objetos di-
dácticos como en el ámbito de su vida cotidiana.
• Apreciar el aporte educativo que plantean las distintas alternativas de tra-
tamiento de la matemática escolar en situación de aula.
• Enriquecer la variedad de enfoques educativos que se derivan de atender la di-
mensión humana de la actividad matemática.
• Diseñar situaciones de enseñanza apoyadas en la aproximación teórica del pen-
samiento matemático.
• Evaluar la práctica propia de enseñanza.
13

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El pensamiento
·matemático

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Aspectos
preliminares.
¿Qué entendemos por
pensamiento matemático?
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Este capítulo trata, a un nivel introductorio, sobre el estudio de los procesos
del pensamiento matemático que se producen en el curso de una relación didácti-
ca, entre aquello que el profesor se propone enseñar en matemáticas y aquello que
los estudiantes son susceptibles de aprender efectivamente. Nuestro objetivo es
explorar el sentido que tiene el desarrollo del pensamiento matemático entre los
estudiantes en el transcurso de la enseñanza.
Actividad 1.1
Explique qué entiende usted por pensamiento matemático. Tome como refe-
rencia su experiencia docente y ejemplifique con casos anecdóticos.
.•
1 17

18 PARTE L EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Cuando hablamos del pensamiento humano, del razonamiento, de la memoria,
de la abstracción o, más ampliamente, de Jos procesos mentales, dirigimos nues-
tra mirada hacia la psicología y el estudio de las funciones mentales. Para Jos
psicólogos las preguntas: ¿cómo piensa la gente?, ¿cómo se desarrollan los proce-
sos del pensamiento?, o ¿en qué medida la acción humana adquiere habilidad en
la resolución de ciertas tareas?, constituyen la fuente de reflexión y experiencia
cotidiana. De manera que el pensamiento, como una de las funciones mentales
superiores, se estudia sistemática y cotidianamente en diversos escenarios profe-
sionales.
¿De qué podría tratar entonces el pensamiento matemático? Sabemos por ejem-
plo que la psicología se ocupa de entender cómo aprende la gente y de cómo reali-
zan diversas tareas y cómo se desempeñan en su actividad. De este modo, usaremos
el término pensamiento matemático para referirnos a las formas en que piensan las
personas que se dedican profesionalmente a las matemáticas. Los investigadores
sobre el pensamiento matemático se ocupan de entender cómo interpreta la gente
un contenido específico, en nuestro caso las matemáticas. Se interesan por carac-
terizar o modelar los procesos de comprensión de los conceptos y procesos propia-
mente matemáticos.
Este interés por estudiar la psicología del pensamiento matemático es relati-
vamente nuevo, aunque podríamos decir que es, sobre todo, esperanzador, pues se
abriga con ello la expectativa de que el desarrollo de este programa de investiga-
ción mejore significativamente los procesos educativos en matemáticas en los dis-
tintos niveles de los sistemas escolares contemporáneos.
Dado que la actividad humana involucra procesos de razonamiento y fac-
tores de experiencia cuando se desempeña cualquier clase de funciones, nos
interesa que al hablar de pensamiento matemático nos localicemos propiamente
en el sentido de la actividad matemática como una forma especial de actividad
humana. De modo que debemos interesarnos por entender las razones, los pro-
cedimientos, las explicaciones, las escrituras o las formulaciones verbales que el
alumno construye para responder a una tarea matemática, del mismo modo que
nos ocupamos por descifrar los mecanismos mediante los cuales la cultura y el
medio contribuyen en la formación de los pensamientos matemáticos. Nos
interesa entender, aun en el caso de que su respuesta a una pregunta no corres-
ponda con nuestro conocimiento, las razones por las que su pensamiento mate-
mático opera como lo hace. De este modo habremos de explicar con base en
modelos mentales y didácticos, las razones por las que persistentemente Jos
alumnos del bachillerato consideran que 20 es O, aunque su profesor les diga
insistentemente que 20 = 1; o bien que consideren que el binomio (a + b)2 es
igual a 2 + b 2 y no, como Jo dicen los textos (a + b)2= a 2 + 2 ab + b 2.
En este sentido es que nos interesa analizar las ejecuciones de los alumnos
ante tareas matemáticas, tanto simples como complejas, como formas de entender
el proceso de construcción de los conceptos y procesos matemáticos; al mismo
tiempo que sabremos que, en esa labor, su propio pensamiento matemático está,
también, en pleno curso de constitución.
Durante las últimas décadas ha tenido lugar el nacimiento de esta perspectiva
teórica para los asuntos educativos; en nuestra opinión, esta visión permite desen-

CAP. 1. ASPECTOS PRELIMINARES 19
trañar la naturaleza del conocimiento matemático en toda actividad humana. Hace
ya algún tiempo, destacados matemáticos profesionales, como Hadamard, Poin-
caré, Polya y Freudenthal, se interesaron por explorar la psicología del razona-
miento matemático y lo hicieron mediante estudios de tipo introspectivo al anali-
zar su propia actividad personal o a través de estudiar sistemáticamente las
producciones de jóvenes escolares. Del mismo modo, la obra de Piaget tuvo una
influencia considerable sobre el esclarecimiento del pensamiento humano; más
específicamente, sus estudios sobre la construcción de la noción de número, de las
representaciones geométricas, del razonamiento proporcional y del pensamiento
probabilístico, han tenido una fuerte influencia en el entendimiento de las nocio-
nes matemáticas.
Aunque esos hallazgos han desempeñado un papel fundamental en el terreno
de la investigación contemporánea, los currículum de matemáticas y los métodos
de enseñanza han sido inspirados durante mucho tiempo sólo por ideas que
provienen de la estructura de las matemáticas formales y por métodos didácticos
fuertemente apoyados en la memoria y en la algoritmia, donde con frecuencia el
estudiante se encuentra imposibilitado de percibir los vínculos que tienen los pro-
cedimientos con las aplicaciones más cercanas a su vida cotidiana; y se priva
entonces de experimentar sus propios aprendizajes en otros escenarios distintos de
los que le provee su salón de clase.
Si quisiéramos describir el proceso de desarrollo del pensamiento matemático
tendríamos que considerar que éste suele interpretarse de distintas formas; por un
lado se le entiende como una reflexión espontánea que los matemáticos realizan
sobre la naturaleza de su conocimiento y sobre la naturaleza del proceso de des-
cubrimiento e invención en matemáticas. Por otra, se entiende al pensamiento
matemático como parte de un ambiente científico en el cual los conceptos y las
técnicas matemáticas surgen y se desarrollan en la resolución de tareas; finalmen-
te, una tercera visión considera que el pensamiento matemático se desarrolla en
todos los seres humanos en el enfrentamiento cotidiano a múltiples tareas.
Desde esta última perspectiva, el pensamiento matemático no está enraizado
ni en los fundamentos de la matemática ni en la práctica exclusiva de los mate-
máticos, sino que trata de todas las formas posibles de construir ideas matemáti-
cas, incluidas aquellas que provienen de la vida cotidiana. Por tanto, se asume que
la construcción del conocimiento matemático tiene muchos niveles y profundi-
dades. Por citar un ejemplo, elijamos al concepto de volumen, el cual está forma-
do de diferentes propiedades y diferentes relaciones con otros conceptos matemá-
ticos; los niños de entre seis y siete años suelen ocuparse de comparar recipientes,
quitar y agregar líquido de dichos recipientes y de medir de algún modo el efecto
de sus acciones sobre el volumen, aunque la idea de volumen no esté plenamente
construida en su pensamiento. En tanto que algunas propiedades tridimensionales
del volumen de los paralelepípedos rectos o los prismas, por ejemplo, las relacio-
nes que se pueden encontrar entre longitudes, áreas y volúmenes, se tratan en la
escuela cuando Jos jóvenes tienen entre 15 y 16 años, de manera que el pensa-
miento matemático sobre la noción de volumen se desarrolla a lo largo de la vida
de los individuos, y por tanto la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en
la escuela debería tomar en cuenta dicha evolución.

De este modo habremos de entender, en un sentido moderno, que el pensa-
miento matemático incluye por un lado, pensamiento sobre tópicos matemáticos,
y por otro procesos avanzados del pensamiento como abstracción, justificación,
visualización, estimación o razonamiento bajo hipótesis.
El pensamiento matemático, entonces, debe operar sobre una red compleja de
conceptos, unos avanzados y otros más elementales; quizá por ello los estudiantes
no puedan entender lo que significa una ecuación diferencial, a menos de que
entiendan en un cierto nivel, que va más allá del solo manejo de las técnicas asocia-
das, otros conceptos matemáticos, como la diferencial, la integral, la función, la
variable o incluso el número; y deben además articularlos bajo diferentes contex-
tos de representación, como formas gráficas, ordenamientos numéricos, represen-
taciones analíticas, lenguaje natural o procesamiento icónico de la información.
Para mostrar un ejemplo de la forma en que el pensamiento matemático del
alumno se enfrenta con las enseñanzas tradicionales y las maneras en que debe
construir y reconstruir significados matemáticos con un carácter local y eventual-
mente temporal, hemos elegido un ejemplo del álgebra relativo al tratamiento de
los exponentes y las explicaciones escolares. Más específicamente, discutiremos
algunas de las interpretaciones frecuentes que los estudiantes construyen como
una consecuencia de la aplicación de definiciones matemáticas. Veamos pues el
caso de la potenciación y la radicación.
¿Cómo suelen enseñarse la potenciación y la radicación?
Desde la educación secundaria la potenciación, an, es interpretada como una
suerte de multiplicación iterada, esto es, a será multiplicada por sí misma n veces.
En los libros de secundaria podemos encontrar explicaciones muy parecidas a la
siguiente: 43 = 4 X 4 X 4 = 64, donde el 3 es el exponente, el 4 la base y el 64
la potencia. En esa multiplicación, el 4 aparece tantas veces como indica el ex-
ponente.
A su vez, la radicación se define como la operación inversa de la poten-
ciación de la siguiente manera:
3
...f8 = 2. El 3 es el índice, el 8 el subradical, el
símbolo ,Jes el radical y 2 la raíz.
Estas definiciones permanecen invariables durante toda la secundaria, mien-
tras que en la educación media serán paulatinamente ajustadas como se muestra a
continuación (sean un natural y a un real distinto de cero):
l. ao = 1
2. a-n = 1/an
3. n-v;¡= alln
¿Cuáles son los efectos de esta enseñanza?
A menudo estas definiciones se refuerzan mediante ejercicios, ya sean resuel-
tos en clase o como tarea. Estas reglas son causa de múltiples dificultades; para
los estudiantes el aprenderlas y para los profesores el enseñarlas. Se resuelven vía
la memorización de las reglas algebraicas, mientras que el trabajo del profesor se
restringe a proporcionar los medios para tal tarea.
Veamos algunas respuestas, matemáticamente erróneas, que dan los estudian-
tes así como los argumentos que proporcionan:

• 20 = O; ya que "el dos, cero veces, es cero".
• 2- 3 = ( -2)( -2)( -2); ya que "el dos es multiplicado menos tres veces".
• 2-3 = 0.002; ya que "el punto decimal es recorrido tres lugares a la iz-
quierda".
Seguramente, usted mismo podrá recordar respuestas como las anteriores
entre sus estudiantes. Observemos que, independientemente de las definiciones,
los argumentos que utilizan se apoyan en frases que dan un cierto sentido de legiti-
midad, pues los estudiantes consideran que así se explican. Haciendo una sobre-
simplificación, el profesor podría verse tentado a atribuir tales explicaciones al
hecho de que los estudiantes no estudian o son incapaces de entender matemáti-
cas, pues "no nacieron para ello"; aunque también podríamos atender a otra mira-
da y observar que en sus respuestas hay una gran coherencia y sin duda una mues-
tra de pensamiento matemático. Analicemos el porqué de nuestra afirmación.
En los primeros dos ejemplos observamos que han aprendido la definición de
potenciación que les ha sido enseñada desde sus estudios secundarios, pues explí-
citamente hacen uso de ella. Como dijimos, para ellos an es igual a a multiplicada
por sí misma n veces. Entonces, si habremos de culparlos de algo, tendrá que ser
bien aprendida una definición que por mucho tiempo les funcionó en un dominio
numérico restringido: el de los números naturales.
En la tercera de las respuestas existe otro tipo de coherencia que consideramos
distinta de las anteriores, pues han aprendido en sus cursos que el exponente nega-
tivo recorre el punto decimal a la izquierda. Quizá hayan olvidado que esto es cier-
to cuando un número es multiplicado por una potencia negativa de diez, pero no
por ello deja de haber formas inteligentes de construir sus respuestas, en donde
además utilizan aspectos de aquello que les fue enseñado.
Los ejemplos anteriores nos muestran que algunos de los errores que los estu-
diantes cometen no obedecen a su falta de atención, por el contrario, se apoyan en
el uso de conocimientos que han utilizado con éxito en situaciones anteriores.
Pero, ¿por qué creer que las definiciones dadas no han sido puestas en fun-
cionamiento por los estudiantes? ¿Será acaso porque estas definiciones les resul-
tan ajenas y por tanto no tienen sentido para ellos?
Pensemos un poco en la definición ao= l. ¿Cómo poder considerarla una afir-
mación válida?, ¿qué argumentos podría emplear un estudiante para creerlo? A
este respecto, es frecuente encontrar argumentos como el siguiente para probar
que ao = 1:
n
1 = !!._ = a"-" = a0
an
Sin embargo, esta prueba se apoya en la segunda definición a- n= lfan lo que
nos conduce a una nueva pregunta y a una situación circular: ¿por qué a-n= l!an?
De la misma manera podríamos intentar probar que a- n = 1fan usando el
hecho de que an a-n = an- n= 1, pero estaríamos con que ao = l. Los argumen-
tos anteriores configuran una estrategia circular que va de una definición a otra,
por lo que persiste al menos una de las cuestiones: ¿por qué ao = 1?; o ¿por qué
a- n= lfan?

Nuestra propuesta para dar un significado al exponente cero y a los expo-
nentes negativos consiste en un tratamiento didáctico que se apoya en algunas
experiencias de investigación.
Estudiemos el porqué de la igualdad ao = 1; para ello partamos de nuestra
definición inicial de potenciación:
an = a X a X . . . X a, donde a aparece n veces.
En lo que sigue m y n serán números naturales. A partir de esta definición
podemos establecer que:
an X am = an+m
(an)m = a" X m
anfam = an- mdonde n > m
Ahora supongamos que necesitamos que los exponentes puedan también ser
negativos; y que se requiere preservar las propiedades anteriores. Debido a nues-
tra necesidad de preservar la propiedad an X am = an+mdebe cumplirse que la
relación: an X ao = an+O= an, de lo que surge como necesario que ao = l. Es
importante señalar que este hecho también podría seguirse de la propiedad si-
guiente: anfam = an- m; ¿qué pasa si m = n?
De igual manera debe cumplirse que: an X a- n= an- n= ao y como ya sabe-
mos que ao = 1 surge como necesario que a- n= 1/an.
De lo exhibido en este apartado podemos concluir que las igualdades ao= 1 y
a- n = 1/an surgen como una necesidad intrínseca del aparato matemático para
dotar de significado a los exponentes negativos, de manera que no contradigan las
propiedades que cumplen los exponentes positivos.
Este mecanismo, de dotar de significado a los objetos nuevos a partir de otros
ya establecidos, es lo que llamaremos principio de consistencia. La generalización
entonces no puede ser arbitraria; debe garantizar que los nuevos objetos y sus sig-
nificados no contradigan a los anteriores.
En este punto surge una pregunta de interés escolar: ¿cómo introducir al salón
de clase conceptos matemáticos que sean el resultado de la generalización de otros
conceptos? Conviene discutir esto con sus colegas.
Actividad 1.2
Se recomienda trabajo en grupo.
¿Cuáles son las concepciones que tienen sus estudiantes en relación con las
afirmaciones ao = 1 y a- n= ]Jan?

¿Alguna de esas respuestas es parecida a las que hemos presentado en este
apartado? Discuta el origen de las respuestas con sus colegas.
¿Cómo considera que se puede introducir en clase, las igualdades ao = 1 y
a- n = 1/an de manera que las argumentaciones conserven coherencia?
¿Cómo explican sus alumnos el hecho y;;= a""?
¿Qué tipo de explicaciones ha observado de parte de sus estudiantes respec-
to a la igualdad anterior? ¿A qué las atribuye?
¿Cómo introduciría, en su clase, la igualdad 'la"= alln de manera coherente?

24 PARTE l. EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Sin usar calculadora, evalúe 2315.
¿Qué significa la expresión 2.fi?
Actividad 1.3
Explique qué entiende usted por pensamiento matemático. Tome como refe-
rencia su experiencia docente y ejemplifique con casos anecdóticos

.,, ,r r
r 'r
Delimitación
teórica.
//,/,..Diversas aproximaciones al,. ,.
.(
'r
f
r
r E aprendizaje en matemáticas
Para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que pro-
duzcan la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes; para un estu-
diante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya conse-
cuencia final es la disponibilidad de un conocimiento, con su doble estatus de
herramienta y de objeto.
Este capítulo tiene el objetivo de sensibilizar a los profesores sobre los proce-
sos de aprendizaje escolar en el campo de las matemáticas.
Actividad 2.1
Qué entiende usted por aprendizaje en matemáticas. Use su propia experien-
cia docente para construir ejemplos ilustrativos.
Tradicionalmente, se ha considerado a la enseñanza de las matemáticas como
una suerte de arte que libremente queda bajo el virtuosismo del profesor. El efec-
to de esa enseñanza sobre el aprendizaje del alumno suele ser evaluada en relación
25

con el buen comportamiento escolar del estudiante, a la aprobación o reprobación
del curso y no se discute mucho qué ocurre con el aprendizaje; se confunde pues
la acreditación con el aprendizaje. Se supone, en esta visión, que el aprendizaje de
los alumnos depende exclusivamente de la atención que presten y del seguimien-
to que hagan a la exposición del profesor, del dominio que éste tenga tanto al nivel
del arte en su enseñanza como al de su maestría en el tema. Esta visión, aunque
domina en las aulas escolares contemporáneas, está cambiando paulatinamente y,
en nuestra opinión, sus más profundas transformaciones aún están por llegar.
Ante estas prácticas escolares, que bien podríamos llamar tradicionales, hoy
en cambio emergen concepciones que consideran la actividad matemática en un
sentido más amplio según las cuales, dicha actividad no debe restringirse a las li-
mitaciones puramente formales pues, como toda actividad humana, depende de
una enorme variedad de restricciones de naturaleza cultural, histórica e institu-
cional. Factores como la motivación, la afectividad, la imaginación, la comuni-
cación, los aspectos lingüísticos o de representación desempeñan un papel funda-
mental en la conformación de las ideas matemáticas entre los estudiantes.
Desde esta perspectiva, nuestra forma de aprender matemáticas no puede ser
reducirse a la mera copia del exterior, o digamos que, a su duplicado, sino más
bien es el resultado de construcciones sucesivas, cuyo objetivo es garantizar el
éxito de nuestra actuación ante una cierta situación. Una consecuencia educativa
de este principio consiste en reconocer que tenemos todavía mucho que aprender
al analizar los propios procesos de aprendizaje de nuestros alumnos. Nos debe
importar, por ejemplo, saber cómo los jóvenes del bachillerato operan con los
números, cómo entienden la pendiente de una recta, cómo construyen y comparten
significados relativos a la noción de función o cómo ellos se explican a sí mismos
la noción de azar. Esta visión rompe con el esquema clásico de enseñanza, según
el cual el maestro enseña y el alumno aprende. Estos métodos permiten explorar
y usar para una enseñanza renovada, las formas naturales o espontáneas en que los
estudiantes razonan las matemáticas. El papel del profesor es en esta perspectiva
mucho más activo, pues a diferencia de lo que podría creerse, sobre él recae mucho
más la responsabilidad del diseño y coordinación de las situaciones de aprendizaje.
Otra visión del aprendizaje que está siendo puesta en funcionamiento más re-
cientemente se conoce como la aproximación sociocultural del aprendizaje.
Según la cual, se considera que la mente está más allá de la piel, y en esa medi-
da, los procesos mentales humanos poseen una relación esencial con los escena-
rios culturales, históricos e institucionales. De modo que se presenta un marco
según el cual es posible hablar de distintas formas de pensar matemáticas al con-
siderar que el escenario modifica dichos pensamientos. Así, encontramos en la
literatura de este programa que se habla de la forma de pensar durante el siglo
XIX, o bien sobre el tipo de razonamiento de los estudiantes o el del profesor en
el salón de clase.
Según R. Douady, saber matemáticas precisa de dos aspectos. Por un lado, se
refiere a la disponibilidad funcional de nociones y teoremas matemáticos para
enfrentar problemas e interpretar nuevas situaciones. En este proceso, dichas
nociones y teoremas tienen un estatus de herramienta, en tanto que sirven para que
alguien actúe sobre un problema en determinado contexto. Por otra parte, también

CAP. 2. DELIMITACIÓN TEÓRICA 27
significa identificar las nociones y a los teoremas como parte de un cuerpo de
conocimientos reconocidos socialmente. Es ahí que se formulan definiciones, se
establecen relaciones entre nociones mediante teoremas y se prueban las conje-
turas adquiriendo entonces el estatus de objeto. Al adquirir ese estatus, están des-
contextualizados y despersonalizados para permitir su aprendizaje. Este proceso
de descontextualización y de despersonalización participa en el proceso de apro-
piación del conocimiento.
Para un profesor, enseñar se refiere a la creación de las condiciones que pro-
ducirán la apropiación del conocimiento por parte de los estudiantes. Para un estu-
diante, aprender significa involucrarse en una actividad intelectual cuya conse-
cuencia final es la disponibilidad de un conocimiento con su doble estatus de
herramienta y de objeto. Para que haya aprendizaje y enseñanza, es necesario que
el conocimiento sea un objeto importante, casi esencial, de la interacción entre el
profesor y sus alumnos; es decir, que el conocimiento sea una manifestación
importante de los "juegos" de la escuela.
Enseguida mostramos dos ejemplos de tratamiento del contenido que conside-
ramos interesantes, pues han sido construidos atendiendo a las formas como Jos
estudiantes se comportan ante ciertas tareas. El primero es sobre el tratamiento
didáctico del cálculo mental y el segundo de la introducción al estudio del punto
de inflexión como punto singular de una curva.
El cálculo mental es una actividad matemática que no precisa de la escritura
y que puede desarrollarse en periodos breves del tiempo de una clase. Secuencias
de cinco a diez minutos con los jóvenes cada clase, permiten desarrollar habili-
dades del pensamiento que serán usadas en su formación posterior.
Verbalmente, el profesor propone operaciones por realizar, mientras que los
estudiantes escuchan y memorizan la pregunta. Posteriormente efectúan la
operación y comunican al grupo y al maestro su resultado. A continuación el pro-
fesor les demanda una explicación de sus cálculos. En ese momento el profesor
favorece la discusión entre los diferentes métodos propuestos y busca que los estu-
diantes defiendan o refuten dichos métodos. Ello tiene, naturalmente una intención
didáctica. Este proceso permite a Jos alumnos distinguir métodos y seleccionar
aquellos más veloces o efectivos.
En esas actividades, los alumnos usan teoremas como herramientas, aunque
no sean conscientes de su empleo. Por ejemplo, ante la pregunta del maestro de
cuánto es 11 por 11 un joven da una respuesta menor que 110. Otro alumno dice, esa
respuesta no puede ser correcta, pues 11 por 10 es 11Oy el ha obtenido un número
menor que 110. Este argumento exhibe el uso del siguiente teorema: si e> Oy a< b,
entonces ac <be. En este momento el saber opera en el nivel de herramienta, pues
no se ha constituido como un resultado general aceptado socialmente entre los
estudiantes en su clase. En otro momento, ellos lograrán escribir y organizar sus
hallazgos y en esa medida reconocer resultados en un nivel más general.
En ese sentido, la evolución de lo oral a lo escrito es un medio para la cons-
trucción del significado y para el aprendizaje matemático. En ese proceso tendrá
lugar la dialéctica herramienta-objeto.
Veamos a continuación otro ejemplo. Para ello recordemos la forma en que se
presentan los puntos de inflexión en clase de cálculo diferencial e integral.

En las clases de cálculo, el tema de derivación se expone normalmente en el
último año del ciclo medio superior. Más específicamente en el tema de aplica-
ciones de la derivada se presenta la técnica de derivación para localizar los posi-
bles puntos de inflexión de las curvas. En este contexto, el punto de inflexión de
una gráfica adquiere su significado sólo hasta después de haberse estudiado la
segunda derivada, y esto ocurre al momento de asociar la existencia de una raíz de
la segunda derivadaf"(x) con un punto especial de la gráfica def(x). Sin embar-
go, como sabemos esa propiedad no siempre se cumple, pues en el caso de que la
función sea .x4, la derivada segunda se anula (vale cero) aunque ahí no se tenga un
punto de inflexión.
En nuestra opinión, el conocer este tipo de relaciones entre la función y sus
derivadas permite dotar al proceso de derivación de una utilidad considerable. En
la enseñanza tradicional, la localización de los puntos de inflexión de una curva
resulta una tarea escolar que permite movilizar y dotar de significado a la segun-
da derivada, pues ésta se usa como una herramienta para localizar el valor de x
sobre el cual se encuentra la inflexión. Sin embargo, la enseñanza reduce este
asunto al nivel de la algoritmia.
¿Cuál es el efecto de la enseñanza tradicional?
Determinar la abscisa del punto de inflexión en la gráfica de f(x), permite aso-
ciar un recurso algorítmico de derivación al aplicarlo a una expresión analítica y de
este modo se reduce considerablemente el sentido que puede obtenerse de una
eventual interpretación geométrica. Esto es, al privilegiar un sólo marco, el marco
algebraico en este caso, se abandonan otros posibles elementos que ayudarían a una
más amplia significación del objeto a estudiar: el punto de inflexión y se elimina
del discurso escolar uno de los estilos del pensamiento: el pensamiento visual.
Ello conduce a una utilización de la definición de la derivada como regla y la
localización del punto de inflexión a una mera reproducción de un mecanismo
algebraico. Dicho procedimiento, como sabemos, consiste en derivar dos veces la
función de la cual queremos localizar los puntos de inflexión de su gráfica; ense-
guida debemos encontrar la raíz de la segunda derivada, y finalmente habremos de
verificar si realmente los puntos encontrados son puntos de inflexión de la gráfi-
ca de la función.
En los libros de texto de cálculo diferencial e integral se trata este tema, tanto
en el nivel teórico como en el práctico, mediante ejemplos y problemas; en ellos
se atiende principalmente a ciertos procesos algorítmicos para obtener la deriva-
da. Sin enfatizar considerablemente el sentido gráfico o visual, verbal, numérico
o inclusive icónico de las posibles caracterizaciones de un punto de inflexión.
¿Qué podríamos proponer para un tratamiento que atienda a los niveles en la
formación del pensamiento?
En nuestra opinión, se debe proporcionar un significado más vasto, que no re-
duzca el concepto a su tratamiento algorítmico, pues el proceso de encontrar el
punto de inflexión requiere de la exploración de otros ámbitos donde también
pueda discutirse la idea y generar espacios para significar los objetos matemáti-
cos. Una posible estrategia adicional consiste en dotar de significado apoyándonos
de la interpretación en obras clásicas, obras originales de otras épocas o bien con
los usos que este concepto pueda tener en otras ramas del conocimiento.

CAP. 2. DELIMITACIÓN TEÓRICA 29
Consideremos el siguiente caso. Dado que el punto de inflexión es caracterís-
tico de ciertas curvas, podemos partir de argumentos puramente geométricos para
su localización o incluso para su caracterización. Pensemos por ejemplo en una
curva que tenga un solo punto de inflexión y pretendemos caracterizar al punto a
partir de sus propiedades geométricas antes que introducirnos de lleno en el tra-
bajo algebraico de las derivaciones dobles, como es lo usual. Queremos pues ca-
racterizar al punto de inflexión (fig. 2.1), para lo cual consideramos el trazo de una
familia de rectas tangentes a la curva y localizamos para cada una de ellas sus
respectivas subtangentes (la subtangente es el segmento sobre el eje x que une el
pie del punto de tangencia con el punto en el que la tangente corta al eje x). Ense-
guida observemos, al movilizar las imágenes de las tangentes en nuestra mente,
que ahí donde la subtangente alcanza el valor más grande, o en su caso el más pe-
queño, de todas las demás subtangentes construidas en una cierta región, se tendrá
el punto de inflexión sobre la curva.
M
Figura 2.1. Punto de inflexión de una curva.
Consideremos para la gráfica anterior la disposición de puntos siguiente: B está
sobre la gráfica, A está sobre el eje y corresponde a la abscisa del punto B, R es el
punto de intersección de la tangente con el eje x. En este caso, AR será la subtan-
gente y la recta que pasa por B y R será la recta tangente a la curva en el punto B.
Imaginemos ahora que A se aproxima a P; en tal caso imagine a las subtan-
gentes respectivas y confirme que ellas se reducen en magnitud, del mismo modo
que cuando A se acerca a M. De modo que el valor más grande posible que las sub-
tangentes pueden tener ocurre cuando la tangente está construida sobre el punto de
inflexión. He ahí una caracterización alternativa del punto de inflexión que se
apoya en estilos de pensamiento diversos al tradicional y que pueden dar lugar a
presentaciones escolares.
En el caso en el que la curva tenga extremos, máximos o mínimos; la subtan-
gente que se obtenga en el punto de inflexión será la menor de todas las subtangentes
construidas entre los puntos extremos de la curva.
Veamos esto analizando las gráficas de la figura 2.2. Debemos notar que antes
y después del punto de inflexión, las subtangentes son mayores que en el punto de
inflexión.
Queremos finalizar este ejemplo con un comentario respecto del proceso de
significar los objetos matemáticos en la clase de matemáticas. Diremos que el
punto de inflexión tiene un significado geométrico que suele ignorarse debido al

30
_¡ _ _!
Figura 2.2. Subtangentes y puntos de inflexión.
abandono del contexto gráfico y aunque no lo hemos analizado en este escrito, ello
induce conflictos potenciales para el aprendizaje de nuestros alumnos. La ausen-
cia de etapas de exploración y significación gráfica y visual crea una barrera a los
propios procesos de pensamiento matemático de nuestros alumnos.
Claramente el manejo de las derivadas y su asociación con las inflexiones
debe llegar a la etapa operativa una vez que una cierta significación del punto de
inflexión ha sido construida por los estudiantes.
En nuestra opinión, las formas de aprovechar las bondades del recurso gráfi-
co son muy variadas, además de que favorecen la inclusión de modelos y rela-
ciones de naturaleza gráfica para distintos objetos matemáticos como, tangentes,
diferencias, máximos, mínimos, y más generalmente las series de potencias.
Todos ellos están de una u otra manera, directamente vinculadas con el tratamien-
to del punto de inflexión y de las derivadas sucesivas.
Actividad 2.2
Siguiendo los argumentos anteriores, le proponemos realizar las siguientes
tareas. En esta serie de gráficas existe un punto donde se cumple que la sub-
tangente es la de mayor o menor magnitud de entre todas las subtangentes
posibles.

31
y y
y
Figura 2.3. Gráficas y puntos de inflexión.
¿Qué otra característica observa que pueda asociarse a este punto? ¿Se pueden
trazar otras curvas que tengan puntos singulares como Jos anteriores? ¿Qué
sugiere usted?
Actividad 2.3
¿Sobre qué modelo de aprendizaje ha organizado sus propias actividades di-
dácticas cuando trata el tema de los puntos de inflexión?

¿En su opinión, es deseable que entre sus alumnos se favorezcan algunas for-
mas particulares de aprendizaje como las que hemos expuesto?

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Pensamiento
matemático y
enseñanza de
la matemática
Cuando un profesor se encuentra ante sus alumnos en su salón de clase, se
espera que enseñe un conocimiento específico y que los estudiantes lo aprenderán.
Sin embargo, si no sabemos la forma en que funciona el pensamiento matemático
de los alumnos, no podremos desde la enseñanza ayudarles en su aprendizaje. Las
relaciones entre pensamiento y enseñanza las estudian actualmente diversos inves-
tigadores en el mundo entero.
En este capítulo pretendemos estudiar, en un nivel introductorio, ciertas rela-
ciones entre los procesos de enseñanza y los mecanismos del pensamiento mate-
mático.
Actividad 3.1
Se recomienda trabajar en grupo.
¿Cómo cree usted que se puedan usar en la enseñanza ciertos de los supues-
tos teóricos descritos en los capítulos anteriores?
33

34 PARTE I. EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Una cuestión fundamental de importancia contemporánea consiste en adecuar
una instrucción, en el sentido más vasto del término, a las exigencias del pensa-
miento, del aprendizaje y de los contextos históricos, institucionales y culturales
que requiere la actividad matemática. La tarea, como puede verse no resulta sim-
ple. En una atmósfera donde la enseñanza se reduce a la comunicación de verda-
des eternas, resulta muy complejo plantear un rediseño sustentado en la explo-
ración de verdades relativas.
Este intento nos plantea una cuestión básica: ¿de qué manera el conocimiento
sobre los procesos de aprendizaje en matemáticas puede influir benéficamente en
la enseñanza?
Una razón que nos sirve para explicar la complejidad del conocimiento mate-
mático consiste en observar que la mayoría de las nociones matemáticas desempe-
ñan un papel dual: el de proceso y el de objeto, en función de la situación y de la
conceptualización que el alumno tenga.
Típicamente, el aprendizaje de un concepto incluye muchas etapas que pueden
desarrollarse durante periodos muy prolongados y que eventualmente quedan por
completo fuera de un semestre escolar. Por ejemplo, se debe iniciar con el des-
arrollo de un proceso en términos concretos, y en la medida en que el alumno se
familiariza con los procesos, éstos toman la forma de una serie de operaciones que
pueden ser desarrolladas y coordinadas en su pensamiento. El alumno habrá ad-
quirido entonces un pensamiento operacional con respecto a ese concepto. En una
etapa posterior, la imagen mental de este proceso cristaliza en una nueva y única
entidad, digamos que en un nuevo objeto. Una vez que éste ha sido adquirido, el
estudiante ha desarrollado cierta habilidad para pensar dicha noción, ya sea en el
nivel dinámico, como un proceso, o en el nivel estático, como un objeto. Este
manejo dual posibilita al estudiante el que piense en términos de posibilidades:
¿qué ocurriría si yo hago o no hago una cierta operación?
En esos términos, uno de los pasos más esenciales en el aprendizaje de las
matemáticas es el de construir objetos matemáticos: es decir, hacer un objeto de
un proceso. De modo que uno de los principales objetivos del currículum sería,
desde esta perspectiva, el desarrollar el pensamiento operacional; el pensamiento
sobre un proceso en términos de operaciones sobre objetos.
Dado que la matemática trata con números, variables o funciones, por citar
algunos, todos ellos pueden considerarse como objetos. Esos objetos se articu-
lan entre sí mediante relaciones; cada objeto es a su vez parte de una estructura
más amplia de objetos. Los procesos se componen de operaciones sobre esos
objetos y transforman a los objetos mismos. Por ejemplo, toda función específi-
ca puede considerarse como un proceso que opera sobre números: los transfor-
ma en otros números y después será considerada como un objeto en sí misma.
Un objeto susceptible de transformaciones mediante otro proceso que se realice
sobre ella, como por ejemplo derivarla, integrarla o graficarla. Esta dualidad
proceso-objeto parece estar en la base de la construcción de los conceptos ma-
temáticos.
De modo que la enseñanza de las matemáticas sacaría provecho de las inves-
tigaciones sobre el pensamiento matemático y sobre las formas en que se concibe
al conocimiento matemático y a su construcción, si estas fuentes epistemológicas

CAP. 3. PENSAMIENTO MATEMÁTICO Y ENSEÑANZA 35
se analizan más en detalle. En la enseñanza usual, estos hechos suelen ser desco-
nocidos tanto por los profesores como por los diseñadores de currículos o los auto-
res de libros de texto, de manera que se corre con frecuencia el riesgo de perder
un enorme espectro de posibilidades para enriquecer la acción didáctica.
Un profesor que conozca estos asuntos será sensible al reconocimiento de la
existencia de varias epistemologías: la epistemología del profesor, la epistemolo-
gía del alumno o la epistemología del saber. En este momento, quizá la visión más
extendida entre los profesores sea aquella que asume que los conceptos mate-
máticos son entidades ya elaboradas y que sólo deben comunicarse a sus alumnos,
en una enseñanza pulcra y libre de dificultades, olvidando que esos conceptos
deben ser construidos por sus estudiantes como herramientas capaces de tratar con
varias clases de situaciones.
Una de las fuentes más ricas para detectar dificultades y errores en el apren-
dizaje de los alumnos es la experiencia directa frente al salón de clases; ésta nos
permite percibir problemas y dificultades en la apropiación de algunos conceptos,
producto de varios factores que están presentes en este proceso. Es así que apro-
vechando los comentarios que nos hicieran grupos de docentes, producto de su
basta experiencia en el aula, proponemos reflexionar, como ellos lo hicieran, sobre
algunos tópicos.
Uno de los objetivos de la enseñanza escolarizada es tratar con conocimientos
especializados. En general, se considera que el profesor es el protagonista princi-
pal del proceso de enseñanza-aprendizaje y que el alumno se limita a aceptar pasi-
vamente aquello que se le propone, sin tener una participación activa en la cons-
trucción de lo que aprende. Hoy sabemos que los conocimientos así adquiridos se
olvidan fácilmente y no quedan integrados en las estructuras lógicas de los alum-
nos ni parecen fortalecer su pensamiento matemático. Como consecuencia, estos
conocimientos, sólo pueden utilizarse en condiciones muy similares a las que
fueron recibidos. Actualmente, se propone, como una forma de aprender signi-
ficativamente, que el alumno reconstruya los conceptos. Que el aprendizaje se
base en la actividad creadora y en el descubrimiento de las nociones por parte del
alumno, que sea él quien descubra y proponga formas de resolver los problemas.
De esta manera, la función del profesor es la de guiar el aprendizaje, de proponer
actividades que los enfrente a las dificultades inherentes al nuevo concepto y de
proporcionarles las herramientas para superarlas, es decir, incentivar el proceso de
pensa111iento en el alumno de tal manera que le permita enfrentarse a situaciones
nuevas y proponer soluciones. Esto es, darle al alumno un papel más activo en su
propio proceso de apropiación de un concepto, confiriéndole una mayor respon-
sabilidad.
Por otro lado, algunos profesores enseñan matemáticas igual a como está en
el libro de texto; es decir, limitándose :i reproducir el contenido en el pizarrón. En
general, los libros que se utilizan en las clases provienen frecuentemente de sis-
temas escolares diferentes al nuestro, y en ese sentido responden a fines múltiples.
Esto provoca que la enseñanza se convierta en una exposición de contenidos sin
atractivo para los alumnos, donde los ejemplos y ejercicios propuestos no son sig-
nificativos ni cercanos a su realidad, lo cual conduce al rechazo casi automático
de la clase de matemáticas.

Quizá un primer paso para la superación de este problema sea el fomentar el
uso de textos escritos para nuestro sistema educativo, de aquellos que rescatan
nuestro acervo cultural, nuestros problemas, aquellos cuyo contenido y presen-
tación incentiven la creatividad del docente y de Jos alumnos, donde se favorezca
la enseñanza y aprendizaje por descubrimiento.
Es por tanto relevante que las problemáticas en el salón de clases sean abor-
dadas a través de investigaciones, lo cual contribuye al mejoramiento de la ense-
ñanza, y responde a la necesidad de una búsqueda permanente de democratizar los
saberes que ella involucra.
En general. se enfrenta a los alumnos a situaciones problemáticas ficticias y
sin relación con otras ciencias, Jo que produce un desinterés profundo por los
temas escolares. Resulta importante entonces, reflexionar sobre el tipo de proble-
mas y de actividades que les planteamos a los estudiantes: ¿cuáles de ellos están
basados en situaciones reales donde aparezcan las estructuras matemáticas que se
desean enseñar?; ¿se recurre a otras ciencias, que usan las matemáticas, para que
el aprendizaje tenga sentido para el alumno y que haya una motivación para adqui-
rirlo?; ¿qué actividades se proponen para que los conceptos adquieran significado
entre los alumnos?
En ciertas ocasiones, el profesor presenta un problema, pero no destina sufi-
ciente tiempo a sus estudiantes para que ellos propongan soluciones y exploren
posibilidades y en consecuencia no promueven el desarrollo del pensamiento
matemático entre sus alumnos.
Quizá al estar presionados por los tiempos institucionales, los profesores ocu-
pados en desarrollar por completo una programación temática muy extensa pre-
fieran, pese a que se plantean actividades de resolución de tareas a los alumnos,
reducir los tiempos de exploración y debate en clase de matemáticas. Cuántas
veces, por ejemplo, se permite que los estudiantes lleguen a la solución de un pro-
blema a través de preguntas genéricas como: ¿qué hacemos?, ¿ustedes qué pien-
san?, ¿alguien tiene una idea distinta?, ¿qué ocurrirá si en vez de esto, hacemos
esto otro?...
En ese sentido, es frecuente observar que el diseño de la clase no contempla
como actividad habitual el que los alumnos argumenten sobre los conceptos que se
tratan o que ellos directamente expongan sus propias ideas, menos aún que refuten
las consideraciones de sus compañeros o las de su profesor. Es así como se pierde
el potencial que todo alumno posee para debatir en matemáticas y en ciencia; se
pierden los hilos de la argumentación y sus ideas cotidianas no evolucionan hacia
ideas científicas. Esto también, como podrá comprenderse, induce un compor-
tamiento contemplativo en sus acciones de la vida diaria cuando el estudiante tenga
que defender sus creencias y, por tanto, se inhibe el desarrollo de una amplia gama
de habilidades intelectuales.
De manera que al abrir un espacio en la clase de matemáticas para que los
alumnos expresen lo que piensan de algún concepto matemático y que puedan
refutar la opinión de sus compañeros se torna importante, digamos fundamental,
en el desarrollo de su pensamiento en general y de su pensamiento matemático en
particular. Además, este tipo de interacción en el aula favorece el desarrollo del
pensamiento crítico (López, 1998), ya que se incentiva el que se ofrezcan alterna-

tivas de solución de algún problema y que argumentando con base en ello se
favorezca el desarrollo intelectual de los alumnos.
La mayoría de los alumnos, en sus clases de matemáticas, memorizan y opti-
mizan los conocimiento antes de que verdaderamente puedan integrar conceptos o
procedimientos matemáticos. En nuestra opinión, ello se debe a que no pueden de
una vez y para siempre asimilar la compleja estructura de las matemáticas mediante
prácticas de memorización, perdiendo en consecuencia una visión de lo que "está
detrás" de las definiciones y los procedimientos asociados a los conceptos y a las
técnicas de base de los alumnos, lo que implica un escaso aprendizaje pues no
pueden aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de ciertas tareas
matemáticas o extramatemáticas. Es por ello que, al pretender enseñar un concep-
to se debe favorecer las diversas miradas que puedan hacerse de los conocimientos
y sus relaciones con los conocimientos previos, a fin de que los conocimientos ad-
quiridos anteriormente puedan ir formando una cierta estructura conceptual cada
vez más robusta y funcional.
En términos generales, la enseñanza no recurre a las estrategias de visualiza-
ción como una actividad con verdadero estatus matemático y los conceptos se
manejan de manera más bien formal para después fundamentarse con respecto a
una estructura. El conocimiento matemático, entonces, se presenta en forma abs-
tracta, sin base empírica, lo que produce en los alumnos una serie de dificultades
que inhiben el aprendizaje. En muchos casos, se introducen conceptos dando una
prioridad excesiva al marco algebraico o al numérico, dejando de lado el manejo de
significados en los dominios visual o verbal. Todo ello suele apoyarse en una
creencia ampliamente difundida que coloca a las estrategias algebraicas en el terre-
no de lo fácilmente enseñable y se cree que se trata de una buen forma de facilitar
la apropiación de conceptos. En nuestra opinión, pensamos que resulta conveniente
utilizar más la visualización en las clases de matemáticas con el fin de favorecer
diversas formas de representación, tanto de conceptos como de procesos, y favore-
cer de este modo el que se exploren otros tipos de argumentación.
En muy pocas ocasiones se utiliza el acercamiento o la "demostración infor-
mal" que Jos alumnos pudieran haber realizado en clase. Por el contrario, se co-
mienza por formalizar un concepto y a presentar una demostración complicada
con un considerable rigor matemático, lo cual induce un desánimo entre los alum-
nos y se favorece la creencia de que los temas estudiados están fuera de su alcance.
En nuestra opinión, consideramos que una manera de motivar la confianza en su
propia capacidad para tratar con las matemáticas consiste en apoyarse cada vez
más en los propios procesos mentales del estudiante. Respetar más sus conjeturas,
sus procedimientos heurísticos, utilizar sus ensayos y exploraciones, dejando que
su intuición pueda servir como punto de partida de la actividad en la clase. En el
capítulo 4, "Teoría de situaciones didácticas", abundaremos sobre estos asuntos.
Con frecuencia, el trabajo en clase se realiza de manera individual, y en gene-
ral, se pide a Jos estudiantes que no compartan sus experiencias o sus resultados.
Creemos que esto favorece una visión limitada de la diversidad de tratamientos,
perdiéndose una gran oportunidad de desarrollar conocimientos y estrategias para
enfrentarse a situaciones cada vez mas complejas. Por esa razón, cada vez es más
necesario desarrollar estrategias de enseñanza basadas en la cooperación. Una

propuesta interesante es la del trabajo en equipo, para que los estudiantes estén en
mejores condiciones de reforzar sus conocimientos y compartir visiones sobre las
actividades matemáticas.
Producto de su experiencia frente a alumnos, un profesor nos propone refle-
xionar sobre algunas dificultades y errores que a menudo se perciben en el salón
de clases.
Uno de los errores más frecuentes, que se observa cuando se introducen las
expresiones algebraicas en el aula, es que los alumnos extienden las operaciones
numéricas que ya dominan, aplicándolas a estos nuevos entes que se les presentan.
Por ejemplo, no es extraño encontrar expresiones matemáticamente erróneas como:
25x - 3 = 22x, o bien que Sxy - 3x = 2y
donde es posible percibir que los alumnos tratan a las expresiones buscando dar-
les un cierto sentido de coherencia, pues consideran a las literales como etiquetas
de objetos concretos, y ello les hace operarlas como si fueran números.
Otra dificultad que suelen presentar los alumnos al manipular expresiones
algebraicas, se refiere a la eliminación de paréntesis. Consideremos el ejemplo
siguiente, que un alumno se ha dado a la tarea de desarrollar la expresión algebrai-
ca 8x - 3x (4 + x).
Él propuso que 8x- 3x (4 + x) = Sx (4 + x). ¿Por qué lo hizo de este modo?
Se podría pensar que leyó de izquierda a derecha del mismo modo como que está
acostumbrado a leer sus textos escolares: "ocho equis menos tres equis por cuatro
más equis". Opera en consecuencia cómo interpreta la lectura. Quizá por esta
razón, algunos alumnos no puedan percibir que 3 (x + 7) sea igual que (x + 7) 3
a pesar de que ese sea un tema de enseñanza al tratar con las propiedades, como
la propiedad distributiva. Sin embargo, debemos reconocer que entre las respues-
tas de los estudiantes siempre hay muestras de razonamientos plausibles, inde-
pendientemente de que sus respuestas sean correctas o falsas.
De otra índole son las dificultades que se presentan ante problemas con pala-
bras, enunciados verbales que precisan de tratamiento y codificación de registros
de representación. En estos temas, los docentes suelen encontrar muchas dificul-
tades al pretender comunicar eficazmente a sus alumnos las estrategias y las téc-
nicas de base a sus alumnos. De parte de los estudiantes se dificulta la inter-
pretación y el tratamiento de la palabra escrita que el problema plantea.
En términos generales, los estudiantes hacen una especie de traducción frase
por frase y suelen tener dificultades para reconocer las estructuras del problema.
El tratamiento de las relaciones entre las variables involucradas no puede, en nues-
tra opinión, reducirse al mero ejercicio de traducción, por el contrario, requiere de
un verdadero tratamiento y conversión de objetos con múltiples significados.
Normalmente, ese tipo de situaciones requiere de una lectura integral y de una
reflexión sobre la totalidad del problema, en vez de tratar con datos aislados. Al
leer el problema, pueden no diferenciar los datos relevantes de los accesorios, o
bien pueden tropezar al convertir la frase en una formulación simbólica propia de
las matemáticas. En términos generales, los estudiantes y en repetidas ocasiones
los textos escolares, reducen el tratamiento de los problemas con palabras al asun-

to de la traducción directa de las frases a la simbología matemática, lo que con-
duce a encontrar ocasionalmente más variables que las verdaderamente necesarias
para resolver el problema. Esto ocasiona que no logren establecer relaciones entre
las variables y que obtengan entonces ecuaciones equivocadas.
En los libros de texto, se proponen como ejercicios para introducir este tema
enunciados que representen cantidades o relaciones entre cantidades para que se
expresen en el lenguaje matemático. Por ejemplo:
• La suma de dos números impares consecutivos
• Un número es 4 unidades mayor que otro
• El largo es el triple del ancho
• La suma del cuadrado de dos números
• La diferencia de dos números es 20.
En general, puede observarse que este proceso inicia el tratamiento de las re-
presentaciones para operar sobre ellas, y se permite de algún modo el abandono
del contexto inicial en el que fue planteado el problema. Se espera que después de
haber realizado las operaciones pertinentes, se esté en condiciones de regresar al
escenario original e interpretar en él la respuesta construida. Sin embargo, la
potencia del álgebra respecto de su vinculación con otros marcos como el numéri-
co, gráfico e icónico, normalmente no se usa a plenitud.
Asimismo, cuando se aborda el tratamiento de las fracciones, se observa que
a pesar de que éstas se introducen en la enseñanza de la aritmética en la educación
básica, los estudiantes suelen tener demasiadas dificultades con su manejo y tales
dificultades se heredan al tratamiento algebraico, o hacia otros dominios como
trigonometría o cálculo diferencial e integral. Es frecuente encontrar respuestas
matemáticamente incorrectas, como las siguientes:
3 1 4
- +-
5 2 7
7 8
1+ -
3 3
Esto puede explicarse a partir de observar que la manipulación aritmética que
están haciendo en el caso descrito se debe a que las fracciones están siendo repre-
sentadas como una extensión de los naturales, y en consecuencia, se induce una
operatividad que proviene de los números naturales.
Por último, podemos mencionar otra dificultad que aparece con frecuencia
cuando operan sobre expresiones en las que se "distribuye el signo menos". Si se
le pide a un alumno resolver un ejercicio donde deba sustituirf(x) - g(x), y donde
g(x) es una expresión de más de un término, es frecuente que se olvide usar el
paréntesis. Por ejemplo:
Si f(x) = 3x y g(x) = 7 - 3x, para encontrar f(x) - g(x) es factible esperar
que operen de manera que su resultado sea 3x - 7 - 3x, olvidando el papel del
signo menos antes de una expresión de dos términos.

40 PARTE I. EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO
Es fundamental entonces, reflexionar sobre la necesidad de la investigación
como método para adecuar los contenidos de la enseñanza a los procesos de apren-
dizaje.
Actividad 3.2
Proponga una lista, lo más amplia posible, de los errores más frecuentes que
encuentra entre las respuestas de sus alumnos a las actividades matemáticas
que usted les propone. Procure explicar la razón que, en su opinión, explica
su frecuencia. Finalmente, sugiera cómo usted ha atendido tales dificultades
de aprendizaje.
Actividad 3.3
Se recomienda discutir esta cuestión en grupo.
Discutan el sentido de la frase: "Orientar la enseñanza de la matemática aten-
diendo a los aspectos de aprendizaje de los alumnos."

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- Teoría de
situaciones
didácticas
La teoría de situaciones didácticas tuvo su origen en Francia; se ha desarrolla-
do e implementado en diversos sitios del mundo y ha alcanzado hasta el momen-
to resultados sumamente interesantes. Aunque esta teoría fue concebida para el
campo particular de la didáctica de la matemática, hoy se busca su extensión a
otros dominios del conocimiento y en diferentes niveles de escolaridad. Con esta
teoría, se estudian y modelan fenómenos didácticos que ocurren cuando un profesor
se propone enseñar una noción, un teorema o un procedimiento a sus estudiantes. En
este intento, las palabras, enseñar, aprender, pensar, entender, saber y conocer ad-
quieren diversos significados.
Así pues, esta teoría de situaciones permite diseñar y explorar un conjunto de
secuencias de clase concebidas por el profesor con el fin de disponer de un medio
para realizar un cierto proyecto de aprendizaje. En este capítulo nos introducire-
mos en estos temas.
Actividad 4.1
¿Qué entiende usted por la expresión situación didáctica y qué considera que
es una secuencia didáctica?
4 1

Algunas partes de este capítulo y del siguiente, presentan una versión simplifi-
cada de la teoría de situaciones didácticas, desarrollada por Guy Brousseau en
Francia y que se resume en el capítulo l de la tesis doctoral de Grecia Gálvez.
Naturalmente, hemos elegido aquellas partes que consideramos permiten una
introducción accesible a la teoría de las situaciones.
Actualmente se considera al profesor como un profesional reflexivo, que de-
cide, diseña, implementa y experimenta estrategias de acción para lograr el
aprendizaje de sus alumnos. De manera que aprender matemáticas no se reduce
a recordar fórmulas matemáticas, teoremas o definiciones para resolver proble-
mas mediante la imitación de las explicaciones del profesor en clase o con apego
a los métodos ilustrados en los textos escolares. La teoría de las situaciones
didácticas propone el estudio de las condiciones en las cuales se constituyen los
conocimientos matemáticos; y se considera que el control de esas condiciones
permitirá reproducir y optimizar los procesos de adquisición escolar del cono-
cimiento.
Se parte de la base de que el conocimiento de los fenómenos relativos a la
enseñanza de las matemáticas no es un resultado de la simple fusión de cono-
cimientos provenientes de dominios independientes, como son las matemáti-
cas, la psicología y la pedagogía, sino que requiere de investigaciones espe-
cíficas.
Por otra parte la investigación de los fenómenos relativos a la enseñanza de
las matemáticas tampoco puede reducirse a la observación y análisis de los pro-
cesos que tienen lugar cotidianamente en las aulas, puesto que su objetivo es la
determinación de las condiciones en las que se produce la apropiación del saber
por los alumnos, y para esto necesita ejercer un cierto grado de control sobre ellas,
lo que implica que el investigador debe participar en la producción (o diseño) de
las situaciones didácticas que analiza.
La presencia de un contexto escolar no es esencial en la definición de una
situación didáctica; lo que sí es esencial es su carácter intencional, el haber sido
construido con el propósito explícito de que alguien aprenda algo. El objetivo
central de la didáctica de la matemática es averiguar cómo funcionan las situa-
ciones didácticas, es decir, cuáles de las características de cada situación resul-
tan determinantes para la evolución del comportamiento de los alumnos y, sub-
secuentemente, de sus conocimientos. Esto no significa que sólo interese
analizar las situaciones didácticas exitosas. Incluso si una situación didáctica
fracasa en su propósito de enseñar, su análisis puede constituir un aporte a la
didáctica, si permite identificar los aspectos de la situación que resultaron deter-
minantes de su fracaso.
Para analizar las situaciones didácticas, en la teoría se modelan utilizando
elementos de la teoría de juegos y de la teoría de la información. Para una
situación didáctica determinada se identifica el estado inicial y el conjunto de los
diversos estados posibles, entre los que se encuentra el estado final que corres-
ponde a la solución del problema involucrado en la situación. Se hacen explíci-
tas las reglas que permiten pasar de un estado a otro. La situación se describe,
entonces, en términos de las decisiones que los alumnos pueden tomar en cada

CAP. 4. TEORÍA DE SITUACIONES DIDÁCTICAS 43
momento y de las diferentes estrategias que pueden adoptar para llegar al esta-
do final.
Otro factor que facilita el aspecto de las situaciones didácticas es su clasifi-
cación. Se iistinguen, entre las situaciones que se producen para su estudio experi-
mental, cuatro tipos cuya secuencia en los procesos didácticos que organizan es la
siguiente:
l. Las situaciones de acción, en las que se genera una interacción entre los
alumnos y el medio físico. Los alumnos deben tomar las decisiones que
hagan falta para organizar su actividad de resolución del problema plan-
teado.
2. Las situaciones de formulación, cuyo objetivo es la comunicación en infor-
maciones entre alumnos. Para esto deben modificar el lenguaje que utilizan
habitualmente, precisándolo y adecuándolo a las informaciones que deben
comumcar.
3. Las situaciones de validación, en las que se trata de convencer a uno o a va-
rios interlocutores de la validez de las afirmaciones que se hacen. En este
caso, los alumnos deben elaborar pruebas para demostrar sus afirmaciones.
No basta la comprobación empírica de que lo que dicen es cierto; hay que
explicar que necesariamente debe ser así.
4. Las situaciones de institucionalización, Jestinadas a establecer conven-
ciones sociales. En estas situaciones se intenta que el conjunto de alumnos
de una clase asuma la significación socialmente establecida de un saber que
ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de formulación y de
validación.
Una parte importante del análisis de una situación didáctica lo constituye la
identificación de las variables didácticas y el estudio tanto teórico como experi-
mental de sus efectos. Lo que interesa son los intervalos de valores de estas
variables que son determinantes para la aparición del conocimiento que la
situación didáctica pretende enseñar. Se tratan de precisar las condiciones de las
que depende que sea ese el conocimiento que interviene y no otro. Entre las
variables que intervienen en una situación hay algunas, denominadas variables
de comando, que pueden ser manipuladas por el maestro para hacer evolucionar
los comportamientos de los alumnos. Su identificación resulta particularmente
importante.
El análisis de una situación didáctica pasa por su comparación con otras situa-
ciones didácticas, obtenidas mediante transformaciones de la primera. Ejemplo, el
esfuerzo de modelación de una situación didáctica está subordinado al propósito
de identificar los elementos que podrían variarse para lograr efectos didácticos
diferentes de los que se obtendrían con la situación original. Se constituye así toda
una familia de situaciones didácticas relativas al conocimiento específico que se
quiere enseñar, con la hipótesis de que cada una de ellas hará funcionar dicho
conocimiento bajo una modalidad diferente. Se postula que entre estas situaciones
existe una, a la que se designa como situación fundamental, que es capaz de en-
gendrar a todas las dP'llás, a través de la asignación de diversos rangos de varia-

ción o valores particulares a las variables que las caracterizan. Una situación es
fundamental respecto del conocimiento que interesa enseñar, cuando es posible,
mediante el juego de las variables presentes en ella, hacerla coincidir con cual-
quier situación en la cual intervenga ese conocimiento.
De este modo el empleo de las situaciones didácticas no plantea, de ninguna
manera, promover a priori un cierto tipo de pedagogía, por razones ideológicas,
sin el respaldo de los resultados experimentales correspondientes. Sin embargo,
las situaciones didácticas diseñadas y sometidas a experimentación obedecen a
ciertas características, en función de los presupuestos epistemológicos subya-
centes a su producción.
En efecto, se considera que todo conocimiento es una respuesta, una adapta-
ción que la humanidad ha logrado ante situaciones que ha enfrentado o ante pro-
blemas que se ha planteado. Los conocimientos que han surgido en contextos fun-
cionales como instrumentos para la adaptación, son transformados posteriormente
con el propósito de relacionarlos con otros conocimientos, de conservarlos y de
trasmitirlos, adoptando la modalidad de objetos culturales. Un saber cultural que
se encuentre desligado de su génesis constituye un producto descontextualizado y
despersonalizado. Es a partir de esta modalidad que los conocimientos ingresan en
los programas escolares.
La forma como los sistemas educativos organizan la enseñanza de los temas
incluidos en los programas escolares implica una determinada concepción de los
procesos de adquisición de los conocimientos. Hasta la fecha ha predominado
una concepción según la cual basta con descomponer un saber en su modalidad
cultural, en pequeños trozos aislados y luego organizar su ingestión por los alum-
nos en periodos breves y bien delimitados según secuencias determinadas sobre
la base del análisis del propio saber. Esta manera de organizar la enseñanza no
atribuye importancia al contexto específico, a la situación específica, donde los
conocimientos se adquieren, ni a su significación y valor funcional, durante su
adquisición.
Este planteamiento se apoya en la tesis de que la persona que aprende necesi-
ta construir por sí mismo sus conocimientos mediante un proceso adaptativo simi-
lar al que realizaron los productores originales de los conocimientos que se quiere
enseñar. Se trata entonces de producir una génesis artificial de los conocimientos,
de que los alumnos aprendan haciendo funcionar el saber, o más bien, de que el
saber aparezca para el alumno como un medio de seleccionar, anticipar, ejecutar
y controlar las estrategias que aplica a la resolución del problema planteado por la
situación didáctica.
Veamos a continuación un ejemplo que da cuenta de un diseño de situación
didáctica para la introducción de la función exponencial en la enseñanza del
bachillerato. Un estudio de expresiones exponenciales.
Es muy probable que al hojear un libro introductorio de álgebra elemental
encontremos tablas como las que a continuación se muestran, puesto que corres-
ponden a un libro tomado entre muchos equivalentes:

Exponentes enteros y sus leyes (resumen)
Definición de aP donde p es un
entero y a es un número real
Leyes de los exponentes n y m
son enteros, a y b son números reales
Si p es un entero positivo,
aP=aXaX··· X a
con p factores a
Ejemplo: 35 = 3 X 3 X 3 X 3 X 3
Si a =t Oy p = Oentonces aP = 1
Ejemplo: 30 = 1
Si p es un entero negativo,
aP = l!a-P con a =t O
Ejemplo: 3- 4 = 1!3- (- 4) = 1/34
l.
2.
3.
4.
5.
111 11- m+n
a a -a
(anr =a
mn
(ab)"' == a"'bm
(~J'
m
a
- -
b'"
a
m
1= am- n ---
b"' n- m
a
Además podemos encontrar las siguientes definiciones:
Definición de raíz n-ésima
Para un número natural n, a es la raíz n-ésima de b, si: an = b
Número de raíces n-ésimas reales de un número real b
npar n non
b positivo dos raíces n-ésimas reales una raíz real
b negativo ninguna raíz real una raíz real
Para todas las expresiones bttn
npar n non
b positivo blln es la raíz n-ésima blln es la raíz n-ésima
positiva de b real de b
b negativo blln no es un número real blln es la raíz n-ésima
real de b
Además se agrega el hecho de que 01tn = O para cualquier n natural.
Notación para la raíz n-ésima 1111
Para un número n, mayor que 1, y cualquier número real b: rifh = b
45
La presentación de tablas como las anteriores constituyen un recurso eficaz
para lograr que los estudiantes puedan localizar las propiedades de los exponentes
y las puedan emplear de manera correcta. Una consulta rápida puede lograr que el
estudiante adquiera información, la cual redundará en una aplicación correcta de

las reglas de los exponentes cuando se manejan procedimientos algebraicos donde
aparecen expresiones con exponentes.
La eficacia se logra en el contexto de la aplicación correcta de las propiedades
de los exponentes, pero cuando el estudiante se esfuerza en dar significado a tales
propiedades fácilmente incurre en errores y contradicciones que le impiden orga-
nizar dichas propiedades en contextos que estén mas allá del nivel operativo. Este
hecho lo muestran investigaciones realizadas en el contexto del estudio de la fun-
ción exponencial (P. AguiJar et al., 1997).
Nuestro interés era conocer las concepciones que de esta función se tienen en
el medio escolar, para lo cual hacemos una exploración preliminar a través de un
cuestionario con el siguiente propósito: Tener un primer acercamiento a las con-
cepciones que sobre la función 2x tienen Jos estudiantes. Un estudio a profundidad
del siguiente ejemplo se encuentra en Lezama (1999).
Las respuestas más importantes dadas por los estudiantes las hemos agrupado
de la siguiente manera: 2x es una operación sólo para los enteros, ya que interpre-
tan 2x como multiplicar 2 por sí mismo "x veces".
Cuando x < O no hay una interpretación uniforme para 2x como lo muestran
las siguientes respuestas y que presentamos anteriormente en la sección introduc-
toria: 2- 3 = 0.002, 2- 3 = ( -2)(-2)(-2) = -8, 2- 3 = 1/23.
Si x no es entero, 2x es solamente una notación (2112 = -{2, 2113 =
3
-{2, etc.), 21t
es un número que no puede calcularse en el sentido usual del término calcular,
pues carecen de un algoritmo para obtenerlo y sólo pueden aproximarse con auxi-
lio de a1gún tipo de técnica.
Ante este hecho didáctico, proponemos considerar el desarrollo de las siguien-
tes actividades, que permiten al estudiante interactuar con la noción de exponente,
y, en ese sentido, construir progresivamente la noción, en un contexto más amplio,
en el que pueda integrarla a la noción de función y a su representación gráfica,
incluyendo por supuesto algunas nociones de geometría.
Proponemos una secuencia cuyos objetivos son:
• Proporcionar un proceso geométrico de construcción de puntos de la gráfi-
ca de la función 2x, así como identificar y analizar regularidades propias de
la función.
• Confrontar la concepción espontánea de que 2x es evaluable sólo cuando x
sea entero.
• Consideramos que podremos esperar de los estudiantes lo siguiente:
• Los estudiantes evaluarán a 2x, cuando x no sea entero, mediante una aso-
ciación con magnitudes geométricas.
La actividad que proponemos se compone de dos etapas y el desarrollo de las
actividades en cada una se debe realizar en equipos de tres estudiantes.
PRIMERA ETAPA
Proporciona los conocimientos geométricos para obtener raíces y productos.
Esta etapa constituye una fase de acción preparatoria.

Se trata de estudiar la función 2x. A través de la siguiente secuencia de activi-
dades se pretende familiarizamos con algunas propiedades y características de la
función exponencial 2x, para lo cual recurriremos a construcciones geométricas
mediante regla y compás así como a la observación de regularidades.
El desarrollo de las siguientes actividades habrá de acompañarse de un reporte
escrito, hemos considerado que en esta ocasión prescindiremos del uso de la cal-
culadora a fin de restringimos al uso de la regla y el compás.
Actividad 4.2
Recuerde que si se inscribe un triángulo en una semicircunferencia y uno de
sus lados coincide con el diámetro, como se muestra en la figura siguiente,
se tendrá que dicho triángulo es un triángulo rectángulo. Elabore argumen-
tos para convencerse de que dicho triángulo es rectángulo.
Figura 4.1. Triángulo rectángulo inscrito en una semicircunferencia.
Actividad 4.3
Al trazar la altura del triángulo correspondiente a la hipotenusa, como se
muestra en la figura 4.2, la altura divide a la hipotenusa en dos partes. Si
suponemos que una de ellas mide la unidad y la otra una cantidad a, se obtiene
que la altura mide .f;i. Convénzase de la veracidad de esta afirmación.
Figura 4.2. Construcción de la media proporcional.

Actividad 4.4
Utilizando el resultado anterior, construya para cada caso un segmento de
magnitud -Ji, -J3, y -J5.
f l
2 3 5
Figura 4.3. Semicircunferencias de diámetro 3u, 4u y 6u.
Asimismo, recuerde que: El producto de dos magnitudes se puede obtener
mediante un criterio geométrico, basado en semejanza de triángulos, el cual
se desarrolla en la siguiente actividad.
Actividad 4.5
Dados dos números a, b, positivos su producto puede obtenerse geométrica-
mente, como se muestra en la figura 4.4, donde a y x son segmentos parale-
los. Verifique que el producto de a y b sea el segmento x en cada caso (b >
l,b<l).

49
Figura 4.4. Construcción del producto de magnitudes.
Actividad 4.6
Empleando el procedimiento geométrico de la semejanza que hemos des-
crito anteriormente, construya, para cada caso, un segmento de magnitud
(-12)(~). (~)(Fs).
En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para
su desarrollo:
• Las actividades propician el que los estudiantes entren en acción, dibujan-
do las figuras correspondientes.
• Puede haber dificultades con la noción de semicircunferencia y el hecho de
inscribir en ella un triángulo.
• El acto de validar que el triángulo es rectángulo puede constituirse en difi-
cultad para algunos estudiantes.
• Algunos estudiantes pueden analizar sólo unos casos particulares y formu-
lar generalizaciones sin llegar a una justificación.
• En la construcción de segmentos de longitud _12, -13, -15, es posible que
empleen· distintos segmentos como unidad.
• Puede no recordarse la noción de semejanza y el hecho de que los lados
homólogos son proporcionales.
• Es posible que no puedan hacer uso de la semejanza para obtener los pro-
ductos: (J2-13)(-f5-13).

• Algunos estudiantes se darán cuenta que el método estudiado no sirve para
obtener raíces cúbicas, quintas, etcétera.
Como los resultados y técnicas desarrolladas en esta etapa son fundamentales
para el desarrollo de la siguiente etapa, es particularmente importante la discusión
en grupo de los trabajos de los equipo. Es conveniente que en esta actividad de
institucionalización se resuelvan todas las dudas.
SEGUNDA ETAPA
En esta etapa, se aplican los conocimientos adquiridos mediante las activi-
dades anteriores a fin de construir los seis puntos de la gráfica de la función 2xen
el intervalo [0, 2].
o
Actividad 4.7
En la figura 4.5 se han trazado los segmentos de magnitudes 20, 21 y 22; que
nos sirven para localizar los puntos de coordenadas (0, 20), (1, 21) y (2, 22).
Figura 4 .5. Construcción de la exponencial.

El problema a resolver consiste en localizar los puntos (112, 2112), (114, 2114), (314,
2314) y (5/4, 2514). Para esto, deberás localizar los segmentos de magnitudes
21/4, 2112 , 23/4 y 25/4, empleando únicamente procedimientos geométricos.
Recuerde que 23/4 se puede expresar como 21/4 21!2. ¿Cómo localizaría el
punto (1/8, 2118)? Explique suficientemente sus afirmaciones.
¿Es posible obtener más puntos siguiendo el procedimiento discutido ante-
riormente? Construya. argumentos al respecto.
Hagamos para finalizar, una serie de comentarios sobre la actividad propues-
ta: En esta etapa identificamos los siguientes elementos que son relevantes para su
desarrollo.
• Puede haber dificultades especiales para identificar a la unidad.
• La construcción de los segmentos solicitados puede hacerse sobre los ejes ·
cartesianos (es lo recomendable), o aparte, pero se corre el riesgo de que
modifiquen la unidad en cada trazo.
• Tiene especial dificultad la obtención de los segmentos 23/4 y 2514.
• Es factible esperar que algunos estudiantes intenten localizar los segmentos
al tanteo.
• Algunos estudiantes harán un trazo continuo.
• Algunos estudiantes contestarán a las preguntas con un sí o un no, sin jus-
tificación.
• Algunos estudiantes harán explícito el que solamente se pueden obtener
segmentos correspondientes a números de la forma 2PN.
Es importante, por parte del profesor, provocar y fomentar una discusión entre
los estudiantes con el fin de clarificar aspectos matemáticos trabajados en esta

actividad, así como tomar nota de los aspectos nuevos que emerjan de la discusión
de los propios estudiantes.
Es muy importante que los profesores hagan la actividad y discutan entre ellos
identificando las dificultades que consideran tendrían sus estudiantes al efectuar-
la. Las lecturas recomendadas en la bibliografía les permitiría conocer en el con-
texto de una investigación cómo vivieron algunos estudiantes la secuencia y los
resultados obtenidos.
Actividad 4.8
Se recomienda la discusión en grupo.
Describa lo que entiende por el diseño de una situación didáctica y propon-
ga un ejemplo cercano a su práctica docente.
Actividad 4.9
Se recomienda la discusión en grupo.
Describa lo que entiende por una situación didáctica y proponga un ejemplo
de cómo podría usted diseñar una con base en su propia práctica como pro-
fesor.

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1
~ 1

Esta parte dos del libro ha sido estructurada de manera diferente a la
uno. La diferencia estriba en el formato y la selección del contenido. Aquí
hemos querido mostrar al lector diferentes investigaciones que tratan de la
matemática escolar del bachillerato, por lo que respetamos tanto el estilo
literario de los autores como la perspectiva teórica en la que se apoyan.
Quizá por eso, el lector encuentre una concepción homogénea en lo que
resta de este libro. El capítulo 6 presenta una introducción al pensamiento
numérico y da lugar a una reflexión sobre el tratamiento escolar desde los
niveles básicos hasta los superiores. A partir del capítulo 7 se abordan
temáticas específicas, como el lenguaje algebraico y el pensamiento
funcional, la visualización y percepción espacial, la introducción de la
tecnología en el salón de clase, el diseño de situaciones para el lenguaje
variacional y finalizamos en el capítulo 12 con algunas puntualizaciones
generales señalando perspectivas y visiones de conjunto.
En esta parte dos es posible, quizá deseable, hacer una lectura de los
diferentes capítulos sin seguir la secuencia natural. Además, en cada uno se
han presentado líneas de investigación y la bibliografía especializada, a
efecto de favorecer una lectura con mayor profundidad.

r.,
l
Un modelo para
el desarrollo del
pensamiento
matemático,
La evolución del conocimiento matemático del estudiante, cuando se encuen-
tra en una situación de aprendizaje, se produce mediante una cierta adaptación al
medio. El desarrollo del pensamiento matemático no se limita a la mera descrip-
ción del contenido del pensamiento, sino de los procesos básicos subyacentes. En
particular nos interesa la relación que ese proceso guarda con las situaciones
didácticas.
Actividad 5.1
Se recomienda discutir esta cuestión en grupo.
Discutan el sentido de la frase: desarrollo del pensamiento matemático entre
los estudiantes. Describa distintas escenas donde esto pueda tener lugar y
acuda a ejemplos cercanos a su propia práctica docente.
55

56 PARTE II. ESTUDIOS SOBRE DIDÁCTICA Y COGNICIÓN
Hemos dicho que el pensamiento matemático se desarrolla entre los estu-
diantes en la medida en que ellos estén en condiciones de tomar el control de sus
propias actividades matemáticas organizadas por su profesor. El camino señalado
en las secciones anteriores consiste en un proceso de aprendizaje en el que el
conocimiento no es ni directa ni indirectamente enseñado por el maestro, sino que
debe aparecer progresivamente en el estudiante a partir de múltiples condicio-
nantes estructurales: debe, por así decirlo, ser el resultado de confrontaciones con
cierto tipo de obstáculos encontrados durante su actividad. En este sentido, son las
múltiples interacciones en el seno de la situación las que deben provocar las mo-
dificaciones en el alumno y favorecer la aparición de los conceptos deseados. El
conocimiento que se quiere que los alumnos aprendan debe aparecer en la exacta
medida en que llega a ser un instrumento necesario para adaptarse a una situación
problemática donde las estrategias utilizadas espontáneamente se revelan inefi-
caces.
De manera que para el desarrollo del pensamiento matemático entre los estu-
diantes es necesario diseñar situaciones didácticas en las que:
• Los alumnos se responsabilicen de la organización de su actividad para
tratar de resolver el problema propuesto, es decir que formulen sus propios
proyectos personales.
• La actividad de los alumnos esté orientada hacia la obtención de un resul-
tado preciso, previamente hecho explícito por el profesor y que pueda ser
identificado por los propios alumnos. Los alumnos deben anticipar y luego
verificar los resultados de su actividad.
• La resolución del problema planteado implica la toma de múltiples deci-
siones por parte de los alumnos, y la posibilidad de conocer directamente
las consecuencias de sus decisiones a fin de modificarlas para adecuarlas al
logro del objetivo perseguido. Es decir, se permite que los alumnos inten-
ten resolver el problema varias veces.
• Los alumnos pueden recurrir a diferentes estrategias para resolver el pro-
blema planteado, estrategias que corresponden a diversos puntos de vista
sobre el problema. Es indispensable que, en el momento de plantear el
problema, los alumnos dispongan al menos de una estrategia (estrategia de
base) para que puedan comprender la consigna y comenzar su actividad de
búsqueda de la solución.
En los distintos análisis de la teoría de las situaciones didácticas se hace una
clara elección por la manipulación de las variables de comando, dado que per-
miten modificar las situaciones didácticas bloqueando o favoreciendo el uso de
algunas estrategias y generando condiciones para la aparición y estabilización de
otras subyacentes al conocimiento que se quiere enseñar. En este sentido, los
alumnos pueden establecer relaciones con sus compañeros y su profesor para
comunicarse, debatir o negociar en un ambiente social específico.
En síntesis, se trata de enfrentar a los alumnos a una situación que evolucione
de tal manera que el conocimiento que se quiere que aprendan sea el único medio
eficaz para controlar dicha situación. La situación proporciona la significación del

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