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1.
2.
Tema: FUNCIONES EXPONENCIAL Y
LOGARITMICA Docente: PLANA DE ÁLGEBRA ÁLGEBRA
3.
𝑓 𝑥 =
𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 𝑓 𝑥 = 2𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 1 2 −2 −1 0 𝑋 𝑌 1 2 4 𝑥 𝑦 −2 1/4 −1 1/2 0 1 1 2 2 4 Tabulando Es aquella función cuya regla de correspondencia es 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: . Su gráfica es: 1 2 −2 −1 0 𝑋 𝑌 1 2 4 𝑥 𝑦 −2 4 −1 2 0 1 1 1/2 2 1/4 Tabulando 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝑓 𝑥 = 1 2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ Dom𝑓 = ℝ ∧ Ran𝑓 = ℝ+ donde: . Su gráfica es: FUNCIÓN EXPONENCIAL
4.
Funcióncreciente Funcióndecreciente No cambiael
sentido de la desigualdad Sí cambiael sentido de la desigualdad En general: Sea 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1. Se tiene Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 1 1 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬: • 5𝑥 < 59 • 2𝑥 ≤ 64 • 𝑥 > 7 • 3 < 𝑥 ≤ 5 ⟷ 𝑥 9 < ⟷ 2𝑥 ≤ 26 ⟷ 𝑥 6 ≤ ⟷ 4 4 > 𝑥 7 1 2 𝑥 ≥ 1 2 11 • ⟷ 𝑥 11 ≤ ⟷ 0,2 0,2 > 3 𝑥 0,2 ≥ 5 • 𝑥 ≥ 5 ⟷ 1 3 ≤ 𝑥 5 1 3 0 < 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 𝑏𝑥 < 𝑏𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 𝑦 = 𝑏𝑥 > 0 ; ∀ 𝑥 ∈ ℝ (Siendo 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1) 𝐎𝐛𝐬𝐞𝐫𝐯𝐚𝐜𝐢ó𝐧:
5.
𝑓 𝑥 =
log𝑏 𝑥 ; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 𝑓 𝑥 = log2 𝑥 ; 𝑥 > 0 𝑥 𝑦 1/4 −2 1/2 −1 1 0 2 1 4 2 Tabulando Es aquella función cuya regla de correspondencia es . Su gráfica es: 𝑥 𝑦 1/4 2 1/2 1 1 0 2 −1 4 −2 Tabulando 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐: 𝑓 𝑥 = log1 2 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ 1 2 3 4 0 𝑋 𝑌 1 2 −1 −2 1 2 3 4 0 𝑋 𝑌 1 2 −1 −2 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏: Dom𝑓 = ℝ+ ∧ Ran𝑓 = ℝ donde: . Su gráfica es: FUNCIÓN LOGARITMICAS
6.
Funcióncreciente Funcióndecreciente No cambiael
sentido de la desigualdad Sí cambiael sentido de la desigualdad En general: Sea 𝑓 𝑥 = log𝑏 𝑥; 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 . Se tiene Si 𝑏 > 1 Si 0 < 𝑏 < 1 𝑋 𝑌 𝑋 𝑌 1 1 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 Son aquellas inecuaciones donde la variable se encuentra afectada por el logaritmo. 𝐈𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚𝐬 𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨𝐬 • log2 𝑥 − 2 ≤ log2 3𝑥 • log1 5 2𝑥 − 1 > 3 • log 𝑥 < 1 + 𝑥 • log 𝑥 + log 2𝑥 + 1 ≥ 5 𝐑𝐞𝐬𝐨𝐥𝐮𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞 𝐮𝐧𝐚 𝐢𝐧𝐞𝐜𝐮𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐥𝐨𝐠𝐚𝐫í𝐭𝐦𝐢𝐜𝐚 Tenga en cuenta los siguientes pasos: 1. Calcule el CVA (existencia de los logaritmos en los reales). log𝑏 𝑥 ∈ ℝ 𝑏 > 0 ∧ 𝑏 ≠ 1 ∧ 𝑥 > 0 2. Despeje 𝑥, usando el teorema según la base. ⟺ log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥 < log𝑏 𝑦 ⟷ ⟷ 𝑥 > 𝑦 𝑥 < 𝑦 Si 𝑏 > 1: Si 0 < 𝑏 < 1: 3. Interceptelos resultados anteriores. log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 < 𝑏𝑛 log𝑏 𝑥 < 𝑛 ⟷ 𝑥 > 𝑏𝑛
7.
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