Suma Finita de números reales

1. NOTACIÓN SIGMA

2. OBJETIVO GENERAL
Emplear la notación Sigma para escribir y calcular una suma.
1 Utilizar la notación Sigma para abreviar una suma de números reales.
2 Aplicar las propiedades de la notación sigma.
3 Utilizar las fórmulas de la notación Sigma para calcular una suma de términos.

3. CONTENIDO
1 DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
2 PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
3 FÓRMULAS PARA SUMAS

4. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Definición
La suma de n términos (números reales)
a1 +a2 +a3 +···+an
se puede escribir de la forma
a1 +a2 +a3 +···+an =
n
∑
i=1
ai
donde ai representa el i−ésimo término de la suma.

5. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Donde
FIGURA 1: Notación Sigma

6. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Ejemplos
1
12
+22
+32
+42
+52
+62
=
6
∑
i=1
i2
2
−13
+ 23
+ −33
+ 43
=
4
∑
i=1
(−1)i
(i)3
3
2
5
+
3
7
+
4
9
+
5
11
+
6
13
=
5
∑
i=1
i+1
2i+3

7. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Nota
Aunque se pueden sumar una serie de términos sin necesariamen-
te iniciar desde el primero. Es decir, la suma de
am +am+1 +am+2 +···+an
se representa de la forma
am +am+1 +am+2 +···+an =
n
∑
i=m
ai

8. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Ejemplos
1
32
+42
+52
+62
+72
+82
=
8
∑
i=3
i2
2
−53
+ 63
+ −73
+ 83
=
8
∑
i=5
(−1)i
(i)3
3
4
3
+
5
5
+
6
7
+
7
9
+
8
11
=
7
∑
i=3
i+1
2i−3

9. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Ejercicios
Utilice la notación Sigma para escribir cada una de las siguienes
sumas
1 1
2 + 1
4 + 1
8 + 1
16
2 1− 1
2 + 1
3 − 1
4 + 1
5
3
√
3+
√
5+
√
7+
√
9
4 9
1+1 + 9
1+2 + 9
1+3 +···+ 9
1+14
5 7 1
6
+5
+ 7 2
6
+5
+···+ 7 6
6
+5

10. DEFINICIÓN DE NOTACIÓN SIGMA
Nota
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de
ı́ndice para expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
5+8+11+14 =
4
∑
i=1
(3i+2)
2
5+8+11+14 =
5
∑
i=2
(3i−1)

11. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
1
n
∑
i=1
k ·ai = k ·
n
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
3
∑
i=1
4
1
i2 +1
= 4
1
2
+4
1
5
+4
1
10
= 4·
1
2
+
1
5
+
1
10
= 4·
3
∑
i=1
1
i2 +1

12. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
2
n
∑
i=1
ai ±bi =
n
∑
i=1
ai ±
n
∑
i=1
bi
Por ejemplo,
3
∑
i=1
1
i
+sin(i)
=
1
1
+sin(1)
1
2
+sin(2)
+
1
3
+sin(3)
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+(sin(1)+sin(2)+sin(3))
=
3
∑
i=1
1
i
+
3
∑
i=1
(sin(i))

13. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Propiedades de la Notación Sigma
3
n
∑
i=m
ai =
n
∑
i=1
ai −
m−1
∑
i=1
ai
Por ejemplo,
7
∑
i=4
i2
= 42
+52
+62
+72
= 12
+22
+32
+42
+52
+62
+72
− 12
+22
+32
=
7
∑
i=1
i2
−
3
∑
i=1
i2

14. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
1
n
∑
i=1
(k) = k ·n
Por ejemplo
5
∑
i=1
(3) = 3·(5)
= 15

15. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
2
n
∑
i=1
(i) =
n(n+1)
2
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i) = 1+2+3+4+5+6
=
6·(7)
2
= 21

16. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
3
n
∑
i=1
(i2
) =
n(n+1)(2n+1)
6
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i2
) = 12
+22
+32
+42
+52
+62
=
6·(7)·(13)
6
= 91

17. FÓRMULAS PARA SUMAS
Fórmulas para sumas
4
n
∑
i=1
(i3
) =
n2(n+1)2
4
Por ejemplo
6
∑
i=1
(i3
) = 13
+23
+33
+43
+53
+63
=
62 ·(7)2
4
= 441

18. FÓRMULAS PARA SUMAS
Ejercicios
Evalúe cada una de las siguientes sumas usando las propiedades
y fórmulas de la notación sigma.
1
120
∑
i=1
(10)
2
10
∑
i=1
i3 −5
3
15
∑
i=1
(i)(3i+5)
4
15
∑
i=1
i2
125
+
15
∑
i=1
i
!2

19. FÓRMULAS PARA SUMAS
Ejemplo
Hallar
n
∑
i=1
i+1
n2
para n = 200.

20. FÓRMULAS PARA SUMAS
Solución
Se usan las propiedades de la
notación sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→

21. FÓRMULAS PARA SUMAS
Solución
Se usan las propiedades de la
notación sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
Se aplican las fórmulas de
suma de la Notación Sigma
=
1
n2
n(n+1)
2
+n
=
1
n2
n2 +3n
2
=
n+3
2n

22. FÓRMULAS PARA SUMAS
Solución
Dado que
n
∑
i=1
i+1
n2
=
n+3
2n
como n = 200, se tiene
200
∑
i=1
i+1
n2
=
200+3
2(200)
=
203
400
= 0.5075

23. FÓRMULAS PARA SUMAS
Bibliografı́a
1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (7.a ed., p. A34-A37). México:
Cengage Learning.
2 Thomas, G. (2010). Cálculo 1. De una variable. (12.a ed., p. 256-258). México: Pearson.
3 Larson, R. (2010). Cálculo 1. De una variable. (9.a ed., p. 259-260). México: McGraw Hill.