Calcular límites al infinito e indeterminados

1. LÍMITES INDETERMINADOS: INFINITO SOBRE
INFINITO

2. CONTENIDO
1 FUNCIONES RACIONALES
2 FUNCIONES NO RACIONALES

3. FUNCIONES RACIONALES
Ten encuenta que...
En general, toda expresión de la forma
cnxn
donde n es un número real positivo, se tiene que
lı́m
x→∞
(cnxn
) = ∞ si cn > 0
lı́m
x→∞
(cnxn
) = −∞ si cn < 0

4. FUNCIONES RACIONALES
Ten encuenta que...
En particular, toda expresión polinómica de la forma
cnxn
+cn−1xn−1
+...+c2x2
+c1x+c0
donde n es un número real positivo, se tiene que
lı́m
x→∞
cnxn
+cn−1xn−1
+...+c2x2
+c1x+c0
= ∞ si cn 0
lı́m
x→∞
cnxn
+cn−1xn−1
+...+c2x2
+c1x+c0
= −∞ si cn 0

5. FUNCIONES RACIONALES
Ejemplo
El lı́mite de cada una de las siguiente funciones es
1 lı́m
x→∞
2x3
−10x+7
= ∞
2 lı́m
x→∞
−3x2
+1000x+200
= −∞
3 lı́m
x→∞
1
2
x4
−7x3
+2x2
−100
= ∞
4 lı́m
x→∞
4x3/2
−5x−1000
= ∞

6. FUNCIONES RACIONALES
Lı́mites Indeterminados - Infinito
sobre Infinito
lı́m
n→∞
(f(x)) =
∞
∞

7. FUNCIONES RACIONALES
Lı́mite al infinito de una Función Racional: infinito sobre infinito
Si
f(x) =
anxn +an−1xn−1 +an−2xn−2 +···+a1x+a0
bmxm +bm−1xm−1 +bm−2xm−2 +···+b1x+b0
Entonces,
lı́m
n→∞
(f(x)) =
∞
∞
=⇒ Indeterminación

8. FUNCIONES RACIONALES
Estrategia para calcular lı́mite al
infinito de una función racional f(x)

9. FUNCIONES RACIONALES
Sea
lı́m
n→∞
anxn +an−1xn−1 +an−2xn−2 +···+a1x+a0
bmxm +bm−1xm−1 +bm−2xm−2 +···+b1x+b0
Si,
n m →lı́m
x→∞
(f(x)) = ∞
n = m →lı́m
x→∞
(f(x)) =
an
bm
n m →lı́m
x→∞
(f(x)) = 0

10. FUNCIONES RACIONALES
De acuerdo con la anterior estrategia, si
n m
lı́m
x→∞
6x3 −7
2x2 −5x
= ∞
n = m
lı́m
x→∞
6x3 −2x2
2x3 +2
=
6
2
n m
lı́m
x→∞
6x2 −2x
2x3 +2
= 0

11. FUNCIONES NO RACIONALES
Teorema
Si r 0 es un número racional, entonces
lı́m
x→∞
1
xr
= 0
Si r 0 es un número racional tal que xr está definida para toda
x, entonces
lı́m
x→−∞
1
xr
= 0

12. FUNCIONES NO RACIONALES
Estrategia para calcular lı́mite al
infinito de una función f(x) definida
como
f(x) =
k
p
p(x)
q(x)
ó f(x) =
p(x)
k
p
q(x)
siendo p(x) y q(x) funciones
polinómicas

13. FUNCIONES NO RACIONALES
Ejemplos
1
lı́m
x→∞
√
4x2 +10
5x−1
!
2
lı́m
x→∞
6x2 −3x+2
√
4x4 +6x+2

14. FUNCIONES NO RACIONALES
Ejemplo
Para calcular
lı́m
x→∞
√
4x2 +10
5x−1
!
es necesario utilizar la estrategia de divir el numerador y el deno-
minador por la expresión xn donde n es el grado del polinomio.
En este caso, como nuestra expresión polinómica es 5x + 1, en-
tonces se divide el numerador y denominador por x1

15. FUNCIONES NO RACIONALES
Solución
lı́m
x→∞
√
4x2 +10
5x−1
!
= lı́m
x→∞




√
4x2 +10
x
5x−1
x




= lı́m
x→∞




r
4+
10
x2
5−
1
x




=
lı́m
x→∞
r
4+
10
x2
!
lı́m
x→∞
5−
1
x
=⇒ lı́m
x→∞
√
4x2 +10
5x−1
!
=
v
u
u
u
u
u
u
u
t
lı́m
x→∞






4+
10
x2
0






lı́m
x→∞






5−
1
x
0






=
√
4
5
=
2
5

16. FUNCIONES NO RACIONALES
Ejemplo
Para calcular
lı́m
x→∞
6x2 −3x+2
√
4x4 +6x+2
es necesario utilizar la estrategia de divir el numerador y el deno-
minador por la expresión xn donde 2 es el grado del polinomio.
En este caso, como nuestra expresión polinómica es 6x2 −3x+2,
entonces se divide el numerador y denominador por x2.

17. FUNCIONES NO RACIONALES
Solución
lı́m
x→∞
6x2 −3x+2
√
4x4 +6x+2
= lı́m
x→∞




6x2 −3x+2
x2
√
4x4 +6x+2
x2




= lı́m
x→∞




6−
3
x
+
2
x2
r
4+
6
x3
+
2
x4





18. FUNCIONES NO RACIONALES
Solución
lı́m
x→∞
6x2 −3x+2
√
4x4 +6x+2
=
lı́m
n→∞






6−
3
x
0
+
2
x2
0






v
u
u
u
u
u
u
u
t
lı́m
n→∞






4+
6
x3
0
+
2
x4
0






=
6
√
4
=
6
2
= 3

19. FUNCIONES NO RACIONALES
Ejercicios
Encuentre el lı́mite de cada una de las siguientes funciones
1 lı́m
x→∞
10x−4
√
4x2 +3x+36
2 lı́m
x→−∞
16−10x3
√
x6 +2x+9
3 lı́m
x→−∞
√
3x2 +x+1
2x−7
!