Estadistica

1. DISTRIBUCION MUESTRAL
Parámetro
y
estadístico
muestral
En Estadística necesitamos basarnos en
muestras de una variable para poder aprender
de ellas, y generalizar, inferir, aspectos
referentes a las muestras de toda la población.
Se debe ser cuidadoso con los datos sobre los
que basamos nuestro aprendizaje, para evitar
dar resultados incorrectos y poco significativo.
Las muestras deben ser representativas, para
que las inferencias sean fiables.
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2. Mónica Mite León FCMF-VIFAP
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Definiciones
Muestra aleatoria: si una muestra de n
elementos se selecciona de entre una
población de N elementos, usando un plan
muestral en el que cada una de las posibles
muestras tiene la misma probabilidad de
selección, entonces se dice que el muestreo
es aleatorio y la muestra resultante es una
muestra aleatoria simple.
Parámetro Muestral es un parámetro (media,
varianza,..) referido a una muestra de una
variable aleatoria.
Parámetro Poblacional es un parámetro
(media, varianza,..) referido a la distribución
poblacional de una variable aleatoria
Plan muestral o diseño experimental es la
forma en que se selecciona la muestra.
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3. Técnicas de muestreo
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Muestreo Probabilístico
Muestreo aleatorio estratificado: consiste en la división previa
de la población de estudio en grupos o clases que se suponen
homogéneos respecto a características similares
Muestreo de conglomerados: cuando la población se
encuentra dividida, de manera natural, en grupos que se
suponen que contienen toda la variabilidad de la población.
Muestreo sistemático: es la elección de una muestra a partir de
los elementos de una lista según un orden determinado, o
recorriendo la lista a partir de un número aleatorio determinado.
Muestreo errático: llamado sin NORMA, la muestra se realiza de
cualquier forma, valorando únicamente la comodidad o la
oportunidad en términos de costes, tiempo u otro factor no
estadístico.
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4. Detalle de una distribución de muestreo
Base conceptual para muestrear distribuciones
1. Suponga que una población esta constituida
por todos los filtros de un gran sistema industria de
control de contaminación, y que la distribución
consiste en las horas de operación antes de que
un filtro quede obstruido. Esta distribución tiene
una media y una desviación estándar .
(distribución de la población)
2. Hemos tomado todas las muestras posibles de
10 filtros de la distribución de población, y
calculamos la media y desviación estándar de
cada muestra. (distribución de frecuencia de la
muestra).
3. Elaboramos una distribución de todas las
medias de cada muestra que se tomaron,
conocida como distribución de muestreo de las
medias. Esta distribución tendrá una media y
desviación estándar
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La distribución muestral de una estadística es la
distribución de probabilidad para los posibles
valores de la estadística, que resulta cuando
muestras aleatorias de tamaño n se sacan
repetidamente de la población.
Hay tres formas de hallar la distribución muestral de
una estadística.
1. Usando las leyes de probabilidad.
2. Simulación para aproximar la distribución
3. Teoremas estadísticos
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5. Muestreo de poblaciones normales
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Muestreo de poblaciones no normales
La tabla siguiente es referente a cinco propietarios de motocicletas y la
duración de sus llantas.
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6. Teorema de Limite central
El teorema central del límite dice que, si tenemos
variables aleatorias X1,X2, . . . independientes entre sí y
con una misma distribución entonces la media muestral
se comporta asintóticamente según una distribución
normal. En concreto, si la media y varianza común a
todas las variables son and 2 entonces:
P( )
La probabilidad se aproxima a la distribución normal
estándar a medida que aumenta n.
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Ejemplos
La distribución de los ingresos anuales de todos los cajeros de
un banco con cinco años de experiencia esta sesgada de
manera negativa. Esta distribución tiene una media de $19000
y una desviación estándar de $2000. Si extraemos una muestra
aleatoria de 30 cajeros, ¿cuál es la probabilidad de que sus
ganancias promedian más de $19750 anualmente?
Mary Cruz, auditora de una gran compañía de tarjetas de
crédito, sabe que el saldo promedio mensual de un cliente
dado es $112 y la desviación estándar de $56. Si Mary audita
50 cuentas seleccionadas al azar, encuentre la probabilidad
de que el saldo promedio mensual de la muestra sea,
a) Menor que $100
b) De entre $100 y $130
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7. Un fabricante produce tabletas de chocolate cuyo peso en
gramos sigue una distribución normal de media 125 gramos y
desviación típica 4 gramos.
a) Si las tabletas se empaquetan en lotes de 25, ¿cuál es la
probabilidad de que el peso medio de las tabletas de un lote
se encuentre entre 124 y 126 gramos?
b) Si los lotes fueran de 64 tabletas, ¿cuál sería la probabilidad de
que el peso medio de las tabletas del lote supere los 124
gramos?
Se conoce que el peso medio de los pasajeros de un avión es
76 kg, con una desviación típica de 7,4 kg. Por la normativa de
seguridad, la suma de los pesos de los pasajeros no puede
superar las 16 toneladas. La compañía aérea ha vendido 210
pasajes, ¿cuál es la probabilidad de que cumpla con la
normativa de seguridad?
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Distribución muestral de una proporción
muestral.
Aproximación de la distribución binomial
Existen ocasiones en las cuales estamos interesados en investigar la
proporción de artículos defectuosos, personas con teléfonos
celulares, encuestas de opinión, etc.. en una muestra. Esta
información nos da la distribución muestral de proporciones.
Esta distribución esta relaciona con la distribución binomial, por lo
tanto, pueden ser evaluada usando la aproximación normal,
cuando el tamaño de la muestra n es grande.
Con datos binomiales, el estadístico de la proporción donde
x es el número de éxitos u observaciones de interés y n es el tamaño
de la muestra.
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8. Generación de la distribución de proporciones:
Suponga que se cuenta con un lote de 12 piezas, el cual tiene 4
artículos defectuosos. Se van a seleccionar 5 artículos al azar de ese
lote sin reemplazo. Determinar la proporción de artículos
defectuosos.
P= 4/12=1/3= 0.33 La proporción es de 33%
Propiedades:
La distribución muestral de proporciones es igual a la proporción de
la población.
La desviación estándar de la distribución muestral
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Aproximación de la distribución binomial a la
normal
Usamos el estadístico
Ejemplo: se ha determinado que 85.1% de los estudiantes
de una universidad fuman cigarrillos, se toma una muestra
aleatoria de 200 estudiantes. Calcular la probabilidad de
que no más de 80% de alumnos de la muestra no fume.
La proporción muestral p= 0.851
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9. Suponer que de la gente que solicita ingresar a una
compañía, 40% pueden aprobar un examen de
aritmética para obtener el trabajo. Si se tomara una
muestra de 20 solicitantes. ¿cuál sería la probabilidad
de que 50% o más de ellos aprobaran?
p =0.4, n=20 y
Usamos
P(
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Simulación
Supongamos que el 10% de los tubos producidos por una máquina son
defectuosos y supongamos que produce 15 tubos cada hora. Cada tubo
es independiente de los otros. Se juzga que el proceso está fuera de
control cuando se producen más de 4 tubos defectuosos en una hora
concreta. Simular el número de tubos defectuosos producidos por la
máquina en cada hora a lo largo de un periodo de 24 horas y determinar
si el proceso está fuera de control en algún momento.
Supongamos que en un proceso de manufactura la proporción de
defectuosos es 0.15. Simular el número de defectuosos por hora en un
periodo de 24 horas si se supone que se fabrican 25 unidades cada hora.
Chequear si el número de defectuosos excede en alguna ocasión a 5.
Repetir el procedimiento con p=0.2 y p=0.25.
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