PROGRAMA ACADEMICO DE MATEMATICA- II UNASAM-HUARAZ-ANCASH- PERU

1. La sucesión o serie de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , 233 , 377 , 610 , 987 , 1597 … 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597
INTRODUCCION A SUCESIONES Y SERIES
La espiral de Fibonacci: una aproximación de la espiral áurea generada dibujando arcos
circulares conectando las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la
sucesión;1 adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
La sucesión comienza con los números 0 y 1;2 a partir de estos, «cada término es la suma de
los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita
en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como
Fibonacci. Aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos.
También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles,
en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las
inflorescencias del brécoli romanesco, en la configuración de las piñas de las coníferas, en la
reproducción de los conejos y en el ADN codifica el crecimiento de formas orgánicas
complejas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de los animales
https://geogebra.org/m/PkneTr8m Esp.Arquimides
Competencias:(1)Estudiar la convergencia de las sucesiones y series numéricas.(2) Conocer las series
numéricas y sus propiedades; aplicar los criterios de convergencia de las series numéricas.

2. https://geogebra.org/m/BHtd5Xag

3. https://geogebra.org/m/bys9gs4v
representación de sucesiones

9. Aplicando el criterio
de la razón separado
a cada sucesión:

10. 1
9 4n
Reemplazando en (*)
7 0 0
lim 0
1
1
9

 
 

n n
n
5
9 + n
En consecuencia es convergente.Graficando en GEOGEBRA

11. https://www.geogebra.org/m/cdPd95vH REPRESENTACION GEOMETRICA
https://www.geogebra.org/m/a3ejDbA8 Series infinitas

13.  
 
n 1 2 n 1
n 1
n
n
n n
n
n n
a.r a ar ar ... ar ...,donde:
a y r son constantes , y r es llamada razón de la serie
1 r a
i)Si r 1,lim S lim a( ) , existe
1 r 1 r
1 r
OTRA FORMA:
S
S
ii)Si r 1,li
A
m lim a(
ERIE GEOMETRIC

 

 
 
     

  
 

 

n
n 1
) ,noexiste
1 r
iii)Si r 1,la serie geometrica toma la forma: a(1) 
 

 

15. 1
( 1) . ..n
n n n n n
n
a a a a a


       

20. I
n
n n 1n n 1
n
n 1
n 1n n n
n
Usando el criterio de la razon o D Alembert:
n n 1
Se a n.2 ;a .Calculando el límite
2 2
a 2 (n 1) (n 1) 1
k lim lim lim 1.Es convergente
a 2 .n 2.n 2

 

  

  
 
    
n
n 1
:
Determinar si la serie n.2 es divergente o co
ó
nvergent
So
e
luci n




Usando el software libre GEOGEBRA-graficando

22. Una pelota se deja caer desde la altura de 12 pies. Cada vez que rebota salta a una altura de tres cuartas
partes de las distancia desde la cual cayo. Calcule la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar
en reposo. Rpta. 84 pies Solución:
Observamos en la figura , que después del primer rebote la pelota recorre dos distancias
iguales (subida y bajada). Asi, la distancia que recorre la pelota representaremos mediante la
serie infinita: usando la definición de serie geométrica o armónica.
La serie es inf
1
init
2 3 n
n
n
n 1 n
2 3 n
n 1
n 1
a r
a
3 3 3 3
d 12 2( )(12) 2( ) (12) 2( ) (12) ... 2( ) (12) ...
4 4 4 4
3 3
( ) ( )
3 4 4Nota : ( )
343 3 3 3 ( )
12 24[( ) ( ) ( ) ... ( ) ...]. 4
4 4 4 4
3 3 3
( ).( ) .En : ;
r
r 1
4 4
a
1 4
 
 



      


 
       
  

 

3
412 24[ ] 12 24(3) 84pies
3
1
4






    


24. Una pelota se deja caer desde la altura de 10 pies. Cada vez que rebota salta a una altura de tres cuartas
partes de las distancia desde la cual cayo. Calcule la distancia total recorrida por la pelota antes de quedar
en reposo. Solución:
Observamos en la figura , que después del primer rebote la pelota recorre dos distancias
iguales (subida y bajada). Asi, la distancia que recorre la pelota representaremos mediante la
serie infinita: usando la definición de serie geométrica.
La serie es inf
n
init
2 3
n
n
n 1 n 1
2 3 n
n 1
n 1
a r
a
3 3 3 3
d 10 2( )(10) 2( ) (10) 2( ) (10) ... 2(
E
a
1
) (10) ...
4 4 4 4
3 3
( ) ( )
3 4 4Nota : ( )
343 3 3 3 ( )
d 10 20[( ) ( ) ( ) ... ( ) ...].
4 r
4
4 4 4 4
3 3 3
( ).( ) . n : ;r 1
4 4
 
 



      

 
       


 
 

3
4d 10 20[ ] 10 20(3) 70pies
3
1
4







    


25. htpps://www.geogebra.org/m/PRyJmHhz

26. Una pelota se deja caer desde la altura de 10 pies. Cada vez que rebota salta a una altura de un
medio partes de las distancia desde la cual cayo. Calcule la distancia total recorrida por la pelota
antes de quedar en reposo. Rpta. 30 pies

27. n
n
n 1
n 1
n 1 n(n 1)
n 1
n n (n 1)n n n
n 1
n
n
n
n
3 n!
Determinar si la serie es convergente o divergente
n
Usando el criterio de D' Alembert
3 (n 1)!
a (3 (n 1)!)n(n 1)
lim lim lim
3 n!a (3 n!)((n 1) )
Solución
a
:lim
n
a





  






 


n
n
( 3
lim

.3(n 1) (n)! n
n
)n
( 3 n! n
)((n 1) (n 1) 
n
n
nn n
n
n 1 1n(n 1)
n
n
n
n 1
n n
3lim 3lim[ ]
(n 1) n
A
1)
1 3
3lim[(1 ) ] 3.e 1
n 1 e
3 n!
es divergente. Comp s GEOGrobando co Rn el oftware libre
n
EB
 
  



 
 

    

 

37. ES CONVERGENTE

38. n 1
n
n 1
n
Analizar si la serie es convergente o divergente: ( 1)
2




2
(n 1)
(n 1).
(n) (n).
( 1) (n 1).
( 1)(n). .2
       
   




 
 

n n n n
n n
n + 2
(-1)
n + 2 nn + 1a a (-1) 2n + 1 n + 1 2
n + 1 n + 1 n+1
(-1)a a (-1) 2n n
n
2
nn n
(-1)(-1) 2
n n
(-1) 2
lim lim lim = lim
lim lim
2
( 1) (n 1).  n
2
n
(-1) ( 1)(n). n
2
1
n
1
(n 1)
(2n).2
(n 1)
1 0 1n La serie CONVERGE
(2n) 2 2 2
n
 
   





    
n
n n
lim
lim lim

41. https://www.geogebra.org/classic/prbtpazy

42. https://www.geogebra.org/classic/ypbj7kss

43. Microsoft Teams
Https://geogebra.org/m/BHtd5Xag