2. Teorema de Thales
Algunos datos
Nació : alrededor del año 640 AC
en Mileto, Asia Menor (ahora
Turquía)
Thales era un hombre que se
destacó en varia áreas :
comerciante, hábil en ingeniería,
astrónomo, geómetra
Thales era considerado uno
de los siete sabios de Grecia

3. Sobresale especialmente por:
Que en sus teoremas geométricos aparecen los inicios del
concepto de demostración y se podría decir que son el punto
de partida en el proceso de organización racional de las
matemáticas.
Una anécdota contada por Platón
• Una noche Thales estaba observando el cielo y tropezó. Un
sirviente lo Levantó y Le dijo: cómo pretendes entender lo que
pasa en el cielo, si no puedes ver lo que está a tus pies.
Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales),
debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos
teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo
VI a. C.
El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que
sea semejante a otro existente (triángulos semejantes son los que
tienen iguales ángulos). El que se va a estudiar en este curso
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los
circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros
se encuentran en el punto medio de su hipotenusa). No lo veremos

4. Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer
que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes
iguales y sus lados son proporcionales entre si.
El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de
la geometría, a saber, que:
Si en un triángulo se traza una línea
paralela a cualquiera de sus lados, se
obtienen dos triángulos semejantes.
Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo:

5. Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', a
uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C',
cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC.
Lo que se traduce en la fórmula

6. En el triángulo hallar las medidas de los segmentos a yb.
Aplicamos la fórmula, y tenemos:

7. Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su
fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de
triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente POSTULADO.
•POSTULADO
Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre
ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus
lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en
un triángulo se mantiene constante en el otro.
Una aplicación del Teorema de Tales
Por ejemplo, en la figura de la izquierda se observan
dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son
semejantes. Entonces, como se puede deducir, el
cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es
el mismo que el cociente entre los lados D y C en el
triángulo grande.
En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son
semejantes y se cumple que:

8. La leyenda de Tales y las pirámides
Según la leyenda (relatada por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto,
visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios
siglos antes.
Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.
Se cuenta que comparando la
sombra de un bastón y la sombra
de las pirámides, Thales midió, por
semejanza, sus alturas
respectivas. La proporcionalidad
entre los segmentos que las rectas
paralelas determinan en otras
rectas dio lugar a lo que hoy se
conoce como el teorema de
Thales.

9. La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos
(y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).
Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos
triángulos rectángulos, los que seSol incidenfigura.
Puesto que los rayos del refleja en la paralelamente sobre la Tierra
Los triángulos rectángulos
determinados por la altura de la
pirámide y su sombra y el determinado
por la altura del bastón y la suya son
Rayos solares
semejantes
Podemos, por tanto, establecer
la proporción
H =h
S s
De donde H=
h•S
s H(altura de la pirámide)
h (altura de bastón) Pirámide
s (sombra) S (sombra)

10. Ahora
El famoso
teorema

11. Otra variante del Teorema de Tales
Del primer teorema de Tales se deduce
además lo siguiente (realmente es otra
variante de dicho teorema, y, a su vez,
consecuencia del mismo):
Si dos rectas cualesquiera (r y s) se
cortan por varias rectas paralelas (AA’,
BB’, CC’) los segmentos determinados
en una de las rectas (AB, BC) son
proporcionales a los segmentos
correspondientes en la otra (A’B’, B’C’).
¿DE
ACUERDO?

12. Un ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S transversales, calcula la medida del
trazo x
L1
Ordenamos los datos en L2
T
la proporción, de acuerdo x
al teorema de Thales 15
L3
S
Es decir:
8 X 8
24 = 15
Y resolvemos la proporción 24
24 • x = 8 • 15
X =8 • 15
24 Fácil
X=5

13. Otro ejemplo:
En la figura L1 // L2 // L3 , T y S son transversales, calcula x y el
trazo CD
Formamos la proporción L3
L2
T
3 x+4
2
= x+1 L1 x+1
D
Resolvemos la proporción
x+4
3(x + 1) = 2(x + 4)
C
3x + 3 = 2x + 8
3x - 2x= 8 - 3
X=5
S
Luego, como CD = x + 4 3 2
CD= 5 + 4 = 9

14. Otro ejemplo:
Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a
las rectas a y b?
Sí, porque se cumple
el teorema de Thales.

15. Una aplicación inmediata de este teorema sería la
división de un segmento en partes iguales, o en partes
proporcionales a números dados con ayuda de
compás, regla y escuadra o cartabón
Ejemplo. Dividir el segmento AB en 3 partes iguales
1. Se dibuja una semirrecta de
origen el extremo A del segmento.
2. Tomando como unidad cualquier
medida, se señalan en la semirrecta
3 unidades de medida a partir de A.
3. Por cada una de las divisiones de
la semirrecta se trazan rectas
paralelas al segmento que une B
con la última división sobre la
semirrecta. Los puntos obtenidos en
el segmento AB determinan las 3
partes iguales en que se divide.

16. Y nuevamente pensando en la pirámide…..
TRIÁNGULOS DE THALES
Dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales, cuando:
Tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son
paralelos.
Podemos ver esto si trasladamos el triángulo
formado por el bastón, su sombra y los rayos
solares hacia el formado por la pirámide
H(altura de la pirámide)
h (altura de bastón)
s (sombra)
S (sombra)

17. Triángulos de Thales
En dos triángulos de Thales, sus lados, tienen
A
la misma razón de semejanza
De acuerdo a esto, en la figura BC// ED,
entonces, con los lados de los triángulos AED y
ABC ocurre:
AE ED
=
AB BC D
E
O también
AE = AB
B C
ED BC
A esta forma de
tomar los trazos, se
le llama “la doble L”

18. Calcula la altura del siguiente edificio
Escribimos la proporción
Por que 3+12=15
3 15
= x
5
x
Y resolvemos la proporción
3 • x = 5 • 15
x = 75
3 5
X = 25 3 12

19. Otro ejercicio
En el triángulo ABC, DE//BC , calcule x y el trazo AE
Formamos la proporción
Por que
8 12 x+3+x = 2x+3 C
=
X+3 2x+3
D 12
Resolvemos la proporción
8
8(2x + 3) = 12( x + 3)
16x + 24 = 12x + 36
16x – 12x = 36 – 24 B
A x+3 E x
4x = 12
X = 12 = 3
4
Por lo tanto, si AE = x + 3 = 3 + 3 = 6