Ecuaciones diferenciales-segundo-orden-no-homogeneas-coeficientes-indeterminados

1. Ecuaciones Diferenciales
Segundo orden no homogeneas
Juan Manuel Rodríguez Prieto
a
d2
y
dx2
+ b
dy
dx
+ cy = F(x)
Ya sabemos Vamos a aprenderlo hoy

2. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas

3. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 1
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 1
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 0
Consideremos la ecuación homogénea
El polinomio caracterís@co de la ecuación
homogénea es:
r2
+ 5r + 6 = 0
La solución del polinomio caracterís@co es
r1,2 =
−5 ± 52
− 4 *6
2
= −3,−2
La solución de la ecuación homogénea
puede ser escrita como
yh (x) = C1e−3x
+ C2e−2x

4. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 1
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 1
De donde obtenemos que
yp (x) = A
dyp (x)
dx
= 0 d2
yp (x)
dx2
= 0
Siguiendo la tabla de la diaposi@va 2,
proponemos una solución par@cular
de la forma
6A = 1
A =
1
6
Finalmente la solución de la ecuación
diferencial no homogénea se puede
expresar como:
yh (x) = C1e−3x
+ C2e−2x
+
1
6
El valor de las constantes se
determina a par@r de las condiciones
iniciales

5. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 1
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 1
En geogebra

6. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 2
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 3x + 4
La solución homogénea es:
yh (x) = C1e−3x
+ C2e−2x
La solución par@cular es de la forma:
yp (x) = Ax + B
dyp (x)
dx
= A d2
yp (x)
dx2
= 0
Remplazando en la ecuación
diferencial inicial tenemos:
5A + 6(Ax + B) = 3x + 4
6Ax + 5A + 6B = 3x + 4
6A = 3
A =
1
2
5A + 6B = 4
1
4
= B

7. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 2
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 3x + 4
La solución homogénea es:
yh (x) = C1e−3x
+ C2e−2x
La solución par@cular es :
yp (x) =
1
2
x +
1
4
yh (x) = C1e−3x
+ C2e−2x
+
1
2
x +
1
4
Finalmente la solución de la ecuación
diferencial esta dada por:

8. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 2
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 3x + 4
En geogebra

9. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 3
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 2sen(5x)
yp (x) = Asin(5x)+ Bcos(5x)
Proponemos una solución
par@cular de la forma
dyp (x)
dx
= 5Acos(5x)− 5Bsin(5x)
d2
yp (x)
dx2
= −25Asin(5x)− 25Bcos(5x)
−19A − 25B = 2
25A −19B = 0
−25Asin(5x)− 25Bcos(5x)
+25Acos(5x)− 25Bsin(5x)
+6Asin(5x)+ 6Bcos(5x)
= 2sen(5x)
−25A − 25B + 6A = 2
25A − 25B + 6B = 0

10. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 3
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 2sen(5x)
yp (x) = −
25
493
sin(5x)−
19
493
cos(5x)
Proponemos una solución
par@cular de la forma
y(x) = yh (x)+ yp (x) = C1e−3x
+ C2e−2x
−
25
493
sin(5x)−
19
493
cos(5x)

11. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 3
d2
y
dx2
+ 5
dy
dx
+ 6y = 2sen(5x)

12. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 4
d2
x
dt2
+ 5
dx
dt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)
x(0) = 0.5
x'(0) = −4

13. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 4
d2
x
dt2
+ 5
dx
dt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)
x(0) = 0.5
x'(0) = −4

14. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 4
d2
x
dt2
+ 5
dx
dt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)
x(0) = 0.5
x'(0) = −4

15. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 4
d2
x
dt2
+ 5
dx
dt
+ 4x = 20cos(2t)+10sin(2t)
x(0) = 0.5
x'(0) = −4

16. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 5
L inductancia
R resistencia
C capacitancia
E fuente de voltaje

17. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 5
L inductancia
R resistencia
C capacitancia
E fuente de voltaje
0.5
d2
q
dt2
+ 6
dq
dt
+
1
0.02
q = 48sin(10t)

18. Ecuaciones Diferenciales Segundo orden no
homogéneas
Ejemplo 5
0.5
d2
q
dt2
+ 6
dq
dt
+
1
0.02
q = 48sin(10t)