MATERIAL DIDÁCTICO CIRCUNFERENCIA

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MATERIAL DIDÁCTICO MATEMÁTICA DÉCIMO AÑO
Profesor: Mario Alberto Fernández Berrocal
Área De Cognición: Geometría
Tema General: Representación de forma analítica y grafica el
área de una circunferencia.
HABILIDADES ESPECÍFICAS:
1.Representar Gráficamente Una Circunferencia Dado Su
Centro Y Su Radio.
2. Representar Algebraicamente Una Circunferencia Dado Su
Centro Y Su Radio.

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Índice
Introducción 3
Desarrollo 4
Historia de la circunferencia 4
Partes de la circunferencia 4
Diámetro 4
Radio 5
Centro de la circunferencia 5
Representación gráfica de una circunferencia en el plano cartesiano 5
Como representar algebraicamente una circunferencia conociendo su centro y su
radio 6
Ejercicios de autoevaluación 9

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Introducción:
Este documento corresponde a un material didáctico, realizado por estudiantes de
la Universidad Católica de Costa Rica sede de Ciudad Neily, en el curso de didáctica
de la matemática, dirigidos por el Profesor Argenis Méndez Villalobos, enfocado a
estudiantes de decimo nivel, desarrollado en el área cognoscitiva de la
representación de forma analítica y grafica el área de una circunferencia.
El material didáctico consta de reseña histórica de la circunferencia, recordaremos
las partes de la circunferencia, aunque hayan sido aspectos vistos anteriormente en
noveno y octavo nivel, este material asegura que el lector recuerde y tenga presente
la representación de la circunferencia, como por ejemplo la medida del radio y la
medida del diámetro y su representación.
Este material tratará de dejar claro la representación de la circunferencia en el plano
cartesiano, también se analizará la ecuación de la circunferencia teniendo el centro
en diferentes ubicaciones en el plano cartesiano.
El documento creará una mentalidad analítica en el estudiante de esta manera si se
le presenta una gráfica de una circunferencia el podrá determinar su ecuación, y los
puntos correspondientes las constantes (ℎ, 𝑘).

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1. Historia de la circunferencia
La circunferencia se remonta al tiempo de los babilonios los cuales eran grandes
matemáticos y estudiosos de la geometría como por ejemplo el área del triángulo,
rectángulo, pero en especial el estudio del círculo. Eran unos excelentes geómetras
ellos bautizaron las doce constelaciones del zodíaco, dividiendo cada una de ellas
en 30 partes iguales. Es decir, dividieron el círculo zodiacal en 12 x 30 = 360 partes.
2. Partes de la circunferencia
Antes de comenzar a estudiar la representación gráfica de una circunferencia
debemos de conocer una serie de conceptos, como por ejemplo ¿Qué es un radio?;
¿Qué es un diámetro?; ¿Qué es el centro de una circunferencia? Si analizamos las
preguntas anteriores podemos darnos cuenta que sé que en un problema
determinado nos pueden brindar la medida del diámetro para averiguar la medida
del radio y si no conocemos su concepto, no sabremos la manera para determinar
la situación problema. Conoceremos los conceptos de las partes de la circunferencia
y su respectiva representación.
2.1 Diámetro: El diámetro de una circunferencia es el segmento que une dos
puntos de la circunferencia y pasa por el centro, como se presenta a continuación:
El diámetro es una cuerda que pasa por el centro de
la circunferencia. El diámetro mide el doble del radio.

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2.2 Radio: La palabra se utiliza en la geometría para referirse al segmento
lineal que une el centro de un círculo con su circunferencia.
El radio, por lo tanto, es la mitad del diámetro. En este caso, el término se usa en
singular y hace mención a la longitud de cualquiera de los radios de una
circunferencia o esfera. Si se dice, por ejemplo, que un círculo tiene un radio de 5
centímetros, esto significa que todos los radios de dicha figura comparten la misma
extensión (5 centímetros).
2.3 Centro de una circunferencia: Punto que se encuentra a la misma distancia
de todos los otros puntos en la circunferencia del círculo. Un círculo es el conjunto
de puntos en un plano que están equidistantes de un punto fijo. A este punto fijo se
le conoce como centro.
3. Representación gráfica de una circunferencia en el plano cartesiano
Para representar una circunferencia se necesita saber su centro y la medida del
radio, como por ejemplo, el centro de la circunferencia en (0,0) y la medada del radio

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es 3, siempre tomando cuenta la ubicación en el plano cartesiano correspondiente
a la ubicación (x,y)
Un aspecto que siempre debemos de tener presente es el de tener una ubicación
correcta de los pares ordenados en el plano cartesiano para tener una correcta
representación de la circunferencia
4. Como representar algebraicamente una circunferencia conociendo su
centro y su radio
En el apartado 1 analizamos las partes de una circunferencia, ahora vamos a
construir en forma algebraica y grafica una circunferencia con su respectiva
ecuación. La representación de una circunferencia en forma algebraica se da de la
siguiente manera 𝑑(𝐶, 𝑃) = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 ; donde 𝑑(𝐶, 𝑃) se representa con
r, que significa radio, entonces la ecuación de la circunferencia quedaría de la
siguiente manera 𝑟 = √(𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2. Ahora analizaremos h y k los que están
en la ecuación, los mismos corresponden a puntos constantes en el plano, y (x,y),
son cualquier punto en el plano. Una representación gráfica para dejar claro lo
anterior se da de la siguiente manera:

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Para representación de la ecuación de la circunferencia conociendo sus puntos
(h,k), cumpliendo su función como un par ordenado respectivamente, se da de la
siguiente manera (𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
, si sus constantes (h,k) fueran diferentes
a cero, 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
esa es ecuación si su centro fuera (0,0).
EJEMPLO 1: Determinar la ecuación de una circunferencia cuyo radio es 4 con
centro en el punto 𝐶(−4,2)
a. Como el centro de la circunferencia es (−4,2) se sustituye por los valores
de las constantes (h,k) de la siguiente manera.
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
ℎ = −4; 𝑘 = 2; 𝑟 = 4
(𝑥 − −4)2
+ (𝑦 − 2)2
= 42
Quedando la ecuación de la siguiente manera
(𝑥 + 4)2
+ (𝑦 − 2)2
= 16
Y su grafica de la siguiente manera; 𝐶(−4,2) y su radio 4
EJEMPLO 2 : Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo radio es 6 con centro
en el punto C(0,0)
a. Como el centro de la circunferencia es (0,0) se sustituye por los valores de
las constantes (h,k) de la siguiente manera.
(𝑥 − ℎ)2
+ (𝑦 − 𝑘)2
= 𝑟2
ℎ = 0; 𝑘 = 0; 𝑟 = 6
(𝑥 − 0)2
+ (𝑦 − 0)2
= 62

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Quedando la ecuación de la siguiente manera
𝑥2
+ 𝑦2
= 36
Y su grafica de la siguiente manera; 𝐶(0,0) y su radio 6
Para una mayor compresión de la representación de una circunferencia podríamos
utilizar la aplicación Geogebra, para tener una representación de las gráficas de las
ecuaciones, sería una herramienta muy útil para instalarla en la computadora o en
un teléfono Android.

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Ejercicios de autoevaluación:
Para realizar estos ejercicios de auto evaluación usted deberá de realizar cada
procedimiento para poseer una mayor comprensión del tema, usted podrá utilizar
hojas apartes o en el cuaderno.
1. Anote la medida del radio el centro de la circunferencia.
𝑥2
+ 𝑦2
= 13; r=______________ ; centro=________________
(𝑥 − 4)2
+ 𝑦2
=6; r=__________________; centro=___________________
(𝑥 + 6)2
+ (𝑦 + 3)2
= 10; r=_______________; centro=________________
2. A continuación, se le presentará graficas de circunferencias usted deberá de
anotar la ecuación de la circunferencia en forma algebraica
Ecuación de la circunferencia: ______________________
Ecuación de la circunferencia: ______________________

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3. Determine la medida del radio en el espacio indicado de las siguientes
representaciones graficas de circunferencias.
Radio=________________
Radio=________________
Radio=_______________________________