Resolución de sistemas de ecuaciones lineales aplicando el teorema de Rouché-Frobenius

1. Sistemas de
Ecuaciones Lineales
Pro. Quintana Mario E.

2. Teorema de Rouché Frobenius
En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas

















mnmnnmnmm
mnnmnnmmm
nnnn
nnnn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
112211
11111212111
22112222121
11111212111
..........
..........
.................................................................................
...............................................................................
..........
..........
Definimos como matriz de
coeficientes (A), a la
matriz conformada por
todos los coeficientes de
las variables del sistema,
ordenados según el mismo
orden del sistema

















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
................
................
.....
.....
21
22212
11211

















mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
......
......................
......................
......
......
´
21
222212
111211
Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna
de los resultados de l sistema como última columna, tenemos
la matriz ampliada (A´)
1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b

3. 
















mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
.....
................
................
.....
.....
21
22212
11211

















mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
A
......
......................
......................
......
......
´
21
222212
111211
La matriz A es de clase (m x n)
)(mxn
A
La matriz A´ es de clase m x (n+1)
))1((
´ nmx
A
Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos
hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP)
´)()( AA rr  El sistema tiene solución si además
incógnitasdenrr AA º´)()( 
El sistema es Compatible determinado
admite solución única
incógnitasdenrr AA º´)()( 
El sistema es Compatible indeterminado
admite infinitas soluciones
´)()( AA rr  El sistema es Incompatible
NO tiene solución
1a 1b 1c 1d 1e 1f 6 7 8a 8b

4. 1 a) Para resolver









3235
822
1
zyx
zyx
zyx
sistema de tres ecuaciones con
tres incógnitas para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
235
212
111
 y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
3
8
1
0
0
111 1
3
1
12
1 


3
4
1
12
2 


4
10
1
12
8 


)(
10 2
1
15
3 


2
3
1
15
2 

 8
1
15
3 


)(
3 8
00
3
410
01
3
10




3
41
1
)(
3
1
3
4
1 
3
1




3
101
1
3
7
3
10
1 
3
7




3
42
3
)(
3
1
3
8
3 
3
1




3
102
8
3
4
3
20
8 3
4
1 d1 c1 b

5. 3
100
3
410
3
101


3
4
3
10
3
7

100
010
001
4
3
1
3
4


4




3
1
3
4
3
4
3
10
2
3
6
3
16
3
10





3
1
3
4
3
1
3
7
1
3
3
3
4
3
7

2
1
El rango de la matriz
coeficientes es 3
Y el rango de la matriz ampliada también es 3
´)A()A( rr  el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
incógnitasºnrr ´)A()A(  Sistema compatible determinado
1x 2y 4z
Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .
(admite un solo conjunto solución)
1 d1 c1 b

6. 1 b) Para resolver









1334
2543
6
zy
yx
zx
sistema de tres ecuaciones
con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado









13340
25043
60
zyx
zyx
zyx
Para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
340
043
101
 13
25
6

0
0
101 6
4
1
03
4 

4 3
1
13
0 

3 7
7
1
63
25 


4
1
00
4 


4
3
1
10
3 


3
13
1
60
13 


13
00
4
310
01

4
7 1
1
30
1 


)(
1
6
1
70
6 


6
0
4
34
3 


)(
0
20
4
74
13 


20
1 d1 c

7. 000
4
310
101

20
4
7
6

El próximo pivote debe
elegirse en la 3º fila 3º
columna, pero ese elemento
es 0 (no puede ser pivote)
Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron
Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente
independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0)
2)A(r
3´)A(r pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes
(al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
´)A()A( rr  Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
1 d1 c

8. 1 c) Para resolver









7423
3332
102
tzyx
tzyx
tzyx
sistema de tres ecuaciones
con cuatro incógnitas
Para aplicar las operaciones
elementales, conformamos
primero la matriz de coeficientes
Y le agregamos la columna de resultados
para conformar la matriz ampliada
1423
3312
2111



7
3
10

0
0
2111  10
1
1
12
1 


)(
1
1
1
12
3 


1
7
1
22
3 


7
23
1
102
3 


23
1
1
13
2 


)(1 1
1
13
4 

1
7
1
23
1 


7
23
1
103
7 


23
1 d

9. 7110
7110
2111



23
23
10


00
7110
01
 23
2
1
11
1 


2
5
1
71
2 


)(
5
13
1
231
10 


)(13
0
1
11
1 


0 0
1
71
7 


)(0
0
1
231
23 


)(0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó
4ta columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)
Significa que las operaciones
elementales posibles concluyeron
quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas
linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0)
2)A(r
2´)A(r y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente
independientes (sus elementos son distintos de 0)
1 d

10. Si
´)A()A( rr  Sistema compatible
Este sistema admite infinitas soluciones
2)A(r 2´)A(r
pero incógnitasdeºnrr ´)A()A( 
Sistema compatible
indeterminado
0000
7110
5201


0
23
13








237
1352
tzy
tzx
despejamos y tzy 723 
despejamos x tzx 5213 
confeccionamos una
tabla de valores para
encontrar diferentes
soluciones,
asignándole valores a
z y t, encontramos
x e yx y z t
S1 0 0-13 -23
S2 1 1-10 -17
S3 0 1-8 -16
Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de
ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas
halladas
1 d

11. 1 d) Para resolver





4410622
3253
tuzyx
tuzyx
sistema de tres
ecuaciones con cuatro
incógnitas
Para aplicar las operaciones elementales,
conformamos primero la matriz de coeficientes
410622
25311


4
3
0
25311  3
0
1
12
2 


)(
0
0
1
32
6 


0
0
1
52
10 


)(
0
0
1
22
4 


0
2
1
32
4 


2
El próximo pivote debe elegirse en la 2da
fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos
elementos son 0 (no pueden ser pivote)Significa que las operaciones
elementales posibles concluyeron
Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente
independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0)
1)A(r
2´)A(r
pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al
menos uno de sus elementos es distinto de 0)
´)A()A( rr  Sistema incompatible
Este sistema no tiene solución
y la matriz ampliada

12. 1 e) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal









02
023
02
zyx
zyx
zyx
Sabiendo que el sistema
homogéneo será siempre
compatible
Solo nos queda analizar si
admite soluciones diferentes
de la trivial (todas las
variables igual a cero)
sistema de tres
ecuaciones con tres
incógnitas
Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para
visualizar mejor el rango de ellas
211
123
112


0
0
0
211
0
0
 0
1
1
12
1 


)(
1
1
1
12
1 


1
0
1
02
0 


0
5
1
13
2 


)(
5
1
1
23
1 


1
0
1
03
0 


0
4 b

13. 0
0
0
211
150
110



01
00
110 
4
1
15
1 


)(
4
0
0
1
05
0 


1
1
11
2 


)()(
0
1
0
1
01
0 


)(
0
001
100
010
0
0
4
01
0 


)(
0
0
4
01
0 


0
El rango de la matriz de coeficientes es 3
3)( Ar
Por ser el sistema homogéneo no
nos interesa analizar la matriz
ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
incógnitasdeºnr )A( 
Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial
0 zyx
1 f

14. 1 f) Para resolver un sistema homogéneo,
trabajamos como si fuera un sistema normal









zyx
zyx
yzx
987
0654
23
ordenamos el sistema









0987
0654
032
zyx
zyx
zyx
987
654
321
0
0
0
3
1
24
5 


0
0
321 0
3
6
1
34
6 


6
0
1
04
0 


0 6
1
27
8 


6
12
1
37
9 


12
0
1
07
0 


0
00
210
01
0
1
3
62
3 



)(
1 0
0




3
66
12
)()(



3
36
12
12
0
0
El próximo pivote debe elegirse en la 3ra
fila 3ra columna, pero esos elementos son 0
(no pueden ser pivote)
las operaciones
elementales
posibles
concluyeron
0
3
02
0 


 0
3
06
0 




15. 0000
0210
0101 
Recomponemos el sistema de ecuaciones,
proponiendo un sistema de ecuaciones
equivalente






02
0
zy
zx
del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z
zx 
zy 2
El rango de la matriz de coeficientes es 2
2)A(r
por ser el sistema homogéneo no
nos interesa analizar la matriz
ampliada (r(A) = r(A´) siempre)
incógnitasdeºnr )A( 
Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial
Este sistema admite infinitas soluciones
Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes
soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y
x y z
S1 11 -2
S2 -1-1 2
S3 00 0

16. 6) Para determinar, si existen los valores de m  R, tales que el
sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c)
Compatible indeterminado









0
1
1
zymx
mzyx
zyx Efectuamos
transformaciones
elementales por
Gauss-Jordan
11
11
111
m
m
0
1
1

0
0
111 1 0
1
11
1 


0
1
1
11


 mm
1m
2
1
11
1 


2
m
m


 1
1
1
1
m1
m
m


 1
1
1
1
m1
m
m



1
1
0
m
110
00
01
m
m


1
0
1
1)1(
1 



m
m
0
mm
mm
m
m








1
1
1
1
1
1
1
m1
1
m
m
mm



 1
)1(
)1()1(
0
m1
m
m
mm
m
mm






 2
)1(
)1(
2
)1(
)1(
2
m 2

17. Transcribimos el resultado de la última transformación
110
010
001
m
m
m
m
m




1
2
1
1
Podemos apreciar claramente que:
Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de
la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento
se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de
coeficientes
Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila
Por lo que si m = 1 ´)()( AA rr  Sistema incompatible
Para cualquier otro valor de m incógnitasdenrr AA º´)()( 
Sistema compatible determinado

18. 7) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de
edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en
la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado
de las de 19 y 20 años ?
Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos
2) El promedio de sus edades es 18,5.
3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado
de las de 19 y 20 años
1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años
Si la cantidad de
estudiantes que
tiene
18 años es x
19 años es y
20 años es z
32 zyx
518
32
,
multiplicamos cada una de las
edades por la cantidad de
estudiantes que tienen esas
edades y sumamos los productoszyx 201918 
y dividimos por el total de estudiantes para
hallar el promedio de las edades
6 zyx
Con las tres ecuaciones planteadas,
puedo conformar un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas










6
518
32
201918
32
zyx
,
zyx
zyx
que ordenado queda :









6
592201918
32
zyx
zyx
zyx

19. 








6
592201918
32
zyx
zyx
zyx
111
201918
111
 6
592
32
0
0
111 32
1
1
118
19 


1
2
1
118
20 


2
16
1
3218
592 


16
2
1
11
1 


2
2
1
11
1 


2
26
1
321
6 


26
00
210
01
16
1
1
21
1 


1
16
1
161
32 


16
2
1
22
2 


2
6
1
162
26 


6
100
010
001
3
19
2
61
16 


19
10
2
62
16 


10

20. Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego
de las transformaciones elementales resultan:
3
10
19
100
010
001 El rango de la matriz de coeficientes es 3
3)A(r
El rango de la matriz ampliada también es 3
3´)A(r
´)A()A( rr  el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices
incógnitasºnrr ´)A()A(  Sistema compatible determinado
19x
10y
3z
Te sugerimos que
verifiques estos
resultados . . .
(admite un solo conjunto solución)
Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz
de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales









300
1000
1900
zyx
zyx
zyx

21. 8) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es
menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?.
b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es
homogéneo ?
c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible
determinado ? ¿Porqué ?
Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de
cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas :
que sean iguales que no sean iguales´)A()A( rr  ´)()( AA rr 
Si los rangos no son iguales, lo que puede
suceder en un sistema cuyo número de
ecuaciones es menor que el de incógnitas
El sistema es incompatible
no tiene solución
Si los rangos son iguales, con seguridad, al
ser menor el número de ecuaciones que el
número de incógnitas
incógnitasdenrr AA º´)()( 
El sistema es compatible indeterminado
tiene múltiples soluciones
7 b

22. 7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y
además es homogéneo
Por ser homogéneo, sabemos que los
rangos no pueden ser diferentes,
luego los rangos son iguales
´)()( AA rr 
Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que
el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número
de incógnitas
incógnitasdenrr AA º´)()( 
Entonces el sistema es compatible determinado, al ser
homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial

23. BIBLIOGRAFÍA
•Garcia Venturini, A. E. (1993).ALGEBRA con Aplicaciones
Económica. - Bs.As. - Argentina.Editorial Secretaría de Cultura
C.E.C.E. UBA
•GILBERT STRANG. Algebra Lineal. Madrid – España. Ediciones
Pirámides.
•Rojo, A. (1973). Álgebra I y II. (11° edición). Bs As – Argentina. Ed.
El Ateneo.
•Stanley I. Grossman (2008). Álgebra Lineal. (6º Ed.).México.
Editorial McGRAW-HILL.
•Seymour Lipschutz. Álgebra Lineal. Editorial McGRAW-HILL.
COMPLEMENTARIA
•Howard, A. (2000).Introducción al álgebra lineal. México. Noriega
Editores.
•Kleiman, A. y de Kleiman, Elena K. (1.991) Matrices, aplicaciones
matemáticas en economía y administración. México. Ed. Noriega-
Limusa.
•.

24. Lograremos
cosas
importantes
Algún día en cualquier parte, en cualquier lugar
indefectiblemente te encontrarás a ti mismo, y esa, sólo
esa, puede ser la más feliz ó la mas amarga de tus horas.
Pablo Neruda
Yo creo bastante en la suerte. He constatado que
cuanto más trabajo, mas suerte tengo.
Thomas Jefferson