“DETERMINACIÓN DE RESISTOR APROPIADO PARA DISIPAR ENERGÍA A UNA RAZÓN ESPECIFICADA EN EL DISEÑO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS”

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INFORMÁTICA
PROYECTO FINAL
“DETERMINACION DE RESISTOR APROPIADO PARA
DISIPAR ENERGIA A UNA RAZON ESPECIFICADA EN
EL DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRICOS”
ASIGNATURA:
COMPUTACION SIMBOLICA Y NUMERICA
AUTORES:
 APONTE RODRIGUEZ GIANELLA
 CUBAS GRANDEZ MARCO
 RABINES FLOREANO MADELEINE
 RODRIGUEZ LUJAN ALEXIS
DOCENTE:
JOSE ARTURO DIAZPULIDO
TRUJILLO-PERÚ
2018

2. 1
ÍNDICE
TABLA DE FIGURAS..............................................................................................................2
Resumen:............................................................................................................................3
I. INTRODUCCIÓN:...........................................................................................................4
1. REALIDAD PROBLEMÁTICA............................................................................................5
2. OBJETIVOS: ..................................................................................................................5
2.1 Objetivo general:..................................................................................................5
2.2 Objetivos específicos:................................................................................................5
5. MARCO TEORICO:.........................................................................................................6
5.1. CONCEPTOS BASICOS:...............................................................................................6
5.1.1. CIRCUITO ELECTRICO:............................................................................................6
5.1.1.1. Intensidad de Corriente:....................................................................................6
5.1.1.2. Inductor:...........................................................................................................6
5.1.1.3. Resistor:............................................................................................................6
5.1.1.4. Batería:.............................................................................................................6
5.1.2. LEY DE OHM..........................................................................................................7
5.1.3. INDUCTANCIA.......................................................................................................7
5.1.4. CAPACITANCIA......................................................................................................7
5.2. DISEÑO DE UN CIRCUITO ELECTRICO (INGENIERIA ELECTRICA) ...................................7
6. INGENERIA DEL PROYECTO .............................................................................................9
6.1. EL METODO DE BISECCION ........................................................................................9
6.1.1. CRITERIOS DE PARO Y ESTIMACIONES DE ERRORES ..............................................10
6.2. ALGORITMO DE BISECCION.......................................................................................12
7. CONCLUSIONES:..........................................................................................................17
9. BIBLIOGRAFÍA:...............................................................................................................17

3. 2
TABLA DE FIGURAS
Figura1 Un circuitoeléctrico.Cuandose cierrael interruptor,lacorriente experimentauna
serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estado estacionario.................................7
Figura2 La carga de un capacitor comofuncióndel tiempodespuésde cerrarel interruptorde
la ilustración 5......................................................................................................................9
Figura 3 .............................................................................................................................10
Figura 4: Errores en el método de bisección.........................................................................11
Figura5 Tres formasenque un intervalopuedeencerrarala raíz. En a) el valorverdaderoestá
enel centro del intervalo,mientrasque enb) yc) el valor verdaderoestácercade los
extremos. ..........................................................................................................................12
Figura6 Representacióngráficade porqué la estimacióndel errorparael métodode bisección
esequivalente alaraíz estimadaenlaiteraciónactual menoslaraíz aproximadaenla iteración
anterior. ............................................................................................................................12
Figura7 Pseudocódigoparael subprogramade bisecciónque minimizalasevaluacionesde la
función..............................................................................................................................13

4. 3
Resumen:
Uno de los retos más comunesa los que se enfrentanlosprofesionalesde ingenieríaeléctrica,
es el diseño de los circuitos eléctricos que posteriormente son implementados. En dichos
diseñosintervienenmuchosfactores,siendoobviamente el principal,el tipode circuitoque se
quiere desarrollar;sinembargo tambiénhayotrosfactoresque sonde sumaimportanciayque
ayudan a determinar el tipo de las piezas que se necesitan para satisfacer las condiciones del
diseño.
En el siguiente informe se presenta la solución al problema de la determinación de un resistor
apropiadoparaladisipaciónde energíaaunarazónespecificada. Enel marcoteóricose plantea
unaexplicaciónteóricade losconceptosbásicosrequeridosparaelplanteamientodelproblema.
En la ingeniería del proyecto explicamos brevemente el método numérico que se aplica para
poder dar una solución aproximada a la problemática planteada. Se especifican cuáles son las
entradas para el programa en MATLAB que implementa la funcionalidad deseada, pasando
luegoa la ejecucióndel programaque brindala soluciónbuscada.Finalmente se daun análisis
rápido de toda la problemática, expuesta a través del detallado de las conclusiones.
Abstract:
One of the most common challenges that face professionals in electrical engineering, is the
design of the electrical circuits that are subsequently implemented. These designs are involved
in many factors, obviously being themain one,thetypeof circuitthatwantto develop;However,
there are also otherfactorsthat are of the utmostimportanceand which help to determine the
type of pieces that are needed to meet the conditions of the design.
The following reportpresents the solution to the problemof the determination of a resistor for
thedissipation of energy to a specified reason.Thetheoreticalframeworkproposesa theoretical
explanation of the basic concepts required for the approach of the problem.In the engineering
of the project explain briefly the numerical method that is applied to a solution to the problem
posed. Specifies what are entries for the program in MATLAB that implements the desired
functionality, then passing to the execution of the program that provides the solution sought.
Finally given a rapid analysis of the problems, exposed through the detailed conclusions.

5. 4
I. INTRODUCCIÓN:
En la vida real son muchos los problemas en los que se necesita conocer de forma exacta o
aproximada, las raíces de una función en relación a una o más variables. Para ello existen dos
tipos de métodos: los métodos analíticos y los métodos numéricos.
Los métodos analíticos hacen uso de definiciones, propiedades y fórmulas matemáticas para
hallarlasoluciónaun problemaespecífico,esporestarazónque dichosmétodosproporcionan
una respuestaexacta. A diferenciade ellos,los métodosnuméricosrealizanel procesoanterior,
ejecutando aproximaciones sucesivas al valor real de la raíz o raíces buscadas.
En este trabajo se presentael caso enel que se debe determinarlaelecciónde una resistencia
para la disipaciónde energía enuncircuitoeléctrico.Aunque lafórmulaque nospermite hallar
el valorde laresistenciase haorientadoparapermitirel cálculode lamisma,éstafórmulapuede
a través del despeje adecuado y el valor de las variables correspondientes, ser usada para
calcular otras incógnitas.
Para el desarrollode todoeste procedimiento, se hace usodel métodocerradode la bisección,
al cual se le proporciona la fórmula en función de la resistencia, el intervalo que contiene a la
raíz y la estimación deseada.

6. 5
“DETERMINACION DE RESISTOR APROPIADO PARA DISIPAR ENERGIA A
UNA RAZON ESPECIFICADA EN EL DISEÑO DE CIRCUITOS ELECTRICOS”
1. REALIDAD PROBLEMÁTICA
El problema planteado es la obtención del valor de la resistencia en un circuito eléctrico
cerrado, que permita la disipación de energía a una razón dada. Para ello se hace uso de
diversos conceptos como la ley de Kirchhoff, definiciones físicas, etcétera; quedandouna
fórmula que relaciona a la inductancia (L), capacitancia (C), resistencia (R) y tiempo (t).
Debido a que este es un problema típico en el diseño de ingeniería eléctrica, en el cual a
pesar de que los métodos analíticos proporcionarían un valor exacto; el cálculo del
resultado demandaríaun tiempoconsiderable ademásde lamolestiaque ello causaría en
la persona que realiza la tarea y más aún si se da de manera repetitiva. Es por ello que
basadoenel estudiorealizadoyhaciendousodelmétodonuméricocerradodelabisección,
se proporciona una procedimientomucho más rápido y con una aproximación más que
suficiente al valor real de la función especificada.
2. OBJETIVOS:
2.1 Objetivo general:
 Determinar el valor aproximado de la resistencia necesaria para la
disipación de energía a una razón especificada en el diseño de circuitos
eléctricos.
2.2 Objetivos específicos:
 Describir los conceptos básicos sobre inductancia (L), capacitancia (C),
resistencia(R) yver como estosvaloresse relacionana travésde la leyde
Kirchhoff en un circuito eléctrico cerrado.
 Mostrar una breve descripción del método de la biseccióny su aplicación
en la determinación de la raíz para un caso real de ingeniería eléctrica.

7. 6
5. MARCO TEORICO:
5.1.CONCEPTOS BASICOS:
5.1.1. CIRCUITO ELECTRICO:
Los circuitos eléctricos son sistemas por los que circula una corriente eléctrica. Un circuito
eléctrico está compuesto por los siguientes elementos:
5.1.1.1. Intensidadde Corriente:
Todos los cuerpos están formados por átomos. Cada átomo está constituido por un núcleo
central y por una serie de órbitas. En el núcleo están los protones con carga positiva y los
neutrones sin carga eléctrica. En las órbitas están los electrones con carga negativa.
Para que las cargas eléctricasesténcompensadasel númerode electronestiene que serigual
al número de protones. Los átomos debido a fuerzas externas pueden ganar o perder
electrones.
5.1.1.2. Inductor:
Un inductor,bobinao reactores uncomponente pasivode uncircuitoeléctricoque,debidoal
fenómenode laautoinducción,almacenaenergíaenformade campo magnético.
5.1.1.3. Resistor:
Se llama resistor al elemento físico cuya propiedad física es la resistencia,o sea, la propiedad
de provocar una caída de potencial entre sus extremos al pasar de una corriente eléctrica,
teóricamente sin deformar la onda de corriente.
Otra definición es: resistencia es la propiedad escalar en un circuito que determina la
proporciónde energíaeléctricaconvertidaenenergíatérmica(efectojoule)mientrasfluye una
corriente eléctrica. Tiene la analogía a perdidas de fricción de la viscosidad en sistemas
mecánicos
5.1.1.4. Batería:
Las baterías proporcionanunvoltaje (odiferenciade potencial) conunapolaridadfija,locual
establece una corriente directa o continua en un circuito,es decir, una corriente para la cual
la velocidad de desplazamiento de las cargas siempre es en la misma dirección.

8. 7
5.1.2. LEY DE OHM
En un circuito recorrido por una corriente eléctrica, la tensión es igual al producto de la
intensidad de corriente por la resistencia total del circuito.
5.1.3. INDUCTANCIA
La Inductancia es un elemento pasivo de dos terminales que almacena energía en un campo
magnético. De acuerdo a la ley de Faraday la variación de corriente en el tiempo en un
conductor induce una caída de voltaje en el mismo. De acuerdo a las ecuaciones de Maxwell
una variaciónde la corriente enel conductorproduce un campo magnéticovariable,que a su
vezproduce uncampo eléctricovariable yportantose generauna caída de voltaje variable en
el tiempo.
Una inductancia es un elemento especialmente diseñado para tener un efecto inductivo muy
grande. Esto se logra enrollando el conductor alrededor de un núcleo. Su aplicación es muy
variada: filtros, generadores, motores, transformadores, antenas, etc.
5.1.4. CAPACITANCIA
La capacitanciaesun elementopasivode dosterminalesque almacenacargaseléctricasentre
un par de placas separadas por un dieléctrico creando una diferencia de potencial entre las
dos placas. Esa diferencia de potencial creada por la acumulación de las cargas tiene una
relación directa con la energía almacenadas por la capacitancia.
5.2.DISEÑO DE UNCIRCUITO ELECTRICO (INGENIERIAELECTRICA)
Figura 1: Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente
experimenta una serie de oscilaciones hasta que se alcance un nuevo
estado estacionario.

9. 8
Los ingenieros eléctricos emplean las leyes de Kirchhoff para estudiar el comportamiento de los
circuitoseléctricosenestadoestacionario(que novaríacon el tiempo).Otroproblemaimportante
tiene que ver con circuitos de naturaleza transitoria, donde súbitamente ocurren cambios
temporales.Estasituaciónse presentacuandose cierrael interruptorcomoen la ilustración5.En
tal caso, existe unperiodode ajuste al cerrar el interruptorhastaque se alcance un nuevoestado
estacionario. La longitud de este periodo de ajuste está íntimamente relacionada con las
propiedades de almacenamiento de energía, tanto del capacitor como del inductor. La energía
almacenadapuede oscilarentre estosdoselementosdurante unperiodotransitorio.Sinembargo,
la resistencia en el circuito disipará la magnitud de las oscilaciones.
El flujo de corriente a través del resistor provoca una caída de voltaje (VR), dada por
donde i = lacorriente y R = la resistenciadel resistor.Si lasunidadesde Re i son ohms y amperes,
respectivamente, entonces las unidades de VR son voltios. De manera semejante, un inductor se
opone a cambios de corriente tales que la caída del voltaje a través del inductor VL es
donde L = lainductancia.Si lasunidadesde Le i sonhenriosyamperes,respectivamente,entonces
las de VL son voltios, y las de t son segundos.
La caída del voltaje a través del capacitor (VC) depende de la carga (q) sobre éste:
donde C = la capacitancia. Si las unidades de carga se expresan en culombios, entoncesla unidad
de C es el faradio.
La segundaleyde Kirchhoff establece que lasumaalgebraicade lascaídas de voltaje alrededorde
un circuito cerrado es cero. Así que, después de cerrar el interruptor se tiene
Sin embargo, como la corriente se relaciona con la carga de acuerdo con:
VR = iR
(Ecuación 2)
(Ecuación 3)
(Ecuación 4)
(Ecuación 1)

10. 9
Por lo tanto,
esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden que se resuelve usando los
métodos de cálculo (ilustración 7). Esta solución está dada por
sí en t = 0, q = q0 = V0Cy V0 = el voltaje de labatería. La ecuación 9 describe lavariaciónde lacarga
en el capacitor. La solución q(t) se grafica en la ilustración 7.
6. INGENERIA DELPROYECTO
6.1.EL METODO DE BISECCION
En general, si f(x) es real y continúa en el intervalo que va desde Xl hasta Xu y f(Xl) y f(Xu) tienen
signos opuestos, es decir,
entonces hay al menos una raíz real entre Xl y Xu.
Los métodosdebúsqueda incrementalaprovechanestacaracterísticalocalizando unintervaloenel
que la funcióncambie de signo.Entonces,lalocalizacióndel cambio de signo(y, enconsecuencia,
Figura 2: La carga de un capacitor como función del tiempo
después de cerrar el interruptor de la ilustración 5
(Ecuación 5)
(Ecuación 6)
(Ecuación 7)
(Ecuación 8)

11. 10
de laraíz) se lograconmás exactitudal dividirelintervaloenvariossubintervalos.Se investigacada
unode estossubintervalosparaencontrar elcambiodesigno.El procesose repiteylaaproximación
a la raíz mejoracada vezmás en la medidaque lossubintervalosse dividenenintervaloscadavez
más pequeños.
El método de bisección, conocido también como de corte binario, de partición de intervalos o de
Bolzano,esun tipode búsquedaincremental enel que el intervalose divide siempre alamitad.Si
la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio.
La posiciónde la raíz se determinasituándolaenel punto mediodel subintervalo,dentrodel cual
ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.
6.1.1. CRITERIOS DE PARO Y ESTIMACIONESDE ERRORES
Se debe desarrollar un criterio objetivo para decidir cuándo debe terminar el método. Una
sugerencia inicial sería finalizar el cálculo cuando el error verdadero se encuentre por debajo
de algún nivel prefijado. Dicha estrategia es inconveniente, ya que la estimación del error se
basó enel conocimientodel valorverdaderode laraíz de la función.Éste no es el caso de una
situaciónreal,yaque nohabría motivoparautilizarel métodosi se conoce laraíz.Por lotanto,
se requiere estimarel errorde forma tal que no se necesite el conocimientopreviode laraíz.
Se puede calcular el error relativo porcentual Ea de la siguiente manera:
CuandoEa esmenorque un valorpreviamente fijado Es,terminael cálculo.
Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xl, y superior, xu, que
encierren la raíz, de forma tal que la función cambie de signo en el
intervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) < 0.
Paso 2: Una aproximación de la raíz xr se determina mediante:
𝑥 𝑟 =
𝑥𝑙+𝑥 𝑢
2
Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en
qué subintervalo está la raíz:
a) Si f(xl)f(xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del
subintervalo inferior
o izquierdo. Por lo tanto, haga xu = xr y vuelva al paso 2.
b) Si f(xl)f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del
subintervalo superior o derecho.Por lo tanto, haga xl = xr y vuelva
al paso 2.
c) Si f(xl)f(xr) = 0, la raíz es igual a xr; termina el cálculo.
Figura 3: Algoritmo de bisección
(Ecuación 9)

12. 11
Aunque el error aproximado no proporciona
una estimación exacta del error verdadero, la
ilustración1sugiere que Ea toma la tendencia
general descendente de et. Además,lagráfica
muestra una característica muy interesante:
que Ea siempre es mayor que et. Por lo tanto,
cuando Ea es menor que es los cálculos se
pueden terminar, con la confianza de saber
que laraíz esal menostanexactacomoel nivel
aceptable predeterminado. Aunque no es
convenienteaventurarconclusionesgenerales
a partir de un solo ejemplo, es posible
demostrar que Ea siempre será mayor que et
en el métodode bisección.Estose debe a que cada vez que se encuentraunaaproximacióna
la raíz cuando se usan biseccionescomo xr = (xl + xu)/2,se sabe que la raíz verdaderase halla
en algún lugar dentro del intervalo de (Xu – Xl)/2 = ΔX/2.
Debido a que ∆x/2 = Xrnuevo
– Xranterior
, la ecuación proporciona un límite superior exacto del
error verdadero. Para que se rebase este límite,la raíz verdadera tendría que estar fuera del
intervalo que la contiene, lo cual, por definición, jamás ocurrirá en el método de bisección.
Figura 4: Errores en el método de bisección.

13. 12
6.2.ALGORITMODE BISECCION
El algoritmo emplea funciones definidas por el usuario para volver más eficientes la
localización de las raíces y la evaluación de las funciones. Además,se le pone un límite
superior al número de iteraciones. Por último, se incluye la verificación de errores para
evitarla divisiónentre cerodurante laevaluacióndel error.Éste podríaserel caso cuando
el intervaloestácentradoen cero.En dichasituaciónla ecuación(5.2) tiende al infinito. Si
esto ocurre, el programa saltará la evaluación de error en esa iteración.
Figura 5: Tres formas en que un intervalo puede encerrar a la raíz. En a) el valor verdadero está en el centro del
intervalo, mientras que en b) y c) el valor verdadero está cerca de los extremos.
Figura 6: Representación gráfica de por qué la estimación del error para el método de bisección es equivalente a la
raíz estimada en la iteración actual menos la raíz aproximada en la iteración anterior.

14. 13
CASO DE APLICACIÓN:
Con valoresconocidosde Ly C. En este problema,supongaque lacarga se debe disipara1% de su
valor original (q/q0 = 0.01) en t = 0.05 s, con L = 5 H y C = 10–4F.
Solución: Es necesario despejar R de la ecuación (10) con valores conocidos para q, q0, L y C. Sin
embargo,debe emplearunatécnicade aproximaciónnumérica,yaque R es una variable implícita
en la ecuación (7). Se usará el método de bisección para dicho propósito.
Reordenando la ecuación (7),
Utilizando los valores numéricos dados,
FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)
iter = 0
fl = f(xl)
DO
xrold = xr
xr = (xl + xu) / 2
fr = f(xr)
iter = iter + 1
lF xr ≠0 THEN
ea = ABS((xr – xrold) / xr) * 100
END IF
test = fl * fr
IF test < 0 THEN
xu = xr
ELSE IF test > 0 THEN
xl = xr
fl = fr
ELSE
ea = 0
END IF
IF ea < es OR iter ≥ imax EXIT
END DO
Bisect = xr
END Bisect
Figura 7 : Pseudocódigo para el subprograma de bisección que minimiza las evaluaciones de la función.

15. 14
Un examen de esta ecuación sugiere que un rango inicial razonable para R
2 000 – 0.01R2 debe ser mayor que cero). Al hacer veinticuatro iteraciones con el método de
bisección se obtiene una raíz aproximada R

16. 15
CODIGO EN MATLAB:
Figura 8: Implementación en MATLAB del algoritmo de la bisección.

17. 16

18. 17
7. CONCLUSIONES:
 El métodode laBisecciónconverge lentamente,loque generalapropagaciónde errorpor
la cantidad de operaciones e iteraciones necesaria para que el método converja.
 Finalizandoesteproyectose logródeterminarla resistencianecesariaparaladisipaciónde
energía a una razón especificada en el diseño de circuitos eléctricos.
9. BIBLIOGRAFÍA:
1.- Chapra, S. C., & Canale, R. P. (2007). Métodos Numericos para Ingenieros. Mexico:
Mc Graw Hill.