Fibonacci y el numero aureo en el prisma combinatorio

FIBONACCI Y EL NUMERO AUREO EN EL
PRISMA COMBINATORIO
∆ 𝒌 ∆ 𝟎
(𝒇 𝒏−𝟐
𝒌
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝒌
) + 𝒇 𝒏
𝒌−𝟏
= 𝒇 𝒏
𝒌
(𝒇 𝒏−𝟐
𝟎
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟎
) = 𝒇 𝒏
𝟎
ф 𝒏
𝒌
=
𝒇 𝒏
𝒌
𝒇 𝒏−𝟏
𝒌 =
∑ (
𝒏+𝒌−𝟏−𝒊
𝒌
)(
𝒏−𝟏−𝒊
𝒊
)
(𝒏−𝟐)/𝟐
𝒊=𝟎
∑ (
𝒏+𝒌−𝟐−𝒊
𝒌
)(
𝒏−𝟐−𝒊
𝒊
)
(𝒏−𝟐)/𝟐
𝒊=𝟎
ф 𝒏
𝟎
=
𝒇 𝒏
𝟎
𝒇 𝒏−𝟏
𝟎 =
∑ (
𝒏−𝟏−𝒊
𝒊
)
(𝒏−𝟐)/𝟐
𝒊=𝟎
∑ (
𝒏−𝟐−𝒊
𝒊
)
(𝒏−𝟐)/𝟐
𝒊=𝟎
𝝓 𝒌 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒇 𝒏+𝟏
𝒌
𝒇 𝒏
𝒌 = 𝝓 𝝓 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒇 𝒏+𝟏
𝟎
𝒇 𝒏
𝟎
𝑭 𝒌(𝒙) =
𝒙
(𝟏−𝒙−𝒙 𝟐) 𝒌+𝟏
𝑭 𝟎(𝒙) =
𝒙
𝟏−𝒙−𝒙 𝟐
𝒇 𝒏
𝒌
=
𝟏
√𝟓
∑ 𝒇𝒊
𝒌−𝟏𝒏
𝒊=𝟏 (𝝓 𝒏−𝒊+𝟏
− 𝝋 𝒏−𝒊+𝟏
) 𝒇 𝒏
𝟎
=
𝟏
√𝟓
(𝝓 𝒏
− 𝝋 𝒏)
Enrique R. Acosta R. 2019

FIBONACCI Y EL NÚMERO ÁUREO EN EL PRISMA COMBINATORIO
Leonardo de Pisa (Pisa, c. 1170 - ib., post. 1240),1
también llamado Leonardo Pisano, Leonardo
Bigollo o simplemente Fibonacci, fue un matemático italiano muy conocido en Occidente por su
famosa sucesión, pero su aporte matemático más importante lo constituye la difusión en Europa
de la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana
utilizada en su época, y fue el primer europeo en describir la sucesión numérica que lleva su
nombre. ( Aunque mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba
descrita en la matemática de la India, en conexión con la prosodia sánscrita)
En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales:
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,….
La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los
dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define.
A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en
Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci.
Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos.
También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la
disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del
brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coníferas. De igual manera, se encuentra
en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el Nautilus.
La espiral de Fibonacci: Es una aproximación de la espiral áurea, generada dibujando arcos circulares
que conectan las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión, adosando
sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34.
Curiosamente, si dividimos cualquier número de la sucesión de Fibonacci entre el que lo precede, sobre
todo a partir del valor 5, los cocientes resultantes, nos dan un resultado aproximado al número áureo.
El número áureo fue ya definido por Euclides, como un número infinito e irrepetible, y es también
llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea,
proporción áurea y divina proporción.
Se representa por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor
griego Fidias, es un número irracional dado por:

También se representa con la letra griega Tau (Τ, τ), por ser la primera letra de la raíz griega τομή,
que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ, φ) es más común.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de
recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación: La longitud total, suma
(𝑎 + 𝑏), de los dos segmentos 𝑎, 𝑦 𝑏, es al segmento mayor 𝑎, lo que este segmento a es al
menor 𝑏. Escrito como ecuación algebraica:
𝑎+𝑏
𝑎
=
𝑎
𝑏
Siendo el valor del número áureo φ el cociente:𝑎/𝑏 Surge al plantear el problema geométrico
siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del
segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor
entre la del menor.
Es durante el Renacimiento, cuando muchísimos artistas y arquitectos compusieron sus trabajos
según la proporción Áurea, convencidos de que esta relación atribuía a las obras un carácter estético
especial. El hombre de Vitrubio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza,
está proporcionado según el número áureo o incluso la mismísima Gioconda.
Relación del número áureo con la sucesión de Fibonacci:
Si se denotas el enésimo número de Fibonacci como 𝑓𝑛, y al siguiente número de Fibonacci como
𝑓𝑛+1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razón 𝑓𝑛+1 𝑓𝑛⁄ ,oscila y es alternativamente
menor y mayor que la razón áurea. Podemos también notar que la fracción continua que describe
la aproximación al número áureo, se acerca más a dicho valor, a medida que aumenta el número de
unos en la fracción. Por ejemplo: 3/2=1,5; 5/8=1,6; y 21/13=1, 615384…..
En realidad matemáticamente, se tiene que 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒇 𝒏+𝟏
𝒇 𝒏
=ф
Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Jhohanes Kepler, pero pasaron mas de
cien años antes de que fuera demostrada por el matemático ingles Robert Simson. Con
posterioridad, se encontró que cualquier sucesión aditiva recurrente de orden 2, tiende al mismo
límite. Por ejemplo si tomamos dos números naturales arbitrarios como el 3 y el 7, la sucesión
recurrente resultante: 3,7,10,17,27,44,71,115,186,301,….es tal que, los cocientes de dos términos
sucesivos, producen aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso, o por
defecto, al valor de ϕ. Por ejemplos: 44/27=1,629 629 …; 71/44=1,613636...;
115/71=1,619718309…; 301/186=1,6182795698924731…
A mediados del siglo XX, el matemático francés Jaques Philippe Marie Binet redescubrió una fórmula
que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemático francés Abraham
de Moivre. La fórmula permite encontrar el enésimo número de Fibonacci, sin la necesidad de
producir todos los números anteriores. La fórmula de Binet, depende exclusivamente del número
áureo: 𝒇 𝒏 =
𝟏
√𝟓
[(
𝟏+√𝟓
𝟐
)
𝒏
− (
𝟏−√𝟓
𝟐
)
𝒏
] =
𝟏
√𝟓
[𝝓 𝒏
− (𝟏 − ф) 𝒏]
Nota: Información tomada de la Wikipedia

Esta sucesión puede obtenerse fácilmente del Triángulo de Pascal, aunque el propio Pascal (1623-
1662) no dejó evidencia de su conocimiento de ello.
Para tal fin, podemos p. ej., partir de un Triángulo Aritmético (∆0), en este caso de 8 filas, tal como
se muestra en la figura-tabla, a continuación, siguiendo los procedimientos allí indicados:
∆0, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 8
𝑓𝑛
0
: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34
Fila
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Para nuestros fines, denominaremos 𝒇 𝒏
𝟎
, los valores de Fibonacci para el caso de 𝒌 = 𝟎, y en
forma general 𝒇 𝒏
𝒌
, dichos valores para cualquier caso de 𝒌 en el Prisma Combinatorio.
Si sumamos los coeficientes binómicos de ∆0, siguiendo las direcciones diagonales indicadas en la
figura, obtendremos la sucesión de valores suma dada por: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,….Estos valores
corresponden a la conocida sucesión de Fibonacci, partiendo del valor: 𝑓1
0
= 1, sucesión a la
deberemos agregar por convención, el valor inicial 𝒇 𝟎
𝟎
= 𝟎
Si utilizamos como subíndice de los términos de la sucesión de Fibonacci, el valor de la fila
correspondiente de ∆ 𝟎, entonces para la fila n del Triángulo Aritmético, corresponderá el valor
𝒇 𝒏+𝟏
𝟎
de la sucesión, además, nuestros términos comenzaran en 𝒇 𝟏
𝟎
= 𝟏, para n=0, mientras que
por convención, deberá agregarse el valor 𝒇 𝟎
𝟎
= 𝟎
Luego para el Triángulo Aritmético, o sea para el caso del Prisma Combinatorio correspondiente
a k=0, es decir a ∆0, se tendrá:
Suma de términos
Sucesivos en ∆0
𝑓𝑛
0
(0+1) = 1
(1+1) = 2
(1+2) = 3
(2+3) = 5
(3+5) = 8
(5+8) = 13
(8+13) = 21
(13+21) = 34
(21+34) = 55
Donde comprobamos que se cumple la igualdad: 𝒇 𝒏−𝟐
𝟎
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟎
= 𝒇 𝒏
𝟎
,
Que será la expresión de la sucesión de Fibonacci para el nivel k=0 del Prisma Combinatorio
La expresión matemática en función de que la fila n de ∆ 𝟎, sea par o impar será: 1)Para n par:
𝑓𝑛+1
0
= (
𝑛
0
) + (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
𝑛/2
𝑛/2
) = ∑ (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
𝑛/2
𝑖=0
Ejemplo, para 𝑛 = 8 , resulta:
𝑓9
0
= (
8
0
) + (
7
1
) + (
6
2
) + (
5
3
) + (
4
4
) = 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34

2) Para n impar:
𝑓𝑛+1
0
= (
𝑛
0
) + (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
(𝑛 + 1)/2
(𝑛 − 1)/2
) = ∑ (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
Ejemplo, para 𝑛 = 7, resulta:
𝑓8
0
= (
7
0
) + (
6
1
) + (
5
2
) + (
4
3
) = 1 + 6 + 10 + 4 = 21
Como los términos de 𝒇 𝒏
𝟎
, siguen una secuencia para n, que podemos resumir en dos casos
posibles:
1.) Secuencia impar-par
Sea la sucesión 𝑓1
0
, 𝑓2
0
, 𝑓3
0
, … , 𝑓𝑛−1
0
, 𝑓𝑛
0
, donde n-1 es impar, y n es par. Podemos obtener la
expresión de dos términos sucesivos en función de un mismo valor de n, correspondiente
a la fila n de ∆0 (en este caso n es par)
Así resultan en base a un mismo n par, las expresiones siguientes:
𝑓𝑛
0
= ∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
0
= ∑ (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Estos resultados nos permiten obtener una expresión del cociente entre dos valores
sucesivos de la sucesión, que denominaremos ф 𝑛
0
=
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 , expresión muy útil para la
determinación del límite correspondiente al número áureo.
ф 𝑛
0
=
∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Ejemplo, para n=10, tendríamos:
ф10
0
=
𝑓10
0
𝑓9
0 =
∑ (
9−𝑖
𝑖
)4
0
∑ (
8−𝑖
𝑖
)4
0
=
(
9
0
)+(
8
1
)+(
7
2
)+(
6
3
)+(
5
4
)
(
8
0
)+(
7
1
)+(
6
2
)+(
5
3
)+(
4
4
)
=
1+8+21+20+5
1+7+15+10+1
=
55
34
=1,6176470…

2.) Secuencia par-impar
0
, 𝑓2
0
, 𝑓3
0
, … , 𝑓𝑛−1
0
, 𝑓𝑛
0
, donde n-1 es par, y n es impar. Podemos obtener la
a la fila n de ∆0 (en este caso n es impar)
Así resultan en base a un mismo n impar, las expresiones siguientes:
𝑓𝑛
0
= ∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
0
= ∑ (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
En este caso, la expresión correspondiente para ф 𝑛
0
=
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 , será:
ф 𝑛
0
=
∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
ф11
0
=
∑ (
10−𝑖
𝑖
)5
0
∑ (
9−𝑖
𝑖
)4
0
=
𝑓11
0
𝑓10
0 =
(
10
0
)+(
9
1
)+(
8
2
)+(
7
3
)+(
6
4
)+(
5
5
)
(
9
0
)+(
8
1
)+(
7
2
)+(
6
3
)+(
5
4
)
=
1+9+28+35+15+1
1+8+21+20+5
=
89
55
=1,61818181…

Para el Prisma Combinatorio con valores de k≥1
Para el nivel k=1 del Prisma Combinatorio, es decir para ∆ 𝟏:
Con ∆1, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 8
𝑓𝑛
1
: 0 1 2 5 10 20 38 71 130 235
Fila
0 1
1 2 2
2 3 6 3
3 4 12 12 4
4 5 20 30 20 5
5 6 30 60 60 30 6
6 7 42 105 140 105 42 7
7 8 56 168 280 280 168 56 8
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Como puede notarse en este caso los valores de la sucesión 1,2,5,10,20,38,71,130,235,… que
resulta de la suma de coeficientes trinomiales de ∆1 según las direcciones diagonales análogas al
caso de ∆0 , no cumplen directamente con la relación característica de la sucesión de Fibonacci:
𝑓𝑛
0
= 𝑓𝑛−1
0
+ 𝑓𝑛−2
0
Pero, si a las sumas de cada 2 coeficientes sucesivos 𝑓𝑛−2
1
,y 𝑓𝑛−1
1
,de esta sucesión de valores de
𝑓𝑛
1
, se le agrega el coeficientes correspondiente 𝑓𝑛
0
, de lugar n, de la sucesión de Fibonacci para
∆0, entonces sí se obtienen los coeficientes siguientes de dicha sucesión para el caso de 𝑘 = 1
Recogemos en la siguiente tabla el resultado de agregar a la suma de cada 2 coeficientes sucesivos
de la sucesión 1,2,5,10,20,38,71,130,235, los valores de 𝑓𝑛
0
, correspondientes de la sucesión de
Fibonacci en ∆0
Suma de términos
Sucesivos en ∆1
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1
(0+1) + 1 = 2
(1+2) + 2 = 5
(2+5) + 3 = 10
(5+10) + 5 = 20
(10+20) + 8 = 38
(20+38) + 13 = 71
(38+71) + 21 = 130
(71+130) + 34 = 235
(130+235) + 55 = 420
En términos generales, podemos ver que se cumple: (𝑓𝑛
1
+ 𝑓𝑛+1
1
) + 𝑓𝑛+2
0
= 𝑓𝑛+2
1
, que por
conveniencia podemos re-escribir como:
(𝒇 𝒏−𝟐
𝟏
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
) + 𝒇 𝒏
𝟎
= 𝒇 𝒏
𝟏
Que será la expresión de la sucesión de Fibonacci para el nivel k=1 del Prisma Combinatorio.

Recordando que para cualquier nivel k, en el Prisma Combinatorio, la relación entre la fila n, de un
∆k, con respecto a la fila n de ∆0, está dada por:
𝑭 𝒏
𝒌
= (
𝒏 + 𝒌
𝒌
) 𝑭 𝒏
𝟎
La expresión matemática en función de que la fila n de ∆ 𝟏, sea par o impar será:
1)Para n par:
𝑓𝑛+1
1
= (
𝑛 + 1
1
) (
𝑛
0
) + (
𝑛
1
) (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛 − 1
1
) (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
𝑛
2
+ 1
1
) (
𝑛/2
𝑛/2
)
= ∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
𝑛/2
𝑖=0
𝑓9
1
= (
9
1
) (
8
0
) + (
8
1
) (
7
1
) + (
7
1
) (
6
2
) + (
6
1
) (
5
3
) + (
5
1
) (
4
4
) = 9.1 + 8.7 + 7.15 + 6.10 + 5.1
= 9 + 56 + 105 + 60 + 5 = 235
2) Para n impar:
𝑓𝑛+1
1
= (
𝑛 + 1
1
) (
𝑛
0
) + (
𝑛
1
) (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛 − 1
1
) (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
𝑛 − 1
2
+ 2
1
) (
(𝑛 + 1)/2
(𝑛 − 1)/2
)
= ∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
𝑓8
1
= (
8
1
) (
7
0
) + (
7
1
) (
6
1
) + (
6
1
) (
5
2
) + (
5
1
) (
4
3
) = 8.1 + 7.6 + 6.10 + 5.4 = 8 + 42 + 60 + 20
= 130
Análogamente al caso del Triángulo aritmético, los términos de 𝒇 𝒏
𝟏
, siguen una secuencia para n,
que podemos resumir en dos casos posibles:

1
, 𝑓2
1
, 𝑓3
1
, … , 𝑓𝑛−1
1
, 𝑓𝑛
1
𝑓𝑛
1
= ∑ (
𝑛 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
1
= ∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
sucesivos para el caso de la sucesión de Fibonacci para el nivel k=1 , que denominaremos
ф 𝑛
1
=
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 , expresión muy útil para la determinación del límite correspondiente al análogo
del número áureo para ∆1 .
ф 𝑛
1
=
∑ (
𝑛 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
ф10
1
=
𝑓10
1
𝑓9
1 =
∑ (
10−𝑖
1
)(
9−𝑖
𝑖
)4
0
∑ (
9−𝑖
1
)(
8−𝑖
𝑖
)4
0
=
(
10
1
)(
9
0
)+(
9
1
)(
8
1
)+(
8
1
)(
7
2
)+(
7
1
)(
6
3
)+(
6
1
)(
5
4
)
(
9
1
)(
8
0
)+(
8
1
)(
7
1
)+(
7
1
)(
6
2
)+(
6
1
)(
5
3
)+(
5
1
)(
4
4
)
=
10.1+9.8+8.21+7.20+6.5
9.1+8.7+7.15+6.10+5.1
=
10+72+168+140+30
9+56+105+60+5
=
420
235
=1,7872340…
1
, 𝑓2
1
, 𝑓3
1
, … , 𝑓𝑛−1
1
, 𝑓𝑛
1

𝑓𝑛
1
= ∑ (
𝑛 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
1
= ∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
1
=
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 , será:
ф 𝑛
1
=
∑ (
𝑛 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 1 − 𝑖
1
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
ф11
1
=
𝑓11
1
𝑓10
1 =
∑ (
11−𝑖
1
)(
10−𝑖
𝑖
)5
0
∑ (
10−𝑖
1
)(
9−𝑖
𝑖
)4
0
=
(
11
1
)(
10
0
)+(
10
1
)(
9
1
)+(
9
1
)(
8
2
)+(
8
1
)(
7
3
)+(
7
1
)(
6
4
)+(
6
1
)(
5
5
)
(
10
1
)(
9
0
)+(
9
1
)(
8
1
)+(
8
1
)(
7
2
)+(
7
1
)(
6
3
)+(
6
1
)(
5
4
)
=
11.1+10.9+9.28+8.35+7.15+6.1
10.1+9.8+8.21+7.20+6.5
=
11+90+252+280+105+6
10+72+168+140+30
=
744
420
=1,7714285714…

Para el nivel k=2 del Prisma Combinatorio, es decir para ∆ 𝟐:
Con ∆2, ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 8
𝑓𝑛
2
: 0 1 3 9 22 51 111 233 474 942
Fila
0 1
1 3 3
2 6 12 6
3 10 30 30 10
4 15 60 90 60 15
5 21 105 210 210 105 21
6 28 168 420 560 420 168 28
7 36 252 756 1260 1260 756 252 36
8 45 360 1260 2520 3150 2520 1260 360 45

Si de manera análoga, a las sumas de cada 2 coeficientes sucesivos de la sucesión resultante de
valores de 𝑓𝑛
2
, se le agregan los coeficientes correspondientes de la sucesión de Fibonacci para ∆1,
entonces sí se obtienen los coeficientes siguientes de dicha sucesión para el caso de 𝑘 = 2
Recogemos en la siguiente tabla el resultado de agregar a la suma de cada 2 coeficientes sucesivos
de la sucesión 1,3,9,22,51,111,233,474,942, los valores de 𝑓𝑛
1
, correspondientes de la sucesión de
Fibonacci en ∆1
Suma de términos
Sucesivos en ∆2
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛
2
(0+1) + 2 = 3
(1+3) + 5 = 9
(3+9) + 10 = 22
(9+22) + 20 = 51
(22+51) + 38 = 111
(51+111) + 71 = 233
(111+233) + 130 = 474
(233+474) + 235 = 942
(474+942) + 420 = 1836
En términos generales, podemos ver que se cumple: (𝑓𝑛
2
+ 𝑓𝑛+1
2
) + 𝑓𝑛+2
1
= 𝑓𝑛+2
2
, que por
conveniencia podemos re-escribir como:
(𝒇 𝒏−𝟐
𝟐
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟐
) + 𝒇 𝒏
𝟏
= 𝒇 𝒏
𝟐
Que será la expresión de la sucesión de Fibonacci para el nivel k=2 del Prisma Combinatorio.
Así mismo, podemos obtener las expresiones de 𝒇 𝒏
𝟐
, en términos del valor n de las filas de ∆ 𝟐
La expresión matemática en función de que la fila n de ∆ 𝟐, sea par o impar será:
1)Para n par:
𝑓𝑛+1
2
= (
𝑛 + 2
2
) (
𝑛
0
) + (
𝑛 + 1
2
) (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛
2
) (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
𝑛
2
+ 2
2
) (
𝑛/2
𝑛/2
)
= ∑ (
𝑛 + 2 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
𝑛/2
𝑖=0

𝑓9
2
= (
10
2
) (
8
0
) + (
9
2
) (
7
1
) + (
8
2
) (
6
2
) + (
7
2
) (
5
3
) + (
6
2
) (
4
4
)
= 45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1 = 45 + 252 + 420 + 210 + 15 = 942
2) Para n impar:
𝑓𝑛+1
2
= (
𝑛 + 2
2
) (
𝑛
0
) + (
𝑛 + 1
2
) (
𝑛 − 1
1
) + (
𝑛
2
) (
𝑛 − 2
2
) + ⋯ + (
𝑛 + 1
2
+ 2
2
) (
(𝑛 + 1)/2
(𝑛 − 1)/2
)
= ∑ (
𝑛 + 2 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
𝑓8
2
= (
9
2
) (
7
0
) + (
8
2
) (
6
1
) + (
7
2
) (
5
2
) + (
6
2
) (
4
3
) = 36.1 + 28.6 + 21.10 + 15.4
= 36 + 168 + 210 + 60 = 474
De manera análoga, hemos desarrollado las expresiones de 𝒇 𝒏
𝟐
, para los 2 casos de secuencia
posibles en la sucesión, según n sea par o impar.
2
, 𝑓2
2
, 𝑓3
2
, … , 𝑓𝑛−1
2
, 𝑓𝑛
2
𝑓𝑛
2
= ∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
2
= ∑ (
𝑛 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
sucesivos para el caso de la sucesión de Fibonacci para el nivel k=2 , que denominaremos
ф 𝑛
2
=
𝑓𝑛
2
𝑓𝑛−1
2 , expresión muy útil para la determinación del límite correspondiente al análogo
del número áureo para ∆2 .

ф 𝑛
2
=
∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Por ejemplo, para n=10
ф10
2
=
𝑓10
2
𝑓9
2 =
∑ (
11 − 𝑖
2
) (
9 − 𝑖
𝑖
)4
𝑖=0
∑ (
10 − 𝑖
2
) (
8 − 𝑖
𝑖
)4
𝑖=0
=
(
11
2
) (
9
0
) + (
10
2
) (
8
1
) + (
9
2
) (
7
2
) + (
8
2
) (
6
3
) + (
7
2
) (
5
4
)
(
10
2
) (
8
0
) + (
9
2
) (
7
1
) + (
8
2
) (
6
2
) + (
7
2
) (
5
3
) + (
6
2
) (
4
4
)
=
55.1 + 45.8 + 36.21 + 28.20 + 21.5
45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1
=
55 + 360 + 756 + 560 + 105
45 + 252 + 420 + 210 + 15
=
1836
942
= 1,949044585 …
2
, 𝑓2
2
, 𝑓3
2
, … , 𝑓𝑛−1
2
, 𝑓𝑛
2
𝑓𝑛
2
= ∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
Y
𝑓𝑛−1
2
= ∑ (
𝑛 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
2
=
𝑓𝑛
2
𝑓𝑛−1
2 , será:

ф 𝑛
2
=
∑ (
𝑛 + 1 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 − 𝑖
2
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
Por ejemplo, para n=9
ф9
2
=
𝑓9
2
𝑓8
2 =
∑ (
10 − 𝑖
2
) (
8 − 𝑖
𝑖
)4
𝑖=0
∑ (
9 − 𝑖
2
) (
7 − 𝑖
𝑖
)3
𝑖=0
=
=
(
10
2
) (
8
0
) + (
9
2
) (
7
1
) + (
8
2
) (
6
2
) + (
7
2
) (
5
3
) + (
6
2
) (
4
4
)
(
9
2
) (
7
0
) + (
8
2
) (
6
1
) + (
7
2
) (
5
2
) + (
6
2
) (
4
3
)
=
45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1
36.1 + 28.6 + 21.10 + 15.4
=
45 + 252 + 420 + 210 + 15
36 + 168 + 210 + 60
=
942
474
= 1,987341772 …
En vista de estos resultados, podemos inferir, sin temor a equivocarnos, las expresiones, que
corresponderán al caso general para el nivel k, del Prisma Combinatorio.
1.) La expresión matemática de 𝒇 𝒏+𝟏
𝒌
, en función de que la fila n de ∆ 𝒌, sea par o impar será:
Para n par: 𝒇 𝒏+𝟏
𝒌
= ∑ (
𝒏 + 𝒌 − 𝒊
𝒌
)
𝒏/𝟐
𝒊=𝟎 (
𝒏 − 𝒊
𝒊
)
Para n impar: 𝒇 𝒏+𝟏
𝒌
= ∑ (
𝒏 + 𝒌 − 𝒊
𝒌
)
(𝒏−𝟏)/𝟐
𝒊=𝟎 (
𝒏 − 𝒊
𝒊
)
2.) La expresión de la sucesión de Fibonacci para el nivel k del Prisma Combinatorio:
(𝒇 𝒏−𝟐
𝒌
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝒌
) + 𝒇 𝒏
𝒌−𝟏
= 𝒇 𝒏
𝒌
Nótese que en el caso de k=0 correspondiente a ∆0, el término 𝑓𝑛
𝑘−1
es nulo, y la relación
se reduce a: 𝑓𝑛−2
0
+ 𝑓𝑛−1
0
= 𝑓𝑛
0
3.) La expresión del cociente entre dos valores sucesivos de Fibonacci en base a una misma
n, en ∆ 𝒌

Para n par:
ф 𝑛
𝑘
=
𝑓𝑛
𝑘
𝑓𝑛−1
𝑘 =
∑ (
𝑛 + 𝑘 − 1 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 + 𝑘 − 2 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Y Para n impar:
ф 𝑛
𝑘
=
𝑓𝑛
𝑘
𝑓𝑛−1
𝑘 =
∑ (
𝑛 + 𝑘 − 1 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
∑ (
𝑛 + 𝑘 − 2 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 2 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−3)/2
𝑖=0
Nota: En el prisma combinatorio, el supra- índice k, siempre denota nivel y no potencia
El Número Áureo en el Triángulo Aritmético ∆ 𝟎
El nᴼ áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta 𝑎 𝑦 𝑏,
con 𝑎 > 𝑏, que cumplen con la siguiente relación:
La longitud total o suma 𝑎 + 𝑏, de los dos segmentos dados, es al segmento mayor 𝑎, como este es
al segmento menor 𝑏. Escrito en términos algebraicos, tal relación, se puede expresar como:
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑎
𝑏
Es decir geométricamente hablando, el segmento 𝑎, es media proporcional entre la longitud total
𝑎 + 𝑏, y el segmento 𝑏.
Esta proporción, nos conduce a la ecuación: 𝑎2
= 𝑏(𝑎 + 𝑏), equivalente a la ecuación de segundo
grado : 𝑎2
− 𝑎𝑏 − 𝑏2
= 0
Cuyas raíces nos dan como solución en 𝑎:
𝑎 =
𝑏 ± √𝑏2 + 4𝑏2
2
=
𝑏 ± 𝑏√5
2
=
𝑏(1 ± √5)
2
De donde:
𝑎
𝑏
=
1±√5
2
La solución positiva,
𝑎
𝑏
=
1+√5
2
es la relación que se denomina comúnmente relación áurea o
número áureo.
Se acostumbra a representarlo mediante la letra griega Φ, en mayúscula, o más comúnmente en
minúscula ф, en honor al famoso escultor griego Fidias, que utilizó esta proporción, en multitud de
sus obras artísticas de escultura y arquitectura. Ф, es un número irracional que ha sido calculado
con gran aproximación y numerosos decimales como:

ф =
1+√5
2
= 1,61803398874989484820458683…
Aunque la proporción áurea, fue utilizada desde la antigüedad griega, en numerosas obras de arte
pictóricas, escultóricas y arquitectónicas, es durante el renacimiento europeo, cuando muchísimos
artistas y arquitectos redescubren su valor, y ejecutaron sus trabajos aplicando el número áureo
como canon máximo de belleza perfecta, en sus obras artísticas y escultóricas.
La solución correspondiente a la raíz negativa de la ecuación, se acostumbra denominar como
sección áurea, y se suele representar por una forma más llana de la letra Phi, (ϕ), siendo ϕ, el inverso
con signo contrario a la proporción áurea, es decir:
𝜑 = −
1
ф
= −
1
1 + √5
2
=
−2
(1 + √5 )
.
(1 − √5 )
(1 − √5 )
=
2(1 − √5 )
4
=
(1 − √5 )
2
Entonces, 𝜑 =
(1−√5 )
2
= −0,61803398874989484820458683 …
El número áureo se pone en evidencia en el triángulo aritmético o de Pascal, a través de la
sucesión de Fibonacci.
Si de denota al n-ésimo término de la sucesión de Fibonacci, que se obtiene de ∆ 𝟎 , al sumar los
coeficientes según las direcciones diagonales, como 𝒇 𝒏
𝟎
, y al término precedente como 𝒇 𝒏−𝟏
𝟎
,
notamos que a medida que aumenta n, la relación ф 𝑛
0
=
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 , oscila alternativamente entre valores
mayores y menores pero cercanos al valor de la proporción áurea ф =
1+√5
2
. Podemos también notar
que la fracción continua que describe la aproximación al número áureo, se acerca más a dicho valor
a medida que aumenta el número de unos presentes en la fracción. Por ejemplos:
ф 𝑛
0
=
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0
2/1=2
3/2=1,5
5/3=1,6…..
8/5=1,6
13/8=1,625
21/13=1,6153846…..
34/21=1,619047…..
55/34=1,617647058823529411….
En realidad, matemáticamente hablando, se puede demostrar que: lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 = ф, como veremos
más adelante. Esta propiedad fue descubierta por el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-
1630), pero pasó más de un siglo, para que fuera demostrada formalmente por el matemático
escoces Robert Simpson (1687-1768). Podemos utilizar nuestras expresiones de ф 𝑛
0
=
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 , para
comprobar que dicho cociente varía asintóticamente aproximándose de manera rápida y alternativa
por encima y por debajo al valor límite ф.

Esta propiedad es en realidad más general, ya que, con posterioridad, se encontró que cualquier
sucesión aditiva recurrente de orden 2, tiende al mismo límite. Por ejemplo, si tomamos dos
números naturales arbitrariamente, como el 3 y el 7, la sucesión recurrente resultante: 3,7,10,
17,27,44,71,115,186,301,…es tal, que los cocientes de dos términos sucesivos, producen
aproximaciones racionales que se acercan asintóticamente por exceso, o por defecto, al valor de
ф
Por ejemplo:
Cocientes sucesivos
7/3=2,3…..
10/7=1,428571….
17/10=1,7
27/17=1,5882352941176470…..
44/27=1,629….
71/44=1,6136….
115/71=1,619718309859154…….
186/115=1,61739130434782……
En 1834, el matemático francés Jaques Philippe Marie Binet , redescubrió una fórmula que ya era
utilizada por Leonhard Euler, y por Daniel Bernoulli, y que hoy se reconoce fue deducida por Abrahan
d`Moivre en el siglo anterior. La fórmula de D`Moivre-Binet, permite encontrar el n-ésimo número
de Fibonacci, sin tener que obtener los términos previos. Dicha fórmula depende exclusivamente
del número áureo, y está dada por:
𝑓𝑛 =
1
√5
[(
1 + √5
2
)
𝑛
− (
1 − √5
2
)
𝑛
] =
1
√5
[ф 𝑛
− (1 − ф) 𝑛]
Otras propiedades importantes del número áureo:
ф2
= ф + 1
ф2
−
1
ф
= 2
ф − 1 =
1
ф
ф3
=
ф + 1
ф − 1
ф 𝑛
= ф 𝑛−2
+ ф 𝑛−1
Esta última propiedad, es la análoga recursiva de los números de la sucesión de Fibonacci, pero
aplicadas a las potencias n-ésimas posteriores y sucesivas de ф

Una de las propiedades más importantes, es la que liga la sucesión de Fibonacci, con el número
áureo, y está dada por:
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛+1
0
𝑓𝑛
0 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 = ф
De donde, también debe cumplirse:
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛+1
0 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛−1
0
𝑓𝑛
0 =
1
ф
Según la propiedad de Fibonacci para k=0
𝑓𝑛
0
= 𝑓𝑛−2
0
+ 𝑓𝑛−1
0
Dividiendo ambos términos de la igualdad entre 𝑓𝑛−1
0
, resulta:
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 =
𝑓𝑛−2
0
𝑓𝑛−1
0 + 1 =
1
𝑓𝑛−1
0
𝑓𝑛−2
0
+ 1
Si pasamos al límite cuando n→ ∞, será:
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 =
1
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛−1
0
𝑓𝑛−2
0
+ 1
Pero en el límite, también deberá ser:
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛−1
0
𝑓𝑛−2
0
Si llamamos ф, al límite común, entonces la igualdad anterior, puede escribirse como:
ф =
1
ф
+ 1
De donde: ф2
− ф − 1 = 0
Siendo la solución positiva de esta ecuación: ф =
1+√5
2
, por lo tanto hemos demostrado que en
efecto:
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛−1
0 = ф =
1 + √5
2

Otra propiedad importante, que asocia la sucesión de Fibonacci con la potencia n-ésima del número
áureo ф 𝑛
, en términos de sus 2 potencias n-ésimas anteriores, la podemos obtener de la igualdad
que ya hemos deducido anteriormente:
ф =
1
ф
+ 1
De donde
ф2
= 1 + ф
Multiplicando toda la expresión por ф 𝑛−2
, resulta:
ф 𝒏
= ф 𝒏−𝟐
+ ф 𝒏−𝟏
Podríamos decir que la potenciación ф 𝒏
, del número áureo ф ,responde a la misma recurrencia
que los términos de la sucesión de Fibonacci, en el sentido que su potencia a la n, es igual a la
suma de sus potencias anteriores consecutivas ф 𝑛−1
, y ф 𝑛−2
,
De igual manera, esta propiedad, también se cumple para la sección áurea 𝜑 = −
1
ф
, o, ф = −
1
𝜑
,
valor que si sustituimos en la relación anterior, nos da:
(−
1
𝜑
)
𝑛
= (−
1
𝜑
)
𝑛−2
+ (−
1
𝜑
)
𝑛−1
Y como los términos (−
1
𝜑
)
𝑛
, y (−
1
𝜑
)
𝑛−2
,son ambos del mismo signo (sea n par, o impar), podemos
escribir:
1
𝜑 𝑛 =
1
𝜑 𝑛−2 −
1
𝜑 𝑛−1, expresión que multiplicada por 𝜑2𝑛
, resulta en: 𝜑 𝑛
= 𝜑 𝑛+2
− 𝜑 𝑛+1
, de
donde: : 𝜑 𝑛+2
= 𝜑 𝑛
+ 𝜑 𝑛+1
, y multiplicando esta última expresión por 𝜑−2
, obtenemos:
𝝋 𝒏
= 𝝋 𝒏−𝟐
+ 𝝋 𝒏−𝟏
Expresión recurrente, análoga a la que se cumple para el número áureo, pero para la potenciación
𝜑 𝑛
, de la sección áurea 𝜑 , en función de sus 2 potencias n-ésimas anteriores.
El número áureo en el prisma combinatorio para k=1
Con anterioridad, ya hemos encontrado los términos de la sucesión de Fibonacci para el caso de
k=1, desde 𝑓1
1
,hasta 𝑓10
1
(a los que tendríamos que agregar convencionalmente 𝑓0
1
= 0 )
𝑓𝑛
1
: 0,1,2,5,10,20,39,71,130,235,420, …
Utilizando nuestras expresiones para los cocientes sucesivos ф 𝑛
1
=
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 , hemos elaborado una
pequeña tabla de valores (hasta n=27), con fines de su representación gráfica como tendencia.

n 𝑓𝑛
1
𝜙 𝑛
1
0 0 -
1 1 -
2 2 2
3 5 2,5
4 10 2
5 20 2
6 38 1,9
7 71 1,868421
8 130 1,830985
9 235 1,807692
10 420 1,787234
11 744 1,771428
12 1308 1,758064
13 2285 1,746941
14 3970 1,737417
15 6865 1,729219
16 11822 1,722068
17 20284 1,715784
18 34690 1,710214
19 59155 1,705246
20 100610 1,700786
21 170711 1,696759
22 289032 1,693107
23 488340 1,689570
24 823800 1,686939
25 1387225 1,683934
26 2332418 1,681355
27 3916061 1,678970
Valores sucesivos 𝒇 𝒏
𝟏
, y sus cocientes ф 𝑛
1
=
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 , para k=1 del P.C., desde n=2, hasta n=27
Hemos realizado como comprobación el cálculo adicional (de control) para n=50, resultando:
ф50
1
=
𝑓50
1
𝑓49
1 = 1,650686
Es evidente, que necesitaríamos muchos más términos de la sucesión de cocientes sucesivos, para
ser más concluyentes, pero con los datos obtenidos, tabulados y graficados a continuación, se nota
una tendencia clara hacia un valor límite asintótico ≈ ф

Gráfico de tendencia asintótica de ф 𝒏
𝟏
=
𝒇 𝒏
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
La escala horizontal que corresponde al caso de n, para ф 𝑛
1
, por conveniencia en la representación
gráfica, se ha reducido en un décimo, es decir p.ej., 1,5, representa el valor n=15
Trataremos a continuación de obtener un límite equivalente a ф, correspondiente al caso de k=1
Partiendo de la relación de Fibonacci para el caso de ∆1:
𝒇 𝒏
𝟏
= (𝒇 𝒏−𝟐
𝟏
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
) + 𝒇 𝒏
𝟎
Si llamamos 𝜙1= lim
𝑛→∞
𝑓𝑛+1
1
𝑓𝑛
1 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 , también será: lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛+1
1 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛−1
1
𝑓𝑛
1 =
1
𝜙1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Cocientes de números de Fibonacci sucesivos, en nivel k=1
ф

Si dividimos la relación de Fibonacci para este caso por 𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
, obtenemos:
ф 𝒏
𝟏
=
𝒇 𝒏
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
=
(𝒇 𝒏−𝟐
𝟏
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
) + 𝒇 𝒏
𝟎
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
=
𝒇 𝒏−𝟐
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
+ 𝟏 +
𝒇 𝒏
𝟎
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
Que podemos escribir como: ф 𝒏
𝟏
=
𝒇 𝒏
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏 =
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏
𝒇 𝒏−𝟐
𝟏
+ 𝟏 +
𝒇 𝒏
𝟎
𝒇 𝒏
𝟏
𝒇 𝒏
𝟏
𝒇 𝒏−𝟏
𝟏 , si pasamos al límite, cuando n→∞
También será: 𝜙1= lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛−1
1 = lim
𝑛→∞
𝑓𝑛−1
1
𝑓𝑛−2
1 , entonces la relación anterior se transforma en:
𝜙1 =
1
𝜙1
+1+ lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1 . ф
Si suponemos que 𝜙1 = 𝜙, tendríamos:
ϕ =
1
ϕ
+ 1 + lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1 . ф
De donde: ϕ2
= 1 + ϕ + ϕ2
lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1
Luego: lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1 = 1 −
ϕ+1
ϕ2 , pero ϕ + 1 = ϕ2
, luego resultaría: lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1 = 0, y por ende la relación
inicial se reduce a : ϕ =
1
ϕ
+ 1, lo cual se cumple si el supuesto 𝜙1 = 𝜙, es cierto.
El cociente
𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1, es en efecto un valor que tiende progresivamente a cero, ya que el denominador de
la fracción es un valor que crece mucho más rápido que el numerador, a medida que aumenta n,
como se evidencia en la tabla que hemos elaborado para los primeros 27 cocientes del caso, la cual
se presenta a continuación.

n 𝑓𝑛
0
𝑓𝑛
1
𝑓𝑛
0
/𝑓𝑛
1
1 1 1 1
2 1 2 0,5
3 2 5 0,4
4 3 10 0,3
5 5 20 0,25
6 8 38 0,2105263
7 13 71 0,1830985
8 21 130 0,1615384
9 34 235 0,1446808
10 55 420 0,1309523
11 89 744 0,1196236
12 144 1308 0,1100917
13 233 2285 0,1019693
14 377 3970 0,0949622
+15 610 6865 0,0888565
16 987 11822 0,0834884
17 1597 20284 0,0787320
18 2584 34690 0,0744883
19 4181 59155 0,0706787
20 6765 100610 0,0672398
21 10946 170711 0,0641200
22 17711 289032 0,0612769
23 28657 488340 0,0586824
24 46368 823800 0,0562885
25 75025 1387225 0,0540827
26 121393 2332418 0,0520459
27 196418 3916061 0,0501570
Tabla de cocientes n-ésimos
𝒇 𝒏
𝟎
𝒇 𝒏
𝟏, para valores de n, desde n=1, hasta n=27 en ambos niveles
Como un valor de control, hemos realizado el cálculo adicional para n=50:
𝑓50
0
𝑓50
1 =
12586269025
460409998850
=
0,0273370
La diferencia fundamental, entre los casos correspondiente a k=1, y k=0, es que en el caso del
Triángulo Aritmético ∆0, la sucesión de cocientes de números consecutivos de Fibonacci, oscila
rápidamente entre valores mayores, o menores, pero muy cercanos al límite ϕ, mientras que en el
caso de ∆1, la sucesión de cocientes equivalentes , no oscila, sino que se aproxima lentamente a
dicho límite ,pero siempre con valores que se mantienen por encima de ϕ
Por la estructura estratificada de las relaciones equivalentes de Fibonacci, en el Prisma
Combinatorio, al pasar de un nivel k-1 al nivel siguiente k, y por las mismas razones ya expuestas,
encontraremos que el límite lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
𝑘−1
𝑓𝑛
𝑘 , tiende a cero, y a su vez, lim
𝑛→∞
𝑓𝑛
𝑘
𝑓𝑛−1
𝑘−1, tiende a ϕ, pero cada
vez más lentamente a medida que aumenta el nivel k considerado.

Lo cual, a nuestra manera de ver, hace de ϕ, no solo un número de oro, sino un número
verdaderamente mágico.
Función generatriz:
Como es conocido, la función generatriz o generadora de la sucesión de Fibonacci, está dada por la
fracción:
𝐹0(𝑥) =
𝑥
1 − 𝑥 − 𝑥2
= 𝑥 + 𝑥2
+ 2𝑥3
+ 3𝑥4
+ 5𝑥5
+ 8𝑥6
+ ⋯
Siguiendo un procedimiento análogo al utilizado para la obtención de este resultado, hemos podido
obtener la función generatriz del caso general para ∆ 𝑘.
Para el caso de ∆0, deberá tenerse:
𝐹0(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
0
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑓0
0
𝑥0
+ 𝑓1
0
𝑥1
+ 𝑓2
0
𝑥2
+ 𝑓3
0
𝑥3
+ 𝑓4
0
𝑥4
+ 𝑓5
0
𝑥5
+ ⋯
Donde los coeficientes 𝑓𝑛
0
, representan los sucesivos valores de la sucesión de Fibonacci, y donde
en los cálculos correspondientes se obvia el valor 𝑓0
0
= 0, ya que anula al término inicial.
En este caso, la función generatriz, debe cumplir las siguientes condiciones:
=0, si n=0
𝐹0(𝑥) = =1, si n=1
=(𝑓𝑛−1
0
+ 𝑓𝑛−2
0
), si n>1
Entonces, podemos escribir:
𝐹0(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
0
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑓0
0
𝑥0
+ 𝑓1
0
𝑥1
+ ∑ 𝑓𝑛
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
𝐹0(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
0
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑓0
0
𝑥0
+ 𝑓1
0
𝑥1
+ ∑(𝑓𝑛−1
0
+ 𝑓𝑛−2
0
)
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
= 𝑥 + ∑ 𝑓𝑛−1
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
+ ∑ 𝑓𝑛−2
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
Pero:
∑ 𝑓𝑛−1
0∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
= 𝑓1
0
𝑥2
+ 𝑓2
0
𝑥3
+ 𝑓3
0
𝑥4
+ 𝑓4
0
𝑥5
+ 𝑓5
0
𝑥6
+ ⋯
= 𝑥[ 𝑓1
0
𝑥1
+ 𝑓2
0
𝑥2
+ 𝑓3
0
𝑥3
+ 𝑓4
0
𝑥4
+ 𝑓5
0
𝑥5
+ ⋯
= 𝑥 ∑ 𝑓𝑛
0∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥𝐹0(𝑥)

Y también:
∑ 𝑓𝑛−2
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
= 𝑓0
0
𝑥2
+ 𝑓1
0
𝑥3
+ 𝑓2
0
𝑥4
+ 𝑓3
0
𝑥5
+ 𝑓4
0
𝑥6
+ ⋯
= 𝑥2
[𝑓0
0
+ 𝑓1
0
𝑥1
+ 𝑓2
0
𝑥2
+ 𝑓3
0
𝑥3
+ 𝑓4
0
𝑥4
+ ⋯
= 𝑥2 ∑ 𝑓𝑛
0∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥2
𝐹0(𝑥)
Por lo tanto, resulta:
𝐹0(𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝐹0(𝑥) + 𝑥2
𝐹0(𝑥)
De donde: 𝐹0(𝑥) = −
𝑥
𝑥2+𝑥+1
=
𝑥
1−𝑥−𝑥2
Para el caso de 𝑘 = 1, llamemos 𝐹1(𝑥), a la función generatriz correspondiente a ∆1.
Dicha función deberá cumplir las condiciones siguientes:
=0, si n=0
𝐹1(𝑥) = =1, si n=1
=(𝑓𝑛−1
1
+ 𝑓𝑛−1
0 ) + (𝑓𝑛−2
1
+ 𝑓𝑛−2
0 ), si n>1
Y será entonces:
𝐹1(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
1
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑓0
1
𝑥0
+ 𝑓1
1
𝑥1
+ 𝑓2
1
𝑥2
+ 𝑓3
1
𝑥3
+ 𝑓4
1
𝑥4
+ 𝑓5
1
𝑥5
+ ⋯
Que podemos escribir como:
𝐹1(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
1
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑓0
1
𝑥0
+ 𝑓1
1
𝑥1
+ ∑ 𝑓𝑛
1
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
𝐹1(𝑥) = ∑ 𝑓𝑛
1
∞
𝑛=0
𝑥 𝑛
= 𝑥 + ∑[(𝑓𝑛−1
1
+ 𝑓𝑛−1
0 ) + ((𝑓𝑛−2
1
+ 𝑓𝑛−2
0 )]
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛

= 𝑥 + ∑ 𝑓𝑛−1
1
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
+ ∑ 𝑓𝑛−1
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
+ ∑ 𝑓𝑛−2
1
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
+ ∑ 𝑓𝑛−2
0
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
Pero ya hemos demostrado que ∑ 𝑓𝑛−1
0∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
= 𝑥 ∑ 𝑓𝑛
0∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥𝐹0(𝑥)
Y análogamente: ∑ 𝑓𝑛−2
0∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
= 𝑥2 ∑ 𝑓𝑛
0∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥2
𝐹0(𝑥)
Siendo 𝐹0(𝑥) =
𝑥
1−𝑥−𝑥2, la función generatriz para el caso de k=0
Luego resulta: 𝐹1(𝑥) = 𝑥 + ∑ 𝑓𝑛−1
1∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
+ 𝑥𝐹0(𝑥) + ∑ 𝑓𝑛−2
1∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
+ 𝑥2
𝐹0(𝑥)
Análogamente al caso de ∆0, tendremos:
∑ 𝑓𝑛−1
1∞
𝑛=2 𝑥 𝑛
= 𝑓1
1
𝑥2
+ 𝑓2
1
𝑥3
+ 𝑓3
1
𝑥4
+ 𝑓4
1
𝑥5
+ 𝑓5
1
𝑥6
+ ⋯
= 𝑥[ 𝑓1
1
𝑥1
+ 𝑓2
1
𝑥2
+ 𝑓3
1
𝑥3
+ 𝑓4
1
𝑥4
+ 𝑓5
1
𝑥5
+ ⋯
= 𝑥 ∑ 𝑓𝑛
1∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥𝐹1(𝑥)
Y también:
∑ 𝑓𝑛−2
1
∞
𝑛=2
𝑥 𝑛
= 𝑓0
1
𝑥2
+ 𝑓1
1
𝑥3
+ 𝑓2
1
𝑥4
+ 𝑓3
1
𝑥5
+ 𝑓4
1
𝑥6
+ ⋯
= 𝑥2
[𝑓0
1
+ 𝑓1
1
𝑥1
+ 𝑓2
1
𝑥2
+ 𝑓3
1
𝑥3
+ 𝑓4
1
𝑥4
+ ⋯
= 𝑥2 ∑ 𝑓𝑛
1∞
𝑛=0 𝑥 𝑛
= 𝑥2
𝐹1(𝑥)
Por ende, podemos escribir:
𝐹1(𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝐹1(𝑥) + 𝑥𝐹0(𝑥) + 𝑥2
𝐹1(𝑥) + 𝑥2
𝐹0(𝑥)
Agrupando:
𝐹1(𝑥)[1 − 𝑥 − 𝑥2] = 𝑥[1 + 𝐹0(𝑥) + 𝑥𝐹0(𝑥)]
De donde: 𝐹1(𝑥) = 𝐹0(𝑥) + [𝐹0(𝑥)]2
+ 𝑥[𝐹0(𝑥)]2
Luego: 𝐹1(𝑥) =
𝑥
1−𝑥−𝑥2 +
𝑥2
(1−𝑥−𝑥2)2 +
𝑥3
(1−𝑥−𝑥2)2
=
𝑥(1−𝑥−𝑥2)
(1−𝑥−𝑥2)
2 + 𝑥2
(1−𝑥−𝑥2)
2 + 𝑥3
(1−𝑥−𝑥2)
2
=
𝑥−𝑥2−𝑥3+𝑥2+𝑥3
(1−𝑥−𝑥2)2
=
𝑥
(1−𝑥−𝑥2)2

Que podemos verificar, genera el polinomio:
𝐹1(𝑥) =
𝑥
(1 − 𝑥 − 𝑥2)2
= 𝑥 + 2𝑥2
+ 5𝑥3
+ 10𝑥4
+ 20𝑥5
+ 38𝑥6
+ ⋯
Donde los coeficientes sucesivos de las potencias de x, corresponden a los términos de la sucesión
de Fibonacci, para el caso de ∆1
Siguiendo un procedimiento similar, hemos podido obtener la función generatriz correspondiente
al caso de 𝑘 = 2
Resultando:
𝐹2(𝑥) =
𝑥
(1 − 𝑥 − 𝑥2)3
= 𝑥 + 3𝑥2
+ 9𝑥3
+ 22𝑥4
+ 51𝑥5
+ 111𝑥6
+ ⋯
Donde los coeficientes sucesivos de las potencias de x, corresponden a los términos de la sucesión
de Fibonacci, para el caso de ∆2
Estos resultados, nos permiten generalizar para cualquier nivel k, del Prisma Combinatorio,
siendo:
𝑭 𝒌(𝒙) =
𝒙
(𝟏 − 𝒙 − 𝒙 𝟐) 𝒌+𝟏
= 𝒙 + (𝒌 + 𝟏)𝒙 𝟐
+
𝟏
𝟐
(𝒌 𝟐
+ 𝟓𝒌 + 𝟒)𝒙 𝟑
+
𝟏
𝟔
(𝒌 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒌 𝟐
+ 𝟐𝟗𝒌 + 𝟏𝟖)𝒙 𝟒
+
𝟏
𝟐𝟒
(𝒌 𝟒
+ 𝟐𝟐𝒌 𝟑
+ 𝟏𝟏𝟗𝒌 𝟐
+ 𝟐𝟏𝟖𝒌 + 𝟏𝟐𝟎)𝒙 𝟓
+ ⋯
La función generatriz que corresponde al plano genérico ∆ 𝑘, del Prisma Combinatorio.
Este resultado a su vez, nos permite expresar los términos de la sucesión de Fibonacci, para
cualquier nivel del Prisma Combinatorio, como una función polinómica del valor de k, o nivel
considerado en el P.C., obtenida mediante el desarrollo de 𝑭 𝒌(𝒙) , a través de las series de Taylor-
MacLaurin. Así tendremos para n=0, hasta n=8:
𝑓0
𝑘
= 0
𝑓1
𝑘
= 1
𝑓2
𝑘
= 𝑘 + 1
𝑓3
𝑘
=
1
2
(k2
+ 5k + 4)
𝑓4
𝑘
=
1
6
(k3
+ 12k2
+ 29k + 18)
𝑓5
𝑘
=
1
24
(k4
+ 22k3
+ 119k2
+ 218k + 120)

𝑓6
𝑘
=
1
120
(k5
+ 35k4
+ 345k3
+ 1285𝑘2
+ 1934k + 960)
𝑓7
𝑘
=
1
720
(k6
+ 51k5
+ 805𝑘4
+ 5205𝑘3
+ 15394𝑘2
+ 20304𝑘 + 9360)
𝑓8
𝑘
=
1
5040
(k7
+ 70k6
+ 1624k5
+ 16450𝑘4
+ 81739𝑘3
+ 205240𝑘2
+ 244236𝑘 + 105840)
Si queremos obtener el término de lugar n de la sucesión de Fibonacci, correspondiente a un
determinado ∆ 𝑘, como una función polinómica de k, deberemos calcular la derivada n-ésima de la
función generatriz, y evaluarla para x=0, de manera que:
𝒇 𝒏
𝒌
=
𝟏
𝒏!
𝒅 𝒏[𝑭 𝒌(𝒙)]
𝒅𝒙
, para 𝒙 = 𝟎
Dichos polinomios en k, también pueden obtenerse a partir de las expresiones combinatorias que
hemos desarrollado para 𝒇 𝒏
𝒌
, según, sea n par o impar:
Para n par ≥ 𝟐: 𝑓𝑛
𝑘
= ∑ (
𝑛 + 𝑘 − 1 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−2)/2
𝑖=0
Y Para n impar ≥1: 𝑓𝑛
𝑘
= ∑ (
𝑛 + 𝑘 − 1 − 𝑖
𝑘
) (
𝑛 − 1 − 𝑖
𝑖
)
(𝑛−1)/2
𝑖=0
Así resultan:
𝑓0
𝑘
= 0
𝑓1
𝑘
= 1
𝑓2
𝑘
= (
1 + 𝑘
𝑘
) (
1
0
) = (
1 + 𝑘
𝑘
)
𝑓3
𝑘
= (
2 + 𝑘
𝑘
) (
2
0
) + (
1 + 𝑘
𝑘
) (
1
1
) = (
2 + 𝑘
𝑘
) + (
1 + 𝑘
𝑘
)
𝑓4
𝑘
= (
3 + 𝑘
𝑘
) (
3
0
) + (
2 + 𝑘
𝑘
) (
2
1
) = (
3 + 𝑘
𝑘
) + 2 (
2 + 𝑘
𝑘
)
𝑓5
𝑘
= (
4 + 𝑘
𝑘
) (
4
0
) + (
3 + 𝑘
𝑘
) (
3
1
) + (
2 + 𝑘
𝑘
) (
2
2
) = (
4 + 𝑘
𝑘
) + 3 (
3 + 𝑘
𝑘
) + (
2 + 𝑘
𝑘
)
𝑓6
𝑘
= (
5 + 𝑘
𝑘
) (
5
0
) + (
4 + 𝑘
𝑘
) (
4
1
) + (
3 + 𝑘
𝑘
) (
3
2
) = (
5 + 𝑘
𝑘
) + 4 (
4 + 𝑘
𝑘
) + 3 (
3 + 𝑘
𝑘
)
𝑓7
𝑘
= (
6 + 𝑘
𝑘
) (
6
0
) + (
5 + 𝑘
𝑘
) (
5
1
) + (
4 + 𝑘
𝑘
) (
4
2
) + (
3 + 𝑘
𝑘
) (
3
3
) = (
6 + 𝑘
𝑘
) + 5 (
5 + 𝑘
𝑘
) + 6 (
4 + 𝑘
𝑘
) + (
3 + 𝑘
𝑘
)
𝑓8
𝑘
= (
7 + 𝑘
𝑘
) (
7
0
) + (
6 + 𝑘
𝑘
) (
6
1
) + (
5 + 𝑘
𝑘
) (
5
2
) + (
4 + 𝑘
𝑘
) (
4
3
) = (
7 + 𝑘
𝑘
) + 6 (
6 + 𝑘
𝑘
) + 10 (
5 + 𝑘
𝑘
) + 4 (
4 + 𝑘
𝑘
)
Sí analizamos la estructura de esta última tabla, encontramos una serie de características básicas,
que señalamos a continuación:
1.) Todos los combinatorios de cualquier fila, son de la forma:

(
𝑛 − 𝑖 + 𝑘
𝑘
)
Con i variando desde 1, hasta n/2, si n es par, y variando desde 1, hasta (n+1)/2, cuando n es impar
2.) La distribución vertical de los coeficientes que afectan a los combinatorios resultantes,
corresponden a las sucesiones paralelas 𝑆 𝑚 , que conforman la estructura del triángulo
aritmético ∆0, pero cada columna de valores, deslazada un lugar hacia abajo con respecto a
la columna previa.
n ∆0 Secuencia en la tabla
0 1 𝑆1
1 1 1 𝑆2
2 1 2 1 1
3 1 3 3 1 1 1 𝑆3
4 1 4 6 4 1 1 2
5 1 5 10 10 5 1 1 3 1 𝑆4
6 1 6 15 20 15 6 1 1 4 3
7 1 7 21 35 35 21 7 1 1 5 6 1 𝑆5
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 6 10 4
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 7 15 10 1
3.) La secuencia de los sumandos de k, en los combinatorios resultantes
n Sumandos de k
2 1
3 2 1
4 3 2
5 4 3 2
6 5 4 3
7 6 5 4 3
8 7 6 5 4
9 8 7 6 5 4
Por último, como ejemplos, obtengamos los polinomios en k para 𝒇 𝟑
𝒌
, y 𝒇 𝟒
𝒌
,a partir de nuestras
expresiones combinatorias.
𝒇 𝟑
𝒌
= (
𝟐 + 𝒌
𝒌
) + (
𝟏 + 𝒌
𝒌
) =
(𝟐 + 𝒌)!
𝟐! 𝒌!
+
(𝟏 + 𝒌)!
𝟏! 𝒌!
=
𝟏
𝟐. 𝒌!
[(𝟐 + 𝒌)! + 𝟐. (𝟏 + 𝒌)!]
=
𝟏
𝟐. 𝒌!
[(𝟐 + 𝒌). (𝟏 + 𝒌)! + 𝟐. (𝟏 + 𝒌)!] =
(𝟏 + 𝒌)!
𝟐. 𝒌!
[(𝟐 + 𝒌) + 𝟐]
=
(𝟏 + 𝒌). 𝒌!
𝟐. 𝒌!
(𝟒 + 𝒌) =
𝟏
𝟐
(𝟏 + 𝒌)(𝟒 + 𝒌) =
𝟏
𝟐
(𝒌 𝟐
+ 𝟓𝒌 + 𝟒)
Donde 𝑘 = −1, −4, son las raíces enteras negativas de 𝒌 𝟐
+ 𝟓𝒌 + 𝟒 = 𝟎

𝒇 𝟒
𝒌
= (
𝟑 + 𝒌
𝒌
) + 𝟐 (
𝟐 + 𝒌
𝒌
) =
(𝟑 + 𝒌)!
𝟑! 𝒌!
+
𝟐(𝟏 + 𝒌)!
𝟐! 𝒌!
=
𝟏
𝟔. 𝒌!
[(𝟑 + 𝒌)! + 𝟔. (𝟐 + 𝒌)!]
=
𝟏
𝟔. 𝒌!
[(𝟑 + 𝒌). (𝟐 + 𝒌)! + 𝟔. (𝟐 + 𝒌)!] =
(𝟐 + 𝒌)!
𝟔. 𝒌!
[(𝟑 + 𝒌) + 𝟔]
=
(𝟐 + 𝒌)(𝟏 + 𝒌). 𝒌!
𝟔. 𝒌!
(𝟗 + 𝒌) =
𝟏
𝟔
(𝟏 + 𝒌)(𝟐 + 𝒌)(𝟗 + 𝒌)
=
𝟏
𝟔
(𝒌 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒌 𝟐
+ 𝟐𝟗𝒌 + 𝟏𝟖)
Donde 𝑘 = −1, −2, −9, son las raíces enteras negativas de 𝒌 𝟑
+ 𝟏𝟐𝒌 𝟐
+ 𝟐𝟗𝒌 + 𝟏𝟖 = 𝟎
Pero la forma más práctica e inmediata de obtener numéricamente, los términos de la sucesión
compuesta de Fibonacci, para un valor determinado de k≥1, es partir de los términos
correspondientes al valor previo k-1, y aplicar convenientemente las relaciones que ya hemos
determinado, y que se cumplen para cualquier valor de k:
1. ) 𝒇 𝒏
𝒌
= (𝒇 𝒏−𝟐
𝒌
+ 𝒇 𝒏−𝟏
𝒌
) + 𝒇 𝒏
𝒌−𝟏
, ∀ 𝒌 ≥ 𝟏
𝒇 𝟎
𝒌
= 𝟎
2. ) , ∀ 𝒌 ≥ 𝟎
𝒇 𝟏
𝒌
= 𝟏
Por ejemplo, para construir una tabla que contenga, los primeros 10 términos de la sucesiones
análogas de Fibonacci, desde 𝑘 = 0, hasta 𝑘 = 3, bastará partir de una primera fila con los 10
primeros términos de la sucesión, correspondientes a ∆ 𝟎, es decir la sucesión original de Fibonacci.
n = 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
𝒇 𝒏
𝟎
: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
𝒇 𝒏
𝟏
: 0 1 2 5 10 20 38 71 130 235 420
𝒇 𝒏
𝟐
: 0 1 3 9 22 51 111 233 474 942 1836
𝒇 𝒏
𝟑
: 0 1 4 14 40 105 256 594 1324 2860 6020
El procedimiento para obtener los elementos de una fila, en función de los 2 términos previos de su
propia fila y del término siguiente de la fila anterior, se puede simbolizar nemotécnicamente
mediante flechas de conexión. Por ejemplo, para obtener el valor 22, quinto lugar en la tercera fila,
tendremos:
10
3 →9 22
Donde las dos primeras flechas (en rojo), indican suma y la tercera (en azul), el resultado. La
formación de las filas, es inmediata, ya que cada una de ellas inicia con los términos 0, y 1.

Una característica de las sucesiones recurrentes de orden 2, que no se presentan en otro tipo de
sucesiones tales como las que corresponden a las combinadas 𝒇 𝒏
𝒌
, para k≥1, se refiere a que, en
estas sucesiones, las primeras, segundas, terceras, etc., diferencias, van reproduciendo los términos
de la sucesión original, con signos positivos a la derecha del término inicial, y con signos alternos a
su izquierda. Damos a continuación dos ejemplos: 𝑓𝑛
0
=
1
√5
(ф 𝑛
− 𝜑 𝑛)
Sucesión 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
1ᵃ Dif. 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
2ᵃ Dif. -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21
3ᵃ Dif. 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13
4ᵃ Dif. -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5
5ᵃ Dif. 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3
Y, 𝑓𝑛 = ф 𝑛
+ 𝜑 𝑛
Sucesión 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199
1ᵃ Dif. -1 2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123
2ᵃ Dif. 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 29 47
3ᵃ Dif. -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 29
4ᵃ Dif. 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11
5ᵃ Dif. -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7
Por último, hemos obtenido una expresión análoga a la fórmula de D’Moivre-Binet, aplicable a
cualquier nivel k del prisma Combinatorio:
𝒇 𝒏
𝒌
=
𝟏
√𝟓
∑ 𝒇𝒊
𝒌−𝟏
𝒏
𝒊=𝟏
(𝝓 𝒏−𝒊+𝟏
− 𝝋 𝒏−𝒊+𝟏
)
Como ejemplos, vamos a obtener los resultados para 𝒇 𝟓
𝟐
, y 𝒇 𝟒
𝟑
, que el lector puede corroborar en
la tabla correspondiente, ya mostrada anteriormente.
Para 𝒇 𝟓
𝟐
(k=2, y n=5), tendremos:
𝒇 𝟓
𝟐
=
𝟏
√𝟓
∑ 𝒇𝒊
𝟏
(𝝓 𝟔−𝒊
− 𝝋 𝟔−𝒊)
𝟓
𝒊=𝟏
=
𝟏
√𝟓
[𝒇 𝟏
𝟏
(𝝓 𝟓
− 𝝋 𝟓
) + 𝒇 𝟐
𝟏
(𝝓 𝟒
− 𝝋 𝟒) + 𝒇 𝟑
𝟏
(𝝓 𝟑
− 𝝋 𝟑) + 𝒇 𝟒
𝟏
(𝝓 𝟐
− 𝝋 𝟐) + 𝒇 𝟓
𝟏
(𝝓 − 𝝋)]
=
1
√5
[1.5√5 + 2.3√5 + 5.2√5 + 10√5 + 20√5] =
1
√5
. 51√5 = 51

Para 𝒇 𝟒
𝟑
(k=3, y n=4), tendremos:
𝒇 𝟒
𝟑
=
𝟏
√𝟓
∑ 𝒇𝒊
𝟐
(𝝓 𝟓−𝒊
− 𝝋 𝟓−𝒊
)
𝟒
𝒊=𝟏
=
𝟏
√𝟓
[𝒇 𝟏
𝟐
(𝝓 𝟒
− 𝝋 𝟒) + 𝒇 𝟐
𝟐
(𝝓 𝟑
− 𝝋 𝟑) + 𝒇 𝟑
𝟐
(𝝓 𝟐
− 𝝋 𝟐) + 𝒇 𝟒
𝟐
(𝝓 − 𝝋)]
=
1
√5
[1.3√5 + 3.2√5 + 9√5 + 22√5] =
1
√5
. 40√5 = 40
Con este trabajo, creemos que hemos concluido el ciclo que conecta al “Prisma Combinatorio”, con
el “Triángulo Aritmético”, o de Pascal, en lo que se refiere a sus propiedades clásicas comunes, y su
relación con las sucesiones de Fibonacci, y el numero áureo
Bibliografía de mis trabajos anteriores:
Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016
Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016
Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016
Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016
Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017
Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y
otros tópicos complementarios 2017
Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017
Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017
Particiones con repetición. Composición de enteros 2017
Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018
Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018
Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018
El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características clásicas
(Actualizando las Fuentes) 2018
El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético, sus 19 propiedades clásicas y sus análogas en el
Prisma Combinatorio 2018
Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de LinkedIn

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