Ejercicio de ecuaciones lineales Adrian Vera Optimización de Sistemas Santiago Mariño

2. −2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧2 ′ = −1
𝑥
3
− 2𝑦 − 3𝑧 = −3
−𝑥 +
3𝑦
2
+ 2𝑧 = 2
𝑓 𝑡 = 2𝑦′′
+ 𝑧4′′
− 3𝑥2′
SOLUCION:
1. Simplificamos las ecuaciones:
Resolvemos la derivada de la primera ecuación:
−2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧2 ′
= −1 −2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1
Eliminamos la fracción de la segunda
Ecuación. Para esto la multiplicamos por 3.
𝑥
3
− 2𝑦 − 3𝑧 = −3 ∗ 3 3 ∗
𝑥
3
− 6𝑦 − 9𝑧 = −9
𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧 = −9
Eliminamos la fracción de la tercera
Ecuación. Para esto la multiplicamos por 2.
−𝑥 +
3𝑦
2
+ 2𝑧 = 2 ∗ 2 −2𝑥 + 2 ∗
3𝑦
2
+ 4𝑧 = 4
−2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4
El sistema de ecuaciones quedaría asi..

3. 2. Despejamos X en todas las ecuaciones.
−2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1
𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧 = −9
−2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4
−2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1 𝑥 =
−1 − 3𝑦 + 2𝑧
−2
Para simplificar cambiaremos el denominador a positivo multiplicando
toda la ecuación * -1/-1 lo que es igual a 1 y no modifica el resultado.
𝑥 =
1 + 3𝑦 − 2𝑧
2
Esta será la ecuación A
Despejamos la segunda ecuación.
𝑥 − 6𝑦 − 9𝑧 = −9 𝑥 = −9+6y+9z
Esta será la ecuación B
Despejamos la tercera ecuación.
−2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 = 4 𝑥 =
4 − 3𝑦 − 4𝑧
−2
Para simplificar cambiaremos el denominador a positivo multiplicando
toda la ecuación * -1/-1 lo que es igual a 1 y no modifica el resultado.
𝑥 =
−4 + 3𝑦 + 4𝑧
2
Esta será la ecuación C
3. Aplicamos el método de igualación. Igualando a B=A y
B=C
B=A
−9+6y+9z =
1 + 3𝑦 − 2𝑧
2
−18 + 12𝑌 + 18𝑍 = 1 + 3𝑌 − 2𝑍
12𝑦 + 18𝑧 − 3𝑦 + 2𝑧 = 1 + 18
Pasamos las variables a la izquierdas, las constantes a la derecha y
luego simplificamos.
9𝑦 + 20𝑧 = 19
esta será la ecuación D

4. C=B
−9+6y+9z =
−4 + 3𝑌 + 4𝑍
2
−18 + 12𝑌 + 18𝑍 = −4 + 3𝑌 + 4𝑍
Pasamos las variables a la izquierdas, las constantes a la derecha y
luego simplificamos.
12𝑌 + 18𝑍 − 3𝑌 − 4𝑍 = −4 + 18
9𝑌 + 14𝑍 = 14
Esta será la ecuación E
9𝑦 + 20𝑧 = 19
9𝑦 + 14𝑧 = 14
El sistema de ecuaciones quedaría asi:
Para resolverlo podemos multiplicar la primera ecuación por
-1 y luego sumar ambas ecuaciones, esto eliminara una
variable y la otra la despejaremos para conocer su valor.
9𝑦 + 20𝑧 = 19 ∗ −1
9𝑦 + 14𝑧 = 14
−9𝑦 − 20𝑧 = −19
9𝑦 + 14𝑧 = 14
Al sumarlas quedaría asi:
−6𝑧 = −5
Despejamos:
𝑧 =
−5
−6
𝑧 =
5
6
Ahora que se conoce el valor de Z procedemos a buscar el
valor deY usando la ecuación D sustituyendo Z por su valor.
9𝑦 + 20(
5
6
) = 199𝑦 + 20𝑧 = 19
9𝑦 +
100
6
= 19 9𝑦 +
50
3
= 19
𝑦 =
19 −
50
3
9
Despejamos:
𝑦 =
57 − 50
27
𝑦 =
7
27

5. Despejamos:
Ahora que se conoce el valor de Z y de Y procedemos a
buscar el valor de X usando la primera ecuación del sistema
de ecuaciones inicial ya simplificado.
−2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 = −1
Sustituimos:
−2𝑥 + 3(
7
27
) − 2(
5
6
) = −1
−2𝑥 + 3(
7
27
) − 2(
5
6
) = −1
−2𝑥 +
7
9
−
5
3
= −1
𝑥 =
−1 −
7
9
+
5
3
−2
𝑥 =
1 +
7
9
−
5
3
2
Multiplicamos * -1/-1 para tener el denominador positivo y luego
resolvemos las constantes.
𝑥 =
16
9
−
5
3
2
𝑥 =
1
9
2
𝑥 =
1
18
Ahora que se conocen todos los valores vamos a resolver las
derivadas de la función objetivo y luego a sustituir los
valores.
𝑓 𝑡 = 2𝑦′′
+ 𝑧4′′
− 3𝑥2′
𝑓 𝑡 = 2′ + 4𝑧3
′ − 6𝑥
𝑓 𝑡 = 12𝑧2
− 6𝑥

6. Sustituimos:
𝑓 𝑡 = 12𝑧2
− 6𝑥
𝑓 𝑡 = 12(
5
6
)2−6(
1
8
)
𝑓 𝑡 =
25
3
−
6
18
𝑓 𝑡 = 8