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Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles
- 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN Las ED de segundo orden por lo general no son fáciles de resolver. Sin embargo, existen ciertos tipos de ED que se pueden reducir de orden mediante una sustitución adecuada. Y en consecuencia transformarlas en ED de variables separables, lineales u otras cuyos métodos son conocidos y fáciles de aplicar. Una ED de segundo orden es de la forma 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2) = 0 Por ejemplo, 3𝑥2 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑦 = 0 Tipos: Tipo I: Cuando no aparece la variable dependiente ni su primera derivada. La ecuación adopta la forma: 𝐹 (𝑥, 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2) = 0, o bien en la forma 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑓(𝑥) Este tipo de ED se puede reducir a primer orden haciendo la sustitución 𝑧 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , entonces, 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 Ejemplo: (1 − 𝑥2) 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑥3 = 0 Respuesta: 𝑦 = 𝑥3 6 + (𝑐1 − 1)𝑥 + 1 2 𝑥 ln(1 − 𝑥2) + 1 2 𝑙𝑛 ( 1+𝑥 1−𝑥 ) +𝑐2 Tipo II: Cuando no aparece la variable dependiente. La ecuación adopta la forma: 𝐹 (𝑥, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2) = 0 Este tipo de ED se puede reducir a primer orden haciendo la sustitución 𝑧 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , entonces, 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 Ejemplo: Encontrar la solución particular para 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0, 𝑦(1) = 2, 𝑦(𝑒) = 1 Respuesta: 𝑦 = 𝑙𝑛 1 𝑥 + 2
- 2. Tipo III: Cuando no aparece la variable independiente. La ecuación adopta la forma: 𝐹 (𝑦, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2) = 0 Este tipo de ED se puede reducir a primer orden haciendo la sustitución 𝑧 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , entonces, 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 Pero aún quedan tres variables. Se puede eliminar la variable x si se aplica la regla de la cadena a la expresión 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑧 Ejemplo: Resolver la ecuación diferencial de segundo orden 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) 2 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Respuesta: 𝑥 = 𝑦 − 𝑐1 ln(𝑦 + 𝑐1) + 𝑐2