1. MOVIMIENTO OSCILATORIO
Una partícula que vibra a lo largo de un segmento de 10 cm de longitud tiene
en el instante inicial su máxima velocidad que es de 20 cm/s. Determina las
constantes del movimiento (amplitud, fase inicial, pulsación, frecuencia y periodo) y
escribe las expresiones de la elongación, velocidad y aceleración. Calcula la
elongación, velocidad y aceleración en el instante t = 1,75 π s. ¿Cuál es la diferencia
de fase entre este instante y el instante inicial?
Amplitud es igual a la mitad del segmento recorrido. 𝐴 = 5𝑥10−2
Elongación 𝜒 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝜔 𝑡 + ℓ𝑜)
Velocidad 𝑉 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
: 𝐴 𝜔 cos (𝜔 𝑡 ℓ𝑜)
Como en el instante inicial la velocidad es máxima, entonces la fase inicial =
cos ( 𝜔 0 + ℓ𝑜) = 1 = ℓ𝑜 = 0 𝑟𝑎𝑑.
Donde el valor de la máxima velocidad se reduce al resto de las constantes del
movimiento.
𝑉𝑚𝑎𝑥 = 𝐴 𝜔 = 0,20 𝑚/𝑠
𝜔 =
𝑉𝑚𝑎𝑥
𝐴
=
0,20
0,05
= 4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
𝑉 =
𝜔
2𝜋
=
4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔
2𝜋
= 2𝐻𝑧/𝜋
𝑇 =
1
𝑉
=
𝜋
2
𝑠𝑒𝑔
Calculando elongación, velocidad y aceleración en el instante 𝑡 = 1,75 𝜋 𝑠𝑒𝑔
𝜒𝑡 = 0,05𝑚 × 𝑠𝑒𝑛 (4𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 × 1,75 𝜋𝑠) = 0𝑚
𝑉𝑡 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 0,2𝑚 × cos (4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 × 1,75 𝜋𝑠) = −0,2𝑚/𝑠
𝑎 𝑡 = −0,8𝑚 × 𝑠𝑒𝑛 (4 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔 × 1,75 𝜋𝑠) = 0𝑚/𝑠𝑒𝑔2
La diferencia de fase entre:
El instante inicial y 𝑡 = 1,75𝜋𝑠 es ∆ℓ = ℓ𝑡 − ℓ𝑜 = 𝜔 1,75𝜋 − 0 = 4
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
× 1,75 =
7𝜋𝑟𝑎𝑑 = (3 × 2 × 𝜋 × 𝜋) 𝑟𝑎𝑑.
Los 2 instantes están en posición de fase.
2. Deduce la expresión que relaciona la velocidad y la elongación de una
partícula animada con un movimiento armónico simple.
Las expresiones generales de la elongación y de la velocidad son:
𝜒 = 𝐴 × sin(𝜔 𝑡 + ℓ𝑜)
𝑉 = 𝐴 × 𝜔 × cos(𝜔 𝑡 + ℓ𝑜)
Multiplicando la primera expresión por ω y elevando al cuadrado ambas
expresiones se tiene:
𝜒2
𝜔2
= 𝐴2
𝜔2
𝑠𝑖𝑛2(𝜔 𝑡 + ℓ𝑜)
𝑉2
= 𝐴2
𝜔2
𝑐𝑜𝑠2(𝜔 𝑡 + ℓ𝑜)
Sumando y operando
𝜒2
𝜔2
+ 𝑉2
= 𝐴2
𝜔2
𝑉2
= 𝜔2(𝐴2
− 𝜒2) 𝑉 = ± 𝜔 √(𝐴2 − 𝜒2)
El signo doble se debe a que la trayectoria se puede recorrer en ambos sentidos
en una misma posición
Una partícula describe un movimiento armónico simple con una frecuencia
de 10 Hz y 5 cm de amplitud. Determina la velocidad cuando la elongación es x =
2,5 cm
La pulsación de la vibración es igual a 𝜔 = 2𝜋𝑉 = 20𝜋 𝑟𝑎𝑑/𝑠 y la amplitud es 𝐴 =
5.10−2
𝑚.
Conservando la energía mecánica del oscilador 𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝
1
2
𝐾 𝐴2
=
1
2
𝑚 𝑉2
+
1
2
𝐾 𝜒2
Como 𝐾 = 𝑚 𝜔2
, se tiene
𝑚 𝜔2
𝐴2
= 𝑚 𝑉2
+ 𝑚 𝜔2
𝜒2
𝜔2
𝐴2
= 𝑉2
+ 𝜔2
𝜒2
𝑉 = ± 𝜔 √𝐴2 − 𝜒2
Sustituyendo
𝜒 = 2,5𝑐𝑚 = 2,5𝑥10−2
𝑚
𝑉2,5 = ± 20𝜋 √(5𝑥10−2 𝑚)2 − (2,5𝑥10−2 𝑚)2
𝑉2,5 = ± 2,72𝑚/𝑠
3. Un balón que se ha dejado caer desde una altura de 4 m choca con el suelo
con una colisión perfectamente elástica. Suponiendo que no se pierde energía
debido a la resistencia del aire, demuestre que el movimiento es periódico.
Determine el periodo del movimiento, ¿Es éste un movimiento armónico simple?
Un movimiento es periódico cuando a intervalos regulares de tiempo (T = periodo)
se repite el estado cinemático del móvil; igual posición, velocidad y aceleración.
Debido a que pierde energía:
- Energía potencial arriba = energía cinética abajo, verificando condiciones
de movimiento periódico.
- La aceleración es constante.
- La velocidad es una altura 𝜒 (menor que 4m)
𝜀𝑚 = 𝜀 𝑐 + 𝜀 𝑝 Considerando la energía mecánica en punto superior
𝑚 𝑔 ℎ =
1
2
𝑚 × 𝑉2
Despejando V: 𝑉 = √2𝑔ℎ
Para 𝜒 = 𝑉
Tiempo de caída de, origen arriba, recorre H hasta el suelo.
𝜒 =
1
2
𝑔 𝑡2
= 𝐻
𝑡 = √
2𝐻
𝑔
(Es el tiempo de caído. El periodo de movimiento es doble)
𝑇 = 2 √
2𝐻
𝑔
(Donde H = 4cm)
𝑇 = 2 √
2𝐻
9,8𝑚/𝑠𝑒𝑔2
= 1,81seg
El movimiento no es armónico simple, se considera simple cuando la aceleración
es proporcional y opuesta a la posición en este caso es constante en cada
periodo. 𝑎 = −𝑔 ≠ −𝐾𝒢
4. Para medir la masa de un astronauta en ausencia de gravedad se emplea un
aparato medidor de masa corporal. Este aparato consiste, básicamente, en una silla
que oscila en contacto con un resorte. El astronauta ha de medir su periodo de
oscilación en la silla. En la segunda misión Skylab el resorte empleado tenía una
constante k = 605.6&mathsp;N/m y el periodo de oscilación de la silla vacía era de
0.90149 s. Calcule la masa de la silla. Con un astronauta en la silla el periodo
medido fue 2.08832 s. Calcule la masa del astronauta.
El periodo de oscilación de un oscilador armónico es: 𝑇 =
1
𝑓
=
2𝜋
𝑤
= 2𝜋 √
𝑚
𝑘
Despejando m (masa) 𝑚 = k (
𝑇
2𝜋
)
2
En el primer caso, la masa, que es la de la silla;
𝒎 = 605,0 (
0,90149
2𝜋
) 2𝑘𝑔 𝒎 = 12,47𝑘𝑔
En el segundo caso la masa total (silla más astronauta)
𝒎 + 𝒎 = 605,6 (
208832
2𝜋
)
2
= 66,90𝑘𝑔
Donde la masa del astronauta vale 𝒎 = 54,43𝑘𝑔
