Apuntes de trigonometría básica

1. TRIGONOMETRÍA
Trigonometría
Pablo García y Colomé Profesor de Carrera FI UNAM

2. TRIGONOMETRÍA
La trigonometría es, considerando la connotación
etimológica de la palabra, la medición de los triángulos
(de las locuciones griegas trigono y metron)
En las matemáticas, se le precisa como el campo que
estudia los ángulos, triángulos y las relaciones entre
ellos
Trigonometría es una palabra que deriva del griego Τρι-
γωνο-μετρíα: medida de tres ángulos, o bien, medición
de triángulos
En épocas recientes se le ha definido como la rama de
las matemáticas que estudia las propiedades y
aplicaciones de las funciones circulares

3. TRIGONOMETRÍA
En su historia y devenir, por más de
3000 años, es digno mencionar a egipcios
y babilonios, a Hiparco de Rodas con su
tabla para resolver triángulos, a
Ptolomeo, a matemáticos indios,
a Johann Müller, a Bartolomé Pitiscus
con el primer texto intitulado
Trigonometría y a muchos otros grandes
estudiosos de esta rama que se encarga
de estudiar las razones trigonométricas.
Los estudiosos de la antigua Grecia
requerían procedimientos con objeto de
medir valores de ángulos, así como lados
de triángulos

4. TRIGONOMETRÍA
Las funciones trigonométricas
son aquellas que se definen a
partir de las razones
trigonométricas
Estas funciones consideran un
dominio (ángulo), un recorrido
(valor de la función) y, lo que
las distingue de funciones
más habituales, es que son
periódicas, esto es, que sus
valores funcionales se repiten
a lo largo de sus respectivos
dominios

5. TRIGONOMETRÍA
Razones trigonométricas del ángulo
Cateto
opuesto
Cateto
adyacente
θ
cateto opuesto
sen θ =
hipotenusa
cateto opuesto
tan θ =
cateto adyacente
cateto adyacente
cos θ =
hipotenusa
cateto adyacente
cot θ =
cateto opuesto
hipotenusa
sec θ =
cateto adyacente
hipotenusa
csc θ =
cateto opuesto

6. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Una argolla sujeta al piso se localiza a
de la base de un poste. El ángulo de elevación de la
argolla al culmen del poste es de . Calcular la
altura del poste. Hacer un trazo aproximado.
25.3 m
0
16.512
0
16.512
25.3
a
( )
0
0
m
a
tan16.512 =
25.3
a= 25.3 tan16.512
a=7.5



7. TRIGONOMETRÍA
Un radián es una unidad de ángulo
plano equivalente a un ángulo cuyo
arco tiene igual longitud que el radio
La aparición del radián data del último tercio del siglo XIX, y parece
que el primero que lo utilizó fue James Thompson, ingeniero y físico

8. TRIGONOMETRÍA
es una de las constantes matemáticas por excelencia.
Aparece en múltiples ocasiones, en diferentes espacios
relacionados con la física, las matemáticas y la
ingeniería y es reconocible hasta para aquellos que viven
alejados de las ramas científicas.
π
es un número irracional, es decir, es un número
que no puede ser expresado como fracción de dos
números enteros, y por tanto tiene un número que
tiende a infinito de decimales
π
es la relación entre la longitud de una circunferencia
y su diámetro en geometría euclidiana
π

9. TRIGONOMETRÍA
0
0
0
0
π
45 = radianes
π
90 = rad
3
180 =
60 = 2π radiane
s
s
i
i
π rad an
4
anes
2
e

10. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Realizar las siguientes conversiones
de radianes a grados y viceversa:
0 0 0
765 57.
i 2958
17
) π = ; ii) 1= ; iii) 9π = 1620
4
0 0
0
3363.26 0.2618
i) ; ii) ; iii) 15 =
0.01745 = 58.
1 = 7
0
π-180

11. TRIGONOMETRÍA

12. TRIGONOMETRÍA
0
θ = 45

13. TRIGONOMETRÍA
0
θ = 135

14. TRIGONOMETRÍA
0
θ = 225

15. TRIGONOMETRÍA
0
θ = 315

16. TRIGONOMETRÍA
0
30
0
60
2
2
2
1
3
1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1
sen30 = = cos60
2
3
cos30 = = sen60
2
1
tan30 = = cot 60
3
cot 30 = 3 = tan60
2
sec30 = = csc60
3
csc30 = 2 = sec60

17. TRIGONOMETRÍA
0
45
0
45
1
1
2
0
0
0
0
0
0
1
sen 45 =
2
1
cos 45 =
2
tan 45 = 1
cot 45 = 1
sec 45 = 2
csc 45 = 2

18. TRIGONOMETRÍA

19. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Obtener el valor exacto de la siguiente expresión
( )
( ) ( )
 
 
 
3
0 0 0
2
2 3
0 0
cot60 csc60 cos30
tan30 sen60
 

  
 
   
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 
3
2 2
3
2
64
3 3
1 2 3 1 1
1
2
3 3 3 3
= = =
3
1 3 3
1 3
64
3 8
2
3

20. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Obtener el valor de:
0 0 0
i) tan180 ; ii) sec90 ; iii) csc270
0
0
0
sen180
0
0
i) tan180 = = =
cos180 -1
( )
0
0
e
1 1
ii) sec90 = =
cos90
no exist
0
→ 
0
0
1
1 1
iii) csc270 = = =
sen 70 -1
-
2

21. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Obtener el valor de sen, cos y tan de:
17 23
i) π ; ii) π ; iii) 9π
4 6
; ;
1 1
1
2
17 π π π π
i) π = ; sen = cos = tan =
4 4 4 4 4
2
     
     
     
23 π π π π
3
i o
1
i) π =- ; sen - = ;
2
c s - = ;
6
3 1
- -
2
tan - =
6 6 6 6
0
iii) 9π = π ; senπ = ; cosπ = ;
-1 tanπ =
0

22. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Los vértices de un triángulo se encuentran en los puntos
. El ángulo en es recto. Obtener las
razones trigonométricas del ángulo en . Graficar.
( ) ( ) ( )
A 0,0 ,B -4,0 ,C 0,-3
C
B A
C
3
4
5
4
senC =
5
3
cosC =
5
4
tanC =
3
3
cot C =
4
5
secC =
3
5
cscC =
4
A

23. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Un hombre y una mujer están situados a los
lados de un poste, como se muestra en la figura. Se
requiere saber a qué distancia del poste está la mujer,
así como la altura del poste.
7 m
0
45 0
36.87
M H
x
x 7 - x

0
x
= tan 36.87
7 - x
x
= 0.75
7 - x
x = 5.25 -0.75x
x = 3 m

24. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Si la distancia de B a C es de 225 unidades,
determinar la longitud del segmento AD
0
30 0
60
A B C
D
225
( )
0 DC
tan60 = DC = 225 3
225

DC = 389.71
0 389.71 389.71
sen30 = AD =
AD 0.5

AD =779.42


25. TRIGONOMETRÍA
b
a
c
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
( )( ) 2 2
G
2
4T G 4T
2 2 2
A = a+ b a+ b = a +2ab+ b
ab
A = 4 = 2ab A -A = c
2
a + b = c


Teorema de Pitágoras

26. TRIGONOMETRÍA
b
a
c
cateto
cateto
"La suma de los cuadrados de los catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa"

27. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. En una determinada hora del día, un joven de
de estatura, proyecta en el suelo, cuya
superficie es horizontal, su sombra, cuya longitud es
de Calcular la distancia de la parte superior
de su cabeza hasta el punto final de su sombra.
1.72 m
0.87 m
d
0.87
1.72
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
d = 3.7153 1.93 m
d = 1.72 + 0.87
d = 1.72 + 0.87


28. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Un hombre y una mujer están situados a los
lados de un poste, como se muestra en la figura y sujetan
con fuerza una cuerda anclada en una argolla en la punta
del poste. Se requiere saber la longitud de cuerda que
sostiene la mujer y la distancia del hombre al poste
2 2
2 2
x = 3 +3
x = 18 = 3 2 m
y = 5 -3
y = 16 = 4 m


5 m
M H
x
3 m
y
3 m

29. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Un terreno cuadrado contiene un camino de de
longitud que lo atraviesa como se muestra en la figura. Se desea
calcular el área del terreno
4 2 km
x x
x
x
4 2
( )
2
2
2 2
2
2
4 2 = x + x
32 = 2x x =
=
4
Α= x 16 m



30. TRIGONOMETRÍA
Identidades trigonométricas Pitagóricas



2 2
sen θ + cos θ = 1
x = coseno
y = seno
2 2
2 2 2
2 2
s
θ
en θ cos θ 1
+ =
cos θ cos θ s
tan θ + 1
o
= sec
c θ
seno
coseno
1
P(x,y)
θ
2 2
2 2 2
2 2
t
θ
an θ 1 sec θ
+ =
tan θ n
1+ cot
t
θ =
θ
c
an θ
sc
t a

31. TRIGONOMETRÍA
Identidades recíprocas y
por cociente
1
senθ =
cscθ
senθ
tanθ=
cosθ
1
cos θ =
secθ
cosθ
cot θ =
senθ
1
tanθ=
cotθ
Identidades por suma,
diferencia y doble de ángulos
( )
sen A±B = senAcosB ± cosAsenB
( )
cos A±B = cosAcosB ± senAsenB
sen2θ = 2senθ cosθ
2 2
cos2θ = cos θ-sen θ
2
2tanθ
tan2θ =
1-tan θ

32. TRIGONOMETRÍA
Identidades de reducción de potencia
2 1 1
sen θ = - cos2θ
2 2
2 1 1
cos θ = + cos2θ
2 2
2 1- cos2θ
tan θ =
1+ cos2θ

33. TRIGONOMETRÍA
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica
2 2
2 2
1
sec β+ csc β =
sen β cos β



2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
sec β+ csc β = +
cos β sen β
sen β+ cos β
=
sen β cos β
1
=
sen β cos β
2 2
sen β+ cos β = 1

34. TRIGONOMETRÍA
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica
2 2 4
4sen x -sen 2x = 4sen x
( )
( )
2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
4
4sen x -sen 2x = 4sen x - 2senxcosx
= 4sen x -4sen xcos x
= 4sen x 1-cos x
= 4sen xsen x
= 4sen x
sen2x = 2senxcosx
2 2
sen x + cos x = 1

35. TRIGONOMETRÍA
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica
2 2
2
2 2
tan α+ sec α
= sec α
2sen α+ cos α
1
+
+
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
sen α
tan α + sec α cos α cos α
=
2sen α + cos α sen α sen α + cos α
sen α + 1
cos α
=
sen α + 1
1
=
cos α
= sec α
2 2
sen x + cos x = 1
senx
tanx =
cosx
1
secx =
cosx

36. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Desde la linterna de un faro se observa un bote
bajo un ángulo de depresión de . Al recorrer el bote
aproximándose al faro en línea recta, el ángulo cambia a
¿A qué distancia del faro está el bote en el instante de la
segunda observación angular? ¿Cuál es la altura del faro?
17 0
120 m
37 0
0
17
0
37
120 m
d
a
a
d + 120
0
17
( ) 0
a= d + 120 tan17
0
a= dtan37
( ) 0 0
m
d + 120 tan17 = dtan37
0.3057d +36.6877 = 0.7536d
0.4479d = 36 d =
. 8
7 1
68 7 .91

a= 61.72 m

37. TRIGONOMETRÍA
 
 
2 2
cos x -3sen x = 0 ; x 0,2π
( )

   
   
   

   






 
 

   
   
0 0
0 0
2 2 2 2
2
1-sen x -3sen x = 0 1-sen x -3sen x = 0
1
x = angsen
2
1
4sen x = 1 senx = ±
π 5π
x = 30 ,150
e
1
6 6
7π 11π
x = 210 ,330
6 6
2
x = angs n -
2


 

Resolver la siguiente ecuación trigonométrica

38. TRIGONOMETRÍA
Resolver la siguiente ecuación trigonométrica
( ) ( )
2 2
2 cos x -sen x = 1 ; x 0,2π
( )
1
2 cos2x = 1 cos2x =
2

1 1 1
2x = angcos x = angcos
2 2 2

 
6
1 π
x =
2
π
x =
3
 
6
1 5π
x =
2
5π
x =
3

39. TRIGONOMETRÍA
Resolver la siguiente ecuación trigonométrica
 
 
2 2
tan x + csc x -3 = 0 ; x 0,2π

( )

 
2
2
2
4 2
2 2
4 2 2 2
4 2 2 2
4 2 2 4
sen x 1
+ = 3
cos x sen x
sen x + cos x
= 3
cos x sen x
sen x + cos x = 3 cos x sen x
sen x + 1-sen x = 3 1-sen x sen x
sen x + 1-sen x = 3sen x -3sen x
( )
4 2
2
2
2
2
4sen x -4sen x + 1= 0
2sen x -1 = 0
2sen x -1= 0
1 1
sen x = senx = ±
2 2
1 2 2
senx = ± = ±
2
2 2


40. TRIGONOMETRÍA
,
,
4
2
senx =
2
2
senx =-
2
π 3π
x =
4 4
5π 7π
x =
4


( )
0
π
45
4
( )
0
3π
135
4
( )
0
5π
225
4 ( )
0
7π
315
4
2
2
2
-
2

41. TRIGONOMETRÍA
Triángulo oblicuángulo
Un triángulo oblicuángulo es aquél que no contiene un ángulo
recto. Considérese el de la figura, a partir del cual se
obtendrá la conocida como LEY DE LOS SENOS
a
b
c
α
β
γ
B
C
D
x
y
A
e

42. TRIGONOMETRÍA



e = asenβ a b
asenβ = bsenα =
senα senβ
e = bsenα
 



f = csenβ b c
csenβ = bsenγ =
f = bsenγ senβ senγ
 
a
b
c
α
β
γ
A B
C
D
x
y
f
e

43. TRIGONOMETRÍA
a b c
= =
senα senβ senγ
LEY DE LOS SENOS
Ejemplo. Obtener la longitud y los ángulos que faltan, dados los datos:
0
α = 65 ; a= 21.3 ; b = 18.9
Si se toman en cuenta las consideraciones anteriores es posible
enunciar la ley que relaciona a las longitudes de los lados de un
triángulo oblicuángulo con el seno de los ángulos correspondientes.

44. TRIGONOMETRÍA
0
0 0 0
α = 65 ; β = 53.53 ; γ = 1 0 γ =
8 6
- 1
-α β .47

( )
0
0
21.3sen
5
61.47
c a
= c =
senγ senα e
c
s
=
6
2
n 5
0.6
 
( ) 0
β = angsen 0.8041 β = 53
9 .53

 0
0
21.3 18.9 18.9 sen65
= senβ = senβ = 0.80419
sen65 senβ 21.3
 

45. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Dos puntos de observación separados ubican un globo
aerostático con ángulos de elevación . Calcular la altura a
la que se encuentra el globo. Realizar una figura aproximada
0 0
61 y 73
89 m
0
61 0
73
89 m
0 0 0 0
180 -61 -73 = 46
0 0
0
0
a 89
=
sen73 sen46
89sen73
a=
sen46
a= 118.32 m
0
61 0
73
89 m
118.32
y
0
y
= sen61
118.32
y = 103.49 m
a

46. TRIGONOMETRÍA
LEY DE LOS COSENOS
A
B
C
a
b
c
γ
d
e
( ) 2 2 2 2 2 2
1
T c = d + e d = c -e

( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2
T a = d + b-e a = d + b -2be+ e

2 2 2 2 2 2 2 2
a = c -e + b -2be+ e a = c + b -2be

β
α
( )
1
T e= ccosα
2 2
a= b + c -2bccosα
2 2
b = a + c -2accosβ 2 2
c = a + b -2abcosγ

47. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Obtener los ángulos del triángulo oblicuángulo mostrado en
la siguiente figura con las longitudes dadas:
9.4 cm
5.1cm 7.3 cm
A
B
C
0
0 0 0
C = 180 -50.43 - 7
C = 32
9
.57

( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2
7.3 = 5.1 + 9.4 -2 5.1 9.4 cosA
( ) ( ) ( )
( )( )
0
2 2 2
5.1 + 9.4 - 7.3
cosA=
4
A
5
=
1
5
.
0
2 . 9
.43

( ) ( ) ( ) ( )( )
2
2 2
9.4 = 5.1 + 7.3 -2 5.1 7.3 cosB
( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
0
2
5.1 + 7.3 - 9.4
cosB =
2 5.1 7.3
B = 97


48. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Un terreno tiene la forma de un paralelogramo (romboide)
y dos de sus lados miden, respectivamente, . El
ángulo que forman dos lados es de . Se requiere saber cuánto
mide la diagonal menor del terreno.
61.5 m y 92.8 m
57.90
57.90
61.5 m
92.8 m
D
92.8 m
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 2 0
D = 61.5 + 92.8 -2 61.5 92.8 cos 57.9
D = 12,394.09-6,065.6
D = 79.55 m

49. TRIGONOMETRÍA
Ejemplo. Un terreno tiene la
forma y dimensiones mostradas
en la figura. Determinar su área.
134 m
230 m
149 m
184 m
2 2
h= 134 + 149 = 200.39
2
1
134× 149
A = = 9983 m
2
1
A
2
A
h
θ
230 m
184 m
g
( )( )

2
0
2 2
200.39 = 18
46,599.8479
= = 56.594
84,640
4 +230 -2 184 230 cosθ
cosθ θ
g = 230senθ g = 192

2
2 2
184× 192
A = A = 17664 m
2

2
1 2
A= A + A A= 27,647 m


50. TRIGONOMETRÍA
Estudien, aprendan, practiquen
Sean solidarios con sus compañeros
Sean generosos con su prójimo
Gocen su edad y su universidad
Sean sencillos
Adquieran conocimientos, lean sus
experiencias y tendrán sabiduría
Sean buenos y
Serán felices

51. TRIGONOMETRÍA
Aprovechen el momento, hagan que su vida sea extraordinaria
Sus palabras y sus ideas pueden cambiar al mundo
Sean librepensadores
Vean las cosas, constantemente, de maneras diferentes
Emociónense por las cosas
Hagan de su vida un poema de muchas alegrías
Díganles a sus padres lo que los apasiona. No se queden callados
Atrévanse a recorrer nuevos caminos
El amor, la paz y la alegría son las razones por las cuales vivimos

52. TRIGONOMETRÍA
¡Ay UNAM, qué
emoción vivirte!

53. TRIGONOMETRÍA
Muchas
gracias
Pablo García y Colomé
Profesor de Carrera FI. UNAM