Análisis estructural método rigidez

1
Análisis de estructuras por el Método de la rigidez e introducción a los elementos finitos
Análisis matricial de estructuras
por el método de la rigidez
Apuntes
Resolución de problemas
Introducción a los Elementos finitos
Brayan D. Novely
Edición revisada
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2
Análisis matricial de estructuras por el
método de la rigidez
Apuntes
Brayan D. Novely Cabrales
Ingeniero Civil, Universidad de Pamplona
Especialista en Análisis y Diseño de estructuras,
Universidad del Norte
Revisión técnica
Andrés Fernando Guzmán Guerrero, Dr. Ing.
Docente asociado a Universidad del Norte
Ingeniero Civil, Universidad Nacional de Colombia
Magíster en Ingeniería Civil, Universidad de los Andes
Doctor en Ingeniería, Universidad de los Andes

3
Acerca del autor
Brayan D. Novely (Riohacha, 1989) es un ingeniero civil joven egresado
de la Universidad de Pamplona, Colombia, facultad de ingenierías y
arquitectura, Especialista en análisis y diseño de estructuras de la
Universidad del Norte.
Ha realizado diversos trabajos de consultoría en el área de evaluación
sísmica y diseño estructural en concreto reforzado. Ostenta trabajos de
investigación en su alma mater relacionados con la evaluación del módulo
de elasticidad estático del concreto, presentando modelos matemáticos
para la obtención de este parámetro vital en el análisis y el diseño de
estructuras de hormigón reforzado.
Actualmente se desempeña como consultor en la ingeniería estructural e
instructor en el Servicio Nacional de aprendizaje (SENA), en el programa de
obras civiles.

4
Catalogación bibliográfica
Análisis Matricial de estructuras por el método de la rigidez
Problemas Resueltos e introducción a los elementos finitos
Autor: Novely Cabrales, Brayan D.
Derechos de autor reservado
Correo electrónico: bnovely@uninorte.edu.co
bryannovely@gmail.com
Editor: INDEPENDIENTE
Colombia, 2015
Área: Ingeniería Estructural
Formato: Carta 20.0 cm x 25.0 cm
Esta obra se realizó de forma libre y abierta con la intención de apoyar la
formación y enseñanza académica en la disciplina de estructuras
específicamente el análisis estructural a estudiantes de pregrado y postgrado.
No está permitido el tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna
forma o cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por
registro u otros métodos, con fines comerciales sin la autorización del autor.
TODOS LOS DERECHOS RESERVADOS 2016
Impreso en Colombia

5
Prólogo
Este texto, originado a partir de las notas de clase del módulo de Análisis
estructural en el Postgrado de Análisis y diseño de estructuras de la
Universidad del Norte, se realizó con el fin de plasmar el ejercicio académico
desarrollado en este y contribuir a modo de apoyo a estudiantes y profesores
de ingeniería civil a nivel de Pregrado y Postgrado en el aprendizaje y
enseñanza del análisis estructural.
Se denomina análisis estructural al cálculo de las fuerzas internas y
deformaciones que desarrollan los elementos de una estructura cuando ésta
se ve sometida a la aplicación de cargas externas.
La finalidad del cálculo matricial consiste en agrupar toda la información
necesaria en matrices que relacionan todas las variables como son las cargas,
propiedades mecánicas de los miembros de la estructura y los
desplazamientos desconocidos, que a su vez describen ecuaciones de
equilibro en todos los nudos de la estructura, por lo tanto la solución puede
ser de manera automática mediante el uso de programas o software de
ordenadores que es la práctica habitual hoy en día.
En esta oportunidad se presenta el método de la rigidez o método de los
desplazamientos para el análisis de estructuras bidimensionales, que consiste
en la relación de una carga y el desplazamiento que esta produce asumiendo
un comportamiento elástico y lineal del material para un estado de pequeñas
deformaciones, o también se puede definir la rigidez como la fuerza necesaria
para producir un desplazamiento unitario en el sentido y dirección de la
carga.
El método de los elementos finitos es realmente una extensión del método de
la rigidez ya que requiere subdividir la estructura en elementos discretos y
sus extremos definidos como nodos; estos elementos no solo son de tipo
barra sino que pueden ser tridimensionales de distintas formas geométricas
que modelan en mayor complejidad un problema físico.

6
El texto de conceptualización general y sentido práctico, esta enfatizado en la
resolución de una diversidad de ejercicios y presenta una metodología
sencilla con el fin encontrar la respuesta en base a las propiedades elásticas
de la estructura, además lleva al lector a comprender la forma en que operan
programas de diseño reconocidos como SAP2000, ETABS, ANSYS, COMSOL,
MIDAS GEN entre otros, ya que se basan en esta teoría.
El texto se divide en cinco capítulos. En el capítulo 1 se exponen los
conceptos generales del método así como la matriz de rigidez para cada tipo
de elemento sea armadura, viga o pórtico con la matriz de transformación de
coordenadas con su respectiva demostración y su aplicabilidad para cada
elemento.
En los capítulos 2,3 y 4 se analizan ejercicios de cerchas, vigas y pórticos
respectivamente con su metodología de análisis teniendo en cuenta las
condiciones de frontera propuesta en los ejercicios. En el capítulo 5 se
presentan problemas que permiten vislumbrar los conceptos y la filosofía del
método de los elementos finitos y la confiabilidad del método de la rigidez y
límites de su aplicabilidad en estructuras cuyos elementos son en concreto.
Brayan D. Novely
A Dios, fuente de mi inspiración.

7
Índice de contenido
CAPÍTULO 1 9
CONCEPTOS GENERALES 9
1.1 Matriz de rigidez local 9
1.1.1 Elemento tipo cercha 9
1.1.2 Elemento tipo viga 11
1.1.3 Elemento tipo pórtico 13
1.2 Matriz de transformación de coordenadas 15
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos 18
CAPÍTULO 2 19
CERCHAS 19
2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados 19
2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados 38
CAPÍTULO 3 59
VIGAS 59
3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable. 59
3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo 72

8
CAPÍTULO 4 77
PÓRTICOS PLANOS 77
4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal. 77
4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado. 96
CAPÍTULO 5 111
INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS 111
5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal. 112
5.2 Ejercicio 5.1 realizado en sap2000 versión académica 131
5.3 Análisis sísmico de pórtico bidimensional de concreto con base en el
reglamento NSR-10. 153
5.4 Análisis de la sección trasversal de un puente apoyado sobre una
columna. 179
APÉNDICE A 197
Momentos de empotramiento en vigas 197
BIBLIOGRAFIA 198

9
Capítulo 1
CONCEPTOS GENERALES
Este capítulo presenta la matriz de rigidez local de los elementos planos tipo
cercha, viga y pórtico con la representación de los grados de libertad para
cada elemento. Se incluye la matriz de transformación de coordenadas
locales a globales con su respectiva demostración la cual se utilizará en la
resolución de los diferentes ejercicios.
Para el completo entendimiento de la metodología presentada es necesario
tener conocimientos previos de álgebra matricial y el manejo de a lo sumo un
programa donde se puedan operar eficientemente matrices como Matlab,
Scilab, Excel, Mathcad, entre otros.
1.1 Matriz de rigidez local
1.1.1 Elemento tipo cercha
Un elemento tipo cercha (Fig. 1.1.1-a) solo presentará fuerzas axiales
internas siempre y cuando las cargas externas sean aplicadas en los nudos de
la cercha y los apoyos sean rotulados para que no se desarrollen momentos
flectores. Para el elemento mostrado a continuación la matriz de rigidez será
la presentada en la figura 1.1.1-b.
Figura 1.1.1-a. Elemento tipo cercha

10
Figura 1.1.1-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo
Cercha, solo consideración axial
Dónde:
A: es el área de la sección transversal del elemento
E: módulo de elasticidad del material
L: longitud del elemento
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración
de los grados de libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se
representan de manera numérica (Figuras 1.1.1-c, 1.1.1-d).
Figura 1.1.1-c. Elemento tipo cercha con los gdl representados
numéricamente
X1 Y1 X2 Y2
0 0 X1
0 0 0 0 Y1
0 0 X2
0 0 0 0 Y2
1 2 3 4
[ k ] =
-
-

11
Figura 1.1.1-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo cercha
Representado por los grados de libertad numéricamente.
1.1.2 Elemento tipo viga
La matriz de rigidez de un elemento viga (figura 1.1.2-a) sin consideración de
la rigidez axial será la presentada en la figura 1.1.2-b.
Figura 1.1.2-a. Elemento tipo viga

12
Figura 1.1.2-d. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin
consideración axial ni aportes de cortante.
Dónde:
Iy: es el momento de inercia de la sección transversal del elemento con
respecto al eje y, para este sistema de referencia.
La matriz mostrada en la Figura 1.1.2-b, solo sería aplicable para vigas sin el
estudio de la rigidez axial, la principal solicitación para estos elementos es a
cortante y flexión, En caso de tener cargas inclinadas sobre la viga y se
desean conocer la fuerzas axiales se utiliza la matriz de rigidez de un
elemento pórtico que si involucra esta variable.
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto se trabajaran
los grados de libertad de manera numérica en coordenadas locales del
elemento (figuras 1.1.2-c, 1.1.2-d).
Figura 1.1.2-c. Elemento tipo viga representado numéricamente
Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k] =
-
-
- - -
-

13
Figura 1.1.2-b. Matriz de rigidez para un elemento tipo viga sin
consideración axial ni aportes de cortante representada
numéricamente
1.1.3 Elemento tipo pórtico
La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (figura 1.1.3-a) sin la
consideración por aportes de cortante es la representada en la figura 1.1.3-b.
Figura 1.1.3-a. Elemento tipo pórtico.
1 2 3 4
1
2
3
4
[k] =
-
-
- - -
-

14
Figura 1.1.3-b. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la
consideración de aportes de cortante
Al igual que en los elementos tipo cercha y vigas, Para facilitar las
operaciones matriciales se trabajaran los grados de libertad en coordenadas
locales del elemento como se aprecia en las figuras 1.1.3-c y 1.1.3-d.
Figura 1.1.3-c. Elemento tipo pórtico representado numéricamente
X1 Z1 Y1 X2 Z2 Y2
0 0 0 0 X1
0 0 Z1
0 0 Y1
0 0 0 0 X2
0 0 Z2
0 0 Y2
=
[k]
-
-
-
- - -
-
-

15
Figura 1.1.3-d. Matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico sin la
consideración de aportes de cortante representada numéricamente
1.2 Matriz de transformación de coordenadas
La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales
establecidas X, Y y Z, por lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de
cada elemento al global. Para este fin, se dará uso de la matriz de transformación de
coordenadas obtenida de la figura 1.2-a.
Figura 1.2-a. Rotación del sistema coordenado local a global
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 1
0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
0 0 5
0 0 6
[k] =
-
-
-
- - -
-
-
Tx= Tx’cos Ɵ – Tz’sen Ɵ
Tz= Tx’sen Ɵ + Tz’cos Ɵ

16
Matricialmente se obtiene
Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del
sistema, se concierne que el giro del eje local coincide con el global, de esta manera
se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad (caso elemento de pórticos).
Despejando en coordenadas locales, resulta
Tx cosƟ -senƟ Tx'
Tz senƟ cosƟ Tz'
=
Tx cosƟ -senƟ 0 Tx'
Tz senƟ cosƟ 0 Tz'
ɸ 0 0 1 ɸ
=
Tx' cosƟ -senƟ 0 Tx
Tz' senƟ cosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
=
-1

17
Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema
Locales Matriz de rotación Globales
Matriz de rotación
Por lo tanto, la matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo
pórtico mostrado en la Figura 1.1.3-a. será:
Figura 1.2-b. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento
tipo pórtico
Tx' cosƟ senƟ 0 Tx
Tz' -senƟ cosƟ 0 Tz
ɸ 0 0 1 ɸ
=
Tx1' cosƟ senƟ 0 0 0 0 Tx1
Tz1' -senƟ cosƟ 0 0 0 0 Tz1
ɸ1' 0 0 1 0 0 0 ɸ1
Tx2' 0 0 0 cosƟ senƟ 0 Tx2
Tz2' 0 0 0 -senƟ cosƟ 0 Tz2
ɸ2' 0 0 0 0 0 1 ɸ2
= *

18
La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será el presentado en la figura
1.2-c.
Figura 1.2-c. Matriz de transformación de coordenadas para un elemento
tipo cercha
Para los elementos tipo viga la matriz de rigidez local coincidirá siempre con la global
ya que este tipo de elementos por lo general no tienen inclinación, es decir el ángulo
será igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar la matriz de transformación de
coordenadas.
1.3 Matriz de rigidez global de los elementos
La matriz de rigidez global de un elemento está dada por:
K global= [T’]*[K local]*[T]
Dónde:
[T]: es la matriz de rotación del sistema
[T’]: es la transpuesta de T
[k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.
Tx1' cosƟ senƟ 0 0 Tx1
Tz1' -senƟ cosƟ 0 0 Tz1
Tx2' 0 0 cosƟ senƟ Tx2
Tz2' 0 0 -senƟ cosƟ Tz2
= *

19
Capítulo 2
CERCHAS
2.1 Ejercicio 1. Cercha asimétrica con elementos inclinados
Para la cercha mostrada en la figura 2.1-a. Determine el desplazamiento
horizontal y vertical en el punto D y la fuerza interna del elemento AC,
Considere A=1 cm2
y E=200 000 MPa.
Figura 2.1-a.
Resolución:
Propiedades de los elementos
A=0,0001 m2
E=200 000 000 kPa

20
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha
La numeración de los grados de libertad en una estructura será arbitraria,
pero los que estén asociados a las restricciones cinemáticas (reacciones),
deberán estar agrupados preferiblemente al inicio o al final de la numeración
para facilitar el desarrollo de las operaciones matriciales.
Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la
cercha

21
 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha
Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo hasta el eje local
longitudinal positivo del elemento (anti horario).
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha
La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de
libertad numéricamente como se expresó en capítulo 1, está dada por
Área (m2) L (m) ángulo
Elemento 1 0,00010 2,83 135°
Elemento 2 0,00010 2,24 63,43°
Elemento 3 0,00010 4,47 116,56°
Elemento 4 0,00010 2,00 90°
Elemento 5 0,00010 4,12 75,96°
1 2 3 4
0 0 1
0 0 0 0 2
0 0 3
0 0 0 0 4
1 2 3 4
[ k ] =
-
-

22
Donde
A: es el área de la sección transversal del elemento
E: módulo de elasticidad del elemento
L: longitud del elemento
Remplazando los valores de área, longitud y módulo de elasticidad de los
elementos se obtiene la matriz de rigidez local de los elementos.
Elemento 1
Angulo de rotación 135° (2,36 rad).
𝐀𝐄
𝐋
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟎 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟐, 𝟖𝟑
𝐀𝐄
𝐋
= 𝟕𝟎𝟕𝟐 , 𝟏𝟑𝟓 𝐤𝐍/𝐦
Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en
coordenadas locales presentada en la figura 1.1.1-d resulta:
E= 200000000 kpas
L= 2,83 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 135,00 °
Ѳ= 2,36 rad

23
La numeración representa los grados de libertad locales descritas en el
primer capítulo, Para un Angulo de rotación de 135° medido desde el eje
global X positivo al eje longitudinal del elemento (antihorario) y
sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas para un
elemento cercha, se obtiene
Se obtiene
Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 135°), la
numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales
mostrados en la Figura 2.1-b,” ya que el elemento fue girado”.
1 2 3 4
7072,14 0 -7072,14 0 1
0 0 0 0 2
-7072,14 0 7072,14 0 3
0 0 0 0 4
[ k1 ] =
cosƟ senƟ 0 0
-senƟ cosƟ 0 0
0 0 cosƟ senƟ
0 0 -senƟ cosƟ
=
[ T ]
-0,71 0,71 0 0
-0,71 -0,71 0 0
0 0 -0,71 0,71
0 0 -0,71 -0,71
[ T ] =

24
En la siguiente ilustracion se puede apreciar la correspondencia de los grados
de ibertad locales y globales, por que los grados de libertad 3 y 4
permanecen igules en la matriz global y la forma en que opera la matriz de
rotación del sistema resuelta en el primer capítulo.
Matriz de rigidez global del elemento 1 en kN/m resulta
Locales 1 2 3 4
Globales 5 6 3 4
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 5 1
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 6 2
-3536,07 3536,07 3536,07 -3536,07 3 3
3536,07 -3536,07 -3536,07 3536,07 4 4
Globales
Locales
[T'][k][T] =

25
Elemento 2
Angulo de rotación 63,43° (2,36 rad).
Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será
Matriz de rotación para 63,43°
E= 200000000 kpas
L= 2,24 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 63,43 °
Ѳ= 1,11 rad
1 2 3 4
8944,54 0,00 -8944,54 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-8944,54 0,00 8944,54 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k2 ] =
0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 0,447
[ T ] =

26
Matriz de rigidez global del elemento 2: K global= [T’]*[K local]*[T]
Elemento 3
Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m
5 6 1 2
1789,53 3578,28 -1789,53 -3578,28 5
3578,28 7155,02 -3578,28 -7155,02 6
-1789,53 -3578,28 1789,53 3578,28 1
-3578,28 -7155,02 3578,28 7155,02 2
[K2] =
E= 200000000 kpas
L= 4,47 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 116,56 °
Ѳ= 2,03 rad
1 2 3 4
4472,27 0,00 -4472,27 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4472,27 0,00 4472,27 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k3 ] =

27
Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m
Elemento 4
-0,447 0,894 0,0 0,0
-0,894 -0,447 0,0 0,0
0,0 0,0 -0,447 0,894
0,0 0,0 -0,894 -0,447
[ T ] =
7 8 3 4
894,14 -1788,67 -894,14 1788,67 7
-1788,67 3578,13 1788,67 -3578,13 8
-894,14 1788,67 894,14 -1788,67 3
1788,67 -3578,13 -1788,67 3578,13 4
[K3] =
E= 200000000 kpas
L= 2,00 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

28
Matriz de rigidez local en kN/m
Matriz de rotación para 90°
Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 4 en kN/m
1 2 3 4
10000,00 0 -10000,00 0 1
0 0 0 0 2
-10000,00 0 10000,00 0 3
0 0 0 0 4
[ k4 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] =
7 8 5 6
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 10000,0 0,0 -10000,0 8
0,0 0,0 0,0 0,0 5
0,0 -10000,0 0,0 10000,0 6
[ K4 ] =

29
Elemento 5
E= 200000000 kpas
L= 4,12 m
A= 1,0 cm2
A= 0,0001 m2
Ѳ= 75,96 °
Ѳ= 1,33 rad
1 2 3 4
4850,84 0,00 -4850,84 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-4850,84 0,00 4850,84 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
[ k5 ] =
0,243 0,970 0,0 0,0
-0,970 0,243 0,0 0,0
0,0 0,0 0,243 0,970
0,0 0,0 -0,970 0,243
[ T ] =

30
Matriz de rigidez en coordenadas globales del elemento 5 en kN/m
Matriz de rigidez de la cercha
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, se tendrá en cuenta
que la rigidez concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la
rigidez de todos los elementos estructurales conectados a tal nodo, por lo
tanto se suma la rigidez que aporta cada elemento de su matriz de rigidez
global, al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de
libertad establecidos en la numeración de la estructura, es decir matriz de
K8x8.
Ejemplo:
K1,2= (K1,2)
e1
+ K1,2
e2
+ K1,2
e3
+ K1,2
e4
+ K1,2
e5
K1,2= (0,0) + (3578) + (0,0) + (0,0) + (1141)
K1,2= 4720 kN/m
K 8, 5= K 8, 5 e1
+ K 8, 5 e2
+ K 8, 5 e3
+ K 8, 5 e4
+ K 8, 5 e5
K 8, 5= 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00
K 8, 5= 0,00 kN/m
K 8, 7= K 8, 7
e1
+ K 8, 7
e2
+ K 8, 7
e3
+ K 8, 7
e4
+ K 8, 7
e5
K 8, 7= 0,00 + 0,00 + (-1788,67) + (0,00) + 1141,43
K 8, 7= -647,24 kN/m
7 8 1 2
285,37 1141,43 -285,37 -1141,43 7
1141,43 4565,46 -1141,43 -4565,46 8
-285,37 -1141,43 285,37 1141,43 1
-1141,43 -4565,46 1141,43 4565,46 2
[ K5 ] =

31
De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se
ensambla la matriz de rigidez de toda la estructura.
Matriz de rigidez global de la cercha
Los grados de libertad entre 1 y 4, están asociados a las fuerzas
desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0, la matriz esta en
unidades de kN/m.
Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN
1 2 3 4 5 6 7 8
2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1
4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2
0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3
0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4
-1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5
-3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6
-285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7
-1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8
[ Ke ] =
gdl fuerzas
1 Bx
2 By
3 Ax
4 Ay
5 0
6 0
7 0
8 -90
Solo en el grado de libertad 8 existe una
fuerza externa, por lo tanto los otros
grados de libertad donde se presentaran
desplazamiento no hay fuerzas externas,
las fuerzas Bx, By, Ax y Ay son
desconocidas, y corresponden a las
reacciones.
Fuerzas
Desconocidas
(Reacciones)
Fuerzas
Conocidas

32
Vector de desplazamientos
Se sabe que La rigidez (K) está dada por:
𝑲 =
𝐅
𝐔
La matriz de rigidez global de la cercha está estructurada como se muestra
en la figura 2.1-c, conforme a la distribución de los grados de libertad
establecidos en la discretización
Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio
resulta
Figura 2.1-c. Representación general de la matriz de rigidez global de
la estructura
Fuerzas Desplazamientos
F
desconocidas
Ktt Kt0 0
F conocidas K0t K00 U
=
Rigidez
gdl fuerzas
1 2 3 4 5 6 7 8
[U]
1 Bx 2074,9 4719,7 0,0 0,0 -1789,5 -3578,3 -285,4 -1141,4 1 0,0 1
2 By 4719,7 11720,5 0,0 0,0 -3578,3 -7155,0 -1141,4 -4565,5 2 0,0 2
3 Ax 0,0 0,0 4430,2 -5324,7 -3536,1 3536,1 -894,1 1788,7 3 0,0 3
4 Ay 0,0 0,0 -5324,7 7114,2 3536,1 -3536,1 1788,7 -3578,1 4 0,0 4
5 0 -1789,5 -3578,3 -3536,1 3536,1 5325,6 42,2 0,0 0,0 5 U5 5
6 0 -3578,3 -7155,0 3536,1 -3536,1 42,2 20691,1 0,0 -10000,0 6 U6 6
7 0 -285,4 -1141,4 -894,1 1788,7 0,0 0,0 1179,5 -647,2 7 U7 7
8 -90 -1141,4 -4565,5 1788,7 -3578,1 0,0 -10000,0 -647,2 18143,6 8 U8 8
= x
Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que
produce dicha carga.
Ktt Kt0
K0t K00
Uc
Ud
Fd
Fc

33
Resolviendo la matriz, se obtiene
Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud]
Fd= [Kto][Ud] ecu. 1
FC = [K0t] [0] + [K00][Ud]
FC= [K00][Ud] ecu. 2
Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2, Se
obtiene:
[Ud] = [K00]-1
[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas)
Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1
[Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura)
Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas
conocidas (K00) para calcular los desplazamientos que estas producen en la
cercha aplicando la ecuación anterior.
5 6 7 8
5325,59 42,21 0,00 0,00 5
42,21 20691,08 0,00 -10000,00 6
0,00 0,00 1179,51 -647,24 7
0,00 -10000,00 -647,24 18143,60 8
[K00]=
0
0

34
Obteniendo la inversa de la matriz Kc:
Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la
cercha serán: [U]= [K00]-1
[P]
Resolviendo matricialmente se obtiene:
U5= 0,0000266 m
U6= -0,0033575 m
U7= -0,0038120 m
U8= -0,0069469 m
5 6 7 8
0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 8
[K00]
-1
=
5 6 7 8 Fc gdl
0,00018778 -0,00000053 -0,00000016 -0,00000030 0 5
-0,00000053 0,00006636 0,00002047 0,00003731 0 6
-0,00000016 0,00002047 0,00087105 0,00004236 0 7
-0,00000030 0,00003731 0,00004236 0,00007719 -90 8
[U]= X
El desplazamiento horizontal y vertical en el
Nodo D será:
U7=-0,0038120 m ≈ 3,81 mm H ◄
U8=-0,0069469 m ≈ 6,947 mm V ▼

35
Figura 2.1-c. Deformada de la cercha debido a la aplicación de la
carga de 90 kN en el nodo D.
Fuerza interna del elemento AC
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1)
teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad.
U5= 0,00002661 m
U6= -0,00335751 m
U3= 0
U4= 0

36
Es necesario conocer los desplazamientos locales del elemento para
determinar su fuerza axial interna, así como establecer si el elemento está
sometido a esfuerzos de tracción o compresión, para lo anterior se multiplica
matricialmente la matriz de rotación del elemento por los desplazamientos
globales calculados, de esta manera se obtiene
[U Locales]= [T]*[U Globales]
Donde la matriz de rotación “T” es
Se establece la operación matricial
u1= -0,002393 m
u2= 0,002355 m
u3= 0,00000 m
u4= 0,00000 m
Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis
principal del método, donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el
desplazamiento elástico que esta produce.
cosƟ senƟ 0 0
-senƟ cosƟ 0 0
0 0 cosƟ senƟ
0 0 -senƟ cosƟ
=
[ T ]
Ug gdl
-0,707 0,707 0,000 0,000 0,000027 5
-0,707 -0,707 0,000 0,000 -0,003358 6
0,000 0,000 -0,707 0,707 0,000000 3
0,000 0,000 -0,707 -0,707 0,000000 4
[U] = X
Estos son los desplazamientos
locales del elemento 1.

37
𝐾 =
F
U
F = [K local]* [U local] (elemento 1).
Se obtiene
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento:
Bx= -16,92 kN
By= 0 kN
Ax= 16,92 kN
Ay= 0 kN
Teniendo en cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a
la fuerza interna del elemento en sus coordenadas locales se determina el
tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, en este caso son de
tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la
supuesta inicialmente, mientras que f3 es positiva como se observa en la
figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la
funcionalidad de este tipo de elementos.
Figura 2.1-d
Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión)
UL gdl
7072,14 0,00 -7072,14 0,00 -0,002393
1
0,00 0,00 0,00 0,00 0,002355
2
-7072,14 0,00 7072,14 0,00 0,000000
3
0,00 0,00 0,00 0,00 0,000000
4
[f]= X

38
2.2 Ejercicio 2. Cercha rectangular con elementos inclinados
Para la cercha mostrada en la figura 2.2-a. Determine el desplazamiento
vertical en el nudo C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27
cm2
y E=200 000 MPa.
Figura. 2.2-a
Resolución:
Propiedades de los elementos
A=0,000127 m2
E=200 000 000 kPa

39
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha
Figura 2.1-b. Numeración de los grados de libertad y elementos de la
cercha
 Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha
Nota: los ángulos son medidos desde el eje global x positivo al eje longitudinal del elemento.
Area (m2) L (m) Angulo
Elemento 1 0,000127 1,20 90
Elemento 2 0,000127 1,44 56,309
Elemento 3 0,000127 1,20 90
Elemento 4 0,000127 1,56 50,194
Elemento 5 0,000127 1,20 90
Elemento 6 0,000127 0,80 0
Elemento 7 0,000127 1,00 0
Elemento 8 0,000127 0,80 0
Elemento 9 0,000127 1,00 0

40
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha
Elemento 1
𝐀𝐄
𝐋
=
𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟕 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎
𝟏, 𝟐
Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será:
𝐀𝐄
𝐋
= 𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟔, 𝟔𝟕 𝐤𝐍/𝐦
Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene
E= 200000000 kpas
L= 1,20 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k1 ]=

41
Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 90° (1,57 rad).
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m
Elemento 2
0,000 1,000 0,000 0,000
-1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
0,000 0,000 -1,000 0,000
[ T ] =
1 2 3 4
0,00 0,00 0,00 0,00 1
0,00 21166,67 0,00 -21166,67 2
0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 -21166,67 0,00 21166,67 4
[ K1 ]=
E= 200000000 kpas
L= 1,4420 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 56,309 °
Ѳ= 0,98 rad

42
Matriz de rotación del elemento: Angulo de rotación 56,309° (0,98 rad).
1 2 3 4
17614,42 0,00 -17614,42 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-17614,42 0,00 17614,42 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k2] =
0,555 0,832 0,000 0,000
-0,832 0,555 0,000 0,000
0,000 0,000 0,555 0,832
0,000 0,000 -0,832 0,555
[ T ] =
1 2 5 6
5420,09 8129,84 -5420,09 -8129,84 1
8129,84 12194,34 -8129,84 -12194,34 2
-5420,09 -8129,84 5420,09 8129,84 5
-8129,84 -12194,34 8129,84 12194,34 6
[ K2] =

43
Elemento 3
Angulo de rotación 90° (1,57rad).
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m
Matriz de rotación del elemento para 90°
E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k3 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] =

44
Elemento 4
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m
11 12 5 6
0,00 0,00 0,00 0,00 11
0,00 21166,67 0,00 -21166,67 12
0,00 0,00 0,00 0,00 5
0,00 -21166,67 0,00 21166,67 6
[ K3 ] =
E= 200000000 kpas
L= 1,5620 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 50,194 °
Ѳ= 0,88 rad
1 2 3 4
16261,20 0,00 -16261,20 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-16261,20 0,00 16261,20 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k4] =

45
Matriz de rotación del elemento a 50,19°
Matriz de rigidez global en kN/m
Elemento 5
0,640 0,768 0,000 0,000
-0,768 0,640 0,000 0,000
0,000 0,000 0,640 0,768
0,000 0,000 -0,768 0,640
[ T ] =
11 12 7 8
6664,55 7997,34 -6664,55 -7997,34 11
7997,34 9596,66 -7997,34 -9596,66 12
-6664,55 -7997,34 6664,55 7997,34 7
-7997,34 -9596,66 7997,34 9596,66 8
[ K4] =
E= 200000000 kpas
L= 1,2000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 90,000 °
Ѳ= 1,57 rad

46
Matriz de rotación del elemento a 90°
1 2 3 4
21166,67 0,00 -21166,67 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-21166,67 0,00 21166,67 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k5 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
0,0 0,0 -1,0 0,0
[ T ] =
9 10 7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 9
0,0 21166,7 0,0 -21166,7 10
0,0 0,0 0,0 0,0 7
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 8
[ K5 ] =

47
Elemento 6
Angulo de rotación 0° (0 rad).
Matriz de rotación; como no hay rotación del elemento la matriz de rotación
tendrá solo el valor de uno en su diagonal (matriz identidad), multiplicando
matricialmente por la matriz de rigidez local del elemento se obtendrá la
misma matriz de rigidez local.
E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0
1
0,00 0,00 0,00 0,0
2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0
3
0,0 0,0 0,0 0,0
4
[ k6 ] =
1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =

48
Elemento 7
3 4 5 6
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
[ K6 ] =
E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
25400,00 0,00 -25400,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-25400,00 0,00 25400,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k7 ] =

49
Elemento 8
1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] =
5 6 7 8
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 5
0,00 0,00 0,00 0,00 6
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 7
0,00 0,00 0,00 0,00 8
[ K7 ] =
E= 200000000 kpas
L= 0,8000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad

50
1 2 3 4
31750,00 0,00 -31750,00 0,0 1
0,00 0,00 0,00 0,0 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k8 ] =
1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =
1 2 11 12
31750,00 0,00 -31750,00 0,00 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2
-31750,00 0,00 31750,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
[ K8 ] =

51
Elemento 9
Matriz de rotación para 0°
E= 200000000 kpas
L= 1,0000 m
A= 1,270 cm2
A= 0,0001270 m2
Ѳ= 0,000 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4
25400,0 0,0 -25400,0 0,0 1
0,0 0,0 0,0 0,0 2
-25400,0 0,0 25400,0 0,0 3
0,0 0,0 0,0 0,0 4
[ k9 ] =
1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 1,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000
0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] =

52
Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m)
La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura, se ensambla de igual
manera como efectuó para el ejercicio 1.1, sumando los aportes de rigidez
global de cada elemento a los nodos de la misma.
11 12 9 10
25400,00 0,00 -25400,00 0,00 11
0,00 0,00 0,00 0,00 12
-25400,00 0,00 25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 0,00 10
[ K9 ] =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
37170,1 8129,8 0,0 0,0 -5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0 1
8129,8 33361,0 0,0 -21166,7 -8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 2
0,0 0,0 31750,0 0,0 -31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3
0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 4
-5420,1 -8129,8 -31750,0 0,0 62570,1 8129,8 -25400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 5
-8129,8 -12194,3 0,0 0,0 8129,8 33361,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 6
0,0 0,0 0,0 0,0 -25400,0 0,0 32064,5 7997,3 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 7
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 7997,3 30763,3 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 8
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 25400,0 0,0 -25400,0 0,0 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 0,0 21166,7 0,0 0,0 10
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -6664,5 -7997,3 -25400,0 0,0 63814,5 7997,3 11
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 -21166,7 -7997,3 -9596,7 0,0 0,0 7997,3 30763,3 12
[KE]=

53
Vector de fuerzas actuantes
Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio
anterior, los cuales estarán dados por:
[U]= [K00]-1
[FC] Fc: son fuerzas conocidas
Se sustrae la sub matriz de rigidez (K00) que asocia las fuerzas externas
conocidas y los desplazamientos desconocidos (ver figura 2.1-c del ejercicio
1.1).
gdl Fuerzas
1 Ax
2 Ay
3 Bx
4 By
5 0
6 -15
7 0
8 -10
9 0
10 -15
11 0
12 0
El vector describe las fuerzas externas que
actúan sobre la estructura y el grado de
libertad asociado a esa fuerza, por ejemplo
en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10
kN, en la dirección de la gravedad, en
nuestro sistema de referencia será negativo.

54
Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura
estarán dados por: [U]= [KOO]-1
[FC]
5 6 7 8 9 10 11 12
62570,09 8129,84 -25400,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5
8129,84 33361,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -21166,67 6
-25400,00 0,00 32064,55 7997,34 0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 7
0,00 0,00 7997,34 30763,32 0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 8
0,00 0,00 0,00 0,00 25400,00 0,00 -25400,00 0,00 9
0,00 0,00 0,00 -21166,67 0,00 21166,67 0,00 0,00 10
0,00 0,00 -6664,55 -7997,34 -25400,00 0,00 63814,55 7997,34 11
0,00 -21166,67 -7997,34 -9596,66 0,00 0,00 7997,34 30763,32 12
[K00]=
5 6 7 8 9 10 11 12
0,00003 -0,00002 0,00003 -0,00005 0,00000 -0,00005 0,00000 -0,00002 5
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00011 0,00000 0,00011 0,00000 0,00010 6
0,00003 -0,00002 0,00007 -0,00008 0,00000 -0,00008 0,00000 -0,00002 7
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00035 0,00003 0,00016 8
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00007 0,00003 0,00003 0,00000 9
-0,00005 0,00011 -0,00008 0,00035 0,00003 0,00040 0,00003 0,00016 10
0,00000 0,00000 0,00000 0,00003 0,00003 0,00003 0,00003 0,00000 11
-0,00002 0,00010 -0,00002 0,00016 0,00000 0,00016 0,00000 0,00014 12
[KOO]-1
=
5 6 7 8 9 10 11 12
Fc
0,000031 -0,000021 0,000031 -0,000047 0,000000 -0,000047 0,000000 -0,000021 5 0 5
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000114 0,000000 0,000114 0,000000 0,000096 6 -15 6
0,000031 -0,000021 0,000071 -0,000080 0,000000 -0,000080 0,000000 -0,000021 7 0 7
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000354 0,000026 0,000161 8 -10 8
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000071 0,000026 0,000031 0,000000 9 0 9
-0,000047 0,000114 -0,000080 0,000354 0,000026 0,000401 0,000026 0,000161 10 -15 10
0,000000 0,000000 0,000000 0,000026 0,000031 0,000026 0,000031 0,000000 11 0 11
-0,000021 0,000096 -0,000021 0,000161 0,000000 0,000161 0,000000 0,000143 12 0 12
[ U ] = X

55
U5= 0,001496 m
U6= -0,004278 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m
U9= -0,000656 m
U10= -0,011250 m
U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m
Figura 2.2-c. Deformada de la cercha debido a las cargas
Calculo de las reacciones de la cercha
Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior, si se conocen los
desplazamientos, estos se multiplican matricialmente por la sub matriz de
rigidez asociada a las fuerzas desconocidas (K0t)
Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones)
Aplicando la ecuación anterior, se obtiene
El desplazamiento horizontal y vertical en el
Nodo C será:
U9= -0,000656 m ≈ 0,656 mm H ◄
U10= -0,0112 m ≈ 11,20 mm V ▼

56
Ax= 47,5 kN
Ay= 40,0 kN
Bx= -47,5 kN
By= 0,0 kN
Figura 2.2-d. Reacciones en los apoyos de la cercha
[U]
0,001496 5
5 6 7 8 9 10 11 12
-0,00428 6
-5420,1 -8129,8 0,0 0,0 0,0 0,0 -31750,0 0,0
1
0,002316 7
-8129,8 -12194,3 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
2
-0,01054 8
-31750,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
3
-0,00066 9
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
4
-0,01125 10
-0,00066 11
-0,00546 12
8x1
X
[F]=
4x8

57
Fuerza axial del elemento BF
Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y
teniendo en cuenta el número correspondiente a cada grado de libertad, se
obtiene
U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m
Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando uso a la matriz
de rotación para el ángulo de este elemento que es 50,19° (0,88 rad).
[U local]= [T]*[U global]
De esta manera se establece la operación matricial como sigue
u1= -0,00461 m
u2= -0,00299 m
u3= -0,00661 m
u4= -0,00853 m
U globales
0,640 0,768 0,000 0,000 -0,000656
-0,768 0,640 0,000 0,000 -0,005459
0,000 0,000 0,640 0,768 0,002316
0,000 0,000 -0,768 0,640 -0,010541
4 x 1
X
[ u4 local] =
4 x 4
Estos son los desplazamientos
locales del elemento 4.

58
Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica matricialmente la
matriz de rigidez local del elemento por sus desplazamientos locales
respectivamente.
𝐾 =
F
U
f = [K local]* [U local]
Se obtiene la operación matricial
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento:
f1= 32,54 kN
f2= 0,0
f3= -32,54 kN
f4= 0,00
Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está
sometido a esfuerzos de compresión, como se observa en la figura 2.1-e. en
cuanto a las fuerzas f2 y f3, serán cero puesto que se trata de una cercha y
solo se considera el aporte axial como se mencionó en el capítulo 1 de
presente texto.
Figura 2.2-e
1 2 3 4 U locales
16261,20 0,00 -16261,20 0,00 1 -0,00461 1
0,00 0,00 0,00 0,00 2 -0,00299 2
-16261,20 0,00 16261,20 0,00 3 -0,00661 3
0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,00853 4
4 x 1
X
[ f 4 ] =
4 x 4

59
Capítulo 3
VIGAS
3.1 Ejercicio. Viga de tres luces con cargas puntual, continua y
variable.
Para la viga en concreto mostrada en la figura 3.1-a, encontrar las reacciones
y el giro en el punto D, considere E= 20 GPa.
Figura 3.1-a
Resolución:
Propiedades de la sección de la viga
A=0,10 m2
Iy=0,001333 m4
E=20 000 000 kPa

60
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga
Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la
viga estará sometida solo a fuerzas cortantes y flexión como se mencionó en
el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la dirección
X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero.
La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden
agrupados aquellos que no tienen restricción cinemática y los demás
corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura 3.1-b
Figura 3.1-b Discretizacion de la viga
Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres
elementos conectados por sus nodos A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las
fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los elementos a
cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los
elementos y se calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la
figura 3.1-c. al final las fuerzas actuantes serán la suma de los efectos de las
cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas
actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción.

61
Figura 3.1-c
Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el
presente análisis son las que se presentan en la figura 3.1-d y 3.1-e, después
de realizar la suma de los efectos debido a las cargas, y aplicación de la
estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales.
Figura 3.1-d

62
Figura 3.1-e. Fuerzas actuantes en los nodos de la viga
De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección
predominante de la carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan
en la dirección opuesta a reacción idealizada.
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen
los valores de E, Iz y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para
vigas.
Elemento 1
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m
E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 5,00 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °

63
12EIy/L3
= 2560 kN/m
6EIy/L2
= 6400 kN/m
2EIy/L = 10666,67 kN/m
4EIy/L = 21333,33 kN/m
Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m
Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se
presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de
transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden,
siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la
correspondencia de los grados de libertad locales a los globales de la viga
según el elemento.
1 2 3 4
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 4
[ k1 ] =
1 2 3 8
2560,00 6400,00 -2560,00 6400,00 1
6400,00 21333,33 -6400,00 10666,67 2
-2560,00 -6400,00 2560,00 -6400,00 3
6400,00 10666,67 -6400,00 21333,33 8
[ K1 ] =

64
Elemento 2
Al igual que el elemento 1, el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto
no se presentaran rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de
transformación de coordenadas del sistema local a global ya que coinciden.
Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los
globales de la viga según el elemento.
E= 20000,00
E= 20000000,000 kpas
L= 4,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 1
7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 2
-3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 3
7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 4
[ k2 ] =

65
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Elemento 3
3 8 4 7
3511,66 7901,23 -3511,66 7901,23 3
7901,23 23703,70 -7901,23 11851,85 8
-3511,66 -7901,23 3511,66 -7901,23 4
7901,23 11851,85 -7901,23 23703,70 7
[ K2 ] =
E= 20000000,0 kpas
L= 5,50 m
B 0,25 m
H 0,40 m
A= 0,1000000
I= 0,0013333
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 1
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 2
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 3
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 4
[ k3 ] =

66
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Ensamble de la matriz de rigidez de la viga
Ejemplo:
K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4 elemento2 + K3,4 elemento3
K3,4= (0,0) + (-3511,66) + (0,0)
K3,4= - 3511,66 kN/m
K8,3= (-6400,00) + (7901,23) + (0,0)
K8,3= 1501,23 kN/m
4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K3 ] =
4 7 5 6
1923,37 5289,26 -1923,37 5289,26 4
5289,26 19393,94 -5289,26 9696,97 7
-1923,37 -5289,26 1923,37 -5289,26 5
5289,26 9696,97 -5289,26 19393,94 6
[ K3 ] =

67
Matriz de rigidez de la viga
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 8 están asociados a las
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de
libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones de la
viga.
Vector de fuerzas
A diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso existen fuerzas que
actúan en los nodos donde se presentaran las reacciones de la viga y que
actúan en el sentido contrario a la misma reacción, por lo tanto afectara la
magnitud final de cada una, como se observa en la figura 3.1-f.
1 2 3 4 5 6 7 8
2560,0 6400,0 -2560,0 0,0 0,0 0,0 0,0 6400,0 1
6400,0 21333,3 -6400,0 0,0 0,0 0,0 0,0 10666,7 2
-2560,0 -6400,0 6071,7 -3511,7 0,0 0,0 7901,2 1501,2 3
0,0 0,0 -3511,7 5435,0 -1923,4 5289,3 -2612,0 -7901,2 4
0,0 0,0 0,0 -1923,4 1923,4 -5289,3 -5289,3 0,0 5
0,0 0,0 0,0 5289,3 -5289,3 19393,9 9697,0 0,0 6
0,0 0,0 7901,2 -2612,0 -5289,3 9697,0 43097,6 11851,9 7
6400,0 10666,7 1501,2 -7901,2 0,0 0,0 11851,9 45037,0 8
[Kviga] =

68
Figura 3.1-f
Vector de fuerzas sobre la viga en kN
gdl Fuerzas
1 Ay-17,5
2 Ma-21,875
3 By-51,25
4 Cy-50,250
5 Dy-38,50
6 30,25
7 5,1458333
8 -3,4375

69
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento
elástico que produce.
𝐾 =
F
U
[U]= [K]-1
[F] ecu 3.
Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamientos aplicando la ecuación No 3.
Obteniendo la inversa de la matriz [K00], resulta
6 7 8
19393,9 9696,97 0 6
9696,97 43097,6 11851,9 7
0 11851,9 45037 8
[K00] =
6 7 8
0,000059 -0,000014 0,000004 6
-0,000014 0,000028 -0,000007 7
0,000004 -0,000007 0,000024 8
[K00]-1
=

70
Los desplazamientos serán
U6= 0,0016889 rad
U7= -0,0002583 rad
U8= -0,0000083 rad
Reacciones en la base
Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al
vector de fuerzas, con los desplazamientos calculados.
[F]= [Kt0]*[U]
6 7 8
Fuerzas
0,000059 -0,000014 0,000004 6 30,25 6
-0,000014 0,000028 -0,000007 7 5,15 7
0,000004 -0,000007 0,000024 8 -3,44 8
3 x 1
X
[U] =
3 x 3
6 7 8
0 0 6400 1 [U]
0 0 10667 2 0,0016889 U6
0 7901 1501 3 -0,0002583 U7
5289 -2612 -7901 4 -0,0000083 U8
-5289 -5289 0 5 3 x 1
5 x 3
X
[F] =
El giro en el punto D será:
U8= 0,00169 rad

71
Las fuerzas en la base serán:
F1= -0,053 kN
F2= -0,089 kN
F3= -2,053 kN
F4= 9,6738 kN
F5= -7,5668 kN
Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue
-0,053=Ay-17,5 ; Ay= 17,447 kN
-0,089=Ma-21,875 ; Ma= 21,786 kN.m
-2,053=By-51,25 ; By= 49,197 kN
9,6738=Cy-50,250 ; Cy= 59,92 kN
-7,566=Dy-38,50 ; Dy= 30,93 kN
Figura 3.1-g. Reacciones de la viga

72
3.2 Ejercicio. Viga de dos luces y sección en voladizo
Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se
aprecia en la figura 3.2-a, encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para
que el giro en B sea 0,5° en el sentido horario. Asumir Es=200.000 MPa
Figura 3.2-a
Resolución:
Propiedades de la sección de la viga
A=0,0104 m2
Iy=0,00004619 m4
E=200 000 000 kPa
 Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga
Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de
libertad rotacionales del nudo A y B ya que se obtendría el momento y el giro
respectivamente, para obtener las reacciones verticales en esos mismos
nudos se calcularían por estática.

73
Figura 3.2-b
La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente
debido a esa carga que actúa en B, recordando que se asume la condición de
empotramiento perfecto en los nudos de la viga como se muestra a
continuación.
Figura 3.2-c

74
Figura 3.2-d. Fuerzas actuantes en los nodos A y B de la viga
Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular en el apoyo B la matriz
de rigidez se puede determinar cancelando los renglones y filas asociados a
los desplazamientos verticales de dicho elemento, se tiene
Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente, se obtiene
Z1 Y1 Z2 Y2
Z1
Y1
Z2
Y2
[k] =
-
-
- - -
-

75
De este modo, la matriz de rigidez será:
Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m:
El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en
B no podrá girar más de 0,5° (0,00872 rad) según la magnitud de la carga.
Y el vector de fuerzas será igual a:
1 2
[ k ] =
1 2
14780,80 7390,40 1
7390,40 14780,80 2
[ k ] =
0 1
-0,0087 2
[ U ] =
Ma - 0,781 1
2P - 0,781 2
[ F ] =

76
Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se
obtiene entonces:
Resolviendo la matriz, se obtiene
Ma – 0,781= 14781*0 - 7390,4*0,00872 (1)
2P - 0,781= 7390*0 - 14781,8*0,00872 (2)
Ma – 0,781= - 64,44 (1)
2P - 0,781= - 128,88 (2)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga
para que se dé la condición inicial.
Ma= -63,66 kN.m
P= 64,06 kN
La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de
6,6 toneladas.
Ma - 0,781 14780,80 7390,40 0
2P - 0,781 7390,40 14780,80 -0,00872
= x

77
Capítulo 4
PÓRTICOS PLANOS
4.1 Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal.
Para el pórtico mostrado en la figura 4.1-a determine las reacciones en la
base, desplazamiento horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas
internas del elemento AB. Los elementos CD y BD articulan
independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa
Fig. 4.1-a
Resolución:
Propiedades del perfil W14x132
A= 0,0248 m2
Iy= 0,000636 m4

78
Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad
sobre los posibles desplazamientos y giros que se puedan presentar en los
nudos para cada elemento, teniendo en cuenta las condiciones de frontera.
Ejemplo: los elementos que convergen en el nodo D comparten los mismos
grados de libertad horizontales y verticales, mas no tendrá el mismo ángulo
de giro, por lo tanto cada uno tendrá un grado de libertad rotacional diferente
como se observa en la figura 4.1-b.
Figura 4.1- b
Establecidos los nudos de pórtico (A, B, C y D), se llevan las fuerzas
actuantes a cada uno. Debido a que se cuenta con un elemento con carga
distribuida, se asume la condición de empotramiento perfecto en sus
extremos y se calculan sus reacciones como se observa en la figura 4.1-c,
las cuales actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el
sentido opuesto de la reacción.

79
Figura 4.1- c
Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte
del vector de fuerzas en el arreglo matricial, y se resumen en la figura 4.1–d.
Figura 4.1- d

80
Se sabe que la matriz de rigidez de un elemento en el sistema global está
dado por:
K global= [T’]*[K local]*[T]
Donde T es la matriz de rotación de coordenadas presentada en el capítulo 1
par elementos tipo pórticos.
Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se
reemplazan los valores de A, E, Iz y L de la matriz de un elemento pórtico
establecido en el primer capítulo.
Elemento 1
E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad

81
La numeración representa los grados de libertad locales del elemento.
Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al
eje local positivo longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de
transformación de coordenadas, se obtiene
Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene
la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace
correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura
4.1- b.
1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k1 ] =
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =

82
Se obtiene entonces:
Elemento 2
Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads).
1 2 3 11 12 13
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 1
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 2
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 3
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 11
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 12
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 13
[ K1 ] =
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 4,609 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 139,40 °
Ѳ= 2,43 rad

83
Para el Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads) en sentido anti horario se
obtiene
Matriz de rigidez global del elemento 2, asociado a los grados de libertad
globales será:
1 2 3 4 5 6
1076155,35 0,00 0,00 -1076155,35 0,00 0,00 1
0,00 15590,08 35927,33 0,00 -15590,08 35927,33 2
0,00 35927,33 110392,71 0,00 -35927,33 55196,35 3
-1076155,35 0,00 0,00 1076155,35 0,00 0,00 4
0,00 -15590,08 -35927,33 0,00 15590,08 -35927,33 5
0,00 35927,33 55196,35 0,00 -35927,33 110392,71 6
[ k2 ] =
-0,759 0,651 0,000 0,000 0,000 0,000
-0,651 -0,759 0,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 1,000 0,000 0,000 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,759 0,651 0,000
0,000 0,000 0,000 -0,651 -0,759 0,000
0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 1,000
[ T ] =
4 5 7 11 12 13
626998,44 -524040,35 -23380,58 -626998,44 524040,35 -23380,58 4
-524040,35 464746,98 -27278,59 524040,35 -464746,98 -27278,59 5
-23380,58 -27278,59 110392,71 23380,58 27278,59 55196,35 7
-626998,44 524040,35 23380,58 626998,44 -524040,35 23380,58 11
524040,35 -464746,98 27278,59 -524040,35 464746,98 27278,59 12
-23380,58 -27278,59 55196,35 23380,58 27278,59 110392,71 13
[ K2 ] =

84
Elemento 3
Angulo de rotación 90° (1,57 rads).
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,00 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4 5 6
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 6
[ k3 ] =

85
Matriz de transformación de coordenadas, Para el Angulo de rotación 90°
(1,57 rads), se obtiene:
Matriz de rigidez global del elemento No 3, asociado a los grados de libertad
globales será:
Elemento 4
Angulo de rotación 0°, como no existe rotación del sistema, la matriz de
rigidez local coincide con la global del elemento.
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =
4 5 6 8 9 10
56533,33 0,00 -84800,00 -56533,33 0,00 -84800,00 4
0,00 1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 5
-84800,00 0,00 169600,00 84800,00 0,00 84800,00 6
-56533,33 0,00 84800,00 56533,33 0,00 84800,00 8
0,00 -1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 9
-84800,00 0,00 84800,00 84800,00 0,00 169600,00 10
[ K3 ] =

86
Matriz de transformación de coordenadas, para el ángulo de rotación=0°, se
obtiene
E= 200,00 Gpas
E= 200000000 kpas
L= 3,50 m
A= 0,02480 m2
I= 0,0006360
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad
1 2 3 4 5 6
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 1
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 2
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 3
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 4
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 5
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 6
[ k4 ] =
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =

87
Matriz de rigidez global del elemento No 4, asociado a los grados de libertad
globales.
Matriz de rigidez de la estructura
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que
aporta cada elemento, al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño
de los grados de libertad establecidos en la numeración de la figura 4.1-b, es
decir M13x13.
Ejemplo:
K11,12= (0,0) + (-524040) + (0,0)
K11,12= -524040 kN/m
K13,13= (169600,0) + (110392,7) + (145371,4)
K13,13= 425363,4 kN/m
11 12 13 8 9 10
1417142,86 0,00 0,00 -1417142,86 0,00 0,00 11
0,00 35601,17 62302,04 0,00 -35601,17 62302,04 12
0,00 62302,04 145371,43 0,00 -62302,04 72685,71 13
-1417142,86 0,00 0,00 1417142,86 0,00 0,00 8
0,00 -35601,17 -62302,04 0,00 35601,17 -62302,04 9
0,00 62302,04 72685,71 0,00 -62302,04 145371,43 10
[ K4 ] =

88
Matriz de rigidez del pórtico
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las
fuerzas externas conocidas, mientras que los cinco primeros grados de
libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la base de la
estructura.
Vector de fuerzas externas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
56533 0 -84800 0 0 0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1
0 1653333 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2
-84800 0 169600 0 0 0 0 0 0 0 84800 0 84800 3
0 0 0 683532 -524040 -84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4
0 0 0 -524040 2118080 0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5
0 0 0 -84800 0 169600 0 84800 0 84800 0 0 0 6
0 0 0 -23381 -27279 0 110393 0 0 0 23381 27279 55196 7
0 0 0 -56533 0 84800 0 1473676 0 84800 -1417143 0 0 8
0 0 0 0 -1653333 0 0 0 1688934 -62302 0 -35601 -62302 9
0 0 0 -84800 0 84800 0 84800 -62302 314971 0 62302 72686 10
-56533 0 84800 -626998 524040 0 23381 -1417143 0 0 2100675 -524040 108181 11
0 -1653333 0 524040 -464747 0 27279 0 -35601 62302 -524040 2153681 89581 12
-84800 0 84800 -23381 -27279 0 55196 0 -62302 72686 108181 89581 425364 13
Equilibrio 70,0 1 2 3 4 5 6 7 8
[Ke] =
gdl Fuerzas
1 Ax
2 Ay
3 MA
4 Dx
5 Dy
6 0
7 0
8 0
9 -35,00
10 20,42
11 100,00
12 -35,00
13 -20,42
Fuerzas desconocidas
(Reacciones)
Fuerzas Conocidas

89
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento
elástico que produce.
𝐾 =
F
U
[U]= [K]-1
[F] ecu 3.
Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas
para calcular sus desplazamiento aplicando la ecuación No 3.
6 7 8 9 10 11 12 13
169600,0 0,0 84800,0 0,0 84800,0 0,0 0,0 0,0 6
0,0 110392,7 0,0 0,0 0,0 23380,6 27278,6 55196,4 7
84800,0 0,0 1473676,2 0,0 84800,0 -1417142,9 0,0 0,0 8
0,0 0,0 0,0 1688934,5 -62302,0 0,0 -35601,2 -62302,0 9
84800,0 0,0 84800,0 -62302,0 314971,4 0,0 62302,0 72685,7 10
0,0 23380,6 -1417142,9 0,0 0,0 2100674,6 -524040,4 108180,6 11
0,0 27278,6 0,0 -35601,2 62302,0 -524040,4 2153681,5 89580,6 12
0,0 55196,4 0,0 -62302,0 72685,7 108180,6 89580,6 425364,1 13
[K00]=
6 7 8 9 10 11 12 13
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7
-0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10
-0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11
-0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13
[K00]-1
=

90
Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [K00]-1
[F]
Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad
U6= -0,000121 rad
U7= 0,0000127 rad
U8= 0,0001755 m
U9= -0,0000219 m
U10= 0,0000668 rad
U11= 0,0001793 m
U12= 0,0000297 m
U13= -0,0001161 rad
Reacciones en la base
Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas (K0t), con los desplazamientos calculados.
[f]= [K0t]*[U] ecu 4.
6 7 8 9 10 11 12 13 Fuerzas
0,0000073 -0,0000001 -0,0000011 0,0000000 -0,0000018 -0,0000008 -0,0000002 0,0000005 6 0 6
-0,0000001 0,0000098 -0,0000003 0,0000000 0,0000004 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000012 7 0 7
-0,0000011 -0,0000003 0,0000026 0,0000000 -0,0000004 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 8 0 8
0,0000000 0,0000000 0,0000000 0,0000006 0,0000001 0,0000000 0,0000000 0,0000001 9 -35,00 9
-0,0000018 0,0000004 -0,0000004 0,0000001 0,0000040 -0,0000003 -0,0000002 -0,0000006 10 20,42 10
-0,0000008 -0,0000003 0,0000019 0,0000000 -0,0000003 0,0000019 0,0000005 -0,0000005 11 100,00 11
-0,0000002 -0,0000002 0,0000005 0,0000000 -0,0000002 0,0000005 0,0000006 -0,0000002 12 -35,00 12
0,0000005 -0,0000012 -0,0000005 0,0000001 -0,0000006 -0,0000005 -0,0000002 0,0000028 13 -20,42 13
[K00]-1
= X
[U]
-0,0001211 U6
6 7 8 9 10 11 12 13 0,0000127 U7
0 0 0 0 0 -56533 0 -84800 1 0,0001755 U8
0 0 0 0 0 0 -1653333 0 2 -0,0000219 U9
0 0 0 0 0 84800 0 84800 3 0,0000668 U10
-84800 -23381 -56533 0 -84800 -626998 524040 -23381 4 0,0001793 U11
0 -27279 0 -1653333 0 524040 -464747 -27279 5 0,0000297 U12
-0,0001161 U13
8 x 1
x
5 x 8
[ F ] =
El desplazamiento horizontal y
vertical en el punto C será:
U8= 0,000176m ≈ 0.176mm H►
U9= -0,000022m≈ 0.22mm V ▼

91
Las reacciones en la base serán:
Ax= -0,29 kN
Ay= -49,2 kN
MA= 5,36 kN.m
Dx= -99,7 kN
Dy= 119,2 kN
Figura 4.1- e. Reacciones de la estructura

92
Figura 4.1- f. Deformación de la estructura debida a las cargas
externas
Fuerzas internas del elemento 1
Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales
para un elemento tipo pórtico está dada por:
Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente
por los desplazamientos globales del elemento 1, se obtienen
desplazamientos locales del elemento para el posterior cálculo de las fuerzas
internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores

93
 Desplazamientos locales del Elemento 1
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el
número correspondiente a cada grado de libertad.
Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG, resulta
entonces
U global
1 0,00
2 0,00
3 0,00
11 0,000179
12 0,000030
13 -0,000116
U global
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 1
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 2
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,000000 3
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0 0,000179 11
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0 0,000030 12
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 -0,000116 13
U local = x

94
Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del
elemento 1:
Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán:
0,0000000 1
0,0000000 2
0,0000000 3
0,0000297 4
-0,0001793 5
-0,0001161 6
1 2
U local =
1 2 3 4 5 6 U local
1653333,33 0,00 0,00 -1653333,33 0,00 0,00 0,0000000 1
0,00 56533,33 84800,00 0,00 -56533,33 84800,00 0,0000000 2
0,00 84800,00 169600,00 0,00 -84800,00 84800,00 0,0000000 3
-1653333,33 0,00 0,00 1653333,33 0,00 0,00 0,0000297 4
0,00 -56533,33 -84800,00 0,00 56533,33 -84800,00 -0,0001793 5
0,00 84800,00 84800,00 0,00 -84800,00 169600,00 -0,0001161 6
6 x 1
6 x 6
[ f1 ] = x
f internas
1(A1)
-49,18 kN
2(v1)
0,29 kN
3(M1)
5,36 kN.m
4(A2)
49,18 kN
5(v2)
-0,29 kN
6(M2)
-4,49 kN.m

95
Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva
simplemente.
Figura 4.1- G. Fuerzas internas del elemento 1

96
4.2 Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento
inclinado.
Para el pórtico en concreto mostrado en la figura 4.2-a determine las
reacciones en los nodos A y D, el desplazamiento horizontal y vertical en los
nodos B y C así como las reacciones de la estructura.
Asuma f’c=28 MPa y E= 3900√𝑓′𝑐 (MPa)
Figura 4.2-a
Resolución:
Propiedades de la sección
A=0,09 m2
I=
𝑏ℎ
=0,000675 m4
E=20.636,86 MPa

97
 Discretización del pórtico
Se numera los grados de libertad de tal manera que las reacciones resulten
agrupadas, para este caso al igual que ejercicios anteriores se numeran de
primero como se observa en la figura 4.2-b.
Figura 4.2-b
Para los elementos 2 y 3 con carga distribuida se asume la condición de
empotramiento en sus extremos y se llevan las reacciones como fuerzas
equivalentes a dichos nodos, en la dirección opuesta a la reacción.
Elemento 2: W=30 kN/m

98
Elemento 3: se calculan las reacciones en la proyección horizontal del
elemento es decir L= 2.0 m
Wn=
0𝑘𝑁
cos( ,87)
Wn=37,5 kN/m (Normal al eje longitudinal del elemento).
Se superponen las fuerzas resultantes de ambos elementos como se observa
en las figuras 4.2-c y 4.2-d.

99
Figura 4.2-c
Figura 4.2-d

100
Las fuerzas equivalentes actuantes en los nodos A, B y C serán las obtenidas
por la suma de los efectos de las cargas teniendo en cuenta su dirección. En
la figura 4.2-e se presenta el resultado de la suma algebraica de las acciones
presentes en cada nodo. Se debe tener en cuenta que las acciones externas
obedecen al sistema de referencia global. Por ejemplo, en el nodo B se
cuenta con un momento resultante horario de 2.5 kN.m debido a la suma de
las acciones opuestas a las reacciones generadas por la carga dentro de cada
vano, así: Nodo B= + 10 kN.m - 12.5 kN.m (ver Figura 4.2-d).
Figura 4.2-e

101
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura
Elemento 1
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=2,5 m
E= 20636860 kpas
L= 2,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 90,00 °
Ѳ= 1,57 rad
1 2 3 4 5 6
742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 1
0,00 10698,15 13372,69 0,00 -10698,15 13372,69 2
0,00 13372,69 22287,81 0,00 -13372,69 11143,90 3
-742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 4
0,00 -10698,15 -13372,69 0,00 10698,15 -13372,69 5
0,00 13372,69 11143,90 0,00 -13372,69 22287,81 6
[ k1 ] =

102
Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del
para un elemento pórtico, se obtiene
Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento (girado los 90°), la
numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales
mostrados en la figura 4.2- b.
Elemento 2
Angulo de rotación 0° y L=2.0 m
0,0 1,0 0,0 0,0 0,0 0,0
-1,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 1,0 0,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0,0
0,0 0,0 0,0 -1,0 0,0 0,0
0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 1,0
[ T ] =
6 7 8 3 4 5
10698,15 0,00 -13372,69 -10698,15 0,00 -13372,69 6
0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 7
-13372,69 0,00 22287,81 13372,69 0,00 11143,90 8
-10698,15 0,00 13372,69 10698,15 0,00 13372,69 3
0,00 -742926,97 0,00 0,00 742926,97 0,00 4
-13372,69 0,00 11143,90 13372,69 0,00 22287,81 5
[ K1 ] =
E= 20636860 kpas
L= 2,00 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 0,00 °
Ѳ= 0,00 rad

103
Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación
resulta
Realizando la operación matricialmente K global= [T]*[K local]*[T’] se
obtiene la matriz de rigidez global del elemento la cual coincide con la local
ya que el ángulo de giro es 0°
1 2 3 4 5 6
928658,7 0,0 0,0 -928658,7 0,0 0,0 1
0,0 20894,8 20894,8 0,0 -20894,8 20894,8 2
0,0 20894,8 27859,8 0,0 -20894,8 13929,9 3
-928658,7 0,0 0,0 928658,7 0,0 0,0 4
0,0 -20894,8 -20894,8 0,0 20894,8 -20894,8 5
0,0 20894,8 13929,9 0,0 -20894,8 27859,8 6
[ k2 ] =
1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =
6 7 8 9 10 11
928658,71 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 6
0,00 20894,82 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 7
0,00 20894,82 27859,76 0,00 -20894,82 13929,88 8
-928658,71 0,00 0,00 928658,71 0,00 0,00 9
0,00 -20894,82 -20894,82 0,00 20894,82 -20894,82 10
0,00 20894,82 13929,88 0,00 -20894,82 27859,76 11
[ K2 ] =

104
Elemento 3
Angulo de rotación 143,13° y L=2.0 m
Matriz de transformación de coordenadas
E= 20636860 kpas
L= 2,50 m
B 0,30 m
H 0,30 m
A= 0,0900
I= 0,0006750
Ѳ= 143,13 °
Ѳ= 2,50 rad
1 2 3 4 5 6
742927,0 0,0 0,0 -742927,0 0,0 0,0 1
0,0 10698,1 13372,7 0,0 -10698,1 13372,7 2
0,0 13372,7 22287,8 0,0 -13372,7 11143,9 3
-742927,0 0,0 0,0 742927,0 0,0 0,0 4
0,0 -10698,1 -13372,7 0,0 10698,1 -13372,7 5
0,0 13372,7 11143,9 0,0 -13372,7 22287,8 6
[ k3 ] =
-0,80 0,60 0,00 0,00 0,00 0,00
-0,60 -0,80 0,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00
0,00 0,00 0,00 -0,80 0,60 0,00
0,00 0,00 0,00 -0,60 -0,80 0,00
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00
[ T ] =

105
Matriz de rigidez del elemento 3 en coordenadas globales
K global= [T]*[K local]*[T’]
Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura será cuadrada simétrica, su tamaño es
igual al número de grados de libertad en este caso será de 12x12.
La matriz se ensambla sumando la rigidez que aporta cada elemento como se
mencionó en los ejercicios anteriores
Matriz de rigidez de la estructura (kN/m)
1 2 12 9 10 11
479335,61 -351466,62 -8023,44 -479335,61 351466,62 -8023,44 1
-351466,62 274289,51 -10698,27 351466,62 -274289,51 -10698,27 2
-8023,44 -10698,27 22287,81 8023,44 10698,27 11143,90 12
-479335,61 351466,62 8023,44 479335,61 -351466,62 8023,44 9
351466,62 -274289,51 10698,27 -351466,62 274289,51 10698,27 10
-8023,44 -10698,27 11143,90 8023,44 10698,27 22287,81 11
[ K3 ] =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
479335,61 -351466,62 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 1
-351466,62 274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 -10698,27 2
0,00 0,00 10698,15 0,00 13372,69 -10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 0,00 0,00 742926,97 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4
0,00 0,00 13372,69 0,00 22287,81 -13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5
0,00 0,00 -10698,15 0,00 -13372,69 939356,86 0,00 -13372,69 -928658,71 0,00 0,00 0,00 6
0,00 0,00 0,00 -742926,97 0,00 0,00 763821,79 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7
0,00 0,00 13372,69 0,00 11143,90 -13372,69 20894,82 50147,57 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8
-479335,61 351466,62 0,00 0,00 0,00 -928658,71 0,00 0,00 1407994,32 -351466,62 8023,44 8023,44 9
351466,62 -274289,51 0,00 0,00 0,00 0,00 -20894,82 -20894,82 -351466,62 295184,33 -10196,55 10698,27 10
-8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,90 11
-8023,44 -10698,27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,81 12
[Ke]=

106
Vector de fuerzas actuantes en la estructura para cada grado de libertad
La rigidez (K) será igual a
𝐾 =
F
U
[U]= [K]-1
[F]
Se sustrae la sub matriz de rigidez donde actúan las fuerzas conocidas (K00)
para calcular sus desplazamientos como sigue
gdl fuerzas
1 Ax
2 Ay - 37,5
3 Dx
4 Dy
5 MD
6 0,0
7 -30,0
8 -10,0
9 0,0
10 -67,5
11 -2,5
12
12,5
Donde las fuerzas comprendidas
entre los gdl entre 1 a 5
corresponden a las fuerzas
desconocidas (reacciones).

107
Obteniendo la inversa de la matriz Kc
Los desplazamientos en los grados de libertad serán
6 7 8 9 10 11 12
939356,86 0,00 -13372,69 -928658,71 0,00 0,00 0,00 6
0,00 763821,79 20894,82 0,00 -20894,82 20894,82 0,00 7
-13372,69 20894,82 50147,57 0,00 -20894,82 13929,88 0,00 8
-928658,71 0,00 0,00 1407994,32 -351466,62 8023,44 8023,44 9
0,00 -20894,82 -20894,82 -351466,62 295184,33 -10196,55 10698,27 10
0,00 20894,82 13929,88 8023,44 -10196,55 50147,57 11143,90 11
0,00 0,00 0,00 8023,44 10698,27 11143,90 22287,81 12
[K00] =
6 7 8 9 10 11 12
0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 6
0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000 7
0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002 -0,000037 8
0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052 9
0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069 10
0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019 11
-0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106 12
[K00]
-1
=
6 7 8 9 10 11 12 Fuerzas
0,000051 0,000001 0,000039 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052
0
6
0,000001 0,000001 0,000000 0,000001 0,000001 0,000000 0,000000
-30
7
0,000039 0,000000 0,000052 0,000038 0,000051 -0,000002 -0,000037
-10
8
0,000050 0,000001 0,000038 0,000050 0,000064 0,000006 -0,000052
0
9
0,000064 0,000001 0,000051 0,000064 0,000086 0,000008 -0,000069
-67,5
10
0,000006 0,000000 -0,000002 0,000006 0,000008 0,000026 -0,000019
-2,5
11
-0,000052 0,000000 -0,000037 -0,000052 -0,000069 -0,000019 0,000106
12,5
12
[U] = x

108
U6= -0,00541 m
U7= -0,00009 m
U8= -0,00439 rad
U9= -0,00541 m
U10= -0,00724 m
U11= -0,000819 rad
U12= 0,00639 rad
Figura 4.2-f. Deformada de la estructura por la acción de las cargas
externas.
Reacciones de la estructura
Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector
de fuerzas, con los desplazamientos calculados como se ha visto en los
ejercicios anteriores:
[F]= [Kto]*[U]
Donde Kto será
El desplazamiento horizontal y
vertical en el Nodo B y C será:
Nodo B
U9=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U10= -0,00724m≈7,24mm V ▼
Nodo C
U6=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U7= -0,00009m≈0,09mm V ▼

109
Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos
ya calculados mostrado en el ejercicio 1.1.
Por lo tanto las fuerzas serán
Ax = 0,89kN
Ay - 37,5 =27,02kN
Dx =-0,89kN
Dy = 70,48kN
MD = 23,36kN.m
A diferencia de las demás reacciones, La vertical en A será a Ay menos la
fuerza equivalente que actúa en ese punto y esta diferencia será igual a la
fuerza encontrada correspondiente a f2 como sigue
f2 – Ay = 27,02
f2 – 37,5 = 27,02
f2 = 27,02 + 37,5
f2 = 64,52 kN
6 7 8 9 10 11 12
0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 1
0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 -10698,27 2
-10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3
0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4
-13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5
[Kto] =
5 x 7
[U]
6 7 8 9 10 11 12
-0,00541 U6
0,00 0,00 0,00 -479335,61 351466,62 -8023,44 -8023,44 1 -0,00009 U7
0,00 0,00 0,00 351466,62 -274289,51 -10698,27 -10698,27 2 -0,00439 U8
-10698,15 0,00 13372,69 0,00 0,00 0,00 0,00 3 -0,00541 U9
0,00 -742926,97 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 4 -0,00724 U10
-13372,69 0,00 11143,90 0,00 0,00 0,00 0,00 5 -0,00082 U11
0,00639 U12
7 x 1
X
[F]=
5 x 7

110
Figura 4.2-g. Reacciones de la estructura

111
Capítulo 5
INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS
El método de los elementos finitos es un método poderoso para analizar los
esfuerzos y deformaciones en componentes y sistemas estructurales. Este
aproxima las ecuaciones diferenciales gobernantes para sistemas continuos
con ecuaciones mediante un número finito de variables discretas que miden
los desplazamientos y fuerzas en los nodos.
El método funciona dividendo la estructura en elementos conectados por
nodos, pueden ser de tipo plano o tridimensional dependiendo del
componente estructural que se vaya a analizar.
Se pueden emplear elementos finitos unidimensionales para modelar una
estructura aporticada con muros (Fig. 5.1).
Fig. 5.1 Abstracción o idealización de una estructura aporticada a
través de elementos finitos
En este capítulo se realizan una serie de ejercicios por el método de la
rigidez, que representan de forma general la filosofía de los elementos finitos
y una forma introductoria a su comprensión.

112
5.1 Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal.
Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la
solicitación de las cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita
conocer sus reacciones, la deflexión en los puntos de aplicación de las cargas
y en el punto medio de la viga.
El concreto posee una resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de
elasticidad de 20 GPa.
Figura 5.1-a
Resolución:
La viga representa un problema para su cálculo por la variación lineal de la
sección a lo largo de toda su longitud, recordemos que la matriz de rigidez
está en función de la inercia del elemento y esta a su vez del ancho y altura
por lo que toda la matriz quedaría en función de una ecuación que representa
esa variación y el cálculo sería muy complejo.
La solución a este problema está en dividir la viga en una serie de elementos
finitos de forma cubica con una única altura equivalente (he) unidos por
nodos como se aprecia en la Figura 5.1-b, el número de elementos se puede
establecer de manera arbitraria siempre dependiendo de la aproximación que
se dese del problema.

113
La inercia de cada elemento se calcula con una altura equivalente de tal
manera que la inercia equivalente y analítica sea igual y no afecte el cálculo
de la viga.
Discretización de la viga
Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 8
unidos por nodos que tendrán dos posibilidades de desplazamiento; vertical y
de giro como se muestra a continuación.
Figura 5.1-b. Idealización de la viga en elementos finitos
Para calcular la inercia de cada elemento se realiza con la altura equivalente
en el punto medio de cada uno, por ejemplo para el elemento 1 será como se
muestra en la figura 5.1-c.

114
Figura 5.1-c
Por lo tanto la inercia para este elemento seria:
= ∗ 0, ∗ 0, 5
I= 0,00969 m4
Realizando el cálculo de manera analítica (ver figura 5.1-d)
Figura 5.1-d
h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual a 0,4 m.

115
La función que describe esta variación será
𝑚 =
0,7 − 0,
(𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒)
m=0,075 x
La ecuación será entonces:
h= hi – 0,075 x donde hi es la altura inicial de la viga de 0,7 m
h= 0,7 – 0,075x
La inercia de la sección será:
= ∗ 0, ∗ ∫ (0,7 − 0,075𝒙) 𝑑𝑥
0
Resolviendo el polinomio,
= ∗ 0, ∗ ∫ (0,3 3 − 0, 0 5𝑥 + 0,0 8𝑥 − 0,000 𝑥 )𝑑𝑥
0
=
30
∗ [0,3 3𝑥 − 0,055 𝑥 + 0,00393 − 0,000 05 𝑥4]0
I = 0,00972 m4
Se observa entonces que la variación entre la inercia a partir de una altura
equivalente y la analítica es muy pequeña.
IPOR he= 0,00970 m4
y IANALITICA= 0,00972 m4
Por lo tanto se calcularan las inercias de los demás elementos con la
equivalente para la facilidad del ejercicio, las cuales se resumen en la
siguiente tabla:

116
Matriz de rigidez local y global de los elementos
La viga no presenta solicitaciones de carga que generen fuerzas axiales
internas en los elementos, además solo se desean conocer sus giros y
desplazamientos verticales en los puntos de aplicación de las cargas y en su
centro.
La matriz de rigidez local será para elemento tipo viga es la presentada en la
figura 5.1-e
Figura 5.1-e
Ancho (m) he Inercia (Iz)
Elemento 1 0,4 0,6625 0,0097
Elemento 2 0,4 0,5875 0,0068
Elemento 3 0,4 0,5125 0,0045
Elemento 4 0,4 0,4375 0,0028
Elemento 5 0,4 0,4375 0,0028
Elemento 6 0,4 0,5125 0,0045
Elemento 7 0,4 0,5875 0,0068
Elemento 8 0,4 0,6625 0,0097
1 2 3 4
1
2
3
4
[k] =
-
-
- - -
-
No obstante, para un
cálculo más estricto seria
con las inercias calculadas
analíticamente para cada
elemento como se expuso
en el paso anterior.

117
 Elemento 1
Matriz de rigidez asociado a sus grados de libertad globales
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,66250 m
A= 0,2650000
I= 0,0096925
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,56 3
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ k1 ] =
1 2 5 6
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,56 5
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 6
[ K1 ] =

118
 Elemento 2
Matriz de rigidez global
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,59 m
A= 0,2350000
I= 0,0067593
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4
[ k2 ] =
5 6 7 8
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 5
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 6
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 7
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 8
[ K2 ] =

119
 Elemento 3
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,51 m
A= 0,2050000
I= 0,0044870
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4
[ k3 ] =
7 8 9 10
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 7
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 8
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 9
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 10
[ K3 ] =

120
 Elemento 4
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,4375 m
A= 0,1750000
I= 0,0027913
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4
[ k4 ] =
9 10 11 12
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 9
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 10
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 11
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 12
[ K4 ] =

121
 Elemento 5
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,4375 m
A= 0,1750000
I= 0,0027913
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 1
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 2
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 3
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 4
[ k5 ] =
11 12 13 14
669921,88 334960,94 -669921,88 334960,94 11
334960,94 223307,29 -334960,94 111653,65 12
-669921,88 -334960,94 669921,88 -334960,94 13
334960,94 111653,65 -334960,94 223307,29 14
[ K5 ] =

122
 Elemento 6
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,51 m
A= 0,2050000
I= 0,0044870
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 1
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 2
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 3
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 4
[ k6 ] =
13 14 15 16
1076890,63 538445,31 -1076890,63 538445,31 13
538445,31 358963,54 -538445,31 179481,77 14
-1076890,63 -538445,31 1076890,63 -538445,31 15
538445,31 179481,77 -538445,31 358963,54 16
[ K6 ] =

123
 Elemento 7
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,59 m
A= 0,2350000
I= 0,0067593
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 1
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 2
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 3
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 4
[ k7 ] =
15 16 17 18
1622234,38 811117,19 -1622234,38 811117,19 15
811117,19 540744,79 -811117,19 270372,40 16
-1622234,38 -811117,19 1622234,38 -811117,19 17
811117,19 270372,40 -811117,19 540744,79 18
[ K7 ] =

124
 Elemento 8
E= 20000000,00 KPa
L= 1,00 m
B 0,40 m
H 0,66 m
A= 0,2650000
I= 0,0096925
Ѳ= 0,00 °
1 2 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 1
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 2
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,56 3
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ k8 ] =
17 18 3 4
2326203,13 1163101,56 -2326203,13 1163101,56 17
1163101,56 775401,04 -1163101,56 387700,52 18
-2326203,13 -1163101,56 2326203,13 -1163101,56 3
1163101,56 387700,52 -1163101,56 775401,04 4
[ K8 ] =

125
Matriz de rigidez de la viga (kN/m)
La matriz es de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la
viga y está en unidades de kN/m.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
2326203 1163102 0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1163102 775401 0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
0 0 2326203 -1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2326203 -1163102 3
0 0 -1163102 775401 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1163102 387701 4
-2326203 -1163102 0 0 3948438 -351984 -1622234 811117 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5
1163102 387701 0 0 -351984 1316146 -811117 270372 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6
0 0 0 0 -1622234 -811117 2699125 -272672 -1076891 538445 0 0 0 0 0 0 0 0 7
0 0 0 0 811117 270372 -272672 899708 -538445 179482 0 0 0 0 0 0 0 0 8
0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 1746813 -203484 -669922 334961 0 0 0 0 0 0 9
0 0 0 0 0 0 538445 179482 -203484 582271 -334961 111654 0 0 0 0 0 0 10
0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1339844 0 -669922 334961 0 0 0 0 11
0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 0 446615 -334961 111654 0 0 0 0 12
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -669922 -334961 1746813 203484 -1076891 538445 0 0 13
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 334961 111654 203484 582271 -538445 179482 0 0 14
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1076891 -538445 2699125 272672 -1622234 811117 15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 538445 179482 272672 899708 -811117 270372 16
0 0 -2326203 1163102 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1622234 -811117 3948438 351984 17
0 0 -1163102 387701 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 811117 270372 351984 1316146 18
Kn
[Ke] =

126
Vector de fuerzas externas
La rigidez (K) será igual a:
𝐾 =
F
U
[U]= [K]-1
[F]
gdl FUERZAS
1 Ay
2 MA
3 Iy
4 MI
5 0
6 0
7 -49,05
8 0
9 0
10 0
11 0
12 0
13 0
14 0
15 -73,575
16 0
17 0
18 0
Estas son las fuerzas externas en kN
asociadas a los grados de libertad de la
viga según la discretización.

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