3. Si se deriva y sustituimos
las coordenadas de un punto P ( x1, y1 ),
P ( x1, y1 )
f(x)
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Una función f(x) se puede graficar.
en esa función derivada f ’(x), obtenemos
“La pendiente de la recta tangente en ese
punto de la curva.”
= m
4. En Cálculo diferencial
𝒎 =
𝜟𝒚
𝜟𝒙
𝒎 =
𝜟𝒚
𝜟𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒍𝒊𝒎
∆𝒙→𝟎
𝒇 𝒙 + ∆𝒙 − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
En Geometría Analítica
𝒎 = y2 - y1
x2 - x1
2 puntos infinitamente cerca
cuya distancia tiende a cero,
por lo que se considera solo la
coordenada de un punto P ( x1, y1 )
Ley General de derivación, Método de los 4 pasos, Derivación por incrementos
5. 𝑑𝑠
𝑑𝑡= m = velocidad = 2 t + 1
)
𝑚 = (−
)
𝑚 = (+
𝑚 = 0 𝑣 = 0
Si s = t 2 + t - 1
velocidad = distancia
Tiempo
6. Algebra para solución de derivadas
I) Transformar las siguientes expresiones fraccionarias en multiplicaciones
(2 factores)
II) Efectúa las siguientes divisiones.
III) Convierte las siguientes expresiones radicales a expresiones con exponentes
fraccionarios y viceversa, justificada con la siguiente ley de exponentes y radicales
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛 donde: a es la base, m el exponente y n el índice.
IV) Presenta las siguientes variables con exponentes negativos en variables con
exponentes positivos y viceversa, justificada con la siguiente ley de exponentes
𝑎−𝑛
=
1
𝑎𝑛 ; 𝑎𝑛
=
1
𝑎−𝑛
7. Leyes de exponentes
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 Donde: “a” es la base y “n” el exponente.
𝒂𝒎
∙ 𝒂𝒏
= 𝒂𝒎+𝒏
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏
𝒂0 = 1
𝒂𝒎 𝒏
= 𝒂𝒎∙𝒏
𝒂
𝒃
𝒎
=
𝒂𝒎
𝒃𝒎
14. y las letras del alfabeto griego ( , θ, ø, ω )
Fórmulas de derivación algebraicas ( Monomios )
Fórmula 1 Constante:
Fórmulas de la 2 a la 5 Variables :
La variable tiene 2 acompañantes:
el coeficiente (constante) y el exponente.
Absolutas y arbitrarias
Números reales y primeras letras del
alfabeto ( a m )
últimas letras del alfabeto ( n z )
15.
16. Derivación de términos algebraicos ( monomios )
fórmulas particulares
Fórmula No. 1 𝒅 ( 𝒄 )
𝒅𝒙
= 0
La derivada de una constante con respecto a “x” es igual a cero.
LA CONSTANTE PUEDE SER ENTERA, FRACCIONARIA, POSITIVA O NEGATIVA,
TENER EXPONENTES ENTEROS O FRACCIONARIOS (RADICALES)
17. d( 2 )
dx
= 0
0
0
0
0
0
s =
−𝟑
𝟕
s ’ =
𝒅𝒔
𝒅𝒙
=
w = 6 c
W′ =
𝒅𝒘
𝒅𝒙
=
𝒇 𝒛 = a 5
𝒇 ′
𝒛 = r = − 𝟖
r ′ =
𝒅𝒓
𝒅𝒙
=
0
0
d( 𝟏
𝟐
𝒃𝟒 )
dθ
= 0
𝒇 𝒕 = -9 m 5 𝒇 ′ 𝒕 = 0
y =
𝟖𝒑𝟐
𝒅 y ’ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
0
0
𝒅 ( 𝒄 )
𝒅𝒙
= 0
18. Fórmula No. 2 𝒅 ( 𝒙 )
𝒅𝒙
= 1
La derivada de una variable con coeficiente y exponente uno
con respecto a “x” es igual a la unidad
Variables:
últimas letras del alfabeto ( n z )
y las letras del alfabeto griego (a, f, q, w)
20. Fórmula No. 3
𝒅 𝒄 𝒙
𝒅𝒙
= c
La derivada de una constante por una variable con exponente uno,
con respecto a “x” es igual a la constante
21. d( 2x )
dx
= 2
6c
6c
−𝟑
𝟕
s =
−𝟑
𝟕
Ө s ’ =
𝒅𝒔
𝒅θ
=
w = 6 c x
W′ =
𝒅𝒘
𝒅𝒙
=
𝒇 𝒛 = a 5 z 𝒇 ′ 𝒛 = r = − 𝟖 x
r ′ =
𝒅𝒓
𝒅𝒙
=
− 𝟖
− 𝟖
d( 𝟏
𝟐
𝒃𝟒ω )
d𝝎
=
𝟏
𝟐
𝒃𝟒
𝒇 𝒕 =-9m 5 𝒕 𝒇 ′ 𝒕 =
y =
𝟖𝒑𝟐
𝒅
𝒖
y ’ =
𝒅𝒚
𝒅𝒖
=
𝟖𝒑𝟐
𝒅
-9 m 5
a5
−𝟑
𝟕
𝟖𝒑𝟐
𝒅
𝒅 𝒄 𝒙
𝒅𝒙
= c
22. A partir del uso de esta fórmula, en los resultados de los problemas
derivados
Revisar siempre los EXPONENTES y considerar que si éstos son:
Enteros positivos. Es lo que se requiere
Enteros negativos Convertirlos a enteros positivos
Fracciones positivas Convertirlos a radicales. Es lo que se requiere
Fracciones negativas Convertirlos a fracciones positivos
Convertirlos a radicales. Es lo que se requiere
23. Fórmula No. 4 𝒅 𝒙𝒏
𝒅𝒙
= n x n – 1
La derivada de una variable con coeficiente uno y exponente “n”
con respecto a “x” es igual a el producto de el exponente “n” por la
variable elevada al exponente “n” menos uno.
ESTA ES LA FORMULA QUE FUNDAMENTA QUE LAS FUNCIONES
DERIVADAS SON UN GRADO MENOR QUE LAS FUNCIONES INICIALES.
27. Fórmula No. 5 𝒅 𝒄𝒙𝒏
𝒅𝒙
= n c x n – 1
La derivada de una constante por una variable con exponente “n” con
respecto a “x” es igual a el producto del exponente “n” por la
constante, por la variable elevada al exponente “n” menos uno.
31. Referencias bibliográficas
Granville, W. A. (2009). Calculo diferencial e Integral.
Mexico: Editorial Limusa, S.A. de C.V.
Lehmann, C. H. (s.f.). Algebra. Ed. Limusa S.A. de C.V.
Grupo Noriega Editores.
Olvera., B. G. (s.f.). Cálculo diferencial. Ed.
Interamericana de Asesoría y Servicios, S.A. de C.V.
Paul K. Rees, F. W. (s.f.). Algebra. McGraw-
Hill/Interamericana de México, S.A. de C.V. .
