El documento presenta información sobre la división armónica en geometría. Explica que si cuatro puntos A, B, C y D están en una recta y forman una cuaterna armónica, cumplen la relación AB/AD = BC/CD. También indica que los puntos B y D son llamados conjugados armónicos con respecto a A y C. Finalmente, presenta algunos ejercicios de aplicación de estos conceptos.

1. 5TO GRADO DE SECUNDARIA
SEGMENTOS II
GEOMETRÍA – TEMA 2
DIVISIÓN ARMÓNICA
Si A, B, C y D están en una recta y constituyen una
cuaterna armónica, cumplen la siguiente relación.
AB AD=
BC CD
Los puntos B y D se llaman conjugados armónicos
respecto de A y C
A. Relación de Descartes
Si A, B, C y D están en cuaterna armónica
cumplen lo siguiente.
1 1 2+ =
AB AD AC
B. Relación de Newton
Si A, B, C y D están en cuaterna armónica
siendo “O” punto medio de AC , se cumple lo
siguiente
2
(AO) =(OB)(OD)
A) En una línea recta, se ubican los puntos consecuti-
vos: A, B, C y D. Si: AB.CD=BC.AD y
1 1
8
x
AD AB AC
Hallar: “x”
A) 32 B) 16 C) 12
D) 4 E) 8
B) En una línea recta, se ubican los puntos consecuti
vos: A, B, C y D. Si: AB.CD=BC.AD y
1 1 4x
AD AB AC
Hallar: “x”
A) 0,5 B) 1 C) 2
D) 0,4 E) 0,8

2. SEGMENTOS II
GEOMETRÍA 5TO GRADO DE SECUNDARIA
1. Se tienen los puntos colineales A, B, C, D. Siendo E y F
puntos medios de AB y CD . Calcular EF, si
AC+BD=20m.
Rpta: __________
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B y C tal que: AC=3cm.
Además: (AB) (AC) = 12 (AB – BC). Calcular AB
Rpta: __________
3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, M, C y D de modo que CD=2AB, M es punto medio de
BC .
Calcular AC+BD – 2AM – 2MC.
Rpta: __________
4. Sobre una recta se consideran los puntos consecuti-
vos A, B, C, D y E; se ubica el punto medio P de AB
además BD=DE.
Si: PE=150cm, PD=80 cm. Calcular PB
Rpta: __________
5. Los puntos O, A, M y B son colineales y consecutivos. Si
AM=MB.
Calcular
2 2
2 2
OM AM
x
OA OB
Rpta: __________
6. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C, D, E, F y G.
Calcular AG si: AC + BD + CE + DF + EG = 28m
y
3
BF AG
4
Rpta: __________

3. SEGMENTOS II
5TO GRADO DE SECUNDARIA
1. Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de modo
que: AD = 24cm.; AC = 15cm. y BD = 17cm. Calcular BC.
Rpta: __________
2. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C, D y E de modo que “B” es punto medio de AE ;
AC=3CD; BD=6cm y AE=20cm.
Calcular BC.
Rpta: __________
3. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C y D cumpliéndose que
AB BC
AD BD
y BD=80m;
BC=30m. Calcular AB
Rpta: __________
4. Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos A,
B, C, D, E y F; B y E son puntos medios de AC y CF ,
respectivamente además BC=DF.
Calcular DF si: DE = 36cm. y AF = 100cm.
Rpta: __________
5. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A,
B, C y D en la recta .-
Si: AB=5m y CD=2m. Calcular la distancia entre los
puntos medios P y Q de AC y BD respectivamente, si
ambos están entre B y C (PQ BC) .
Rpta: __________
6. Dados M, N, P y Q puntos colineales y consecutivos.
MN=3m NP=x
2
m. PQ=2xm.
Calcular el valor de “x” tal que MN + NP–PQ sean míni-
mo.
Rpta: __________
2

4. SEGMENTOS II
GEOMETRÍA 5TO GRADO DE SECUNDARIA
NIVEL I
1. En la figura, AB=2BC y AC=18u. Hallar la longitud
de BC
A) 12u B) 6u C) 3u
D) 8u E) 4u
2. Sobre una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos A; B y C de modo que AB es mayor que
BC en 2 unidades. Calcular la longitud de AB , si:
AC=20u
A) 12u B) 10u C) 11u
D) 9u E) 8u
3. Sobre una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos: A; B, C y D; de manera que “C” es punto
medio de BD . Si AB=6 y AD=14. Calcular AC .
A) 10 B) 8 C) 7
D) 6 E) 5
4. Sobre una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos: A, B, C y D; de modo que: CD mide la
mitad de BC y AB=2BC. Calcular CD , si AD=21.
A) 12 B) 9 C) 6
D) 3 E) 2
5. Sobre una recta se ubican los puntos consecuti-
vos: A, B, C y D; de modo que: AC=8 y BD=12.
Hallar la longitud del segmento que une los puntos
medios de AB y CD
A) 6 B) 8 C) 10
D) 10,5 E) 11
NIVEL II
6. En la figura, AB=8; Hallar MN , si M es punto medio
AC y N es punto medio de BC
A) 4 B) 6 C) 5
D) 4,5 E) 8
7. Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos: A, B, C y D; tal que 13. AB =2. AD y
2. BC = AB ; Si: CD=100. Hallar AD
A) 110 B) 130 C) 120
D) 200 E) 150
8. Sobre una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos: A, B y C; tal que D está entre A y B, AD=DC/
4. Si: 4AB-BC=50. Hallar BD
A) 10 B) 12 C) 15
D) 18 E) 20
9. Sobre una línea recta, se ubican los puntos con-
secutivos: O, A, M y B; tal que: M es punto medio
de AB . Si OA=4 y OB=10. Hallar OM .
SAN MARCOS
Nivel: Intermedio
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
10. Se tienen los puntos consecutivos A, B y C sobre
una línea recta, tal que: AB=x+3; BC=2x y AC=18.
Hallar “x”
A) 4 B) 5 C) 6
D) 3 E) 2
11. Se tiene los puntos colineales y consecutivos: A,
B, C y D de modo que: AB=3CD=2BC. Hallar la
longitud del segmento menor, si AD=55.
A) 30 B) 10 C) 6
D) 15 E) 8

5. SEGMENTOS II
5TO GRADO DE SECUNDARIA
12.Sobre una línea recta se ubican los puntos conse-
cutivos: A, B, C, D y E. Si: AB+CE=18; BE-CD=10
y AE–DE=12. Hallar AE
A) 30 B) 18 C) 24
D) 32 E) 20
13.Se tienen los puntos consecutivos: A, B, M y C;
talque M es punto medio de BC , siendo.
AM2
+MB2
=16. Hallar: AB2
+AC2
A) 4 B) 64 C) 32
D) 16 E) 48
14.Sobre una línea recta se consideran los puntos
consecutivos: A, B, C, D, E y F, tal que:
AC+BD+CE+DF=91 y 8BE=5AF. Calcular AF
UNTELS
Nivel: Intermedio
A) 32 B) 40 C) 21
D) 84 E) 56
15.En una línea recta, se ubican los puntos consecu-
tivos: A, B, C y D. Si: AB.CD=BC.AD y
AC
x2
AB
1
AD
1
Hallar: “x”
UNFV
Nivel: Intermedio
A) 0,5 B) 1 C) 2
D) 0,4 E) 0,8
16.Sobre una línea recta se ubican los puntos A, B, C
y D; de manera que: AD=2AC; BC=4AB y CD=10.
Calcular BD
A) 12 B) 18 C) 16
D) 14 E) 20
17.En una línea recta se ubican los puntos consecu-
tivos: A, B, C y D. Si: BC=6;
CD
AD
BC
AB
y
2
3
CD
AB
.
Calcular: AC
A) 18 B) 26 C) 20
D) 24 E) 30
NIVEL III
18. En un línea recta se ubican los puntos: A, B, C, D,
E y F. De modo que: AB = BC =CD y CF=2BE=4AD
y EF=14. Calcular CE
A) 10 B) 12 C) 14
D) 16 E) 18
19. En una línea recta se ubican los puntos consecu-
tivos: A, B, C y D. De modo que:
5AD–BC–2AC=5BD y BC=4
Calcular AB
A) 6 B) 4 C) 8
D) 10 E) 5
20. A, B, C, D, E y F son puntos colineales y conse-
cutivos: AC+BD+CE+DF=40 y 5BE=3AF. Calcular
AF.
A) 20 B) 24 C) 26
D) 28 E) 25
21. En una recta se ubican los puntos consecutivos
A, B, C y D tal que:
AC+BD=5(AB+CD).
Calcular:
BC
AD
R
A) 1,5 B) 2,5 C) 2
D) 3,5 E) 3
22. Sobre una recta se ubican los puntos consecuti-
vos A, B, C y D tal que:
4CD=3AB y 4AD+3BC=70
Calcular AC
SAN MARCOS
Nivel: Intermedio
A) 7 B) 5 C) 4
D) 10 E) 8