EXTRACTO F PRIMA DÉCIMO

1. CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA 105
'f GRUPO EDITORIAL
FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas
Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es
ax by c
dx ey f
 

 
donde
, , , , ,a b c d e f son constantes; ,x y son incógnitas. Una solución del sistema es un par
ordenado  ,x y que es solución simultáneamente de ambas ecuaciones. Si un
sistema no tiene soluciones se dice que es inconsistente.
Ejemplo 1
2 3
4 5 6
x y
x y
 

 
Ejemplo 2
2 3 4
3 5 6
x y
x y
  

   
Sistemas de ecuaciones incompatibles
De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
2 4
2 4 7
x y
x y
 

 
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma
pendiente. Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún
valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.
Sistemas de ecuaciones indeterminados
De un sistema se dice que es indeterminado cuando presenta infinitas soluciones.
Por ejemplo, supongamos el siguiente sistema:
2 1
2 4 2
x y
x y
 

 
Las ecuaciones corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma
pendiente 5 y que pasan por el punto  1 , 1 , por lo que ambas se intersecan en
todos los puntos de dicha recta.

2. 106 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA
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FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de suma y resta
Consiste en multiplicar cada ecuación por un número adecuado de modo que, al
sumar ambas ecuaciones, una de las incógnitas desaparezca obteniéndose así una
ecuación con una incógnita cuyo valor se determina y se usa para encontrar el valor
de la otra incógnita.
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
  

 
a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 2 2
4 5
x y
x y
 

  
b) Se multiplica la segunda ecuación
por 2 y se suma con la primera
para obtener el valor de x
10 2 2
8 2 10
2 0 12
x y
x y
x y
 

  
 

2 12
12
6
2
x
x

 
c) Se sustituye en la " "x de la primera
ecuación
10 2 2
10 6 2 2
60 2 2
2 2 60
2 58
58
29
2
x y
y
y
y
y
y

 
 
 
  
  

 

d) El punto de intersección es  6 , 29
Ejemplo 2
Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
x
y
  



a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 7 24
2 3 4
x y
x y
 

  
b) Se multiplica la segunda ecuación
por 5 y se suma con la primera
para obtener el valor de y
10 7 24
10 15 20
0 22 44
x y
x y
x y
 

  
 

22 44
44
2
22
y
y

 
c) Se sustituye en la " "y de la primera
ecuación
10 7 24
10 7 2 24
10 14 24
10 24 14
10 10
10
1
10
x y
x
x
x
x
x
 
 
 
 

 

d) El punto de intersección es  1 , 2

3. CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA 107
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FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de sustitución
Consiste en despejar una de las incógnitas en una ecuación y sustituir en la otra
ecuación. De esta forma se obtiene una ecuación en una sola incógnita; se
determina el valor de ésta y se utiliza para encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
  

 
a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 2 2
4 5
x y
x y
 

  
b) Se despeja una de las incógnitas en
la primera ecuación
10 2 2
10 2 2
2 2
10
x y
x y
y
x
 
 


c) Se sustituye el valor " "x en la
segunda ecuación
4 5
2 2
4 5
10
8 8
5
10
8 8 10
5
10
8 2 50
50 8
29
2
x y
y
y
y
y
y y
y
y
  
 
   
 
 
 
  

  

 
d) Se sustituye el valor " "y en la
primera ecuación y se obtiene 6x 
.
e) El punto de intersección es  6 , 29
Ejemplo 2
Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
x
y
  



a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 7 24
2 3 4
x y
x y
 

  
b) Se despeja una de las incógnitas en
la primera ecuación
2 3 4
2 4 3
4 3
2
x y
x y
y
x
  
  
 

c) Se sustituye el valor " "x en la
segunda ecuación
10 7 24
4 3
10 7 24
2
40 30
7 24
2
40 30 14
24
2
40 44 24 2
48 40
2
44
x y
y
y
y
y
y y
y
y
 
  
  
 
 
 
  

  

 

d) Se sustituye el valor " "y en la
primera ecuación y se obtiene 1x 
.
e) El punto de intersección es  1 , 2

4. 108 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA
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FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones y luego igualar los
resultados para obtener el valor de una de las incógnitas. Dicho valor se utiliza para
encontrar el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 1
Determine la intersección de las rectas
10 2 2 0
5 4
x y
y x
  

 
a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 2 2
4 5
x y
x y
 

  
b) Se despeja la misma incógnita en las
dos ecuaciones
Primera
ecuación
Segunda
ecuación
10 2 2
10 2 2
2 2
10
x y
x y
y
x
 
 


4 5
4 5
5
4
5
4
x y
x y
y
x
y
x
  
  





c) Se iguala el resultado de x y
calculamos el valor de y
   
2 2 5
10 4
4 2 2 10 5
8 8 10 50
8 50 10 8
29
y y
y y
y y
y y
y
 

  
  
  

d) Se sustituye el valor " "y en
cualquiera de las ecuaciones y se
obtiene 6x  .
e) El punto de intersección es  6 , 29
Ejemplo 2
Determine la intersección de las rectas
10 7 24 0
2 4
3
x y
x
y
  



a) Se ordena el sistema de la forma
general
10 2 2
4 5
x y
x y
 

  
b) Se despeja la misma incógnita en
las dos ecuaciones
Primera
ecuación
Segunda
ecuación
10 7 24
7 24 10
24 10
7
x y
y x
x
y
 
 


2 3 4
3 4 2
4 2
3
2 4
3
x y
y x
x
y
x
y
  
   
 




c) Se iguala el resultado de y y
calculamos el valor de x
   
24 10 2 4
7 3
3 24 10 7 2 4
72 30 14 28
72 28 14 30
1
x x
x x
x x
x x
x
 

  
  
  

d) Se sustituye el valor " "x en
cualquiera de las ecuaciones y se
obtiene 2y  .
e) El punto de intersección es  1 , 2

5. CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA 109
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Ejercicios de movilización 15
A. Determine la intersección de cada par de rectas que se presentan a continuación.
(Sugerencia: utilizar los tres métodos estudiados anteriormente para cada ejercicio)
1)
5 0
3 3
x y
y x
  

  
2)
6 3 0
3 13 4
x y
y x
  

  
3)
4 5 11 0
3 11 2
x y
y x
  

  
4)
2 15
11
x y
x y
  

 
5)
3 2 3
4 2 41
x y
y x
   

  
6)
2 0
5
3 4
4
x y
y x
 

 
 
7)
17
5
6
7
2 2
3
x y
x y

 

  

8)
22
10 2 5
3
3 2 6 11
x y
x y

  

   
9)
7
2 3
2
9
6 1
2
x y
x y

 

  

10)
1
3 4
3
50
6 8 2
3
x y
x y

  

   

11)
3 2 8
4 6 14
3 3
x y
x y
 

 

12)
3 2 5
3 3
2
2
4
x y
x y
 


 

13)
4 8 44
3 3
3 2
3
6
x y
y x
 


 

14)
4 2 2 4
3 3
6 3 5
10
2
x y
x y
 


  

15)
2 3 23
2 2
2 2
3 5 3
x y
x y



  

16)
4 3 73
3 2 3
2 4
3 3
x y
x y

 

  

17)
2 6 18
5 5
29
4
3 6
x y
y
x
 


  

18)
2 29
3
3 3
2 1 9
2 3 2
x
y
x y

  

  


6. 110 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA
'f GRUPO EDITORIAL
FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Problemas utilizando sistemas de ecuaciones
Ejemplo 1
Celeste y Gustavo Adolfo tienen juntos 89 millones de colones. Si Gustavo Adolfo
tiene 4 millones de colones más que el doble de los que tiene Celeste. ¿Cuántos
millones de colones tiene cada uno?
Plan de solución:
Paso 1
Se definen las variables
Paso 2
Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
:
:
x dinero que tiene Celeste
y dinero que tiene Gustavo Adolfo
89
4 2
x y
x y
 
 
Ejecución del plan de solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos
estudiados
89
2 4
x y
x y
 

 
Respuesta: Celeste tiene
182
3
millones de colones (un poco más de 60 millones) y
Gustavo Adolfo tiene
85
3
millones de colones (un poco más de 28 millones).

7. CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA 111
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FUNCIONES
H16: Analizar sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
H17: Plantear y resolver problemas en contextos reales, utilizando sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Problemas utilizando sistemas de ecuaciones
Ejemplo 2
Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 4 , y
el doble del mayor menos el triple del menor es igual a
2
15
, entonces ¿cuál es el
número menor?
Plan de solución:
Paso 1
Se definen las variables
Paso 2
Se plantean dos ecuaciones lineales
con dos variables
:
:
x el número menor
y el número mayor
3 5 4
2
2 3
15
x y
y x
 
 
Ejecución del plan de solución:
Se resuelve el sistema de ecuaciones siguiente por cualesquiera de los métodos
estudiados
5 3 4
2
3 2
15
x y
x y
 


  
Respuesta: El número menor es
2
5
.

8. 112 CAPÍTULO 2: RELACIONES Y ÁLGEBRA
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Ejercicios de movilización 16
A. Resuelva los siguientes problemas utilizando cualesquiera de los tres métodos
estudiados anteriormente para sistemas de ecuaciones lineales con dos variables.
1) Dos personas A y B tienen juntas ochenta y nueve colones. Si B tiene cuatro
colones menos que el doble de lo que tiene A, ¿cuántos colones tiene B?
2) Manuel y José tienen entre los dos ¢1200 . Manuel tiene ¢400 menos que José.
¿Cuánto dinero tiene cada uno de ellos?
3) La edad de Daniel excede en 4 años a la edad de Paulo y ambas suman 32
años. ¿Cuál es la edad de cada uno de ellos?
4) La edad de María excede en 5 años a la edad de Carlos y la suma de sus edades
es 40 años. ¿Cuántos años tiene cada uno?
5) María compra 5 cuadernos y 3 lapiceros en ¢3400 . Noelia compra, a los mismos
precios, 8 cuadernos y 9 lapiceros en ¢6700 . ¿Cuál es el precio en colones de
un cuaderno? ¿Cuál es el precio en colones de un lapicero?
6) La suma de dos números es 30 y la quinta parte de la diferencia de esos números
es 4 . ¿Cuáles son los números?
7) Dados dos números, si el triple del mayor más el quíntuplo del menor es igual a 5 ,
y el doble del mayor menos el triple del menor es igual a
3
7
, entonces ¿cuál es el
número mayor?
8) La suma de un número más el triple de otro es igual a 14 . Si el triple del primero se
le resta al duplo del segundo, se obtiene 9 . ¿Cuáles son los números?
9) La suma de un número más el cuádruplo de otro es igual a 21 . Si el quíntuplo del
primero se le resta al triple del segundo, se obtiene 12 . ¿Cuáles son los números?