Este documento describe diferentes medidas de tendencia central como la media armónica, geométrica, aritmética y cuadrática. Explica cómo calcular cada una de estas medidas a partir de datos agrupados en una tabla de frecuencias. También describe cómo calcular la mediana y la moda en este tipo de tabla. Por último, presenta dos ejemplos numéricos para ilustrar el cálculo de estas medidas.

1. COLEGIO LA SALLE – MONTERÍA
2013 AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LOS VALORES LASALLISTAS Y LA DIGNIFICACIÓN DE LA
PERSONA.
“Pongo en práctica la filosofía y valores Lasallistas para humanizar mi ser y mi entorno”
TALLER DE ESTADÍSTICA, PERIODO II GRADO 10°, PROFESOR JOSE CASTELLAR
Nombre: _____________________________ Grupo: _____ Fecha: _________
MEDIDAS DE TENDENCIACENTRAL
Al estudiar la información estadística mediante las
tablas de de distribución de frecuencias, diagramas
de barras, los histogramas y los polígonos de
frecuencia, se puso en evidencia un significativo
comportamiento de los datos en cuanto a la
frecuencia con que se presentan los valores:
algunos de estos valores son más comunes que
otros. Además se observó una clara tendencia de
agrupación en el vecindario de los valores más
frecuentes. Lo cual motiva el estudio de las
MEDIAS Armónica (𝐻
̅), geométrica (𝐺̅), aritmética
(𝑥̅), Cuadratica (𝑄
̅), Ponderada (𝑃
̅) y las medidas
Moda y Mediana.
Media Armónica (𝐻
̅): La media armónica resulta
poco influida por la existencia de determinados
valores mucho más grandes que el conjunto de los
otros, siendo en cambio sensible a valores mucho
más pequeños que el conjunto.
La media armónica no está definida en el caso de
la existencia en el conjunto de valores nulos y es
recomendada para promediar velocidades.
Dada una muestra de tamaño 𝑛, con valores
𝑥1,𝑥2,⋯, 𝑥𝑛 la Media Armónica es igual al cociente
entre el tamaño de la muestra y la suma de los
recíprocos de los valores observados.
𝐇
̅ =
𝐧
𝟏
𝐱𝟏
+
𝟏
𝐱𝟐
+ ⋯+
𝟏
𝐱𝐧
Para datos agrupados en una tabla:
𝐇
̅ =
𝐧
𝐧𝟏
𝐱𝟏
+
𝐧𝟐
𝐱𝟐
+ ⋯ +
𝐧𝐤
𝐱𝐤
La influencia de los valores pequeños y el hecho
que no se puede determinar en las distribuciones
con algunos valores iguales a cero; hace que no
sea aconsejable su empleo en distribuciones
donde existan valores muy pequeños y/o nulos.
Media Geométrica (𝐺̅): Ante una muestra de
valores extremos grandes no es sensible, Sólo es
relevante la media geométrica si todos los números
son positivos. En caso de que la cantidad de
observaciones o valores negativos sea impar y el
tamaño de la muestra sea impar se puedo calcular
y dará un valor negativo pero SI SE TIENE UNA
CANTIDAD IMPAR DE OBSERVACIONES O
VALORES NEGATIVOS Y EL TAMAÑO DE LA
MUESTRA ES UNA CANTIDAD PAR NO SE
PUEDE CALCULAR LA MEDIA GEOMÉTRICA.
Si uno de los datos es 0, entonces la media
geométrica es 0. En tal caso no es necesario
calcularla debido a que no proporciona información
a menos que los datos estén alrededor de cero.
Dada una muestra de tamaño 𝑛, con valores
𝑥1,𝑥2,⋯, 𝑥𝑛 la Media Geométrica es la raíz n-ésima
del producto de los valores observados:
𝐆
̅ = √𝐱𝟏 ∙ 𝐱𝟐 ⋯ 𝐱𝐧
𝐧
Para datos agrupados en una tabla:
𝐆
̅ = √(𝐱𝟏)𝐧𝟏 ∙ (𝐱𝟐)𝐧𝟐 ⋯(𝐱𝐤)𝒏𝒌
𝐧
Media Aritmética (𝑋
̅): o promedio, de una cantidad
finita de números, es igual a la suma de todos ellos
dividida entre el número de sumandos.
Dada una muestra de tamaño 𝑛, con valores
𝑥1,𝑥2,⋯, 𝑥𝑛 la Media Arimética o promedio es el
cociente entre la suma de los datos observados y
el tamaño de la muestra:
𝐗
̅ =
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 + ⋯+𝐱𝐧
𝐧
Para datos agrupados en una tabla:
𝐗
̅ =
𝐱𝟏 ∗ 𝐧𝟏 + 𝐱𝟐 ∗ 𝐧𝟐 + ⋯+𝐱𝐤 ∗ 𝐧𝐤
𝐧
Expresada de forma más intuitiva, podemos decir
que la media aritmética es la cantidad total de la
variable distribuida a partes iguales entre cada
observación.
Para muestras donde el cero hace parte de los
datos la media aritmética si se puede calcular.
Media Cuadrática (𝐐
̅): Esta media como medida
de asociación tiene aplicaciones tanto en ciencias
biológicas como en medicina. A veces la variable u
observaciones toman valores positivos y negativos,
como ocurre, por ejemplo, en las medidas de las
temperaturas de las una montaña, la rentabilidad
de una empresa, La altura de una ciudad o terreno
respecto al nivel del mar, entre otras. En tal caso
se puede estar interesado en obtener un promedio
que no recoja los efectos del signo, este problema
se resuelve, mediante la denominada media
cuadrática.
Dada una muestra de tamaño 𝑛, con valores
𝑥1,𝑥2,⋯, 𝑥𝑛 la Media Cuadrática (𝑄
̅) Consiste en
elevar al cuadrado todas las observaciones (así los
signos negativos desaparecen), en obtener
después su media aritmética y en extraer,
finalmente, la raíz cuadrada de dicha media para
volver a la unidad de medida original.
𝑄
̅ = √
(𝐱𝟏)𝟐 + (𝐱𝟐)𝟐 + ⋯+ (𝐱𝐧)𝟐
𝐧
𝟐

2. Para datos agrupados en una tabla:
𝑄
̅ = √
(𝐱𝟏)𝟐 ∗ 𝐧𝟏 + (𝐱𝟐)𝟐 ∗ 𝐧𝟐 + ⋯+ (𝐱𝐤)𝟐 ∗ 𝐧𝐤
𝐧
𝟐
Mediana: El cálculo de la mediana debe
diferenciarse dependiendo de la paridad de los
datos:
 Si el tamaño de la muestra es impar. La
mediana es el valor central.
𝑀𝑒 =
𝑛 + 1
2
 Si el tamaño de la muestra es par. La
mediana es la media aritmética de los dos
valores centrales.
Si los datos se presentan en una tabla de
distribución de frecuencias la formula es la
siguiente
𝑀𝑒 = 𝐿𝑖 + [
𝑛
2
− 𝑁𝑖−1
𝑛𝑖
]∗ [𝐿𝑠 − 𝐿𝑖]
EJEMPLO Mediana: Suponga que tenemos la
distribución de 250 personas según su edad que
utilizan el servicio de facebook.
Intervalo
Edad
Frecuencia
𝑛𝑖
Frecuencia
Acumulada 𝑁𝑖
[5,10) 11 11
[15,20) 23 34
[20,25) 61 95
[25,30) 60 155
[30,35) 45 200
[35,40) 20 220
[40,45) 15 235
[45,50) 15 250
Total 250
1) Se calcula
𝑛
2
=
250
2
= 125, lo cual nos
permite escogemos la franja e
inmediatamente el intervalos donde estaré
la mediana 125 ≤ 𝑁𝑖que en este caso es la
fila del 𝑁4 = 155.
2) 𝑁4−1 = 𝑁3 = 95.
3) Entonces n
2
− Ni−1 = 125 − 95 = 30
4) 𝑛4 = 60
5) 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 30 − 25 = 5
6) Por último aplicamos la fórmula
Me = Li + [
n
2
− Ni−1
ni
] ∗ [Ls − Li
] = 20 + [
30
60
] ∗ [5] = 22,5
Moda: La moda es el dato que más se repite y se
puede dar el caso bimodal, es decir, dos datos con
la misma frecuencia y de manera similar la
multimodal.
En el caso de que la información se presente en
una tabla de distribución de frecuencia la fórmula
es la siguiente:
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + [
(𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1)
(𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1) + (𝑛𝑖 − 𝑛𝑖+1)
]∗ [𝐿𝑠 − 𝐿𝑖]
EJEMPLO Moda: calcular la moda a los muestra
del
1) Seleccionar la frecuencia mayor (𝑛𝑖) que en
este caso es 𝑛4 = 60.
2) 𝐿𝑖 = 25.
3) 𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1 = 𝑛4 − 𝑛3 = 60 − 61 = −1.
4) 𝑛𝑖 − 𝑛𝑖+1 = 𝑛4 − 𝑛5 = 60 − 45 = 15.
5) 𝐿𝑠 − 𝐿𝑖 = 30 − 25 = 5.
6) Aplicar la formula
𝑀𝑜 = 𝐿𝑖 + [
(𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1)
(𝑛𝑖 − 𝑛𝑖−1) + (𝑛𝑖 − 𝑛𝑖+1)
]∗ [𝐿𝑠 − 𝐿𝑖]
= 25 + [
−1
(−1) + (15)
] ∗ 5 =
345
14
= 24,64285714
EJEMPLO 1: dada la siguiente tabla con las
calificaciones de un examen de matemáticas en el
colegio la Salle de Montería. Calcular las medidas
de tendencia central Armónica, Geométrica,
aritmética, cuadrática, Mediana y moda.
Ordenarlos de menor a mayor y explicar cual
escogería para expresar una conclusión de la
misma. Aproxime con dos cifras después de la
coma.
4 3,8 3 3,5 4 3,5 3,5 3 4
3,5 3 3 3,5 1 2,5 3 4 3,5
3 3,5 3 4,8 3,5 3 3 3 3,5
4 3,8 3 3,5 3,8 3,5 4,8 3,5 4
Medias Valor
Armónica 3,21
Geométrica 3,35
Aritmética 3,43
Cuadrática 3,49
Mediana 3,5
Moda 3,5
EJEMPLO 2:
En la siguiente tabla se
presenta los salarios
en miles de dólares de
50 habitantes de New
York. Calcular las
medias (Armónica,
Geométrica, aritmética,
cuadrática, Mediana y
moda).
Salario Frecuencia
[9,45) 9
[45,79) 11
[79,115) 10
[115,149) 8
[149,185) 4
[185,219) 3
[219,255) 5
Total 50
Solución:

3. Salario ni Ni Marca de clase
[9,45) 9 9
9 + 45
2
= 27
[45,79) 11 20
79 + 45
2
= 62
[79,115) 10 30
79 + 115
2
= 97
[115,149) 8 38
149 + 115
2
= 132
[149,185) 4 42
149 + 185
2
= 167
[185,219) 3 45
219 + 185
2
= 202
[219,255) 5 50
219 + 255
2
= 222
Total 50
𝐇
̅ =
𝐧
𝐧𝟏
𝐱𝟏
+
𝐧𝟐
𝐱𝟐
+ ⋯+
𝐧𝐤
𝐱𝐤
=
𝟓𝟎
𝟗
𝟐𝟕
+
𝟏𝟏
𝟔𝟐
+
𝟏𝟎
𝟗𝟕
+
𝟖
𝟏𝟑𝟐
+
𝟒
𝟏𝟔𝟕
+
𝟑
𝟐𝟎𝟐
+
𝟓
𝟐𝟐𝟐
= 𝟔𝟕,𝟗𝟓𝟓
𝐆
̅ = √(𝐱𝟏
)𝐧𝟏 ∙ (𝐱𝟐
)𝐧𝟐 ⋯ (𝐱𝐤
)𝐧𝐤
𝐧
= √(𝟐𝟕𝟗) ∙ (𝟔𝟐𝟏𝟏) ∙ (𝟗𝟕𝟏𝟎) ∙ (𝟏𝟑𝟐𝟖) ∙ (𝟏𝟔𝟕𝟒) ∙ (𝟐𝟎𝟐𝟑) ∙ (𝟐𝟐𝟐𝟓)
𝟓𝟎
= 𝟖𝟔,𝐮𝟖𝟗𝟕𝟒
𝐗
̅ =
𝐱𝟏 ∗ 𝐧𝟏 + 𝐱𝟐 ∗ 𝐧𝟐 + ⋯ +𝐱𝐤 ∗ 𝐧𝐤
𝐧
=
𝟐𝟕∗ 𝟗 + 𝟔𝟐 ∗ 𝟏𝟏+ 𝟗𝟕∗ 𝟏𝟎+ 𝟏𝟑𝟐∗ 𝟖 + 𝟏𝟔𝟕∗ 𝟒 + 𝟐𝟎𝟐∗ 𝟑 + 𝟐𝟐𝟐∗ 𝟓
𝟓𝟎
= 𝟏𝟎𝟔,𝟕
𝐐
̅ = √
(𝐱𝟏
)𝟐 ∗ 𝐧𝟏 + (𝐱𝟐
)𝟐 ∗ 𝐧𝟐 + ⋯+ (𝐱𝐤
)𝟐 ∗ 𝐧𝐤
𝐧
𝟐
= √
(𝟐𝟕𝟐) ∗ 𝟗 + (𝟔𝟐𝟐) ∗𝟏𝟏 +(𝟗𝟕𝟐 ) ∗𝟏𝟎 + (𝟏𝟑𝟐𝟐) ∗ 𝟖 + (𝟏𝟔𝟕𝟐) ∗ 𝟒 + (𝟐𝟎𝟐𝟐) ∗ 𝟑 +(𝟐𝟐𝟐𝟐 ) ∗𝟓
𝟓𝟎
= 𝟏𝟐𝟑,𝟓𝟎𝟖
Para calcular la mediana seguimos los pasos
dados en el ejemplo Mediana:
1)
𝑛
2
=
50
2
= 25, por tanto la franja que
debemos escoger es 𝑁3 = 30.
2) 𝑁3−1 = 𝑁2 = 20.
3)
𝑛
2
− 𝑁𝑖−1 = 25 − 20 = 5.
4) 𝑛3 = 10.
5) 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 = 115 − 79 = 36
6) 𝑀𝑒 = 79 + [
5
10
] ∗ [36] = 97
Para la Moda seguimos los pasos dados en el
ejemplo Moda:
1) La mayor frecuencia es 11 por lo tanto
escogemos la franja donde 𝑛2 = 11.
2) 𝐿𝐼 = 45
3) 𝑛2 − 𝑛1 = 11 − 9 = 2
4) 𝑛2 − 𝑛3 = 11 − 10 = 1
5) 𝐿𝑆 − 𝐿𝐼 = 79 − 45 = 34
6) 𝑀0 = 45 + [
2
2+1
] ∗ [34] = 67,667
Media Ponderada (𝑃
̅): Se denomina media
ponderada de un conjunto de números al
resultado de multiplicar cada uno de los números
por un valor particular para cada uno de ellos,
llamado su peso (w), obteniendo a continuación la
suma de estos productos, y dividiendo el resultado
por la suma de los pesos.
Este "peso" depende de la importancia o
significancia de cada uno de los valores.
Dada una muestra de tamaño n, con valores
x1,x2, ⋯,xn la Media Ponderada es el cociente
entre el producto de los valores observados por su
peso y la suma de los pesos:
𝐏
̅ =
𝐱𝟏 ∗ 𝐰𝟏 + 𝐱𝟐 ∗ 𝐰𝟐 + ⋯+𝐱𝐧 ∗ 𝐰𝐧
𝐧
Para datos agrupados en una tabla:
𝐏
̅ =
(𝐱𝟏 ∗ 𝐧𝟏
) ∗ 𝐰𝟏 + (𝐱𝟐 ∗ 𝐧𝟐
) ∗ 𝐰𝟐 + ⋯ +(𝐱𝐤 ∗ 𝐧𝐤 )𝐰𝐤
𝐧
EJEMPLO 3: Paul el fontanero vende cinco tipos
de limpiadores para desagües. En la tabla se
muestra cada tipo, junto con la utilidad en dólares
por lata, el número de latas vendidas y su
respectiva utilidad.
Limpiador
Utilidad por
lata X
Volumen de
ventas W
X*W
Glunk out 2,0 3 6,0
Bubble up 3,5 7 24,5
Dream Drain 5,0 15 75,0
Clear More 7,5 12 90,0
Main Drain 6,0 15 90,0
Total 24,0 52 285,5
Se puede calcular la media aritmética simple de la
utilidad de Paul como
24
5
= 4,8 por lata.
Sin embargo, probablemente este no sea un buen
estimado de la utilidad promedio de Paul, debido a
que vende más de algunos tipos de limpiadores
que de otros. Para obtener un estado financiero
más representativo del desempeño real de su
negocio, Paul debe dar más peso a los limpiadores
más populares. Por tanto el cálculo apropiado sería
la media ponderada. La medida de peso apropiada
sería las cantidades vendidas. La media ponderada
es: 𝐏
̅ =
285,5
52
= 5,49
EJERCICIOS
1) Completar la siguiente tabla que resume la
información dada y consulte la información
no suministrada.
FORMULAS CARATERÍSTICAS
MEDIAS
Dato No
Agrupados
Datos
Agrupados Ventajas Desventajas
Armónica
Geométrica
Aritmética
Cuadrática
Ponderada
Mediana
Moda
2) Calcular las medidas de tendencia central
(Media Armónica, Geométrica, Aritmética,
Cuadrática, mediana y moda) de las
estaturas de 50 estudiantes del colegio la
Salle de Montería. Explique cual representa
mejor a la comunidad.

4. 1,17 1,36 1,26 1,35 1,1
1,17 1,89 1,14 1,37 1,3
1,19 1,06 1,3 1,15 1,23
1,72 1,38 1,42 1,17 1,27
1,32 1,49 1,38 1,28 1,5
1,22 1,49 1,17 1,26 1,15
1,28 1,32 1,32 1,26 1,27
1,12 1,9 1,4 1,2 1,18
1,5 1,2 1 1,15 1,24
1,5 1,14 1,25 1,25 1,75
3) Las calificaciones obtenidas por 90
estudiantes de la asignatura de estadística
aplicada a las ciencias del deporte han sido
las siguientes (se califica de 0 a 10):
3 4 6 8 7 5 3 2 5 9 1 0 3 3 1 6 0 2 3 9 4 2 4
4 2 7 1 1 4 8 1 3 6 5 1 4 2 4 5 5 7 2 9 7 8 10
8 2 6 1 6 5 10 5 7 0 3 3 8 2 4 7 5 8 6 2 1 4 7
6 5 3 4 2 6 3 2 5 9 4 3 0 1 2 4 4 8 6 2 1
Construir la tabla de distribución de
frecuencias y calcular las medidas de
tendencia central de dos formas una con los
datos no agrupados y la otra con los datos
agrupados y compararlas.
𝐻
̅ =
4) Carlos obtiene calificaciones parciales de
65, 83, 80, y 90. En el examen final recibe
una calificación de 92. Calcule la media
ponderada, si cada uno de los exámenes
parciales cuenta el 15% y el examen final
cuenta 40% de la calificación total.
5) En el curso de Estadística se asignan
pesos de importancia, de la siguiente forma:
Unida I (20% del curso), Unidad II (25% del
curso), Unidad III (20% del curso), Unidad
IV (15% del curso), Unidad V (20% del
curso). Si las calificaciones de un alumno
son 4 en la primera unidad, 2,5 en la
segunda, 4 en la tercera unidad, 1 en la
cuarta unidad y 4 en la última unidad. Es
decir, se tienen la siguiente tabla:
Unidad Ponderación (Wi) Datos (Wi)
I 20% = 0.2 4
II 25% = 0.35 2,5
III 20% = 0.2 4
IV 15% = 0.15 1
V 20% = 0.10 4
La calificación del estudiante es:_______
6) La sociedad colombiana de meteorológica
ha tomado la temperatura en ºC en las
sabanas de Bogotá a la misma hora y en la
misma parte el mismo día de cada mes del
año 2011 y 2012.
2011
4º, 2º, -1º, 0º, -3º, 3º, 4º, -1º, -2º, 1º, -2º y 0º
2012
5º, 3º, 0º, -1º, 4º, 3º,2º, 1º -2º, -1º, 1º, y 2º
Medias 2011 2012
𝐇
̅
𝐆
̅
𝐗
̅
𝐐
̅
𝐌𝐞
𝐌𝟎
Construir las tablas de
distribución de frecuencias
para el 2011 y 2012.
Construir un diagrama de
barras que ilustre la
información del 2011 y
2012.
Calcular las medidas de
tendencia central para
datos agrupados.
7) Se ha medido la concentración de sodio del
sudor de 60 atletas, obteniéndose los
siguientes resultados:
46, 29, 35, 61, 54, 37, 53, 57, 52, 51, 43,
67, 66, 31, 53, 51, 48, 59, 55, 47, 76, 49,
59, 50, 65, 41, 60, 51, 43, 82, 63, 58, 43,
61, 73, 38, 71, 47, 47, 60, 69, 53, 51, 39,
66, 53, 56, 72, 75, 52, 63, 57, 54, 77, 59,
36, 45, 63, 67, 44
a) Determinar las medidas de tendencia
central (Media Armónica, Geométrica,
Aritmética, Cuadrática, mediana y moda).
b) Construir la tabla de frecuencias, obtener
el histograma, un diagrama de barras y el
polígono de frecuencias
c) Determinar las mismas medidas
anteriores (a) para los datos agrupados.
8) A continuación figuran los datos
correspondientes a los tiempos (expresados
en segundos) que tardan en recorrer 50
metros planos por una muestra de 20
deportistas:
7.51; 6.60; 5.59; 7.83; 5.71; 5.80; 7.33;
8.71; 6.00; 7.04; 6.36; 5.31; 6.82; 5.88;
5.96; 8.27; 8.31; 8.61; 8.50; 8.20.
Responder de manera similar las preguntas
a), b) y c) de la pregunta 7.
9) Las edades de cincuenta de los directores
ejecutivos de las mejores corporaciones de
la nación reportadas en la edición de la
revista Forbes de la edición del 24 de mayo
de 1997 aparecen en la siguiente tabla de
frecuencias.
Edades Frecuencia
[40,45) 8
[45,50) 13
[50,55) 15
[55,60) 10
[60,65) 3
[65,70) 1
Medias valor
𝐇
̅
𝐆
̅
𝐗
̅
𝐐
̅
𝐌𝐞
𝐌𝟎
10) Que puede decir de la siguiente
desigualdad:
𝐇
̅ ≤ 𝐆
̅ ≤ 𝐗
̅ ≤ 𝐐
̅
Éxitos
Hagan lo que hagan, trabajen de buena gana, como para el
señor y no como para nadie en este mundo,consientes de que
Dios los recompensará con la herencia. (Colosenses 3:23-24)