Este documento presenta cuatro recursos auto evaluables creados en GeoGebra para resolver problemas matemáticos relacionados con la circunferencia. Inicialmente define la circunferencia y sus elementos principales. Luego describe cuatro recursos que involucran una circunferencia tangente a los ejes y una recta que pasa por su centro, una circunferencia tangente a dos rectas, dos circunferencias tangentes entre sí y tangentes a una recta, y una aplicación del teorema de Poncelet. Finalmente, incluye conclusiones, recomendaciones, g

1. Índice
1. Ilustraciones. 3
2. Introducción. 5
3. Objetivos. 6
4. Capítulo general. 7
4.1. La circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5. Capítulos Específicos. 8
5.1. Teoremas generales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5.2. Posiciones relativas de dos circunferencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.3. La circunferencia en el plano cartesiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6. Conclusiones. 12
7. Recomendaciones. 12
8. Glosario. 13
9. Bibliografía. 14
10.Anexos. 15
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2. 1. Ilustraciones.
Recurso 1:
Recurso 2:
3

3. Recurso 3:
Recurso 4:
4

4. 2. Introducción.
GeoGebra es un software matemático interactivo que es de gran utilidad para la cons-
trucción y visualización de gráficas. Mediante el uso de esta herramienta se pueden crear
actividades auto evaluables, haciendo uso de ciertos comandos que permiten utilizar el co-
nocimiento lógico matemático de manera ordenada. Lo cual se utiliza en este proyecto para
la elaboración de cuatro recursos auto evaluables con el tema de la circunferencia. Este pro-
yecto es de gran importancia ya que permite conocer de manera directa los comandos que
hacen posible la graficación y visualización de la circunferencia, así como la práctica en la
elaboración de actividades.
Se presenta la definición de circunferencia y los elementos que la componen, así como
ciertas propiedades y teoremas que fueron de utilidad para la elaboración de los recursos.
Seguidamente las conclusiones, recomendaciones, el glosario, las fuentes bibliográficas y por
último los anexos en donde se describe de manera detallada paso a paso la elaboración de
cada recurso.
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5. 3. Objetivos.
Objetivo General:
Crear cuatro recursos auto evaluables para resolver problemas matemáticos de la cir-
cunferencia mediante el uso de las herramientas que ofrece GeoGebra para su construcción,
visualización y autoevaluación.
Objetivos Específicos:
1. Definir que es la circunferencia, sus elementos, propiedades y teoremas que se utilizan
en la creación de los recursos auto evaluables.
2. Elaborar un recurso auto evaluable, tal que una circunferencia sea tangente a los ejes
coordenados y una recta que pase por el centro de la circunferencia.
3. Crear un segundo recurso auto evaluable, que permita que una circunferencia sea tan-
gente a dos rectas.
4. Crear un tercer recurso auto evaluable, tal que dos circunferencias sean tangentes entre
sí y que una recta sea tangente a ambas.
5. Haciendo uso del teorema de Poncelet crear un cuarto recurso que permita circunscribir
un triángulo rectángulo y dado un punto en la circunferencia moverlo hacia un vértice
de dicho triangulo.
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6. 4. Capítulo general.
4.1. La circunferencia.
Definición 4.1 Una circunferencia es el lugar geométrico de puntos que equidistan de un
punto dado, llamado centro. La distancia de cada punto de la circunferencia al centro se
llama radio y se denota por r.
Definición 4.2 A continuación se denotan otros elementos de la circunferencia.
Cuerda: si A y B son dos puntos de una circunferencia, el segmento de recta AB
define una cuerda.
Diametro: Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. La medida del
diámetro equivale a: 2r.
Arco: Es la porción de la circunferencia limitada por dos puntos.
Flecha o sagita: Es el segmento de recta determinado al trazar un radio que es per-
pendicular a una cuerda y queda comprendido entre la cuerda y el arco que subtiende.
Recta exterior: Es toda recta coplanar (en el mismo plano que la circunferencia) con
la circunferencia que no tiene ningún punto en común con esta.
Recta tangente: Recta que tiene un punto en común con la circunferencia.
Recta Secante: Es aquella recta que tiene dos puntos en común con la circunferencia.
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7. Por otra parte, todos los puntos que están a una distancia menor o igual al radio quedan
al interior o sobre la circunferencia. Además, para cada punto de la circunferencia existe
exactamente un punto diametralmente opuesto; es decir, para cada punto de la circunferencia,
existe un único punto sobre la misma tal que la cuerda determinada por ellos es diámetro.
5. Capítulos Específicos.
5.1. Teoremas generales.
Teorema 1 En toda circunferencia se cumple que los arcos comprendidos entre cuerdas pa-
ralelas son congruentes.
Teorema 2 En toda circunferencia se cumple que a cuerdas congruentes le corresponden
arcos congruentes.
Teorema 3 Todo radio es perpendicular a una recta tangente en su punto de tangencia.
Teorema 4 Si un radio es perpendicular a una cuerda, entonces dicho radio bisecará a la
cuerda como al arco que subtiende.
Teorema 5 Las parejas de tangentes trazadas desde un mismo punto exterior a una circun-
ferencia son congruentes.
Teorema 6 (Teorema de Poncelet) En todo triángulo rectángulo se cumple que la suma
de los catetos es igual a la suma de los diámetros de la circunferencia inscrita y circunscrtita
al triángulo.
En la figura 1, r es el radio de la circunferencia inscrita y R el radio de la circunferencia
circunscrita: R =
AC
2
, luego se verifica la relación: AB + BC = 2R + 2r.
Figura 1: Teorema de Poncelet.
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8. 5.2. Posiciones relativas de dos circunferencias.
-Circunferencias concéntricas: son aquellas que tienen el mismo centro y distinto
radio.
-Circunferencias exteriores: son aquellas que no tienen puntos en común y cada una
está en una región exterior a la otra. La distancia entre los centros de estas circunferencias
es mayor que la suma de sus radios.
d > R + r
-Circunferencia interior: es aquella en la cual todos sus puntos son interiores a otra
circunferencia.
d < R − r
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9. -Circunferencias tangentes exteriores: se les llama así a las que tienen un solo punto
en común. La distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.
d = R + r
-Circunferencias tangentes interiores: son circunferencias que tienen un solo punto
en común. La distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.
d = R − r
-Circunferencias secantes: son aquellas que se intersectan en 2 puntos. La distancia
entre sus centros es menor que la suma de sus radios.
d < R + r
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10. 5.3. La circunferencia en el plano cartesiano.
Teorema 7 (Ecuación Ordinaria de la Circunferencia) La circunferencia cuyo centro
es el punto (h, k) y cuyo radio es la constante r, tiene por ecuación (ver figura 2)
(x − h)2
+ (y − k)2
= r2
.
Figura 2: Circunferencia con centro (h, k) y radio r.
Corolario 8 La circunferencia de centro en el origen (0, 0) y radio r tiene por ecuación
x2
+ y2
= r2
. (1)
Figura 3: Circunferencia con centro (0, 0) y radio r.
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11. 6. Conclusiones.
1. En conclusión, el uso de GeoGebra es un medio didáctico que permite la graficación y
visualización de circunferencias y rectas de manera intuitiva, permitiendo al docente y
al estudiante una mejor compresión de conceptos matemáticos.
2. Se concluye que las circunferencias se pueden graficar de varias formas según el recurso
que se desee crear en GeoGebra.
3. Las actividades auto evaluables, en conclusión, son una herramienta muy útil en el
proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que son intuitivos para el estudiante y permiten
que el docente presente gráficos más exactos de las circunferencias.
7. Recomendaciones.
1. Se recomienda conocer las propiedades de la circunferencia, su relación con las rectas
y con el triángulo rectángulo.
2. Es de utilidad asesorarse de como funcionan los comandos de GeoGebra en la creación
de las circunferencias; así como en los diferentes elementos que interfieren en la creación
de los recursos.
3. Se recomienda comprender el teorema de Poncelet, para la realización del recurso nú-
mero cuatro, ya que este es para un nivel universitario.
4. Ya que GeoGebra es una herramienta tecnológica que permite elaborar actividades auto
evaluables se recomienda en general el uso de ella para la graficación y visualización de
gráficas.
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12. 8. Glosario.
Comando: es una instrucción que el usuario proporciona a un sistema informático, desde
la línea de órdenes.
Deslizadores: es la representación gráfica de un número o ángulo libres. Recursos en
GeoGebra: Son gráficas o actividades auto evaluadas que ayudan al proceso enseñanza-
aprendizaje.
Teorema: es una afirmación que puede ser demostrada como verdadera dentro de un
marco lógico. Teorema es una Proposición que para ser evidente necesita demostración.
Comando. Distancia (<Punto>, <Objeto (punto, recta, cónica...)>): Determina la me-
nor distancia entre el punto y el objeto. Ejemplo: Distancia((2, 1), x2
+ (y − 1)2
= 1) da por
resultado 1 Nota: El comando funciona para puntos, segmentos, rectas, cónicas, funciones y
curvas dadas en forma implícita. Para funciones, utiliza un algoritmo numérico que funciona
mejor para polinomios.
Comando. Circunferencia (<Punto (centro)>, <Número o Valor numérico (radio)>):
Establece la circunferencia con centro en el punto indicado y radio de longitud igual a la del
valor dado.
Circunscrito: Se refiere al polígono cuyos vértices pertenecen en una circunferencia dada.
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13. 9. Bibliografía.
Quispe. E (1995) Geometría Primer Nivel, Serie de libros y compendios científicos
colección Racso.
Lehmann (1989) Geometría Analítica, Noriega editores, editorial LIMUSA.
https://www.geogebra.org/classic?lang=es (Revisada el 19 de septiembre de 2020).
https://wiki.geogebra.org/es/Manual (Revisada el 09 de octubre de 2020).
https://wiki.geogebra.org/es/Comandos (Revisada el 20 de octubre de 2020).
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14. 10. Anexos.
Guía para la creación de recursos con respecto a la circunferencia del Proyecto 1 en Geo-
Gebra.
Indicaciones generales: si está en GeoGebra Clásico en línea, puede descargar o expor-
tar las distintas gráficas a una imagen.
Recurso 1.
Construye una circunferencia c a partir del centro y el radio, y una recta a partir de
dos puntos. Plantee preguntas con respecto a la tangencia de la circunferencia en los ejes
coordenados y que la recta pase por el centro de la circunferencia.
1. Construye una circunferencia y una recta con las siguientes indicaciones.
a) Construir dos deslizadores h, k de -5 a 5 con incremento en 1 y aleatorios. Y un
deslizador r de 1 a 5 con incremento en 1 y aleatorio.
b) Cree un punto A=(h,k). luego construya una circunferencia c=Circunferencia(A,r)
c) Crea dos deslizadores a y b de -20 a 20 con incremento en 1 y aleatorios. Y construya
dos deslizadores d y e de -10 a 10 con incremento en 1 y aleatorios.
d) Construye dos puntos B=(a,b) y C=(d,e), luego la recta f=Recta(B,C) y g=Pendiente(f)
2. Agregar 4 variables condicionales para la evaluación de las preguntas.
a) grade1= Si(|k-g(h-a)-b|<=0.1,4,0)
b) grade2= Si(||h|-r|<=0.05,3,0)
c) grade3= Si(||k|-r|<=0.05,3,0)
d) grade=grade1+grade2+grade3
Nota: 0.1 y 0.05 son márgenes de error.
3. Abrir la vista gráfica 2 y colocar 4 textos adecuadamente para el planteamiento de las
indicaciones.
a) Indicación:
b) texto1=”1) Dada la circunferencia “+c+” mueva el centro hasta que la circunferencia
sea tangente a los ejes coordenados.”
c) texto2=”2) Mueva los puntos de la recta “+f+”, hasta que pase por el centro de la
circunferencia.”
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15. d) texto3=”Tu calificación es “+grade+”.”
4. Debe cerrar la vista algebraica y cualquier otro elemento de modo tal que únicamente
se visualicen la circunferencia y la recta en la vista gráfica y las indicaciones en la vista
gráfica 2. Puede utilizar el comando de color como desee en las gráficas y en la vista
gráfica 2.
Recurso 2.
Construya dos rectas h y g que se intercepten y una circunferencia; planteando la indica-
ción de que esta sea tangente a ambas rectas.
1. Construye dos rectas y una circunferencia con las siguientes indicaciones.
a) Crea 6 deslizadores a, b, c, d, e y f de -5 a 5 aleatorios con incremento por defecto.
Y tres puntos A=(a,b), B=(c,d) y C=(e,f)
b) Construye dos rectas g=Recta(A,B) y h=Recta(B,C). (Así se asegura que las rectas
se intercepten en el punto B).
c) Crea tres deslizadores i, j de -20 a 20 y k de 1 a 5. Los tres aleatorios y con incremento
por defecto.
d) Construye un punto E=(i,j) que determina el centro de la circunferencia y luego
p=Circunferencia (E,k).
e) Construir dos variables l=Distancia(E,g) y m=Distancia(E,h)
2. Agregar 3 variables condicionales para la evaluación de la indicación.
a) cali1=Si(|l-k|<=0.05,5,0)
b) cali2=Si(m-k|<=0.05,5,0)
c) cali=cali1+cali2
Nota: 0.05 es un margen de error.
3. Abrir la vista gráfica 2 y colocar 3 textos adecuadamente para el planteamiento de las
indicaciones.
a) Indicaciones:
b) texto2=”1) Dada la siguiente circunferencia “+p+” y las rectas g y h . Mueva la
circunferencia o las rectas hasta que la circunferencia sea tangente a las dos rectas
simultáneamente.”
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16. c) texto3=” Tu calificación es: “+cali+”.”
4. Debe cerrar la vista algebraica y cualquier otro elemento de modo tal que únicamente
se visualicen las dos rectas y la circunferencia en la vista gráfica y las indicaciones en
la vista gráfica 2. Puede utilizar el comando de color como desee en las gráficas y en la
vista gráfica 2.
Recurso 3
Construir dos circunferencias y una recta tal que, las circunferencias sean tangentes entre
sí y también tangentes simultáneamente a la recta.
1. Construya dos circunferencias y una recta siguiendo las indicaciones.
a) Cree 6 deslizadores a, b, c, d, e y f aleatorios con el incremento por defecto, tal que
a, b, c, d vayan de -10 a 10 y e, f de 1 a 5.
b) Construya dos puntos C_1=(a,b) y C_2=(c,d) y posteriormente las circunferencias
g=Circunferencia(C_1,e) y h= Circunferencia (C_2,e).
c) Cree 4 deslizadores i, j, k, l aleatorios con el incremento por defecto; de -10 a 10.
d) Construya dos puntos A=(i,j) y B=(k,l). Y la recta m=Recta(A,B).
2. Agregar 4 variables condicionales para la evaluación de la indicación.
a) cal1=Si(|Distancia(C_1, C_2)-e-f|<=0.05,4,0)
b) cal2=Si(|Distancia(C_1,m)-e|<=0.05,3, 0)
c) cal3=Si(|Distancia(C_2,m-f|<=0.05,3,0)
d) cali=cal1+cal2+cal3
Nota: 0.05 es un margen de error.
3. Abrir la vista gráfica 2 y colocar 3 textos adecuadamente para el planteamiento de las
indicaciones.
a) Indicaciones:
b) texto2=”1) Mueva la circunferencia r y h con centros “+C_1+” y “+C_2+” respec-
tivamente, hasta que sean tangentes entre sí.”
c) texto3=”2) Coloque la recta “+m+” de tal manera que sea tangente a las circunfe-
rencias h y g simultáneamente.”
d) texto4=” Tu calificación es: “+cali+”.”
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17. 4. Debe cerrar la vista algebraica y cualquier otro elemento de modo tal que únicamente
se visualicen las dos circunferencias y la recta en la vista gráfica y las indicaciones en
la vista gráfica 2. Puede utilizar el comando de color como desee en las gráficas y en la
vista gráfica 2.
Recurso 4.
Construir un triángulo rectángulo y una circunferencia tal que, el triángulo sea concéntrico
a la circunferencia y el punto dado de la circunferencia coincida con uno de los vértices del
triángulo.
1. Construya una circunferencia y un triángulo siguiendo las indicaciones.
a) Cree 4 deslizadores a, b, c y d aleatorios con el incremento por defecto, tal que vayan
de -5 a 5.
b) Construya dos puntos A=(a,b) y B=(c,d), luego generar el punto B’=Rota(B,90°,A)
y alpha=Angulo(B,A,B’).
c) Generamos los segmentos f=Segmento(A,B), g=Segmento(A,B’) y h=Segmento(B,B’),
construyendo así el triángulo rectángulo.
d) Cree 4 deslizadores e, i, j, k aleatorios con el incremento por defecto; de -10 a 10.
e) Construya dos puntos A=(e,i) y B=(j,k). Y la circunferencia p=Circunferencia(C,D).
f) Generamos el segmento l=Segmento(C,D) y el punto E=PuntoMedio(h), el punto
E se ocultará.
2. Agregar 4 variables condicionales para la evaluación de la indicación.
a) cal1=Si(|h/2-l|<=0.05,3,0)
b) cal2=Si(Distancia(C,E)<=0.05,4, 0)
c) cal3=Si(Distancia(D,A)|<=0.05|| Distancia(D,B)|<=0.05|| Distancia(D,B’)|<=0.05,3,0)
d) cal=cal1+cal2+cal3
Nota: 0.05 es un margen de error.
3. Abrir la vista gráfica 2 y colocar 3 textos adecuadamente para el planteamiento de las
indicaciones.
a) Indicaciones:
b) texto2=”1) Mueva la circunferencia “+p+”, tal que el triángulo rectángulo este cir-
cunscrito a esta.”
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18. c) texto3=”2) Coloque el punto D=“+D+” en un vértice del triángulo.”
d) texto4=”Tu calificación es: “+cali+”.”
4. Debe cerrar la vista algebraica y cualquier otro elemento de modo tal que únicamente se
visualicen la circunferencia y el triángulo rectángulo en la vista gráfica y las indicaciones
en la vista gráfica 2. Puede utilizar el comando de color como desee en las gráficas y
en la vista gráfica 2.
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