Determinantes

1. 1
Tema :
DETERMINANTES
UNITEC

2. 2
HABILIDADES:
1.Describe el concepto de determinante a partir de
su definición.
2. Describe las propiedades más importantes de la
función determinante.
3. Explica la relación entre el valor del determinan-
te de una matriz cuadrada y su singularidad.

3. Hace aproximadamente 2000 años que los
matemáticos chinos conocian bien el concepto
de determinante. Habían encontrado una relación
entre los coeficientes de sistemas de ecuaciones
lineales y la solución de dichos sistemas. En el
mundo occidental, los determinantes fueron
empleados primeramente por Gottfried Wilhen
Leibniz en 1693.
INTRODUCCIÓN:

4. 4
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Sea A una matriz de orden n , si n=1
se tiene: A=[a], det A= a
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 1x1
DETERMINANTE DE LA MATRIZ DE 2X2
Se llama determinante de la matriz A de orden
2 al número a11.a22-a12.a21 y escribimos:

5. Determinante de una matriz de orden 3
En el caso de matrices cuadradas de orden 3,
también podemos calcular el determinante de
la siguiente manera:
Copie la primera y segunda columna de la
matriz a su derecha:
 
31
22
13
32
23
11
33
21
12
32
21
13
31
23
12
33
22
11 a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A 





32
31
22
21
12
11
33
32
31
23
22
21
13
12
11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A 
+
-

6. Ejercicios














1
3
4
3
2
7
1
4
5
A















1
1
1
1
2
2
1
1
0
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes
matrices:
2. Para que valor de a el determinante es cero:
a
a
a
4
2
0
1
2
3
2
1





7. 7
MENOR DE UNA MATRIZ
Si A es una matriz de orden nxn,
se llama ij- ésimo menor de A a la
matriz: Mij de orden (n-1)x(n-1)
que se obtiene al eliminar la fila i y la
columna j de A.

8. Cofactor
Sea A una matriz de orden n>1. Se
define el cofactor correspondiente al
elemento ai,j , que se denota por Ai,j ,
como el número dado por:
ij
j
i
ij M
A det
)
1
( 


observemos que los menores
Mi,j son matrices de orden (n-1)

9. Determinante
Sea A=(aij ) una matriz de orden n>1. Se define
el determinante de A , que se denota por
det(A) ó |A|, como el número:
j
n
j
j A
a
A 1
1
1
det 


que se denomina desarrollo por los cofactores de
la primera fila.
ij
j
i
ij M
A det
)
1
( 


Recuerde que:
Este desarrollo se puede aplicar a cualquier fila o columna de la matriz

10. Ejercicios
















1
3
2
1
3
0
1
2
1
0
1
4
2
3
0
1
B
1. Evalúe el determinante de las siguientes
matrices:















0
2
1
4
1
3
1
1
0
4
3
2
0
0
0
1
M

11. 11
1. Determinante de la transpuesta
Si A es cualquier matriz cuadrada, entonces:
det(A)= det(A )
t
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
2. Si B se obtiene INTERCAMBIANDO dos filas de A,
entonces el determinante cambia de signo:
det B = - det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 1)
3. Si B se obtiene MULTIPLICANDO una fila de A por el
escalar c, entonces el determinante queda multiplicado por c.
det B = c (det A)
(OPERACIÓN ELEMENTAL 2)

12. 12
4. Si B se obtiene sumando a una fila de A un múltiplo de
otra fila de A, entonces el determinante no se altera
det B = det A
(OPERACIÓN ELEMENTAL 3)
5. Determinante de una matriz triangular
El determinante de una matriz triangular está dado
por el producto de los elementos de su diagonal.
















nn
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
0
0
0
...
...
.
.
.
...
0
0
...
0
...
det 3
33
2
23
22
1
13
12
11
nn
a
a
a
a ...
33
22
11


13. 6. Determinante de la inversa
Si A es no singular, entonces det(A) 0, y :
=
Es decir una matriz tiene inversa si su determinante
es diferente de cero.

)
det(
1
A
)
det( 1

A
Si el determinante de una matriz es cero , la matriz no tiene inversa.