El documento trata sobre el tema de funciones en álgebra. Explica conceptos como dominio, rango y regla de correspondencia de funciones. También cubre cómo graficar funciones y calcular el dominio y rango de las mismas.

1. ÁLGEBRA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Intensivo UNI
Docente: José Luis Vásquez Carhuamaca

2. Funciones
Semana 06

3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Objetivos:
✓ Conocer a las funciones, sus
elementos, propiedades y gráficas.
✓ Obtener eficientemente el
dominio, rango y regla de
correspondencia de una función.
✓ Desarrollar destrezas en la
resolución de problemas tipo
referidos al tema.

4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
I) Introducción
II) Función
III) Dominio y rango
IV) Regla de correspondencia
V) Cálculo de dominio y rango
VI) Gráfica de funciones
Índice

5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Quizá la idea matemática mas útil para modelar el mundo real es el
concepto de función. Veamos un ejemplo.
Si una persona deja caer una piedra desde la torre del centro Cívico
de Lima. Que tanto ha caído, depende del tiempo que ha estado
descendiendo. Esta es una descripción general, pero no indica de
manera exacta cuando la piedra choca con el suelo.
Lo que necesitamos es una regla que relacione la posición de la piedra
con el tiempo que esta ha descendido. Los físicos saben que la regla
es: en t segundos la piedra cae 5𝑡2 𝑚. Si 𝑑 𝑡 representa la distancia
que ha descendido la piedra en el instante 𝑡, entonces esta regla se
puede expresar como
𝑑 𝑡 = 5𝑡2
Esta “regla” para hallar la distancia en términos del tiempo nos
describe una función. Se dice que la distancia es una función del
tiempo.
MODELANDO EL MUNDO

6. Función

7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
FUNCIÓN
Sean 𝐴 y 𝐵 conjuntos no vacíos. La función 𝑓 de
𝐴 en 𝐵 es un conjunto de pares ordenados 𝑥; 𝑦
tal que a 𝑥 ∈ 𝐴 le corresponde un único
elemento 𝑦 ∈ 𝐵.
Notación: 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵 𝐴
𝑓
𝐵
o
Gráficamente
𝒙
𝑨 𝑩
𝑓
𝒚
• •
Conjunto de
partida
Conjunto de
llegada
Ejemplo
−2
𝑨 𝑩
𝑓
4
1
3
5
7
25
9
𝑓 = −2; 4 ; 3; 9 ; 5; 25
4
𝑨 𝑩
𝑅
2
2
9
5
3
−3
¿ 𝑅 es función?
No , pues al elemento
9 de 𝐴 , le
corresponde no uno,
sino dos elementos
de 𝐵 (3 y −3).
•
•
¿ 𝑓 es función?
Si, pues los
elementos de 𝐴, que
si se relacionan, lo
hacen con un solo
elemento de 𝐵.
𝑅 = 4; 2 ; 9; 3 ; 9: −3

8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
DOMINIO Y RANGO
CONDICIÓN DE UNICIDAD DE LA FUNCIÓN
Sea f una función.
𝒙; 𝑦
Si ∧ 𝒙; 𝑧 ∈ 𝑓 → 𝑦 = 𝑧
∈ 𝑓
𝑔 = 6; −3 ; 8; 4 ; 6; 𝑝
𝑔 = 𝟔; −3 ; 8; 4 ; 𝟔; 𝑝
Si 𝟑; 𝑛 ∈ 𝑓 ∧ 𝟑; 4 ∈ 𝑓 → 𝑛 = 4
3
𝑨 𝑩
ℎ
5
𝑚 − 9
3 − 𝑚
6
• Sea 𝑓 una función
• Sea ℎ una función
• Sea 𝑔 una función
→ 𝑝 = −3
Como
→ 3 − 𝑚 = 𝑚 − 9 → 𝑚 = 6
Ejemplo
∧ 𝟓; 𝑚 − 9 ∈ 𝑔
𝟓; 3 − 𝑚 ∈ 𝑔
Dominio de 𝑓
Es el conjunto formado por las primeras componentes
de los pares ordenados que pertenecen la función.
Rango de 𝑓
Es el conjunto formado por las segundas componentes
de los pares ordenados que pertenecen la función.
Dom𝑓 = −2; 3; 5 Ran𝑓 = 4; 9; 25
⊆ 𝐵
Dom 𝑓 = 𝑥/ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Dom 𝑓 = 𝑦/ 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓
Ejemplo
𝑓 = −2; 4 ; 3; 9 ; 5; 25
Sea la función 𝑓 ∶ 𝐴 ⟶ 𝐵
⊆ 𝐴

9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
REGLA DE CORRESPONDENCIA
Ejemplo
Sea 𝑓: 𝑨 → 𝑩 una función tal que 𝑥; 𝑦 ∈ 𝑓. La
regla de correspondencia de 𝑓 es la igualdad que
relaciona 𝑥 e 𝑦.
Notación 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑥: variable independiente
𝑦: variable dependiente
𝟏
𝑨 𝑩
𝑓
𝟐
𝟑
𝟒
𝒙
6
9
14
21
𝑦
= 𝑓 𝟏
La igualdad entre 𝑥 e 𝑦 es: 𝑦 = 𝒙𝟐 + 5
⋮ ⋮ ⋮ ⋮
= 𝟏𝟐 + 5
= 𝟐𝟐 + 5
= 𝟑𝟐 + 5
= 𝟒𝟐 + 5
= 𝒙𝟐 + 5 = 𝑓 𝒙
= 𝑓 𝟑
= 𝑓 𝟒
= 𝑓 𝟐
𝑓 𝑥 = x2 + 5
o
𝐍𝐨𝐭𝐚:
Una función está bien definida si se
conoce su dominio y su regla de
correspondencia.
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
La función 𝑓: 𝑨 → 𝑩 es una función real de
variable real, si 𝑨 y 𝑩 son subconjuntos de ℝ.
• 𝑓: ‫ۦ‬−1; ሿ
6 ⟶ ℝ
𝑥 2𝑥 − 3
⟶
De donde podemos plantear que:
Dom𝑓 = ‫ۦ‬−1; ሿ
6 ∧ 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 3
• 𝑔 = ሼ 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ × ℝ Τ−1 < 𝑥 ≤ 5 ∧ ሽ
𝑦 = 3𝑥 − 1
• ℎ 𝑥 = 2𝑥 − 3; 𝑥 ∈ 2; 14
Ejemplo

15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
CÁLCULO DE DOMINIO Y RANGO
Sea la función
𝑓 ∶ 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒇 𝒙
Esta dada por la variación de 𝑥, si esta no se
conoce entonces por lo general:
Dominio de 𝑓
Dom 𝑓 = 𝐴 ∩ 𝐶𝑉𝐴 𝑑𝑒 𝑓 𝑥
𝑃 𝑥
𝑄 𝑥
∈ ℝ
𝐩𝐚𝐫
𝒂 ∈ ℝ 𝑄 𝑥 ≠ 0
𝒂 ≥ 0
⇔ ⇔
Para hallar el 𝐶𝑉𝐴 consideramos:
Ejercicios
Halle el dominio de la función 𝑓 si
𝑓 𝑥 = 6 + 𝑥 −
3
1 − 𝑥 + 4
−𝑥
Resolución
No tenemos el conjunto de partida, entonces
𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝐶𝑉𝐴.
𝑓𝑥 esta bien definida si:
6 + 𝑥 ≥ 0 ∧ −𝑥 ≥ 0
∧ 𝑥 ≤ 0
−6 ≤ 𝑥
∴ 𝑥 ∈ −6; 0
Halle el dominio de la función 𝑔: 0; 5 → ℝ si
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 −
2
𝑥 − 3
𝐶𝑉𝐴: 𝑥 − 1 ≥ 0 ∧ 𝑥 − 3 ≠ 0
𝑥 ≥ 1 ∧ 𝑥 ≠ 3
𝐶𝑉𝐴 = ሾ1 ۧ
; +∞ − 3
Dom 𝑓 = 0; 5 ∩ ሾ1 ۧ
; +∞ − 3 = 1; 5 − 3
= 𝐷𝑜𝑚 𝑓

17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sea la función
𝑓 ∶ 𝑨 → 𝑩
𝒙 → 𝒇 𝒙
Esta dada por la variación de 𝒇 𝒙 , y se obtiene a
partir del dominio.
Rango de 𝑓
Ejercicios
Halle el rango de la función 𝑓 si
𝑓 𝑥 = 2 −
16
𝑥 + 5
; 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−5; ሿ
3
Halle el rango de
𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 2 + 5; si 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−1; ሿ
4
Como 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−5; ሿ
3 → −5 < 𝑥 ≤ 3
→ 0 < 𝑥 + 5 ≤ 8
+5
→
1
𝑥 + 5
≥
1
8
invertimos
𝑓 𝑥
× −16
→ −
16
𝑥 + 5
≤ −2
+2
2 −
16
𝑥 + 5
≤ 0
→
∴ Ran𝑓 ∈ ‫ۦ‬−∞; ሿ
0
Como 𝑥 ∈ ‫ۦ‬−1; ሿ
4
∴ Ran𝑔 = ሾ5; ۧ
14
→ −1 < 𝑥 ≤ 4
→ −3 < 𝑥 − 2 ≤ 2
→ 𝑥 − 2 2
≤
0 < 9
→ 𝑥 − 2 2 + 5
≤
5 < 14
−2
2
+5
𝑔 𝑥

23. Gráfica de
funciones

24. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
La gráfica de una función 𝑓 es la representación
de todos sus pares ordenados 𝑥, 𝑦 de la
función en el plano cartesiano.
𝐺𝑟𝑎𝑓 𝑓 = Τ
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑥 ∈ Dom𝑓 ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑓 = 2; 3 ; 4; −1 ; −1; 2 ; −3; 1
Grafique
1 2
−2 −1 3 4
−3 0
−1
𝑋
𝑌
1
2
3
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Una gráfica corresponde a una función, si al
trazarle rectas verticales, estas la intersecan a lo
más en un solo punto.
PROPIEDAD
La gráfica de 𝑓 sí
corresponde a una
función.
𝒇
𝑹
La gráfica de 𝑅 no
corresponde a una
función.
GRÁFICA DE FUNCIONES
Ejemplo

25. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación
𝑋
𝑌
𝒇
𝑎 𝑏
𝑐
𝑑 Dom 𝑓 = ሾ𝑎 ۧ
; 𝑏
Ran 𝑓 = ‫ۦ‬𝑐 ሿ
; 𝑑
1)
2)
𝑋
𝑌
𝛼
𝒇
𝑓(𝛼)
3)
𝑋
𝑌
𝒇 𝑦1 = 𝑓(0)
Corte con el eje 𝒀
𝑦1
𝑓 𝑥 = 0
Corte con el eje 𝑿
su CS = 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3
𝑥1 𝑥2 𝑥3
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 6
Grafique
Ejercicio
𝑋
𝑌
𝒇 𝑓(0)
Corte con el eje 𝒀
−2
𝑓 𝑥 = 0
Corte con el eje 𝑿
su CS = −2; 3
−6
3
= −6
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0

26. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝒇
𝒈
𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥
𝑓𝑥 = 𝑔 𝑥
→ −𝑥2 + 2𝑥 + 6 = 𝑥 + 4
→ 0 = 𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥
𝑥
+1
−2
→ 𝑥1 = −1 ∨ 𝑥2 = 2
Luego
𝑦1 = 𝑓 −1 = 𝑔 −1
𝑦2 = 𝑓 2 = 𝑔 2
൝
∴ Los puntos de intersección son 𝐴 −1; 3 y
𝐵 2; 6
= 3
= 6
4)
𝑋
𝑌
Corte entre 𝑓 y 𝑔
su CS = 𝑥1; 𝑥2
𝑥1 𝑥2
Ejercicio
Halle los puntos de intersección (puntos en
común 𝐴 y 𝐵) entre las gráficas de 𝑓 y 𝑔.
𝑋
𝑌
𝑓 𝑥 = −𝑥2 + 2𝑥 + 6
𝑔 𝑥 = 𝑥 + 4
−4
4
−1 2
𝐴 𝑥1; 𝑦1
𝐵 𝑥2; 𝑦2
Resolución
Determinemos la intersección entre 𝑓 y 𝑔
→ 0 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2
6
3

27. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e