ASESORÍA7_2021_II.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Facultad de Economía y Planificación
Departamento de Estadística e Informática
Docente: Mg.Sc Aldo Richard Meza Rodríguez Email: armeza@lamolina.edu.pe
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
Asesoría N° 5 Ciclo 2021-I
1. Suponga que X1, X2, … Xn denota una muestra aleatoria de una población con media µ y
varianza ². Considere 𝜽
̂ como un estimador de µ.
Donde: 𝜽
̂ =
𝟏
𝟒
𝑿𝟏 −
𝑿𝟐+⋯+𝑿𝒏−𝟏
𝟒−𝟐𝒏
+
𝟏
𝟒
𝑿𝒏
Demuestre que 𝜽
̂ es un estimador insesgado de µ
Sesgo = µ - 𝜽
̂
E(𝜽
̂) = µ entonces es insesgado
𝑬(𝜽
̂) = µ
𝑬(𝜽
̂) = 𝑬 [
𝟏
𝟒
𝑿𝟏 −
𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏−𝟏
𝟒 − 𝟐𝒏
+
𝟏
𝟒
𝑿𝒏]
𝑬(𝜽
̂) = 𝑬 [
𝟏
𝟒
𝑿𝟏 +
𝟏
𝟒
𝑿𝒏 +
𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏−𝟏
𝟐𝒏 − 𝟒
]
𝑬(𝜽
̂) = 𝑬 (
𝟏
𝟒
𝑿𝟏) + 𝑬 (
𝟏
𝟒
𝑿𝒏) + 𝑬 [
𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏−𝟏
𝟐𝒏 − 𝟒
]
𝑬(𝜽
̂) =
𝟏
𝟒
𝑬(𝑿𝟏) +
𝟏
𝟒
𝑬(𝑿𝒏) +
𝟏
(𝟐𝒏 − 𝟒)
𝑬[𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏−𝟏]
𝑬(𝑿) = 𝝁
𝑬(𝜽
̂) =
𝟏
𝟒
𝝁 +
𝟏
𝟒
𝝁 +
𝟏
(𝟐𝒏 − 𝟒)
𝑬[𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏−𝟏]
𝑬(𝜽
̂) =
𝟏
𝟒
𝝁 +
𝟏
𝟒
𝝁 +
𝟏
(𝟐𝒏 − 𝟒)
[𝑬(𝑿𝟐) + 𝑬(𝑿𝟑) + ⋯ + 𝑬(𝑿𝒏−𝟏)]
⏟
(𝒏−𝟐) 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
𝑬(𝜽
̂) =
𝝁
𝟐
+
𝟏
(𝟐𝒏 − 𝟒)
[𝝁 + 𝝁 + ⋯ + 𝝁]
⏟
(𝒏−𝟐) 𝒕é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐𝒔
𝑬(𝜽
̂) =
𝝁
𝟐
+
(𝒏 − 𝟐)𝝁
(𝟐𝒏 − 𝟒)
=
𝝁
𝟐
+
(𝒏 − 𝟐)𝝁
𝟐(𝒏 − 𝟐)
=
𝝁
𝟐
+
𝝁
𝟐
= 𝝁
𝜽
̂ si es un estimador insesgado de 𝝁

2. Sea X1, …, Xn una muestra aleatoria de tamaño n extraída de una población que tiene
función de densidad de probabilidad dada por:
𝑓(𝑥) = {
1
𝜃
𝑒
(−
𝑥
𝜃
)
; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝜃 > 0
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Demuestre que 𝜽
̂ =
∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏+𝟏
es un estimador insesgado del parámetro 𝜃 .
𝐸(𝑋) = 𝜃 = 𝜇
𝑉(𝑋) = 𝜃²
𝑬(𝜽
̂) = 𝑬(
∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏 + 𝟏
) =
𝟏
𝒏 + 𝟏
∗ 𝑬(∑ 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
) =
𝟏
𝒏 + 𝟏
∗ ∑ 𝑬(𝑿) =
𝒏 ∗ 𝜃
𝒏
𝒏
𝒊=𝟏
𝜽
̂ 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒖𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒅𝒐𝒓 𝒊𝒏𝒔𝒆𝒔𝒈𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝜃
𝑺𝒆𝒔𝒈𝒐 = 𝜃 −
𝒏 ∗ 𝜃
𝒏 + 𝟏
3. Sea 𝑋1, … , 𝑋𝑛 una muestra aleatoria distribuida según f (x, ) con  desconocido, donde
X representa el tiempo de espera en minutos para ser atendido en los cajeros de una
determinada entidad financiera. La función de densidad de probabilidad está dada por:
𝑓(𝑥; 𝜃) = {
1
2𝜃3
𝑥2
𝑒
− (
𝑥
𝜃
)
; 𝑠𝑖 𝑥 > 0 ; 𝜃 > 0
0 ; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝐸(𝑋
̅) = 𝜇
𝐸(𝑋) = 𝜇
𝐸(𝜃
̂) = 𝐸(
𝑋
̅
3
) =
1
3
𝐸(𝑋
̅) =
1
3
∗ 3 = 
Se concluye que 𝜃
̂ es un estimador insesgado de 
4. Suponga que se tiene una muestra aleatoria de tamaño 2, de una población distribuida
exponencialmente según:

𝑓(𝑥; 𝜃) = {
1
𝜃
𝑒
(−
𝑥
𝜃
)
; 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0, 𝜃 > 0
0; 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
Si T=(x1+x2)/2 es un estimador del parámetro , demuestre que T es un estimador
eficiente para .
5. Sea 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 una muestra aleatoria de tamaño cuatro de una población normal N (,
2
=1), donde se desea estimar el parámetro . Para ello se propone el siguiente
estimador:
𝜃
̂ =
𝑋1 − 𝑋2 + 2𝑋3 + 𝑋4
3
La función de densidad de la variable X es
2
( )
2
1
( ) ,
2
x
f x e x


−
−
= −   
Determine si el estimador es eficiente.
6. Sean X1, X2, …, Xn y Y1, Y2, …, Ym dos muestras aleatorias independientes extraídas de
una población Normal con parámetros  y ², con medias muestrales 𝑋
̅ � 𝑌
̅
respectivamente. Se pretende estimar la media poblacional  y se propone como
estimadores las siguientes dos alternativas:
µ
̂1 =
1
2
[𝑋
̅ + 𝑌
̅] µ
̂2 =
𝑛𝑋
̅+𝑚𝑌
̅
𝑛+𝑚
Asumiendo que ambos estimadores 𝜇̂1 y 𝜇̂2 son estimadores insesgados de la media
poblacional, determine para qué condición de n y m, ninguno es más eficiente que el otro.
7. Una empresa dedicada a la confección de zapatos tiene tres sucursales (A, B y C)
ubicadas en distritos diferentes. Debido a las restricciones presupuestales que atraviesa,
desea cerrar una de sus sucursales, pero para tomar esa decisión quiere hacerlo
considerando una evaluación estadística que le dé el respaldo que necesita, además de
otros elementos como puede ser por ejemplo la situación actual del mercado. Dentro de
la evaluación técnica la gerencia ha considerado utilizar la variable: tiempo de producción
de un par de zapatos (en minutos). Se tomaron los tiempos de producción de 31 pares de
zapatos elegidos al azar de cada uno de las sucursales y se obtiene el siguiente reporte:
Estadísticas descriptivas: Tiempos "A", Tiempos "B", Tiempos “C”
Variable n Media desviación Calidad Muy Bueno
Tiempos "A" 31 14.184 3.162 22
Tiempos "B" 31 15.020 3.984 16
Tiempos "C" 31 14.882 4.156 18

Suponga además que diariamente en la sucursal A se fabrican 800 pares de zapatos,
en la B, 900 y en la C 1200 pares.
Nota: Asumir que los tiempos de producción tienen distribuciones normales. Use α=0.05
para pruebas unilaterales, y α=0.10 para pruebas bilaterales
a) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para el tiempo promedio de
producción de calzados en la sucursal A.
LIC(𝜇) = 𝑋 − Ttab S𝑋
LSC(𝜇) = 𝑋 + Ttab S𝑋 , donde : Ttab=T(1-
𝛼
2
, n-1)
𝑋 = 14.184 S𝑋 =
𝑆
√𝑛
=
3.162
√31
= 0.567 T(1-
0.05
2
, 31-1)
= 2.04227
LIC(𝜇) = 14.184 − 2.0423*
3.162
√31
= 13.026
LSC(𝜇) = 14.184 + 2.0423*
3.162
√31
= 15.341
A un nivel de confianza del 95%, el tiempo promedio para fabricar un par de zapatos
en la sucursal A, se encuentra contenido entre [13.026 -15.341] minutos.
b) Asuma que, en la sucursal C, se conoce que la varianza poblacional es de 4.411
min². Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para el tiempo promedio
de producción de calzados en la sucursal C
LIC(𝜇) = 𝑋 − Ztab 𝜎𝑋
LSC(𝜇) = 𝑋 + Ztab 𝜎𝑋 , donde: Ztab=Z (1-
𝛼
2
) = 1.96
𝜎𝑋 =
𝜎
√𝑛
=
√4.411
√31
= 0.377
LIC(𝜇) = 14.882 − 1.96 ∗ 0.377 = 14.143
LIC(𝜇) = 14.882 + 1.96 ∗ 0.377 = 15.62
A un nivel de confianza del 95%, el tiempo promedio para fabricar un par de zapatos
en la sucursal C, se encuentra contenido entre [14.143 -15.62] minutos.
Amplitud=2ME

c) Halle e interprete un intervalo al 95% de confianza para la proporción de calzado de
muy buena calidad producido por la sucursal C
X: Número de calzados de buena calidad de la sucursal C
n=31
X:18
p=18/31
=0.05
𝐿𝐼𝐶(𝜋) = p − 𝑍𝑡𝑎𝑏 𝜎
̂𝑝
𝐿𝑆𝐶(𝜋) = p + 𝑍𝑡𝑎𝑏 𝜎
̂𝑝 , donde: Ztab=Z(1-
𝛼
2
)
𝜎
̂𝑝
2
=
𝑝(1-p)
𝑛
, si el muestreo es con reemplazo
𝐿𝐼𝐶(𝜋) =
18
31
− 1.96 ∗ √
18
31
∗ (1-
18
31
)
31
=0.40605
𝐿𝑆𝐶(𝜋) =
18
31
+ 1.96 ∗ √
18
31
∗ (1-
18
31
)
31
=0.75524
𝐼𝐶(𝜋) = [0.40605 - 0.75524]
A un 95% de confianza, la proporción de zapatos de calidad alta se encuentra
contenido entre [0.40605 - 0.75524]
n/N<0.05, no se utiliza el factor de corrección
n/N>=0.05, si se debería utilizar el factor de corrección
d) Halle e interprete un intervalo al 95% de confianza para el total de calzado de muy
buena calidad producido por la sucursal C diariamente.
𝐼𝐶(𝜏) = 1200 ∗ [0.40605 - 0.75524] = [487.26 - 906.288]
A un 95% de confianza el total de zapatos de calidad alta que se fabrican en la
sucursal C, se encuentra entre 487.26 y 906.288.
e) Utilizando muestreo sin reemplazo, halle e interprete un intervalo al 95% de
confianza para el total de calzado de muy buena calidad producido por la sucursal
C diariamente.

18
31
− 1.96 ∗ √
18
31
∗ (1-
18
31
)
31
∗ [
1200 − 31
1200 − 1
] =0.40912
18
31
+ 1.96 ∗ √
18
31
∗ (1-
18
31
)
31
∗ [
1200 − 31
1200 − 1
] =0.7521
𝐼𝐶(𝜋) = [0.40912 - 0.7521]
𝐼𝐶(𝜏) = 1200 ∗ [0.40912 - 0.7521] = [490.944 - 902.52]
A un 95% de confianza, la proporción de zapatos de calidad alta se encuentra
contenido entre [490.944 - 902.52]
f) Halle e interprete un intervalo al 95% de confianza para la varianza de la sucursal
B.
𝐿𝐼𝐶(𝜎2
) =
(n-1)𝑆2
𝜒(1−
𝛼
2
,𝑛−1)
2 ; 𝐿𝑆𝐶(𝜎2
) =
(n-1)𝑆2
𝜒(
𝛼
2
,𝑛−1)
2
𝜒(1−
𝛼
2
,𝑛−1)
2
= 𝜒(0.975 ,30)
2
= 46.979
𝜒(
𝛼
2
,𝑛−1)
2
= 𝜒(0.025 ,30)
2
= 16.791
𝐿𝐼𝐶(𝜎2
) =
(31-1) ∗ 3.9842
46.979
; 𝐿𝑆𝐶(𝜎2
) =
(31-1) ∗ 3.9842
16.791
𝐼𝐶(𝜎2
) = [10.1357 − 28.3585]
𝐼𝐶(𝜎) = [√10.1357 − √28.3585]
A un 95% de confianza, la varianza del tiempo de fabricación de un par de zapatos
se encuentra entre [10.1357 − 28.3585]𝑚𝑖𝑛²
g) Asumiendo que las varianzas son desconocidas y heterogéneas, halle e interprete
un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de promedios del tiempo de
producción de la sucursal A y B. ¿brinda este intervalo alguna información adicional
importante?
LIC(𝜇1 − 𝜇2) = ( X
̄ 1 − 𝑋
̄2) − Ttab S𝑋
̄1−𝑋
̄2
LSC(𝜇1 − 𝜇2) = ( X
̄ 1 − 𝑋
̄2) + Ttab S𝑋
̄1−𝑋
̄2
donde: Ttab=T (1-
𝛼
2
, 𝜆) = Ttab=T(0.975, 57) = 2.0024

𝑆𝑋
̄1−𝑋
̄2
2
=
𝑆1
2
𝑛1
+
𝑆2
2
𝑛2
=
3.162²
31
+
3.984²
31
= 0.8345
𝑆𝑋
̄1
2
=
𝑠1
2
𝑛1
=
3.162²
31
= 0.3225
𝑆𝑋
̄2
2
=
𝑠2
2
𝑛2
=
3.984²
31
= 0.512
𝜆 =
[𝑆𝑋
̄1
2
+ 𝑆𝑋
̄2
2
]
2
(𝑆𝑋
̄ 1
2
)
2
𝑛1−1
+
(𝑆𝑋
̄ 2
2
)
2
𝑛2−1
=
[0.3225 + 0.512]2
(0.3225)2
31−1
+
(0.512)2
31−1
= 57.057 ≈ 57
LIC(𝜇1 − 𝜇2) = ( 14.184 − 15.020) − 2.0024* √0.8345 = −2.665
LSC(𝜇1 − 𝜇2) = ( 14.184 − 15.020) + 2.0024 √0.8345 = 0.9932
IC(𝜇1 − 𝜇2) = [−2.665 y 0.9932]
A un 95% de confianza, el valor de la diferencia de promedios del tiempo para
fabricar un par de zapatos en las sucursales A y B, se encuentra contenido entre
[−2.665 y 0.9932].
[− ; −], entonces se sospecha que el mayor tiempo para fabricar un par de zapatos
se encuentra en la sucursal B.
[+ ; +], entonces se sospecha que el mayor tiempo para fabricar un par de zapatos
se encuentra en la sucursal A.
[− ; +] , entonces se sospecha que no existe diferencia entre los tiempos de
fabricación de un par de zapatos en dichas sucursales.
Para nuestro caso se sospecha que no existe diferencia en los tiempos de
fabricación.
h) Asumiendo que las varianzas son desconocidas y homogéneas, halle e interprete
un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de promedios del tiempo de
producción de la sucursal A y B. ¿brinda este intervalo alguna información adicional
importante?
LIC(𝜇1 − 𝜇2) = ( X
̄ 1 − 𝑋
̄2) − Ttab S𝑋
̄1−𝑋
̄2
LSC(𝜇1 − 𝜇2) = ( X
̄ 1 − 𝑋
̄2) + Ttab S𝑋
̄1−𝑋
̄2
donde: Ttab=T(1-
𝛼
2
, 𝑛1 + 𝑛2 − 2) = T(0.975, 31 + 31 − 2) = 2.0003
𝑆𝑋
̄1−𝑋
̄2
2
=S𝑝
2
[
1
𝑛1
+
1
𝑛2
] = 12.935 ∗ [
1
31
+
1
31
] = 0.8345
𝑆𝑝
2
=
(31 − 1) ∗ 3.162² + (31 − 1) ∗ 3.984²
31 + 31 − 2
= 12.935

LIC(𝜇1 − 𝜇2) = ( 14.184 − 15.020) − 2.0003* √0.8345 = −2.6632
LSC(𝜇1 − 𝜇2) = ( 14.184 − 15.020) + 2.0003 ∗ √0.8345 = 0.9912
IC(𝜇1 − 𝜇2) = [−2.6632 y 0.9912]
i) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de las
proporciones de calzados de Muy Buena Calidad producidos por las sucursales B y
C. ¿brinda este intervalo alguna información adicional importante?
X1: Número de zapatos de buena calidad en la sucursal B
X2: Número de zapatos de buena calidad en la sucursal C
n1=31
n2=31
X1=16, p1=16/31
X2=18, p2=18/31
LIC(𝜋1 − 𝜋2) = ( p1 − 𝑝2) − Ztab 𝜎
̂p1−𝑝2
LSC(𝜋1 − 𝜋2) = ( p1 − 𝑝2) + Ztab 𝜎
̂p1−𝑝2
donde: Ztab = 𝑍 (1 −
𝛼
2
)
𝜎
̂𝑝1−𝑝2
2
=
𝑝1(1 − 𝑝1)
𝑛1
+
𝑝2(1 − 𝑝2)
𝑛2
=
16
31
(1 −
16
31
)
31
+
18
31
(1 −
18
31
)
31
= 0.0159
LIC(𝜋1 − 𝜋2) = (
16
31
−
18
31
) − 1.96 ∗ √0.0159 = −0.3116
LSC(𝜋1 − 𝜋2) = (
16
31
−
18
31
) + 1.96 ∗ √0.0159 = 0.1826
IC(𝜋1 − 𝜋2) = [−0.3116 ; 0.1826]
A un 95% de confianza, la diferencia de proporciones de los zapatos de calidad
alta se encuentra contenido entre [−0.3116 ; 0.1826] .
Se sospecha que no existe diferencia en la proporción de zapatos de calidad alta
en ambas sucursales (el intervalo contiene el cero).
j) Asumiendo un muestreo sin reemplazo, halle e interprete un intervalo del 95% de
confianza para la diferencia de las proporciones de calzados de Muy Buena Calidad
producidos por las sucursales B y C. ¿brinda este intervalo alguna información
adicional importante?

LIC(𝜋1 − 𝜋2) = ( p1 − 𝑝2) − Ztab 𝜎
̂p1−𝑝2
LSC(𝜋1 − 𝜋2) = ( p1 − 𝑝2) + Ztab 𝜎
̂p1−𝑝2
donde: Ztab = 𝑍 (1 −
𝛼
2
)
𝜎
̂𝑝1−𝑝2
2
=
𝑝1(1 − 𝑝1)
𝑛1
[
𝑁1 − 𝑛1
𝑁1 − 1
] +
𝑝2(1 − 𝑝2)
𝑛2
[
𝑁1 − 𝑛1
𝑁1 − 1
] =
𝜎
̂𝑝1−𝑝2
2
=
16
31
(1 −
16
31
)
31
∗ [
900 − 31
900 − 1
] +
18
31
(1 −
18
31
)
31
∗ [
1200 − 31
1200 − 1
] = 0.01545
LIC(𝜋1 − 𝜋2) = (
16
31
−
18
31
) − 1.96 ∗ √0.01545 = −0.308
LSC(𝜋1 − 𝜋2) = (
16
31
−
18
31
) + 1.96 ∗ √0.01545 = 0.1791
IC(𝜋1 − 𝜋2) = [−0.308 ; 0.1791]
A un 95% de confianza, la diferencia de proporciones de los zapatos de calidad
alta se encuentra contenido entre [−0.308 ; 0.1791] .
k) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para para la razón de variancias
de las sucursales A y B, ¿brinda este intervalo alguna información adicional
importante?
𝐿𝐼𝐶(
𝜎1
2
𝜎2
2) =
𝑆1
2
𝑆2
2 ∗ 𝐹(
𝛼
2
, 𝑛2 − 1, 𝑛1 − 1) =
3.162²
3.984²
∗ 𝐹(
0.05
2
, 31 − 1 , 31 − 1)
=
3.162²
3.984²
∗ 0.4821
𝐿𝑆𝐶(
𝜎1
2
𝜎2
2) =
𝑆1
2
𝑆2
2 ∗ 𝐹(1 −
𝛼
2
, 𝑛2 − 1, 𝑛1 − 1) =
3.162²
3.984²
∗ 2.07394
𝐼𝐶(
𝜎1
2
𝜎2
2) = [0.30368,1.30642]
A un 95% de confianza la razón de varianzas se encuentra contenido entre
[0.30368 , 1.30642]
Podemos sospechar que las varianzas del tiempo de fabricación de un par de
zapatos en las sucursales A y B son iguales.

0 < 𝐼𝐶 < 1 entonces se sospecha que la varianza del grupo 2 (B es mayor)
𝐼𝐶 > 1 entonces se sospecha que la varianza del grupo 1 (A es mayor)
Si el intervalo de confianza contiene al 1, entonces se sospecha que las
varianzas son iguales.
Variable n Media desviación Calidad Muy Bueno
Tiempos "A" 31 14.184 3.162 22
Tiempos "B" 31 15.020 3.984 16
Tiempos "C" 31 14.882 4.156 18
l) ¿Se puede afirmar que el tiempo promedio de fabricación de un par de zapatos en
la sucursal C es mayor de 14 minutos? Use un nivel de significancia del 0.05
H0: µC ≤ 14
H1: µC > 14
=0.05
𝑇𝑐𝑎𝑙 =
(𝑋
̄ − 𝜇)
𝑆
√𝑛
=
(14.882 − 14)
4.156
√31
= 1.1816
𝑇𝑡𝑎𝑏( 1 − , 𝑛 − 1) = 𝑇𝑡𝑎𝑏(0.95, 30) = 1.697261
Como el Tcal < Ttab, entonces no se rechaza H0.
A un nivel de significancia del 0.05, no se puede afirmar que el tiempo promedio de
fabricación de un par de zapatos en la sucursal C es mayor 14 minutos.
M) Hallar el Pvalor (la probabilidad para rechazar o no H0)
Pvalor <=  entonces RECHAZA HO
Pvalor >  entonces NO SE RECHAZA HO
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑇(30) > 1.1816) = 1 − 𝑃(𝑇(30) ≤ 1.1816) = 0.1233215
Como el Pvalor = 0.1233215 > =0.05, entonces NRH0
1.6972
61

A un nivel de significancia del 0.05, no se puede afirmar que el tiempo promedio de
fabricación de un par de zapatos en la sucursal C es mayor 14 minutos.
N) Si el tiempo de fabricación de un par de zapatos en la Sucursal C fuera de 15.8 minutos,
¿se cometió algún error en el ejercicio L)? Si fuera así, hallar dicho error.
En este caso se cometió el error tipo II, porque se concluyó que el tiempo de fabricación
no es mayor a 14 minutos, cuando realmente el tiempo es 15.8.
(𝑋
̄ − 14)
4.156
√31
< 1.697261
𝑋
̄ < 1.697261 ∗
4.156
√31
+ 14 = 15.2669
𝛽 = 𝑃(𝑋
̄ < 15.2669/𝜇 = 15.8) = 𝑃(𝑇(𝑛 − 1) <
(15.2669 − 15.8)
4.156
√31
) = 𝑃(𝑇(30) < −0.714) = 0.24037
O) ¿Se puede afirmar que la proporción de calzados de Calidad Muy Buena de la sucursal
C es mayor de 0.55? Use alfa 0.05
𝐻0: 𝜋𝐶 ≤ 0.55
𝐻1: 𝜋𝐶 > 0.55
=0.05
𝑝 =
18
31
𝑍 =
𝑝 − 𝜋
√
𝜋(1−𝜋)
𝑛
=
18
31
− 0.55
√
0.55∗(1−0.55)
31
= 0.3429692
Ztab(1-)=1.64485
Como el Zcal=0.3429 < Ztab=1.64485 , NRH0.
A un nivel de significancia del 0.05, no se afirmar que la proporción de calzada de buena
calidad de la sucursal C es superior al 55%
𝑃𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 = 𝑃(𝑍 > 0.3429692) = 1 − 𝑃(𝑍 ≤ 0.3429692) = 0.3658108
Z(1-)=1.64485

P) ¿Se puede afirmar que la variancia de los tiempos promedio de producción de los
calzados en la Sucursal B es menor que 27.5? Use alfa 0.05
𝐻0: 𝜎𝐵
2
≥ 27.5
𝐻1: 𝜎𝐵
2
< 27.5
=0.05
𝜒2
=
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜎2
=
(31 − 1) ∗ 3.9842
27.5
= 17.31519
𝜒2
𝑡𝑎𝑏(, 𝑛 − 1) = 𝜒2
𝑡𝑎𝑏(0.05,30) = 18.49266
Como el 𝜒2
𝑐𝑎𝑙 = 17.31519 < 𝜒2
𝑡𝑎𝑏 = 18.49266, se rechaza H0
A un nivel de significancia del 0.05, existen suficientes evidencias muestrales para afirmar que
la varianza del tiempo de producción en la sucursal B es menor a 27.5
Q) Si la varianza del tiempo de fabricación de un par de zapatos en la Sucursal B fuera de
29 minutos², ¿se cometió algún error en el ejercicio P)? Si fuera así, hallar dicho error.
Se cometió el error tipo I, porque en la hipótesis anterior se concluyó que la varianza
era menor que 27.5, cuando lo real es 29.
(𝑛 − 1)𝑆2
𝜎2
< 18.49266
(31 − 1)𝑆2
27.5
< 18.49266
𝑆2
< 18.49266 ∗
27.5
30
= 16.95161
 = 𝑃(𝑆2
< 16.95161/𝜎2
= 29) = 𝑃(𝜒2
(𝑛 − 1) <
(31 − 1) ∗ 16.95161
29
) = 𝑃(𝜒2
(30) < 17.53615)
= 0.03443
0 18.49
α=0.05

R) ¿Se puede afirmar que en la sucursal A se produce calzados en un menor tiempo en
comparación a la sucursal B? Use alfa 0.05
𝐻0: 𝜎𝐴
2
= 𝜎𝐵
2
𝐻1: 𝜎𝐴
2
≠ 𝜎𝐵
2
𝐻0: 𝜎𝐵
2
/𝜎𝐴
2
= 1
𝐻1: 𝜎𝐵
2
/𝜎𝐴
2
≠ 1
𝐹 =
𝑆1
2
𝑆2
2
𝜎2
2
𝜎1
2 =
3.162²
3.984²
∗ 1 = 0.6299195
Como el Faba1=0.482< Fcal=0.6299< Ftab2=2.074, entonces no RH0
A un nivel de significancia del 0.05, se puede afirmar que las varianzas son homogéneas.
H0: µA ≥ µB
H1: µA < µB
𝑇𝑐𝑎𝑙 =
(𝑋
̄1−𝑋
̄ 2) − (𝜇1 − 𝜇2)
√𝑆𝑋
̄
1−𝑋
̄
2
2
=
(14.184 − 15.020) − (0)
√0.8345
= −0.9151517
𝑆𝑋
̄1−𝑋
̄2
2
=S𝑝
2
[
1
𝑛1
+
1
𝑛2
] = 12.935 ∗ [
1
31
+
1
31
] = 0.8345
𝑆𝑝
2
=
(31 − 1) ∗ 3.162² + (31 − 1) ∗ 3.984²
31 + 31 − 2
= 12.935
𝑇𝑡𝑎𝑏(, 𝑛1 + 𝑛2 − 2) = 𝑇𝑡𝑎𝑏(0.05,60) = −1.670649
0 0.482 2.074
α=0.025
α=0.025

Tcal= −0.9151517 > −1.670649, entonces NRH0.
Por lo tanto, a un nivel de significancia del 0.05, no se puede afirmar que en la sucursal A se
produce calzados en un menor tiempo en comparación a la sucursal B.
S) ¿Se puede afirmar que el tiempo de producción de la sucursal A supera a la sucursal B
en menos de 2 minutos? Asuma varianzas homogéneas Use alfa 0.05
H0: 0< µA - µB ≥ 2
H1: 0 < µA - µB < 2
H0: µA - µB ≥ 2
H1: µA - µB < 2
H0: µA - µB ≤ 0
H1: µA - µB > 0
8. Se ha llevado a cabo un estudio para evaluar el tiempo mensual de uso de celulares que
hacen los hombres y las mujeres de la ciudad de Lima. Para el efecto se tomaron
muestras independientes que arrojan los siguientes resultados.
Género
N° de
personas
Tiempo de uso
promedio mensual
(minutos)
Desviación
estándar
N° de personas
que tienen equipos
postpago
Hombres 33 180 23 21
Mujeres 35 230 42 28
Nota: Asumir que los tiempos de uso de celulares tienen distribuciones normales.
Use α =0.05 para pruebas unilaterales, y α =0.10 para pruebas bilaterales
a) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para el tiempo de uso promedio
de celulares que hacen los hombres.
b) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para la proporción de mujeres
que no tienen equipos celulares post pago.
c) Halle e interprete un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de
proporciones de hombres y de mujeres que tienen equipos celulares post pago.
¿brinda este intervalo alguna información adicional importante?
d) ¿Se puede afirmar que la desviación estándar de los tiempos mensuales de uso de
celulares de las mujeres es menor que 48 minutos?
e) ¿Se puede afirmar que la proporción de mujeres que tiene equipos post pago es
mayor de 0.7?

f) Con relación a la pregunta anterior, si realmente la proporción de mujeres que tienen
equipos post pago es 0.75, ¿cometió algún error en su decisión? Explique su
respuesta. Si su respuesta es afirmativa indique el error que cometió y halle la
probabilidad de cometer dicho error.
g) ¿Se puede afirmar que el tiempo de uso promedio de celulares de los hombres es
inferior al tiempo de uso promedio de celulares de las mujeres en más de 15
minutos?
9. La empresa MILSA elabora un artículo W en dos líneas de producción que trabajan
independientemente, y tiene interés en comparar los tiempos de vida (en horas) de
los artículos producidos en ambas líneas. Para realizar el estudio se seleccionaron
al azar 32 unidades producidas por la línea “A” y 35 unidades producidas por la línea
“B”. Los resultados obtenidos con ambas muestras fueron:
Estadísticas descriptivas: Tiempos "A", Tiempos "B"
Variable N Media Varianza CoefVar Asimetría Kurtosis
Tiempos "A" 32 24.844 17.233 16.71 -0.49 -0.57
Tiempos "B" 35 35.343 18.467 12.16 0.53 0.89
Nota: Asumir que los tiempos de vida tienen distribuciones normales
a) ¿Se puede afirmar que el tiempo promedio de vida de los artículos producidos por
la línea “B” es menor que 37 horas?
b) ¿Se puede afirmar que la variancia de los tiempos de vida de los artículos
producidos por la línea A es mayor de 16 horas2?
c) Si realmente la desviación estándar de los tiempos de vida de los artículos
producidos por la línea A es de 4.4 horas, ¿cometió algún error en su decisión en la
pregunta anterior? Explique su respuesta. Si su respuesta es afirmativa indique el
error que cometió y halle la probabilidad de cometer dicho error.
d) ¿se puede afirmar que los artículos producidos por la línea B tienen un tiempo de
vida mayor?
10. En un estudio realizado durante el mes de junio se encontró que los montos de los
créditos hipotecarios otorgados en la Región A tenían un promedio de 32 mil dólares,
una desviación estándar de 6.4 mil dólares, y donde el 85% de los préstamos eran
por más de 12 años. En un estudio similar, realizado durante el mismo periodo, se
encontró que los montos de los créditos hipotecarios otorgados en la Región B
tenían un promedio de 23 mil dólares, una desviación estándar de 4.9 mil dólares, y
donde el 65% de los préstamos eran por más de 12 años.

En el mes de agosto el BCR aumentó la tasa de interés para préstamos hipotecarios de
8% a 12%, y como consecuencia se sospecha que el comportamiento de los montos de
los créditos hipotecarios se ha modificado significativamente. Para estudiar los cambios
generados por dicha medida se ha llevado a cabo un estudio mediante muestras
aleatorias independientes tomadas entre los créditos otorgados durante el mes de
octubre. Los resultados obtenidos con dichas muestras fueron:
Región n
Monto
promedio de
crédito (miles
de dólares)
Desviación
estándar
N° de créditos
por más de 12
años
A 39 890 246 5
B 33 920 340 12
a) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para la diferencia de
proporciones de créditos pactados a más de 12 años. ¿Qué información importante
proporciona el intervalo?
b) Halle e interprete un intervalo del 90% de confianza para la desviación estándar de
los montos de crédito otorgados en la Región B en el mes de octubre.
c) Si para la Región A se estima que se otorgarán 820 créditos hipotecarios en el mes
de noviembre, estime mediante un intervalo del 95% de confianza el monto total de
dinero que se requiere en la Región A para atender la demanda de crédito
hipotecario en el mes de noviembre.
d) ¿Se puede concluir que el monto promedio de los créditos hipotecarios otorgados
en la Región A ha decrecido? Use α=0.05.
e) ¿Se puede concluir que la variancia de los montos de los créditos hipotecarios
otorgados en la Región B se ha incrementado? Use α=0.05.
f) ¿Se puede concluir que la proporción de créditos hipotecarios concedidos a plazos
de más de 12 años, otorgados en la Región A durante el mes de octubre, disminuyó
con relación a lo observado en junio? Use α=0.05.
g) Considerando lo desarrollado en la pregunta anterior, si en la Región A realmente
la proporción de créditos hipotecarios concedidos a plazos mayores de 12 años es
de 0.86, ¿cometió algún error en su decisión tomada en la pregunta anterior? Si su
respuesta es afirmativa, ¿Qué error cometió y cuál es la probabilidad de cometer
dicho error?
11. En un estudio realizado por el Centro de Conservación de Energía y del Medio
Ambiente del ministerio de Energía y Minas con el propósito de medir el impacto del
etiquetado de eficiencia energética (EEE), se aplicó una encuesta a 300 hogares
del distrito “A” y 500 del distrito “B”; una de las variables de interés fue el tipo de
refrigerador que tienen en su vivienda: Sin escarcha (No Frost) ó de otros tipos,

resultando en la muestra del distrito “A” 225 hogares con refrigeradora sin escarcha
y en el distrito “B” 420 hogares con refrigerador sin escarcha respectivamente.
a) Halle e interprete un intervalo del 95% de confianza para el número de hogares en
el distrito “A” que poseen refrigerador sin escarcha, considerando que en ese distrito
hay 3200 hogares.
b) Halle e interprete un intervalo del 90% de confianza para la diferencia de la
proporciones de hogares con refrigerador sin escarcha, de ambos distritos. ¿brinda
este intervalo alguna información adicional importante?
12. Se llevó a cabo un estudio para evaluar el efecto del cansancio en el tiempo de
atención a los clientes (en minutos) de un establecimiento. Para el estudio se
eligieron al azar 87 empleados y se registró el tiempo de atención a las 8:00 am y a
las 11:00 am, luego de tres horas de trabajo. Los resultados observados fueron:
Empleado 1 2 3 4 5 6 7
Tiempo de atención a las 8 am 8.1 7.5 6.2 8 9.4 8.8 9.2
Tiempo de atención a las 11 am 8.4 7.9 7 9.2 9.6 9.3 9.5
¿Se puede afirmar que el cansancio tiene un efecto negativo en el tiempo de atención
de los clientes del establecimiento? Asuma que los datos provienen de poblaciones
normales. (Use α=0.05)
13. De un total de 350 alumnos (160 hombres y 190 mujeres) que rindieron el examen
parcial, se seleccionó al azar y sin reemplazo, una muestra de varones y otra de
mujeres obteniéndose las calificaciones centesimales. Los resultados se muestran
más adelante en el reporte obtenido con MINITAB.
a) Halle e interprete un intervalo con el 95% de confianza para la calificación promedio
de los varones.
b) Halle e interprete un intervalo con el 98% de confianza para la razón de variancias
de las calificaciones del examen parcial. ¿Qué información adicional proporciona el
intervalo hallado? Explique.
c) Halle e interprete un intervalo con el 90% de confianza para el número de mujeres
que aprobaron el examen parcial.
d) Halle e interprete un intervalo con el 95% de confianza para la diferencia de las
calificaciones promedio de hombres y mujeres. Asumir que las variancias
poblacionales son semejantes.
e) ¿Se puede afirmar que la calificación promedio de los varones es menor que 82?
(use α = 0.05)

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