Suma finita de números reales

1. NOTACIÓN SIGMA

2. OBJETIVO GENERAL
Emplear la notación Sigma para escribir y/o calcular una suma finita de números reales.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1 Escribir, usando la notación sigma, un listado de términos que se están sumando.
2 Aplicar las propiedades de la notación Sigma para calcular una suma finita.
3 Utilizar las fórmulas de la notación Sigma para calcular una suma finita de números natu-
rales, sus cuadrados o cubos.

3. CONTENIDO
1 NOTACIÓN SIGMA
2 PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA

4. NOTACIÓN SIGMA
Dado un listado ordenado de n número
reales (ó términos)
a1, a2, a3, ··· ,an
Una forma “abreviada” de escribir la
suma de esos n términos
a1 +a2 +a3 +···+an
es utilizando la notación Sigma, la cual
se simboliza por la expresión ∑.
Es decir,
a1 +a2 +a3 +···+an =
n
∑
i=1
ai
Donde

5. NOTACIÓN SIGMA
Aunque se pueden sumar una serie de términos sin necesariamente iniciar desde el primero.
Es decir, la suma de
am +am+1 +am+2 +···+an
se representa de la forma
am +am+1 +am+2 +···+an =
n
∑
i=m
ai

6. NOTACIÓN SIGMA
EJEMPLO
Usando la notación sigma, podemos escribir de forma abreviada cada una de las siguiente sumas
n
∑
i=m
f(i) = f(m)+ f(m+1)+ f(m+2)+···+ f(n−1)+ f(n)
5
∑
i=1
i = 1+2+3+4+5
6
∑
i=1
i2
= 12
+22
+32
+42
+52
+62
4
∑
i=1
(−1)i
(i)3
= (−1)3
+23
+(−3)3
+43
7
∑
i=3
i+1
2i−3
=
4
3
+
5
5
+
6
7
+
7
9
+
8
11

7. NOTACIÓN SIGMA
EJERCICIO
En cada una de las siguientes sumas, escriba el listado de términos y posteriormente calcule el
valor numérico que representa esta suma.
1
5
∑
i=1
√
i
2
7
∑
i=2
i3
3
4
∑
k=0
2k −3
3k +1
4
7
∑
i=1
i
2i+1

8. NOTACIÓN SIGMA
EJERCICIO
Utilice la notación sigma para escribir cada una de las siguientes sumas
1 1
2 + 1
4 + 1
8 + 1
16
2 1− 1
2 + 1
3 − 1
4 + 1
5
3
√
3+
√
5+
√
7+
√
9
4 9
1+1 + 9
1+2 + 9
1+3 +···+ 9
1+14
5 7 1
6
+5
+ 7 2
6
+5
+···+
7
6
6
+5

9. NOTACIÓN SIGMA
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de ı́ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
4
∑
i=1
(3i+2) = 5+8+11+14

10. NOTACIÓN SIGMA
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de ı́ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
4
∑
i=1
(3i+2) = 5+8+11+14
2
5
∑
i=2
(3i−1) = 5+8+11+14

11. NOTACIÓN SIGMA
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de ı́ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
4
∑
i=1
(3i+2) = 5+8+11+14
2
5
∑
i=2
(3i−1) = 5+8+11+14
3
3
∑
i=0
(3i+5) = 5+8+11+14

12. NOTACIÓN SIGMA
En ocasiones es necesario utilizar diferentes valores iniciales de ı́ndice para
expresar una misma suma. Por ejemplo,
5+8+11+14
se puede notar ası́:
1
4
∑
i=1
(3i+2) = 5+8+11+14
2
5
∑
i=2
(3i−1) = 5+8+11+14
3
3
∑
i=0
(3i+5) = 5+8+11+14
4
2
∑
i=−1
(3i+8) = 5+8+11+14

13. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
PROPIEDADES
1
n
∑
i=1
kai = k
n
∑
i=1
ai

14. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
PROPIEDADES
1
n
∑
i=1
kai = k
n
∑
i=1
ai
2
n
∑
i=1
(ai+bi) =
n
∑
i=1
ai+
n
∑
i=1
bi

15. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
FÓRMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA
1)
n
∑
i=1
(1) = n
2)
n
∑
i=1
c = cn
3)
n
∑
i=1
i =
n(n+1)
2
4)
n
∑
i=1
i2
=
n(n+1)(2n+1)
6
5)
n
∑
i=1
i3
=
n2(n+1)2
4

16. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
FÓRMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
∑
i=1
i+1
n2
para n = 200. Por tanto,

17. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
FÓRMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
∑
i=1
i+1
n2
para n = 200. Por tanto,
Usamos las propiedades de la notación
sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→

18. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
FÓRMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA
EJEMPLO
Hallar
n
∑
i=1
i+1
n2
para n = 200. Por tanto,
Usamos las propiedades de la notación
sigma
n
∑
i=1
i+1
n2
=
1
n2
n
∑
i=1
(i+1)
=
1
n2
n
∑
i=1
i+
n
∑
i=1
1
!
−→
Aplicamos las fórmulas de suma de la
Notación Sigma
=
1
n2
n(n+1)
2
+n
=
1
n2
n2 +3n
2
=
n+3
2n

19. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
FÓRMULAS DE SUMA EMPLEANDO LA NOTACIÓN SIGMA
Dado que
n
∑
i=1
i+1
n2
=
n+3
2n
como n = 200, se tiene
200
∑
i=1
i+1
n2
=
200+3
2(200)
=
203
400
= 0.5075

20. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
EJERCICIO
Evalúe cada una de las siguientes sumas usando las propiedades y fórmulas de la notación
sigma.
1
12
∑
i=1
(10)
2
24
∑
i=1
(4i)
3
10
∑
i=1
i3 −5
4
5
∑
i=1
(i)(3i+5)
5
15
∑
i=1
i2
125
+
15
∑
i=1
i
!2
6
10
∑
i=1
3i2 +4
7
7
∑
i=1
i
!2
−
7
∑
i=1
i3
4
8
130
∑
i=10
i2
9
8
∑
k=0
cos(2kπ)
10
10
∑
i=1
(2i+1)(3i−2)

21. PROPIEDADES DE LA NOTACIÓN SIGMA
Bibliografı́a
1 Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas (7.a ed., p. A34-
A37). México: Cengage Learning.
2 Thomas, G. (2010). Cálculo 1. De una variable. (12.a ed., p. 256-258). México: Pearson.
3 Larson, R. (2010). Cálculo 1. De una variable. (9.a ed., p. 259-260). México: McGraw
Hill.