optimizacion

1. Optimización con restricciones de igualdad
Matemática para economistas
Facultad de Ciencias Económicas – UBA
Centro de Estudiantes de Ciencias Económicas – CECE
Pablo Matías Herrera

2. 2
Optimización con restricciones de igualdad
Matemática para Economistas
Cátedra García Fronti
FCE-UBA

3. 3
Resumen
• Optimización libre
• CPO: relacionada con el diferencial primero del funcional objetivo
• CSO: relacionada con el diferencial segundo del funcional objetivo
• Optimización restringida
• CPO: relacionada con el diferencial primero de la función lagrangeana
• CSO: relacionada con el diferencial segundo de la función lagrangeana

4. 4
Problema de optimización
• El proceso de optimización consiste en hallar el conjunto de valores de las variables de elección que
conducirá al extremo deseado de la función objetivo.
• Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar un funcional objetivo a través de
una asignación de valores de las variables independientes o de elección del problema.

5. 5
Optimización libre
𝑜𝑝𝑡 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
Donde 𝑧 es la función objetivo que buscamos optimizar.
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son las variables de elección, son las variables independientes del problema

6. 6
Condición necesaria
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) presenta un extremo relativo en (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) y es diferenciable en ese punto,
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥1
𝑑𝑥1 + 𝑓𝑥2
𝑑𝑥2 + … + 𝑓𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑥𝑖
𝑑𝑥𝑖 = 0
independientemente de los valores que asuman los diferenciales de las variables 𝑑𝑥𝑖 , no todos nulos.
La única forma de garantizarlo, es que todas las derivadas parciales (𝑓𝑥𝑖
) sean nulas en ese punto.
Condiciónde primer orden o necesaria para la existencia
de un extremo en ese punto.

7. 7
Condición suficiente
Si el punto (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) cumple con las condiciones de primer orden (CPO), entonces estamos en
presencia de un punto estacionario.
Si en ese punto donde se anula dz:
𝑑2𝑧 < 0 → (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) es un máximo
𝑑2
𝑧 > 0 → (𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛) es un mínimo
Si 𝑑2𝑧 es positivo para ciertas variaciones a partir del punto y negativa para otras, la función presenta
un punto de ensilladura.
Recordar que 𝑑2
𝑧 es una forma cuadrática.

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Optimización con restricciones de igualdad
Caso 2 variables con 1 restricción
El propósito principal de la imposición de una restricción es reconocer ciertos factores limitantes
presentes en el problema de optimización que se estudia.
La resolución la haremos por el método de multiplicadores de Lagrange, lo cual nos permitirá convertir
un problema de extremo restringido a una forma tal que todavía sea aplicable la condición de primer
orden del problema de extremo libre.
𝑜𝑝𝑡 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑠𝑎 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐
Supongamos el siguiente problema:

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Optimización con restricciones de igualdad
Caso 2 variables con 1 restricción
𝑜𝑝𝑡 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑠𝑎 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐
Podemos escribir la función lagrangeana como
𝑍 = 𝑓 𝑥, 𝑦 + 𝜆[𝑐 − 𝑔 𝑥, 𝑦 ]
CPO
𝑍𝑥 = 𝑓𝑥 − 𝜆𝑔𝑥 = 0
𝑍𝑦 = 𝑓𝑦 − 𝜆𝑔𝑦 = 0
𝑍𝜆 = 𝑐 − 𝑔(𝑥, 𝑦) = 0

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Optimización con restricciones de igualdad
Caso 2 variables con 1 restricción
𝑑𝑧 = 𝑓𝑥 𝑑𝑥 + 𝑓𝑦 𝑑𝑦
𝑜𝑝𝑡 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑠𝑎 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐
𝑑𝑔 = 𝑔𝑥 𝑑𝑥 + 𝑔𝑦 𝑑𝑦 = 0
En la intervención de la restricción, ya no podemos considerar 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 como cambios “arbitrarios”, como en
extremo libre. Si 𝑔 𝑥, 𝑦 = 𝑐 entonces 𝑑𝑔 = 𝑑𝑐 = 0.
Esta relación hace que 𝑑𝑥 y 𝑑𝑦 sean dependientes entre sí, por lo tanto, tenemos que encontrar una nueva
expresión apropiada para 𝑑2𝑧

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Optimización con restricciones de igualdad
Caso 2 variables con 1 restricción
𝑑2
𝑧 = 𝑍𝑥𝑥𝑑𝑥2
+ 2𝑍𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑍𝑦𝑦 𝑑𝑦2
Podemos reescribir la forma cuadrática de la siguiente forma:
Como en el caso del extremo libre, la condición suficiente se puede expresar en forma de determinante.
Sin embargo, en lugar del hessiano, en caso del extremo restringido encontraremos el hessiano orlado
𝐻 . La restricción para la forma cuadrática será
𝑑𝑔 = 𝑔𝑥𝑑𝑥 + 𝑔𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑑2
𝑧
𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑡𝑜 𝑎 𝑑𝑔 = 0 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝐻 =
0 𝑔𝑥 𝑔𝑦
𝑔𝑥 𝑍𝑥𝑥 𝑍𝑥𝑦
𝑔𝑦 𝑍𝑥𝑦 𝑍𝑦𝑦
𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
> 0
< 0

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Optimización con restricciones de igualdad
𝑜𝑝𝑡 𝑧 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 𝑠𝑎
𝑔1
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑐1
𝑔2 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑐2
…
𝑔𝑚
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 𝑐𝑚
Nuestro problema ahora será el siguiente
Caso n variables con m restricciones
Construimos la función de Lagrange
𝑍 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑚 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 +
𝑗=1
𝑚
𝜆𝑗 𝑐𝑗 − 𝑔𝑗
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)

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𝑍 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛; 𝜆1, 𝜆2, … , 𝜆𝑚 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 +
𝑗=1
𝑚
𝜆𝑗 𝑐𝑗 − 𝑔𝑗
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛)
Condición de primer orden
Me quedará conformado un sistema de (𝑛 + 𝑚) ecuaciones
𝑍𝑥1
= 𝑓𝑥1
− 𝜆1 𝑔𝑥1
1 − 𝜆2 𝑔𝑥1
2 − … − 𝜆𝑚 𝑔𝑥1
𝑚 = 0
…
𝑍𝑥𝑛
= 𝑓𝑥𝑛
− 𝜆1 𝑔𝑥𝑛
1
− 𝜆2 𝑔𝑥𝑛
2
− … − 𝜆𝑚 𝑔𝑥𝑛
𝑚
= 0
𝑍𝜆1
= 𝑐1 − 𝑔1
𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0
…
𝑍𝜆𝑚
= 𝑐𝑚 − 𝑔𝑚 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 = 0
Las últimas 𝑚 ecuaciones garantizan que se cumplan las restricciones.
𝑑𝑍 =
𝑖=1
𝑛
𝑓𝑥𝑖 −
𝑗=1
𝑚
𝜆𝑗𝑔𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑖 +
𝑗=1
𝑚
𝑐𝑗 − 𝑔𝑗
(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 𝑑𝜆𝑗 = 0 𝑐𝑜𝑛 𝑑𝑥𝑖 ∧ 𝑑𝜆𝑗 ≠ 0

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Condición de segundo orden
𝑑𝑧𝑍 =
𝑖=1
𝑘=1
𝑛
𝑍𝑥𝑖𝑥𝑘
𝑑𝑥𝑖 𝑑𝑥𝑘 +
𝑗=1
𝑙=1
𝑚
𝑍𝜆𝑗𝜆𝑙
𝑑𝜆𝑗 𝑑𝜆𝑙 + 2
𝑖=1
𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑍𝑥𝑖𝜆𝑗
𝑑𝑥𝑖
𝑑𝜆𝑗
𝐻 =
𝑍𝜆1𝜆1
⋯ 𝑍𝜆1𝜆𝑚
⋮ ⋱ ⋮
𝑍𝜆𝑚𝜆1
𝑍𝑥1𝜆1
⋮
𝑍𝑥𝑛𝜆1
⋯
⋯
⋱
⋯
𝑍𝜆𝑚𝜆𝑚
𝑍𝑥1𝜆𝑚
⋮
𝑍𝑥𝑛𝜆𝑚
𝑍𝜆1𝑥1
⋮
𝑍𝜆𝑚𝑥1
𝑍𝑥1𝑥1
⋯
⋱
⋯
⋯
𝑍𝜆1𝑥𝑛
⋮
𝑍𝜆𝑚𝑥𝑛
𝑍𝑥1𝑥𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑍𝑥𝑛𝑥1
⋯ 𝑍𝑥𝑛𝑥𝑛
𝐻
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 → 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

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Referencias Bibliográficas
• Bernardello, Bianco, M., Casparri, M., García Fronti, J., & Olivera de Marzana, S. (2009). Matemática
para Economistas (2.a ed.). Omicron System.
• Chiang, A., & Wainwright, K. (2005). Fundamental methods of mathematical economics (4.a ed.).
McGraw-Hill.

16. Éxitos en el parcial