1. 1
Tutor: Dra. Nelcar Camacho
Autor: Juan Carlos Toaso
Herramientas de divulgación educativa
Progresiones
2. Progresiones
O sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que
tienen un comportamiento común entre si.
A los números que forman la sucesión se les llama términos y todas
las sucesiones tienen un primer término seguido de otros que
cumplen con una regla entre ellos.
Una sucesión se puede representar mediante una expresión que
permite conocer el valor de cada término sabiendo el lugar (n) que
ocupa.
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3. Progresiones
A) 5, 10 ,15, 20……
B) 45, 40, 35, 30
C) 10, 20, 40, 80……
D) 24, 12, 6, 3
3
Decrece
Crece
Decrece
Crece
4. Progresión Aritmética
4
Una progresión aritmética es una sucesión de
números llamados términos, en la que cualquier
término es el resultado de sumar al anterior una
cantidad constante (positiva o negativa), llamada
diferencia común y se calcula como:
Un término n menos el que le antecede
1
n
n a
a
d
5. Progresión Aritmética
5
1, 7, 12, 176… donde se observa que la cantidad
constante que se suma es 6:
1 + 6 = 7
7 + 6 = 13
13 + 6 = 19
Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se
suma es: -3
45 - 3 = 42
42 - 3 = 39
39 - 3 = 36
6. Progresión Aritmética
6
Una progresión finita es aquella que tiene un
número determinado de términos.
Una progresión infinita es aquella que tiene un
número indefinido de términos.
7. Progresión Aritmética
Para calcular el enésimo término de cualquier progresión
aritmética utilizamos:
Donde:
l = último término
n = número de términos
a = primer término
d = la diferencia común
7
d
n
a
l )
1
(
+
8. Progresión Aritmética
8
Ejemplo: 4, 8, 12, 16, 20, 24
El primer termino es (a) es 4.
La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
El número de términos (n) es 6.
Primer termino: a = 4
Segundo termino: a + d = 4 + 4 = 8
Tercer termino: a + 2d = 4 + 2(4) = 12
Cuarto termino: a + 3d = 4 + 3(4) = 16
Quinto termino: a + 4d = 4 + 4(4) = 20
Sexto termino: a + 5d = 4 + 5(4) = 24
9. Progresión Aritmética
Además la suma de los n primeros términos de este tipo de sucesiones se puede calcular como:
Donde:
S = es la suma de los n términos
l = último término
n = número de términos
a = primer término
d = la diferencia común
9
2
)
(a
n
S
+ l
11. Progresión Geométrica
Es una sucesión de números llamados términos,
de tal forma que cada uno de ellos, después del
primero, se obtiene multiplicando el termino
anterior por una cantidad constante (entero o
fracción, positivo o negativo) llamada razón
común.
11
1
n
n
a
a
r
12. Progresión Geométrica
6/3, 12/3, 24/3….
La razón común es r = 2 dado que:
6/3 * 2 = 12/3
12/3 * 2 = 24/3
Los elementos de una progresión geométrica son:
a = primer término
r = la razón común
l = último término o enésimo termino
n = número de términos
12
13. Progresión Geométrica
Para calcular el enésimo término tenemos:
Donde :
a = primer término
r = la razón común
l = último término o enésimo termino
n = número de términos
13
1
n
r
a
l
15. Progresiones - Interés simple
Es el rendimiento que da un capital invertido durante un tiempo
determinado, invertido a una tasa de interés dada………..
Cuando una persona deposita un capital en un banco durante un
cierto tiempo, el banco paga intereses. Dependiendo de que se
retiren o no los intereses periódicamente, el interés se llama
simple si se retiran los intereses o compuesto si se dejan en el
banco.
Ejemplo:
¿En cuánto se convierte un capital de 1.600.000 pesos al 10 % en
dos años a interés simple?
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16. Progresiones
INTERÉS SIMPLE.
El interés total es: 1.600.000 · 0,1 = 160.000 pesos.
Al final del primer año retiramos los intereses y el capital sigue siendo
el mismo: 1.600.000 pesos.
En el segundo año, el capital vuelve a producir otros 160.000 pesos.
En los dos años el interés producido es: 160.000 + 160.000 = 320.000
pesos. Por tanto, el capital se convierte en los dos años en:
1.600.000 + 320.000 = 1.920.000 pesos.
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17. Interes simple
Se puede obtener directamente el interés en los dos años:
M = 1.600.000 * 0,1 * 2 = 320.000 pesos.
En general, si:
M es el monto producido después de un tiempo.
C es el capital,
i es la tasa de interés anual
t es el tiempo en años, entonces el monto generado con interés simple es:
17
( )t
i
C
M +
1
18. Interes compuesto
Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la
suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto
compuesto y el capital original es el interés compuesto.
El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de
período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de
veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por
acumulación.
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19. Interes compuesto
Cuatro conceptos son importantes en el interés compuesto:
El capital original (C o VA)
La tasa de interés por período (i)
El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).
El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de
Capitalización (k)
El número de veces por año en los que los intereses se capitalizan, se llama Frecuencia de
Capitalización.
Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual, entonces las expresiones
siguientes son equivalentes:
"el interés es capitalizable mensualmente",
"es convertible mensualmente",
"es compuesto mensualmente",
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20. Interes compuesto
n
M = C ( 1 + i )
En donde:
M = es el valor futuro
C = es el valor original o actual
n = número de capitalizaciones en el periodo de inversión
i = tasa por periodo de tiempo
J = tasa nominal (tasa anual)
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M = C + I j
i = ---
k
21. Interes compuesto
Con el interés compuesto, pagamos o ganamos no solo
sobre el capital inicial sino también sobre el interés
acumulado, en contraste con el interés simple que sólo
paga o gana intereses sobre el capital inicial.
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