Taller de Ecuaciones de Primer Grado con Geogebra

Solución gráfica de ecuaciones
de primer grado con Geogebra
Taller interactivo para docentes
Profra. Guadalupe Rodríguez Orduño

INTRODUCCIÓN
Hoy en día, el profesor tiene a su alcance un sin número de herramientas
tecnológicas que transforman su práctica docente en las que puede y debe a
poyarse en su quehacer diario en el salón de clases, centrado en el
aprendizaje del alumno.
El profesor de educación secundaria que imparte la asignatura de
Matemáticas, puede incluir en su planeación el uso de tecnología educativa, y
en especial en el tema de ecuaciones de primer grado.
Para que los alumnos comprendan en qué consiste la solución gráfica de una
ecuación lineal, es necesario un plano cartesiano y tabular valores para
después ubicarlos en dicho plano y obtener la gráfica resultante; por lo que el
uso de GeoGebra es idóneo para abordar dicho tema de manera dinámica.

INTRODUCCIÓN
La base de una buena enseñanza con tecnología requiere la comprensión de:
 La representación de ideas mediante el uso de tecnología;
 Las técnicas pedagógicas que utilizan la tecnología en formas constructivas
para enseñar un contenido;
 Conocimiento sobre qué hace fácil o difícil la comprensión de un concepto
y cómo la tecnología puede contribuir a compensar esas dificultades que
enfrentan los alumnos;
 Conocimiento de las ideas previas de los alumnos y de cómo la tecnología
puede ser utilizada para construir conocimiento disciplinar.
Fuente: Belfiori, L. V. USO DEL MARCO TPACK POR ALUMNOS DE UN PROFESORADO DE MATEMÁTICA. Recuperado el 10/04/15

OBJETIVOS DEL TALLER
 Invitar a profesores del área a integrar el grupo de estudio
 Utilizar el software GeoGebra para plantear y resolver situaciones de
enseñanza de la matemática de manera que, todos los profesores
participantes adquieran habilidades básicas de trabajo con el software.
 Resolver actividades para la enseñanza de la solución gráfica de una
ecuación lineal en alumnos de nivel secundaria con el software con un
incremento gradual de complejidad.
 Diseñar, analizar y fundamentar secuencias de actividades para la
enseñanza de la solución gráfica de una ecuación lineal en el aula con
alumnos de nivel secundaria utilizando GeoGebra.
 Posicionarnos crítica y responsablemente en la inclusión de recursos
tecnológicos en la clase de matemática.
 Impactar en las prácticas áulicas

Lo Primero a Destacar
 El taller “Uso de Geogebra para la solución gráfica de ecuaciones de
primer grado” está dirigido a profesores de educación básica que imparten
la materia de Matemáticas en nivel secundaria que deseen incorporar el
uso de tecnologías educativas para la mejora de su desempeño laboral en
beneficio de sus alumnos.
 GeoGebra le facilita a los estudiantes la creación de construcciones
matemáticas y modelos para las exploraciones interactivas y los sucesivos
cambios de parámetros.
 GeoGebra es también una herramienta de autoría que les permite a los
docentes crear páginas-web interactivas, seleccionarlas de entre las que
colegas de todo el mundo ofrecen para compartir las producciones en
www.geogebratube.org.

GEOGEBRA
FAMILIARIZANDOSE CON GEOGEBRA

¿Que es GeoGebra?
 Un conjunto unificado y fácil
de usar que conforma un
potente programa de
Matemática Dinámica
 Un utilitario para enseñar y
aprender en todos los niveles
educativos
 Un encuadre versátil en que
se conjugan geometría
interactiva, álgebra, el
cálculo propio del análisis y
de las estadísticas y sus
registros gráficos, de
organización en tablas y de
formulación simbólica.
 Una fuente abierta del
programa libre accesible en
www.geogebra.org
Fuente: Guía de Referencia Rápida de GeoGebra 4.2 www.geogebra.org –
Traducción de Liliana Saidon

Cómo descargar
GeoGebra
Este software se puede
instalar gratuitamente desde:
https://www.geogebra.org/
entrando en la pestaña de
Descargas.
GeoGebra es un programa
desarrollado en lenguaje Java,
por lo que se necesita que el
ordenador cuente la
plataforma instalada, o sea
que la PC donde funcione
debe constar con este motor
virtual. Si no se tiene, se
puede descargar
gratuitamente desde esta
página web: www.java.com

1. Pantalla principal de GeoGebra
Guiando con el mouse sobre los útiles de la Barra de Herramientas
pueden trazarse construcciones en la zona de Vista Gráfica a partir de
elementos cuyas coordenadas o ecuaciones aparecen, en simultáneo, en la
zona de Vista Algebraica, lo geométrico y lo algebraico en GeoGebra, se
complementan y se registran uno junto al otro.
En el Barra de Entradas pueden anotarse directamente coordenadas,
ecuaciones, comandos y funciones que pasarán a representarse en la zona de
Vista Gráfica al ingresarse pulsando Enter.

Nueva Ventana
Teclas de Atajo: Ctrl‐N
Este ítem del menú abre una ventana de
GeoGebra con los ajustes por omisión de su
interfaz.
Atención: De hacer cambios en los ajustes y
guardar algunos, la nueva ventana se abrirá
empleando los ajustes establecidos.
Nuevo
Este ítem del menú abre una interfaz de uso
nueva y vacía en la misma ventana,
consultando antes si se desea guardar la
construcción en marcha.
Atención: La nueva interfaz de uso adopta los
ajustes empleados en la construcción previa.
Por ejemplo, si los ejes de coordenadas
hubieran estado ocultos antes de seleccionar
el ítem del menú ‘Nuevo’, permanecerán así
en la nueva interfaz.
Abre…
Teclas de Atajo: Ctrl‐O
Este ítem del menú permite abrir un archivo
de GeoGebra (de extensión .ggb o ggt)
guardado previamente en el directorio o
carpeta que despliega la correspondiente caja
de
diálogo.
Atención: También se puede abrir un archivo
de GeoGebra arrastrándolo con el ratón o
mouse a su ventana y depositándolo allí.

Guarda
Teclas de Atajo: Ctrl‐S
Este ítem del menú permite guardar la
construcción en marcha como archivo
GeoGebra (de extensión .ggb) en la carpeta o
directorio que se seleccione en la caja de
diálogo que se despliega a tal efecto.
Atención: Si se eligiera un nombre para
guardar el boceto ya existente en el
directorio de destino, se reemplazará el
‘viejo’ archivo con esta maniobra.
Guarda Como…
Este ítem del menú permite guardar la
construcción en marcha como archivo
GeoGebra, para la que no se hubiera
seleccionado aún un nombre, anotándolo en
la caja de texto que
se despliega a tal efecto.
Exportar…
Hoja Dinámica como Página Web (html)…
Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐W
Este ítem del menú permite exportar la
construcción en marcha como página web
para poder crear lo que se denomina
“Hoja Dinámica”, “Applet”, “Mathlet”,…
Para profundizar la información, puede
consultarse la sección 1.4.3 Creando Páginas
Web Interactivas en: Documento de ayuda
de GeoGebra. Manual Oficial de la Versión
3.2
Vista Gráfica a Imagen (png, eps)…
Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐P
Este ítem del menú permite guardar la Vista
Gráfica de GeoGebra como archivo gráfico.
En la ventana de diálogo emergente, se
puede seleccionar el Formato del archivo y
cambiar la Escala (en cm) y la Resolución (en
dpi) de la imagen.

Vista Gráfica a GIF animado…
Permite exportar la vista gráfica activa como
GIF animado . La animación es controlada
mediante un deslizador.
El GIF animado será controlado mediante uno
de los deslizadores de la construcción. Si hay
más de uno, podemos elegir cuál de ellos.
También podemos elegir cuántos
milisegundos de espera habrá entre un valor
del deslizador y el siguiente.
Si activamos la casilla "¿Como Bucle?", el GIF
animado se repetirá continuamente.
Si solo queremos exportar una parte de la
vista gráfica, podemos ajustar la ventana
previamente o bien crear un marco de
selección.
Previsualización de Impresión
Teclas de Atajo: Ctrl‐P
Este ítem del menú abre la ventana
correspondiente a Previasualiza Impresión de
la Vista Gráfica. Se puede especificar ‘Título’,
‘Autoría’, ‘Fecha’ y ‘Escala’ de la impresión (en
cm).
Atención: Para poder actualizar la
previsualización de la impresión después de
cada cambio, debe pulsarse la tecla Enter.
Cierra
Teclas de Atajo: Alt‐F4
Este ítem del menú cierra la ventana de
GeoGebra. Si no se ha guardado la
construcción en marcha antes de seleccionar
Cierra, se desplegará una caja de diálogo
consultando si se
prefiere hacerlo.

Deshace
Teclas de Atajo: Ctrl‐Z
Este ítem del menú permite deshacer
acciones previas, paso a paso.
Atención: También puede emplearse el botón
correspondiente que aparece en el extremo
derecho de la Barra de Herramientas:
Deshace.
Rehace
Teclas de Atajo: Ctrl‐Y
Este ítem del menú permite rehacer acciones
previamente descartadas por ‘Deshace’, paso
a paso.
Atención: También puede emplearse el botón
correspondiente que aparece en el extremo
derecho de la Barra de Herramientas:
Rehace.
Borra
Teclas de Atajo: Tecla Supr
Este ítem del menú permite borrar los
objetos seleccionados y los derivados o
dependientes.
Atención: Se puede seleccionar previamente
los objetos que se desean borrar (con el
rectángulo de selección, por ejemplo).
Selecciona Todo
Teclas de Atajo: Ctrl‐A
Este ítem del menú permite seleccionar
todos los objetos de la construcción.
Selecciona la Capa Activa
Teclas de Atajo: Ctrl‐L
todos los objetos que ocuparan la misma
capa que el que ya se hubiera elegido.
Atención: Antes de emplear este ítem, es
preciso seleccionar algún objeto que ocupe la
capa deseada.

Selecciona Descendientes
Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐Q
todos los objetos dependientes del que ya se
hubiera elegido.
preciso seleccionar algún objeto del que
dependan los subsiguientes, un objeto padre.
Selecciona Ascendientes
Teclas de Atajo: Ctrl‐Q
todos los objetos de los que dependa el que
ya se hubiera elegido.
preciso seleccionar algún objeto
“dependiente”.
Copia Vista Gráfica al Portapapeles
Teclas de Atajo: Ctrl‐Shift‐C
Este ítem del menú copia la Vista Gráfica al
llamado portapapeles del sistema. Después
de esta operación, se puede pegar fácilmente
esta imagen en otros documentos (como los
creados con un procesador de textos).
Propiedades…
Teclas de Atajo: Ctrl‐E
Este ítem del menú abre la Caja de Diálogo
de Propiedades que permite modificar las
propiedades de todos los objetos que
componen un archivo de GeoGebra.

Vistas Principales
Algebraica
Atajo de Teclas: Ctrl + Shift + A
Representaciones algebraicas de objetos que
además se puede ingresar directamente
desde el Teclado Virtual (como, por ejemplo,
las coordenadas de puntos, ecuaciones).
Vista CAS
Atajo de Teclas: Ctrl + Shift + K
Alternativa de Álgebra Simbólica de
GeoGebra, en esta Vista CAS se pueden
desarrollar cálculos, tanto numéricos como
simbólicos así como las principales
operaciones algebraicas incluyendo
derivadas, integrales, resolución de
ecuaciones, diferenciales y variedad de otras.
Hoja de Cálculo
Atajo de Teclas: Ctrl + Shift + S
Permite operar con datos y explorar
conceptos estadísticos.
Vista Gráfica:
Atajo de Teclas: Ctrl + Shift + 1
Construcciones de los objetos matemáticos
que pueden afectarse vía ratón o mouse con
su inmediato reajuste dinámico.
Segunda Vista Gráfica:
Teclas de Atajo: Ctrl + Shift + 2
Alternativa que permite mostrar u ocultar
una segunda Vista Gráfica.
Vista 3D
Atajo de Teclas: Ctrl + Maj + 3
Alternativa que permite mostrar u ocultar
una Vista de aparentes 3Dimensiones para
una simulación tridimensional de los objetos
de comportamiento dinámico.
Protocolo de Construcción…
Lista interactiva de los pasos de construcción
que permite revisarla y modificarla

Otras Alternativas
Calculadora de Probabilidad
Permite calcular y graficar distribuciones de
probabilidades.
Teclado Virtual
Alternativa para mostrar y ocular el Teclado
Virtual como medio de acceso con el ratón o
mouse, que contiene los caracteres usuales
así como los símbolos matemáticos y
operadores más usuales.
Barra de Entrada
Permite mostrar u ocultar, alternativamente,
la Barra de Entrada y la lista de Comandos al
final de la ventana de GeoGebra.
Disposición...
Este submenú abre el cuadro de diálogo que
permite seleccionar y/o configurar:
La Barra de Entrada y la lista de Comandos
La Barra de Herramientas
El menú y la Barra de Estilo
La Barra Lateral
Refresca Vistas
Atajo de Teclas: Ctrl + F
Alternativa para hacer reaparecer en pantalla
todas las vistas y sus contenidos
Nota: Puede emplearse para borrar los
rastros en la Vista Gráfica.
Recálculo de todos los objetos
Atajo de Teclas: Ctrl + R
Opción para recalcular los valores aleatorios
asociados a los objetos. También se pueden
actualizar pulsando F9
Nota: Si en el boceto figura algún número
aleatorio, esta alternativa lo sortea
nuevamente.

Independencia y/o Integración de
Ventanas
Cada ventana puede abrirse por separado
y/o reincorporarse al conjunto.
Basta con un clic en el botón Expone en
una Nueva Ventana que aparece en el
extremo derecho de la Barra de Título y,
viceversa, un clic en el botón Expone en la
Ventana Principal.
Nota: Sendos botones y aparecen en
el extremo derecho de la Barra de Título y se
hacen visibles al acercarles el ratón o mouse.
En Vista CAS (Computación Algebraica
Simbólica)
Si bien esta vista dispone de su propia Barra
de Herramientas y de comandos exclusivos,
muchos de los de empleo general presentan
un comportamiento específico cuando se
ingresan en sus celdas.
Barra de Estilo
Cada Vista, e incluso la caja de la herramienta
de Probabilidades y la del Protocolo,
tiene su propia Barra de Estilo. Esta Barra se
abre y cierra pulsando...
 la flechita Barra de Estilo (In)Activa a la
izquierda de la Caja de Título de cada
Vista
 su respectivo botón cuando se hubiera
activado la Cuadro de Preferencias que
aparece, a la derecha junto al de cierre,
en el encabezado general
Ofrece acceso rápido a las alternativas de
formato, con particularidades que pueden
consultarse en cada vista en particular:
Vista Gráfica
Vista Algebraica
Hoja de Cálculo
Vista CAS

Menú Vista Gráfica
Haciendo clic derecho en el mouse
accedemos al menú Vista Gráfica

Ejes
Este ítem del menú permite ocultar o
exponer los ejes de coordenadas en la Vista
Gráfica.
Atención: Se puede emplear la Caja de
Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica
para personalizar los ejes de coordenadas.
Cuadrícula
exponer la cuadrícula de coordenadas en la
Vista Gráfica.
Atención: Se puede emplear la Caja de
Diálogo de Propiedades de la Vista Gráfica
para personalizar la cuadrícula de
coordenadas.
Barra de Navegación
exponer la Barra de Navegación por Pasos de
Construcción en la zona inferior de la Vista
Gráfica.
Para ajustar la parte visible de la Vista
Gráfica, su fondo puede desplazarse con la
herramienta Desplaza Vista Gráfica y,
además, se puede acercar o alejar el punto
de mira (“zoom” mediante) de alguna de
estas maneras:
• Con las herramientas Zoom de
Acercamiento y Zoom de Alejamiento que
dan “zoom” en la Vista Gráfica
Nota: La posición del clic, determina el centro
del “zoom”
• Con la rueda del mouse o ratón se maneja
el “zoom” en la Vista Gráfica (de ampliación
o reducción según el sentido de giro)
• Con las teclas de atajo se realiza el “zoom”
de acercamiento (Ctrl +) y el de
alejamiento (Ctrl ‐).
• Un clic derecho en una zona vacía de la
Vista Gráfica despliega un Menú Contextual
que ofrece la opción de Zoom.

HERRAMIENTAS PRINCIPALES EN
GEOGEBRA

1. Herramienta Elige y Mueve
Elige y mueve: este es el modo en que se pasa a arrastrar y soltar objetos
libres con el ratón o mouse. Basta seleccionar un objeto con un clic, estando activo
Elige y Mueve para poder…
• … eliminarlo pulsando la tecla Del (o Delete)
• … desplazarlo apelando a las teclas‐flecha
Para seleccionar varios, se puede apelar al rectángulo de selección,
encuadrando, con Elige y Mueve, la zona en que se encontraran: en una posición
vacía de la Vista Gráfica, se determina el primer extremo con un clic que se
sostiene mientras se arrastra el ratón hasta soltarlo en el vértice diagonalmente
opuesto, para establecer el marco deseado. Al soltar el botón, todos los objetos
dentro del recuadro quedan seleccionados, simultáneamente

2. Herramienta Punto
Punto: Con un clic sobre la Vista Gráfica se crea un nuevo punto.
Sus coordenadas quedan establecidas al soltar el botón de ratón o mouse
nuevamente. Atención:
• Con un clic sobre un segmento, recta, polígono, sección cónica,
función o curva, se crea un punto sobre el objeto en cuestión (ver también
el comando Punto).
• Con un clic sobre la intersección de dos objetos, se crea este
punto de intersección (ver también la herramienta Interseca Dos Objetos y
el comando Interseca).

3. Herramienta Recta
Recta que pasa por dos puntos: Al marcar dos puntos A y B se
traza la recta que cruza A y B. El vector que fija la dirección de la recta es
(B ‐ A). (Ver también el comando Recta), Atención: La dirección del vector
de la recta es (B ‐ A).
Segmento entre Dos Puntos: Al seleccionar dos puntos A y B, se
establece un segmento entre A y B (ver también el comando
Segmento). Atención: En la Vista Algebraica, podrá verse la longitud de
dicho segmento.
Semirrecta que pasa por dos puntos: Al seleccionar dos puntos
A y B se crea una semirrecta que parte de A y cruza B. (Ver también el
comando Semirrecta). Atención: En la Vista Algebraica se expone la
ecuación correspondiente a la recta.

4. Herramienta Recta
Recta Perpendicular: Al seleccionar una recta g y un punto
A, queda definida la recta que pasa por A y es perpendicular a g. (Ver
también el comando Perpendicular). Atención: La dirección de esta
recta es equivalente a la del vector perpendicular a g.
Recta Paralela: Al seleccionar una recta g y un punto A,
queda definida la recta que pasa por A y es paralela a g. (Ver también
el comando Recta). Atención: La dirección del vector de esta recta es la
de g.
Bisectriz: La bisectriz de un ángulo (ver también el comando
Bisectriz), puede definirse de dos maneras • Al marcar los tres puntos
A, B, C se produce la bisectriz del ángulo determinado por A, B y C, con
B como vértice. • Al marcar dos rectas se producen las bisectrices de
sendos ángulos. Atención: Los vectores directrices de todas las
bisectrices tienen longitud 1. Atención: La dirección de la bisectriz es
la del vector perpendicular del segmento s o AB

5 Herramienta Polígono
Polígono: Para trazar un polígono y que su área quede expuesta
en la Vista Algebraica, basta con marcar al menos tres puntos que
constituirán sus vértices y, con un clic reiterado sobre el primero de ellos,
cerrarlo. Atención: En la Vista Algebraica, se expone el área del polígono.
Polígono Regular: Al marcar dos puntos, A y B y anotar un
número n en el campo de texto la caja de diálogo emergente, se traza un
polígono regular con n vértices, incluyendo A y B. Atención: En la Vista
Algebraica, se expone el área del polígono.

6 Herramienta Circunferencia
Circunferencia dados su Centro y uno de sus
Puntos: Al seleccionar un punto M y un punto P queda
definida una circunferencia con centro en M que pasa por
P. Atención: El radio del círculo es la distancia MP.
Circunferencia dados su Centro y Radio: Tras
seleccionar un punto M como centro, se despliega la
ventana para ingresar el valor del radio.
Compás: Al seleccionar un segmento o dos
puntos, queda especificado el radio y un clic posterior sobre
un punto, lo marca como centro de la circunferencia a
trazar.

7 Herramienta Deslizador
Deslizador: Un clic en cualquier espacio libre de la Vista Gráfica crea un "dial” o
deslizador para ajustar el valor de un número o un ángulo.. La ventana de diálogo emergente
permite especificar el Nombre, Intervalo [mín, máx], e Incremento del valor correspondiente
así como la alineación con que quedará Fijado (Horizontal o Vertical) y Ancho del deslizador
(longitud expresada en pixels).
Atención: En la ventana de diálogo del Deslizador puede ingresarse el símbolo de grados ° o
pi π para intervalo e incremento, usando las siguientes teclas de atajo:
• Alt‐O para el símbolo de grados °
• Alt‐P para el símbolo π
La posición de un deslizador puede ser absoluta en la Vista Gráfica (no es afectado por
ningún tipo de “zoom”: permanece expuesto en una zona visible de la Vista Gráfica) o
relativa al sistema de coordenadas (ver Caja de Diálogo de Propiedades del número o ángulo
correspondiente).

7 Herramienta Deslizador
Una vez seleccionado el icono de la herramienta Deslizador y al hacer clic sobre
una zona libre de la pantalla aparece la ventana siguiente:
Permite crear un número variable con una
medida como referencia ya sea para un
número o un ángulo ajustado al intervalo que
se indica. Aparecerá en la vista gráfica:
si es un número variable
o si es un ángulo variable

8 Herramienta Desplaza Vista Gráfica
Desplaza Área Gráfica: Con esta herramienta, se puede arrastrar y soltar
la Vista Gráfica para cambiar la zona visible de esa área.
Atención:
• También se puede desplazar el área gráfica, estando cualquier herramienta
activa, pulsando la tecla Shift (en MS Windows, también la tecla Ctrl).y
arrastrándola con el ratón o mouse.
• Con la misma maniobra, pulsando la tecla Shift (en PC, también Ctrl), y mismas
condiciones (estando cualquier herramienta activa), también puede escalarse uno
u otro eje, simplemente arrastrándolo con el mouse o ratón.

Dibujando rectas, segmentos,
ángulos y círculos.
A. Utilizando el menú de la Barra de Herramientas construya:
• Una recta 𝐴𝐵
• Otra recta 𝐷𝐸 que interseque a la recta anterior en un punto C.
• El segmento 𝐴𝐸
B. Abra una nueva ventana (en el menú archivo) y dibuje:
• Un segmento 𝐴𝐵 de 5 unidades de longitud
• Una recta perpendicular a 𝐴𝐵 por B
• El punto medio M de 𝐴𝐵
• Un punto C que no pertenezca a 𝐴𝐵
• Una recta que contenga a C y sea perpendicular a 𝐴𝐵
• Una recta paralela a 𝐴𝐵 que contenga a C
C. Abra una ventana nueva y dibuje:
• Un segmento 𝐴𝐵
• Una circunferencia de centro A y radio AB.
• Una circunferencia de centro B y 2 unidades de radio.

D. Abra una ventana nueva y dibuje:
• Un ángulo ∠ABC
• Un ángulo de 80°
• La bisectriz del ∠ABC
E. Abra una ventana nueva y dibuje:
• Una recta 𝐴𝐵
• Un punto C que no pertenezca a 𝐴𝐵
• El simétrico de C con respecto a 𝐴𝐵
Dibujando rectas, segmentos,
ángulos y círculos.

Construcción Guiada por el Ratón o
Mouse
Preparativos
Abrir la aplicación GeoGebra.
Pasos de la Construcción
1
Seleccionar de la barra de herramientas, la de “Polígono”. Ahora, un clic tras
otro en la Vista Gráfica, permite crear los vértices A, B, y C de un triángulo que
se cierra reiterando un clic sobre A.
2
Elegir la “Bisectriz”: (un clic sobre el triangulito inferior izquierdo que aparece
en el borde de la cuarta caja de herramientas, despliega todas las disponibles y
activar la cuarta, la Bisectriz. Para trazar las de un par de ángulos, basta con
indicar los tres puntos que los delimitan, en sentido anti-horario con el vértice
entre sendos laterales: B, C, A para uno y A, B, C para el otro.
3
Con la herramienta “Intersección de Dos Objetos”, indicando ambas bisectrices,
queda establecido el punto del centro de la circunferencia buscada. Para
llamarlo “O”, basta con un clic derecho sobre el punto y elegir “Renombra” del
menú contextual desplegado.

4
Se traza la “Recta Perpendicular” desde “O” al segmento a (del lado que une a
B con C..
5
Se vuelve a emplear la herramienta “Intersección de Dos Objetos” para que
quede establecido el de la perpendicular con el lado a, “E”. Atención: Es
importante distinguir que lo que se interseca sea la perpendicular con el lado,
no con el triángulo que es una alternativa también posible pero errónea en
este caso.
6
Con “Circunferencia dados su Centro y uno de sus Puntos” se completa la
construcción con un clic en el punto centro O y otro en el de intersección
recientemente creado, “E”
7
Con “Elige y Mueve” se puede emplear el ratón o mouse para desplazar los
vértices del triángulo y notar como toda la construcción se ajusta
dinámicamente a los cambios, manteniendo las relaciones establecidas que
dan lugar a la circunferencia correspondiente.

Algunas Pistas
Los botones de “Deshace”/ y “Rehace” en la esquina derecha de la barra
de herramientas son muy útiles para el desenvolvimiento de cualquier construcción y
conviene emplearlos al menos tentativamente
Para ocultar un objeto, basta con apuntarlo y con un clic derecho (en SO Mac,
Ctrl-clic) y en el menú contextual desplegado, quitar el tilde a Muestra Objeto.
Para cambiar la apariencia de los objetos, (color, tipo de trazo,...) se puede
emplear la barra de estilo: un clic en el margen superior de la Vista Gráfica, lo expone
u oculta. Para más opciones, basta con un clic (en Mac OS: Ctrl-clic) sobre el ícono de
Propiedades de GeoGebra y seleccionar Objetos del menú.
Los Ejes y la Cuadrícula pueden mostrarse u ocultarse empleando la Barra
de Estilo.
Se pueden seleccionar diferentes vistas - como la Vista Algebraica,
Gráfica, Hoja de Cálculo y/o CAS de Algebra Simbólica, según se tilden o no en el
menú “Vista”, o en la barra lateral de Apariencias (a la derecha de la Vista Gráfica)..
Para desplazar la construcción en la Vista Gráfica, basta con seleccionar la
herramienta que “Desplaza la Vista Gráfica” y arrastrarla con ayuda del mouse o
ratón.

Construcción utilizando la Barra de
Entrada
Preparativos
Vamos ahora a llevar adelante la misma construcción pero usando la barra de
entradas, por lo que recomenzamos todo pidiendo Nuevo del menú Archivo.
Pasos de Construcción
Veamos cómo construir el mismo triángulo desde la Barra de Entrada.
Comenzamos por abrir una nueva hoja de trabajo (Archivo – Nuevo) e introducir los
siguientes comandos en la Barra de Entrada (al pie de la pantalla), pulsando Enter
(Intro en algunos teclados) al final de cada línea.
A = (2, 1)
B = (12, 5)
C = (9, 11)
Polígono[A, B, C]
CircunferenciaInscrita[A, B, C]
b_a = Bisectriz[A, B, C]
b_b = Bisectriz[B, C, A]
M = Interseca[b_a, b_b]

Algunos trucos
• Auto completado de comandos: después de ingresar las dos primeras letras de un
comando, se completa una palabra sugerida. Si se trata del comando deseado,
basta pulsar Enter (Intro en algunos teclados) pero si no es así, se continúa
tecleando el nombre del comando.
• No es necesario teclear el nombre de cada comando: es posible seleccionarlos de
la lista situada a la derecha del campo de entradas.
• Un clic sobre el botón Ingresa (a la izquierda) activa el modo Campo de entradas
que permite introducir directamente un objeto, simplemente eligiéndolo con un
clic en la Ventana de Álgebra o en la Zona Gráfica.
• Una ventana expone explicaciones más detalladas al respecto al pulsar el botón de
Ayuda con un clic sobre el correspondiente botón de la izquierda.
• Combinando las ventajas de las dos formas de trabajo posibles, mediante el mouse
o ratón y con la introducción de comandos, se obtendrán los mejores resultados
con GeoGebra.

PARÁMETROS DE UNA ECUACIÓN
LINEAL

Desafío: Cambiar dinámicamente los parámetros
de una ecuación lineal usando deslizadores.
Preparativos
Abrir GeoGebra y seleccionar la Perspectiva de Álgebra de la pantalla inicial o Con un
clic en el botón de Menú del extremo superior derecho de la ventana de GeoGebra
para seleccionar Nuevo del menú de Archivo.
Pasos de Construcción
1 Ingresar en el Campo de Entrada y = 0.8 * x + 3.2 y pulsar Enter.
2
Exploración: ¿Qué parámetros se modifican al cambiar la posición de la recta,
arrastrándola por la Vista Gráfica?
3
En la Vista Gráfica, con la herramienta adecuada, borrar la recta
¡Ojo!: Es necesario abrir la Barra de Herramientas para seleccionar la que se
precisa.
4
Con la herramienta adecuada, crear un par de deslizadores a y b aceptando los
valores por omisión para uno y otro. ¡Ojo!: Después del clic en la Vista Gráfica
se despliega un cuadro que permite especificar los parámetros del deslizador
en marcha. Un clic allí, se cierra el cuadro, se aceptan los valores en base a los
cuales se crea el deslizador.

5 Ingresar en el Campo de Entrada y = a * x + b y pulsar Enter
6
Seleccionar la herramienta Intersección desde la Barra de Herramientas de la
Vista Gráfica para crear el punto en que la recta corta el Eje-x.
7
Seleccionar la herramienta que permite incorporar un Punto en Objeto para
crear uno en el origen
8
Con la herramienta Segmento, crear el que tenga a uno y otro de los puntos
creados como extremos.
9
Con la herramienta Pendiente, crear la de la recta que contiene al segmento
creado.
Detalles Cosméticos
Se puede mejorar el aspecto de la construcción apelando a los recursos que se
ofrecen en Propiedades
Por ejemplo, incrementando el grosor del segmento para que resalte respecto del
eje de ordenadas, mostrar el valor de la pendiente en lugar del nombre u otros
detalles.
Para lograrlo, basta con hacer clic derecho en el área de Vista Gráfica para abrir
una ventana y seleccionar el botón de propiedades

Actividad 1
CAMBIA PENDIENTE CRUCE IGUAL
Se hará uso del deslizador para observar
la recta en movimiento, y que el
estudiante tenga a la vista el cambio de
valor del coeficiente de la variable
independiente “x”, conforme la gráfica
sufra los cambios. La ecuación que se
empleará es y= 2x

Actividad 2
PENDIENTE POSITIVA Y CAMBIA EL VALOR DE b
Tomando en cuenta que el punto de
intersección es el que se modifica y da
origen a nuevos lugares geométricos
según donde esté posicionado, entonces
se deslizará dicho punto de manera
oscilante para visualizar los movimientos
de la recta

Actividad 3
PENDIENTE NEGATIVA Y CAMBIA EL VALOR DE b
Se manipulará el valor de b para
distinguir los cambios de la recta cuando
la pendiente es negativa y no cambia de
valor, sólo "b"

Actividad 4
VARIACIÓN DE LA PENDIENTE
Se operará con el valor de la recta donde
"b" es diferente de 0 además de positivo,
que será un valor fijo para identificar la
variación de la pendiente.

VARIACIÓN DE LA PENDIENTE
Se operará con el valor de la recta donde
"b" es diferente de 0 además de
negativo, que será un valor fijo para
identificar la variación de la pendiente.

CONCLUSIONES
• La actividad docente debe ser una práctica que permita a los
alumnos desarrollar habilidades cognitivas; por lo cual requiere de
una transformación de pensamiento, basado en el constructivismo
y soslayar usanzas tradicionales.
• El programa de GeoGebra es una herramienta tecnológica de gran
utilidad para el docente en apoyo a las actividades a realizar en las
clases de matemáticas, ya que permite la manipulación de objetos
como las rectas, y al mismo tiempo se trabaja con álgebra.
• La comprensión del concepto de la solución gráfica de una ecuación
es de mayor trascendencia en el aprendizaje de los alumnos, que
sólo la memorización de procedimientos sin desarrollar ninguna
competencia matemática.
• La solución de ecuaciones lineales puede ser mejor comprendida
trabajando gráficamente ya que se consigue visualizar el concepto
de cada elemento de una ecuación y los puntos de solución.

Referencias
Dubinsky, E. & McDonald, M. A. (2001). APOS: A Constructivist Theory of Learning in
Undergraduate Mathematics Education Research. En D. Holton (Ed.), The Teaching and
Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study (pp. 273–280). Dordrecht,
Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
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