APLICACIONES DE LAS DERIVADAS COSTO MARGINAL COSTO PROMEDIO COSTO MÍNIMO INGRESO MARGINAL INGRESO MÁXIMO UTILIDAD MARGINAL UTILIDAD MÍNIMO PRODUCTIVIDAD MARGINAL ELASTICIDAD DE DEMANDA

2. DanielAntonio Guerrero Flores le está invitando a una reunión
de Zoom programada.
Tema: Reunión Zoom de DanielAntonio Guerrero Flores
Hora: 7 jun 2020 09:00 AM Managua
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ID de reunión: 716 6533 3780
Contraseña: AE-IA-DOM1

3. APLICACIONES DE LAS
DERIVADAS
2.6.1 Costo marginal
2.6.2 Costo promedio
2.6.3 Costo mínimo
2.6.4 Ingreso marginal
2.6.5 Ingreso máximo

4. Aplicar la Derivada en problemas alusivos a la
Administración y Economía tales como:
 Costo Marginal
 Costo Promedio
 Ingreso Marginal
 Utilidad Marginal
 Elasticidad
 Productividad marginal
Objetivo de la Unidad

5. Se trata de la suma de los
costos variables (que se
modifican cuando cambia
el volumen de producción)
y los costos fijos (que se
mantienen estables más
allá del nivel productivo).
Costo
total
Costo total = costo de
producción + gastos de
operación.
Matemáticamente
.
CostoTotal en
términos de dos
componentes: costo
total variable y costo
total fijo.
Contadores y
Economistas definen
Costo Marginal
Matemáticamente
𝐶 𝑥 = 𝐶𝑉𝑋 + 𝐶𝐹
La mayor parte de las empresas buscan el modo de reducirlas al mínimo. En el
caso de una función de costo general 𝐶(𝑥)que representa el costo de producir
una cantidad de 𝑥 de cierto artículo, el costo marginal se define en forma
similar por la siguiente expresión:

6. Costo Marginal
Es el costo adicional en que se incurre al producir y vender una unidad más de
un producto o servicio.
El costo total de producir x unidades de cierto producto se describe por medio de la
función: 𝐶 𝑥 = 4 000 000 + 300𝑥 + 0.01𝑥2, donde 𝐶 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎
𝑑𝑜 𝑒𝑛 miles de 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠.
a) Determine el costo marginal como una función de 𝑥 .
b) ¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de minimizar el costo promedio por
unidad?
c) ¿Cuál es el mínimo costo por unidad?
d) ¿Cuál es el costo total de producción en este nivel de producción?
Ejemplo de Problema de Costo Marginal, Costo Mínimo y Total

7. Solución del Problema de Costo Marginal
a) Para obtener la función de costo margina
𝐶 𝑥 = 4 000 000 − 300𝑥 + 0.01𝑥2
𝐶′ 𝑥 = −300 + 0.02𝑥
b) La cantidad de artículos lo representa 𝑥, debe ser una cantidad que
minimice el costo, Recordemos que para minimizar una función Utilizamos
el criterio de la primera derivada y el criterio de la segunda derivada:
𝐶′ 𝑥 = −300 + 0.02𝑥 − 300 + 0.02𝑥 = 0
0.02𝑥 = 300 𝑥 =
300
0,02
𝑥 =
300
0,02
𝑥 = 15 000

8. c) Para determinar si esta cantidad da un mínimo, usaremos criterio de la
segunda derivada 𝐶′′(𝑥)
𝐶′ 𝑥 = 300 + 0.02𝑥
𝐶´´ 𝑥 = 0.02
𝐶´´ 𝑥 > 0
0.02 > 0
La cantidad de artículos
que minimiza el costo es de
15 000 unidades
d) El costo total de producción si 𝑥 = 15 000. en este nivel de producción es:
𝐶 𝑥 = 4 000 000 − 300𝑥 + 0.01𝑥2
𝐶 𝑥 = 4 000 000 − 300(15000) + 0.01(15000)2
𝐶 𝑥 = 4 000 000 − 4 500 000 + 0.01(225 000 000)
𝐶 𝑥 = 4 000 000 − 4 500 000 + 2 250 000
𝐶 𝑥 = 1 750 000Este es el costo en miles de dólares

9. Ejemplo de Problema Costo Marginal Promedio
El costo total de producir x unidades de cierto producto se describe por
medio de la función: 𝐶′ 𝑥 = 6 000 000 𝑥 − 300 𝑥2 + 0.02𝑥3, donde 𝐶 𝑒𝑠
𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠.
a) ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un
mínimo?
b) ¿Cuál es este mínimo?
Costo promedio: Si 𝐶(𝑥), es la función de costo Total, el Costo
Promedio de producir 𝑥 artículos es el costo total entre el número
de artículos producidos:

10. a) El nivel de producción lo representa 𝑥, debe ser un nivel que minimice
el costo promedio, para calcular la cantidad 𝑥 que minimiza el costo
promedio 𝐶 , formularemos primero la función de costo promedio
aplicando : 𝐶 𝑥 =
𝐶(𝑥)
𝑥
𝐶 𝑥 =
𝐶(𝑥)
𝑥
𝐶 𝑥 =
6 000 000 𝑥 − 300 𝑥2 + 0.02 𝑥3
𝑥
𝐶 𝑥 = 6 000 000 − 300 𝑥 + 0.02𝑥2
Para minimizar una función utilizamos los criterios primera y segunda de la
derivada.
Solución del Problema de Costo Marginal Promedio
Función de
Costo
promedio

11. Para obtener los valores críticos, la derivada la igualamos a cero esto es; 𝐶′
𝑥 = 0
𝐶 𝑥 = 6 000 000 − 300 𝑥 + 0.02𝑥2
𝐶′ 𝑥 = −300 + 0.04 𝑥
Igualamos a cero la primera derivada:
−300 + 0.04 𝑥 = 0
0.04 𝑥 = 3000
𝑥 =
3000
0.04
𝑥 = 75 000
𝑥 > 0 ; este nivel de producción da un mínimo relativo, usaremos prueba de la segunda
derivada 𝐶′′(𝑥)
Valor crítico

12. Para determinar si este nivel de producción da un mínimo relativo,
usaremos prueba de la segunda derivada 𝐶′′(𝑥)
𝐶′ 𝑥 = −300 + 0.04 𝑥
𝐶′′ 𝑥 = 0.04
𝐶′′(𝑥) > 0
Así 𝐶′(𝑥), tiene un mínimo relativo cuando 𝑥 = 75000, por que y C''(x) > 0
Como 𝑥 = 75000 es el único extremo relativo, concluimos que este mínimo
relativo es también un mínimo absoluto.
La interpretación de este resultado es que el nivel de producciòn para el que
será el costo promedio por unidad un mínimo, es de 75000 unidades.

13. b) Sustituyendo 𝑥 = 75000 en la función de Costo Promedio
obtenemos el costo promedio Mínimo:
𝐶 𝑥 = 6 000 000 − 300 𝑥 + 0.02𝑥2
𝐶 75 000 = 6 000 000 − 300 75000 + 0.02 75000 2
𝐶 75 000 = 6 000 000 − 22 500 000 + 0.02(5 625 000 000)
𝐶 75 000 = 6 000 000 − 22 500 000 + 112 500 000
𝐶 75 000 = 6 000 000 − 22 500 000 + 112 500 000
𝐶 75 000 = 96 000 000
Podemos concluir que el costo Promedio Mínimo de cierto producto es
de 𝑈$ 96 000 000.

14. Ingreso Marginal
• Es el dinero que entra en una organización o
empresa por la venta de productos o la
prestación de servicios.
Ingreso
• IngresoTotal= (precio) (cantidad
vendida)
• 𝑅 = 𝑝𝑥 𝑜 𝑅 = 𝑝𝑞
Matemáticamente
• La derivada 𝑅′(𝑥) representa la tasa instantánea de
cambio en el ingreso total con un cambio del número de
unidades vendidas.
• 𝑅′(𝑥) = 𝑑𝑅 / 𝑑𝑥
Matemáticamente
• Es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más
de un producto o servicio. Si 𝑅(𝑥), denota el ingreso en dólares
por la venta de 𝑥 artículos, definimos el ingreso marginal como la
derivada R'(x).
Ingreso Marginal

15. Ejemplo de Problema de Ingreso Marginal
Una compañía ha descubierto que el ingreso total es una función del precio
fijado a su producto. En concreto, la función del ingreso total es:
𝑅 = 𝑓 𝑝 = −30𝑝2 + 360𝑝, donde 𝑝 es el precio en dólares.
a) Determine el precio 𝑝 que produce el máximo ingreso total.
b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total?
Solución del Problema de Costo Marginal Promedio
a) La función de ingreso es cuadrática y su grafica es una parábola cóncava
hacia abajo. En consecuencia el valor máximo de 𝑅 ocurrirá en el vértice.
Para determinar el precio que debería cobrarse con objeto de maximizar el
ingreso total aplicaremos criterios de la primera y segunda derivada

16. Sí 𝑅 = 𝑓 𝑝 = −30𝑝2
+ 360𝑝
La primera derivada de la función de ingreso total es:
𝑅′ = 𝑓′ 𝑝 = −60𝑝 + 360
Para obtener los valores críticos, la derivada la igualamos a cero esto es;
𝑅′
= 0
−60𝑝 + 360 = 0
−60𝑝 = −360
𝑝 =
−360
−60
𝑝 = 6
un valor crítico ocurre cuando: 𝑝 = $6
Existe un punto crítico en la gráfica de 𝑓 , y se presenta cuando 𝑝 = 6.

17. Aunque sabemos que un máximo relativo ocurre cuando 𝑝 = 6 , verifiquemos
formalmente esto por medio de la pruebe de la segunda derivada:
𝑅′ = 𝑓′ 𝑝 = −60𝑝 + 360
La segunda derivada es :
𝑅′′ = 𝑓′′ 𝑝 = −60
𝑅′′ = 𝑓′′ 𝑝 < 0
−60 < 0
Entonces 𝑝 = 6 es un máximo relativo, por que 𝑓′(𝑐) = 0 y 𝑓′′(𝑝) < o
Significa que el precio que debería cobrarse con objeto de maximizar el
ingreso total es de $6.

18. b) El valor máximo del Ingreso total se calcula sustituyendo 𝑝 = $6 en la 𝐹
𝑢𝑛𝑐𝑖ò𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑅 = 𝑓 𝑝 = −30𝑝2 + 360𝑝
𝑅 = 𝑓 6 = −30 6 2 + 360 6
𝑅 = 𝑓 𝑝 = −30 36 + 2 160
𝑅 = 𝑓 𝑝 = −1 080 + 2 160
𝑅 = 𝑓 𝑝 = 1 080
Así pues, se espera que el ingreso total anual se maximice en $1 080(miles),
es decir, $1.08 millones cuando la empresa cobre $6 por unidad.

19. Utilidad Marginal
• Es la
diferencia
entre el
ingreso total
y el costo
total
Utilidad
Total
• 𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
= 𝑖𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
−𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
Matemáticamente
• 𝑈(𝑥) = 𝑅(𝑥)−𝐶(𝑥)
Formula
• Representa la
utilidad adicional
por artículo si se
produce y se
vende una unidad
más.
• 𝑈′(𝑥) = 𝑅′(𝑥)−𝐶′(𝑥)
Utilidad
Marginal

20. Un analista encontró que los costos e ingresos por el producto de una
compañía están dados por:
𝐶 𝑥 = 2𝑥 𝑦 𝑅 𝑥 = 6𝑥 − 0.02𝑥2
Respectivamente donde 𝑥 es el número de artículos producidos 𝐶 𝑦 𝑅 𝑒𝑠𝑡à𝑛 𝑒
𝑛 𝑑ò𝑙𝑎𝑟𝑒𝑠.
a) Encuentre la función de costo marginal.
b) Encuentre la función de ingreso marginal.
c) Al usar el hecho de que la ganancia es la diferencia entre el ingreso y el
costo, encuentre la función Utilidad marginal
Ejemplo de Problema de Utilidad Marginal

21. Solución del Problema de Costo Marginal Promedio
a) Para calcular la función de costo marginal se deriva el costo total:
𝐶 𝑥 = 2𝑥
𝐶′ 𝑥 = 2
b) Para calcular la función de ingreso marginal se deriva el ingreso total:
𝑅 𝑥 = 6𝑥 − 0.02𝑥2
𝑅´ 𝑥 = 6 − 0.04𝑥
c) Para calcular la función de Utilidad marginal se debe encontrar la
diferencia entre el ingreso y el costo:
𝑈′(𝑥) = 𝑅′(𝑥)−𝐶′(𝑥)
𝑈´ 𝑥 = 6 − 0.04𝑥 − 2
𝑈´ 𝑥 = 6 − 2 − 0.04𝑥
𝑈´ 𝑥 = 4 − 0.04𝑥

22. INVITACIÓN ESPECIAL PARATEMA 6 DE
PRODUCTIVIDADY ELESTICIDAD
 Webinar Zoom de Daniel Antonio Guerrero Flores
 Hora: 07:00 PM
 Día: 8 jun 2020
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 https://us04web.zoom.us/j/73881732010?pwd=TzBuc3ZpYnhiZVpIRXox
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