Movimientos armónicos simple

1. M.A.S.
DOCENTE: María de Lourdes mera
FÓRMULAS Y EJERCICIOS DEL

2. 1.
Elementos
del
M.A.S. Trayectoria
Es una línea recta en la que el móvil se
traslada.
Comprendido entre la posición máxima
negativa , la posición de equilibrio y la
posición máxima positiva.
Oscilación Sencilla o Simple Es el viaje del móvil de un extremo a otro de la
trayectoria o su equivalente.
Oscilación doble o compleja
(Oscilación)
Es el viaje de un extremo a otro
y su regreso a la posición
original o su equivalente en la
trayectoria.
Amplitud
A = 𝒙𝒎𝒂𝒙=𝒚𝒎𝒂𝒙
Es la máxima separación del
móvil respecto de P.E.
U.S.I.(A):m
Período
T
Es el tiempo que tarda el móvil
en ejecutar una oscilación.
FÓRMULA:
𝑇 =
𝒕
𝒏
U.S.I (T): s
Frecuencia
f
Es el número de oscilaciones
completas que ejecuta el móvil
en la unidad de tiempo.
FÓRMULA:
𝑓 =
𝒏
𝒕
U.S.I. (f): 𝒔−𝟏
=𝑐𝑖𝑐𝑙𝑜𝑠
=h𝑒𝑟𝑧𝑖𝑜 (𝐻𝑧)

3. 2. FACTORES DEL M.A.S.
2.1 Elongación (𝒙 o 𝒚): Es un vector que indica la posición del
móvil en su trayectoria, la amplitud sería el tamaño de la máxima
elongación.
2.2. Velocidad (V).-La ecuación de la velocidad se consigue
derivando a la elongación con respecto al tiempo.
2.3 Aceleración (a).- La ecuación de la aceleración se consigue
derivando a la velocidad con respecto al tiempo.

4. 𝑟
𝜃
Aplicamos la función trigonométrica:
𝑐𝑜𝑠 𝜃 =
𝑥
𝑟
𝑥 = 𝑟. cos 𝜃
𝑥 = 𝐴. cos 𝜃 ; en el M.A.S r = A
θ = 𝜔. 𝑡; en el MCU
𝑐𝑜𝑠 𝜃 = cos 𝜔. 𝑡
𝒙 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕)
Ecuación de la elongación o posición cuando no existe desfase,
en sentido antihorario.
𝑥
SENTIDO ANTIHORARIO
𝑡0 =0, x = A
3. RELACIÓN DEL M.C.U CON EL M.A.S
Elongación
Dezplazamiento
angular en sentido
antihorario.
radio

5. SENTIDO HORARIO
𝑡0 =0, x = 0
𝜃
𝑥
Al triángulo rectángulo aplicamos la función
trigonómetrica
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑥
𝑟
y despejando x se obtiene:
𝑥 = 𝑟. sen 𝜃
Para el M.A.S. r = A = Xmax
𝑥 = 𝐴. sen 𝜃 ; θ = 𝜔. 𝑡; sen 𝜃 = sen 𝜔. 𝑡
𝒙 = 𝑨. 𝐬𝐞𝐧(𝝎. 𝒕)
Ecuación de la posición o de la elongación cuando el
desfase es 0 y la partícula gira en sentido horario.
𝑟
Desplazamiento angular
en sentido horario.

6. De esto se obtiene dos conclusiones relevantes:
1. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE LA ELONGACIÓN CUANDO
NO EXISTE DESFASE.
Sentido antihorario: 𝒙 = 𝑨. 𝒄𝒐𝒔(𝝎. 𝒕)
Sentido horario: 𝒙 = 𝑨. 𝐬𝐞𝐧(𝝎. 𝒕)

7. 2. Los tres puntos importantes del M.A.S. son. E(-), PE, E(+)
𝑥2
𝑥1
−𝑥1
+𝑥𝑚𝑎𝑥= +A
−𝑥𝑚𝑎𝑥=-A
𝑥 = 0
−𝑥2
𝑥3
−𝑥3
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 (−)
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 (+)
𝑃𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛
𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜

8. 4. ECUACIONES CINEMÁTICAS DEL M.A.S.
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
Ángulo de fase
o fase
Fase inicial o
desfase
Amplitud
Elongación o
posición
𝜑
𝑡0 =0
𝑥
𝑡1 ≠ 𝑜
𝐴=r
𝐴
𝜃 = 𝜔𝑡
𝑭𝒓𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒐 𝒑𝒖𝒍𝒔𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝑭𝒂𝒔𝒆 𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒇𝒂𝒔𝒆
4.1 ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL M.A.S.
Tiempo
EJEMPLOS:
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 +
𝝅
𝟐
𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 −
𝝅
𝟐
𝒄𝒎

9. 𝑽 = 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝜑
La velocidad V de un móvil que describe un
M.A.S. se obtiene derivando la posición
respecto al tiempo: (Sentido horario)
𝑽 =
𝒅𝑿
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
𝑨. 𝒔𝒆𝒏(𝝎. 𝒕) = 𝑨. 𝝎. 𝒄𝒐𝒔 𝝎. 𝒕 + 𝜑
𝜑
𝑉
𝑥
𝑉
𝑦
𝑉
+𝑥
Actividad N° 2: Encontrar la ecuación de la velocidad a
partir de la elongación.
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 +
𝝅
𝟐
m
4.2 ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD DEL M.A.S

10.  La aceleración se consigue derivando a la
velocidad.
(Sentido horario)
a=
𝒅𝑽
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
𝑨𝝎. 𝐜𝐨𝐬(𝝎. 𝒕 + 𝜑)
a = − 𝑨. 𝝎𝟐
. 𝒔𝒆𝒏 𝝎. 𝒕 + 𝜑
a= − 𝐴. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛 𝜔. 𝑡 + 𝜑
Se observa que la ecuación de la elongación está contenida
en la ecuación de la aceleración, por tanto:
a= − 𝐴. 𝜔2. 𝑠𝑒𝑛 𝜔. 𝑡 + 𝜑
a= − 𝜔2. 𝑥
“La aceleración es proporcional a la elongación, pero
de sentido contrario”
𝜑 𝑎𝑐𝑦
𝑎𝑐𝑥
𝑎𝑐
+𝑥
ACTIVIDAD N°3: Encontrar la
ecuación de la aceleración a partir
de la elongación.
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 𝒄𝒎
𝒙 = 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒕 +
𝝅
m
4.3. ECUACIÓN DE LA ACELERACIÓN DEL M.A.S.

11. Según las ecuaciones cinemáticas el movimiento es variado y
repetitivo, la posición, velocidad y aceleración están en función del
tiempo, y este parámetro es parte del argumento de la función
trigonométrica, de manera que cuando la función trigonométrica sea
igual a la unidad se tiene el valor máximo del parámetro respectivo.
ECUACIÓN CINEMÁTICA VALOR MÁXIMO POSICIÓN EN LA
TRAYECTORIA
𝑥 = 𝐴. sen 𝜔. 𝑡 + 𝜑 , 𝑋𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴, si, sen 𝜔. 𝑡 + 𝜑 = ±1 Extremo
𝑉 = 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝜑 𝑉
𝑚𝑎𝑥 = ±𝐴𝜔, si, cos 𝜔. 𝑡 + 𝜑 = ±1 Origen
a= − 𝐴. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛 𝜔. 𝑡 + 𝜑 𝑎𝑚𝑎𝑥 = −𝐴. 𝜔2
, si, sen 𝜔. 𝑡 + 𝜑 = ±1 Extremo
5. ELONGACIÓN MÁXIMA, VELOCIDAD MÁXIMA, ACELERACIÓN MÁXIMA

12. 6. ECUACIÓN DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN
DE LA ELONGACIÓN:
La velocidad puede expresarse
fácilmente en función de la posición
ocupada por la partícula.
Como 𝑠𝑒𝑛2𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1
También se cumple:
𝒔𝒆𝒏𝟐
𝝎𝒕 + 𝝋 + 𝒄𝒐𝒔𝟐
𝝎𝒕 + 𝝋 = 𝟏
𝑉 = 𝐴𝜔cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑉 = 𝐴𝜔 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑉 = 𝜔 1𝐴2 − 𝐴2𝑠𝑒𝑛2 𝜔𝑡 + 𝜑
𝑉 = 𝜔 1𝐴2 − 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜑
2
𝑉 = 𝜔 𝐴2 − 𝑥2

13. 7. DIAGRAMAS DE POSICIÓN, VELOCIDAD Y
ACELERACIÓN DEL M.A.S. (𝜑 = 0 )
https://www.vascak.cz/data/android/physicsatschool/temp
late.php?s=kv_kyvadlo&l=es
𝜑 = 0 𝜑 = 0 𝜑 = 0
+𝐴
−𝐴
+𝑉𝑚𝑎𝑥
−𝑉𝑚𝑎𝑥
+𝑎𝑚𝑎𝑥
−𝑎𝑚𝑎𝑥

14. 7.1 OBSERVACIONES SOBRE LA
ECUACIÓN FUNDAMENTAL DEL M.A.S.
 A y 𝜑 determinan el valor de la
elongación x en t = 0, ya que
entonces x = Asen 𝜑.
 Si 𝜑=0, entonces para t= 0 , x = 0;
es decir, al iniciarse el movimiento,
la partícula está en el centro de
oscilación.
 El valor de x se repite cada vez que
el ángulo ω𝑡 + 𝜑 aumenta en
2𝜋 𝑟𝑎𝑑.
 sin 𝜔𝑡 + 𝜑 = sin 𝜔𝑡 + 𝜑 + 2𝜋 .
 Cuando sin 𝜔𝑡 + 𝜑 𝑣𝑎𝑙𝑒 +1 o -1,
la elongación x vale +A o –A. La
partícula se halla en las posiciones
extremas de su trayectoria .
 Si 𝜑 =
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑, la posición es +A al
comenzar a contar el tiempo.
t(s) 𝜔𝑡(rad) Sen(𝜔𝑡) X(m)
0
0 0 0
𝑇
4
𝜋
2
+1 +A
𝑇
2
𝜋 0 0
3𝑇
4
3𝜋
2
-1 -A
𝑇
2𝜋
0 0
𝜑 = 0
x= 𝐴sen(𝜔𝑡 + 𝜑)

15. 7.2 OBSERVACIONES
SOBRE LA ECUACIÓN DE
LA VELOCIDAD DEL
M.A.S.
t(s) 𝜔𝑡(rad) Sen(𝜔𝑡) X(m)
0
0 +1 +AW
𝑇
4
𝜋
2
0 0
𝑇
2
𝜋 -1 -AW
3𝑇
4
3𝜋
2
0 0
𝑇
2𝜋
+1 +AW
• La gráfica de la velocidad está desfasada
𝜋
2
respecto a la gráfica de
la elongación x.
• Si 𝜑 = 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 t = 0, V>0; es decir, al iniciarse el
movimiento, la partícula se desplaza en sentido positivo.
• Cuando 𝑥 = ±𝐴, la velocidad es nula; lo que ocurre para 𝜔𝑡 =
𝜋
2
,
3𝜋
2
… 𝑠𝑖𝜑 = 0,
es decir, cuando la partícula se halla en los extremos de la trayectoria.
• Cuando x=0, la velocidad toma su valor máximo absoluto, 𝑉 =
± 𝐴. 𝑊, 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒 para 𝜔𝑡 = 0, 𝜋, 2𝜋 … 𝑠𝑖 𝜑 = 0, 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟, cuando
la partícula se halla en el centro de oscilación.
𝑉 = 𝐴𝜔cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝜑 = 0

16. 7.3 OBSERVACIONES SOBRE
LA ECUACIÓN DE LA
ACELERACIÓN DEL M.A.S.
a= −𝐴𝜔2
sen(𝜔𝑡 + 𝜑)
t(s) 𝜔𝑡(rad) Sen(𝜔𝑡) X(m)
0
0 0 0
𝑇
4
𝜋
2
+1 -𝐴. 𝜔2
𝑇
2
𝜋 0 0
3𝑇
4
3𝜋
2
-1 𝐴. 𝜔2
𝑇
2𝜋
0 0
La aceleración es proporcional a la
elongación y de sentido contrario a
ésta. Esta condición es necesaria
para que un movimiento sea MAS.
 La gráfica de la aceleración
está desfasada respecto a
la gráfica de la elongación x.
 Cuando 𝑥 = ±𝐴,la
aceleración toma sus
valores máximos absolutos
a= ∓𝐴. 𝜔2
, lo que ocurre
para 𝜔𝑡=
𝜋
2
,
3𝜋
2
,…si 𝜑=0. es
decir , cuando la partícula se
halla en los extremos de la
trayectoria.
 Cuando 𝑥 = 0, la
aceleración es nula , lo que
ocurre para 𝜔𝑡 =
0, 𝜋, 2π … 𝑠𝑖𝜑=0, es decir,
cuando la partícula se halla
en el centro de oscilación.

17. 8. RESUMEN DE FÓRMULAS
MAGNITUD POSICIÓN O
ELONGACIÓN
VELOCIDAD ACELERACIÓN
Ecuación
cinemática en
función del
tiempo
𝐱 = 𝐀𝐬𝐞𝐧(𝛚𝐭 + 𝛗) 𝐕 = 𝐀. 𝛚. 𝐜𝐨𝐬 𝛚. 𝐭 + 𝛗 a= − 𝐀. 𝛚𝟐. 𝐬𝐞𝐧 𝛚. 𝐭 + 𝛗
Ecuación
cinemática en
función de la
posición
𝐕 = 𝛚 𝐀𝟐 − 𝐱𝟐 a= − 𝛚𝟐
. 𝐱
Posición de
equilibrio
X = 0 𝐕𝐦𝐚𝐱 = ±𝐀. 𝛚 cero
Extremo 𝐗𝐦𝐚𝐱 = ±𝐀 cero 𝐚𝐦𝐚𝐱 = −𝐀. 𝛚𝟐
D A

18. RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.
1. Cierta partícula se mueve con M.A.S. según la siguiente ecuación
𝑥 = 3 sen 2𝜋𝑡 cm en unidades del sistema CGS. Calcula
a) La fase inicial, la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia.
b) Escribe la ecuación de la velocidad y de la aceleración
c) Grafica: elongación en función del tiempo, velocidad en función del
tiempo y aceleración en función del tiempo.
ACTIVIDAD N°4
𝑥 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑)
𝑥 = 3 sen 2𝜋𝑡 cm

19. ACTIVIDAD N°4
2. Cierta partícula se mueve con M.A.S. según la siguiente ecuación
𝑥 = 4 sen 2𝜋𝑡 +
𝜋
6
cm en unidades del sistema CGS. Calcula
a) La fase inicial, la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia.
b) Escribe la ecuación de la velocidad y de la aceleración
c) Grafica: elongación en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y
aceleración en función del tiempo.
3. Cierta partícula se mueve con M.A.S. según la siguiente ecuación
𝑥 = 4 sen 2𝜋𝑡 −
𝜋
6
cm en unidades del sistema CGS. Calcula
a) La fase inicial, la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia.
b) Escribe la ecuación de la velocidad y de la aceleración
c) Grafica: elongación en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y
aceleración en función del tiempo.

20. ACTIVIDAD N°4
4. Cierta partícula se mueve con M.A.S. según la siguiente ecuación
𝑥 = 4 sen 2𝜋𝑡 −
𝜋
4
cm en unidades del sistema CGS. Calcula
a) La fase inicial, la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia.
b) Escribe la ecuación de la velocidad y de la aceleración
c) Grafica: elongación en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en
función del tiempo.
5. Cierta partícula se mueve con M.A.S. según la siguiente ecuación
𝑥 = 4 sen 𝜋𝑡 + 300 cm en unidades del sistema CGS. Calcula
a) La fase inicial, la amplitud, la pulsación, el período, la frecuencia.
b) Escribe la ecuación de la velocidad y de la aceleración
c) Grafica: elongación en función del tiempo, velocidad en función del tiempo y aceleración en
función del tiempo.

21. ACTIVIDAD N°4
6. Cierta partícula se mueve con
M.A.S. según la siguiente
ecuación
𝑥 = 0,05 sen 20𝜋𝑡 , en
unidades del sistema CGS.
Calcula
a) La fase inicial
b) la amplitud
c) La pulsación
d) El período
e) La frecuencia.
f) El valor de la elongación en t = 0 s y en t = 0,025 s.
g) Escribe la ecuación de la velocidad y de la
aceleración.
7. Un cuerpo vibra con M.A.S. según
la ecuación 𝑥 = 0,05 sen 3𝑡 +
𝜋
2
,
unidades S..I. Calcula:
a) El valor de la elongación cuando
𝑡 = 𝜋𝑠;
b) La velocidad del cuerpo cuando
𝑡 =
𝜋
2
s;
c) El período y la frecuencia.

22. ACTIVIDAD N°4
8. En cierto movimiento armónico simple en el que 𝜑 = 0, 𝑇 = 0,2 𝑠 𝑦 𝐴 =
0,3 𝑚. Calcula la elongación, la velocidad, y la aceleración cuando t
vale sucesivamente
1
20
s;
1
10
𝑠;
3
20
s;
1
5
𝑠.
DATOS: 𝜑 = 0; , 𝑇 = 0,2 𝑠 ; 𝐴 = 0,3 𝑚; W = ?
Tiempo ( s) Elongación ( m ) Velocidad (m/s) Aceleración 𝒎
𝒔𝟐
1
20
1
10
3
20
1
5

23. ACTIVIDAD N°4
9. GRAFICAR:
a. Dada la ecuación 𝑥 = sen 2𝜋𝑡 𝐶m. Graficar:
 a) x = f(t)
 b) V = f(t)
 c) a = f(t)
b. Dada la ecuación 𝑥 = 5 sen 4𝜋𝑡 +
𝜋
4
m. Graficar:
 a) x = f(t)
 b) V = f(t)
 c) a = f(t)
c. Dada la ecuación 𝑥 = 0,05 sen 4𝜋𝑡 −
𝜋
4
m. Graficar:
 a) x = f(t)
 b) V = f(t)
 c) a = f(t)
10. La ecuación de la posición de
una partícula que tiene M.A.S., en
función del tiempo es 𝑥 =
0,5 sen 𝜋𝑡 (SI). Si t = 0 la particula
pasa por la posición de equilibrio,
determiner:
a) La amplitud del movimiento y la
frecuencia angular de oscilación.
b) El período y la frecuencia.
c) Las ecuaciones cinemáticas del
M.A.S.
d) La elongación, velocidad y
aceleración de la partícula en t
= 1,3 s.
e) La elongación, velocidad y
aceleración máximas de la
partícula.

24. SOLUCIÓN DEL EJERCICIO N°2
t(s) X(cm) VELOCID
AD
(cm/s)
ACELER
CIÓN
(cm/s2)
0 2 16,32 -136,76
0,1 +3,65 7,67 -64,23
0,2 +3,91 -3,92 32,83
0,30 +2,68 -14,01 117,35
0,40 +0,42 -18,75 157,05
0,50 -2 -16,32 136,76
0,60 -3,65 -7,67 64,23
0,70 -3,91 3,92 -32,83
0,80 -2,68 14,01 -117,35
0,90 -0,42 18,75 -157,05
1,00 2 16,32 -136,76
𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 inicial o pisición inicial
𝑥0
MCU
𝑀. 𝐴. 𝑆.
𝑥 = 0 X𝑚𝑎𝑥
− 𝑋𝑚𝑎𝑥
PE 𝐸 (+)
𝐸 (−)

25. REFUERZO

26.  RESUMEN:
• En los extremos la rapidez es cero mientras que la aceleración es máxima.
• En el punto de equilibrio la rapidez es máxima mientras que la aceleración es cero.
 Epg
Ec= 0
V= 0
𝑎𝑚𝑎𝑥
X = +A
 Epg
Ec =0
V= 0
𝑎𝑚𝑎𝑥
X = -A
PE(-)
PE(+
)
PE
Epg= 0
 Ec
a= 0
𝑉
𝑚𝑎𝑥
X = 0
+ A
- A
RESUMEN:

27. 9. ECUACIONES DINÁMICAS DEL M.A.S
1. Frecuencia angular o
cíclica (w).- Está
determinada por la
siguiente ecuación:
𝑭 = −𝒌𝒙 𝒚 𝑭 = 𝒎𝒂
−k𝑥 = 𝑚𝑎
−𝑘. 𝑥 = 𝑚. −𝜔2
. 𝑥
−𝑘. 𝑥 = −𝑚. 𝜔2
. x
𝑘 = 𝑚. 𝜔2
𝝎 =
𝒌
𝒎
2. Período de las oscilaciones (T)
𝝎 =
𝟐𝝅
𝑻
=
𝒌
𝒎
𝑻 = 𝟐𝝅
𝒎
𝒌

28. NOTA:
La frecuencia angular (w), el período (T) y la
frecuencia de las oscilaciones (f) solo
dependen de las características físicas del
resorte (constante elástica) y de la masa del
cuerpo oscilante y no depende de la
amplitud ni de la forma como se inicia el
movimiento.

29. 10. ENERGÍA EN EL M.A.S.
La energía mecánica de
un sistema masa resorte
efectúa un MAS
permanece constante
una vez iniciado el
movimiento.
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝑒 = 𝑐𝑡𝑒
𝐸𝑀 =
1
2
𝑚𝑉2 +
1
2
𝑘. 𝑥2 = 𝑐𝑡𝑒

30. 10. 1 ENERGÍA EN LOS EXTREMOS:
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑒
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝑉2 +
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆)
=
1
2
𝑚(0)2+
1
2
𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥
2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚(0)2
+
1
2
𝑘𝐴2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑘𝐴2
10. 2 ENERGÍA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO:
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝𝑒
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝑉2
+
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝑉
𝑚𝑎𝑥
2
+
1
2
𝑘(0)2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝑉
𝑚𝑎𝑥
2

31. 11.RESUMEN DE FÓRMULAS
𝑘 = 𝑚. 𝜔2
𝝎 =
𝒌
𝒎
𝑻 = 𝟐𝝅
𝒎
𝒌
𝝎 = 𝟐𝝅𝒇
f=
𝟏
𝟐𝝅
𝒌
𝒎
𝑬𝑵𝑬𝑹𝑮Í𝑨 𝑬𝑵 𝑬𝑳 𝑴. 𝑨. 𝑺.
𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝐸𝑃𝑒 = 𝑐𝑡𝑒
𝐸𝑀 =
1
2
𝑚𝑉2
+
1
2
𝑘. 𝑥2
= 𝑐𝑡𝑒
ENERGÍA EN LOS EXTREMOS:
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑘𝐴2
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝜔2
𝐴2
ENERGÍA EN LA POSICIÓN DE EQUILIBRIO:
𝐸𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 (𝑀𝐴𝑆) =
1
2
𝑚𝑉
𝑚𝑎𝑥
2
ENERGÍA CINÉTICA
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑉2
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝜔2 𝐴2 − 𝑥2
𝐸𝑐 =
1
2
𝑘 𝐴2
− 𝑥2
ENERGÍA POTENCIAL
ELÁSTICA
𝐸𝑝𝑒 =
1
2
𝑘𝑥2
𝐸𝑝𝑒 =
1
2
𝑚𝜔2
𝑥2

32. ACTIVIDAD N°5
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS:
1. La ecuación de la posición en función del tiempo de una partícula de 650 g que tiene
M.A.S. 𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟒
𝒕 +
𝝅
𝟒
SI. Si en t= 0 la partícula pasa por la posición de equilibrio,
determinar:
a) La amplitud, pulsación y constante de oscilación de la partícula.
b) La energía cinética, potencial y mecánica en t = 5s.
c) La energía cinética, potencial y mecánica cuando x = 0,7 m.
d) La energía cinética máxima.
2. La elongación de un móvil de 250 g que describe un M.A.S. viene dada en función del
tiempo, por la expresión 𝒙 = 𝟎, 𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝝅𝒕 −
𝝅
𝟐
(SI). Determinar:
a) La amplitud, pulsación y constante de oscilación de la partícula.
b) La energía cinética, potencial y mecánica en t = 1s.
c) La energía cinética, potencial y mecánica cuando x = 0,3 m.
d) La energía potencial máxima.

33. EJERCICIO PROPUESTO A PARTIR DE UNA
GRÁFICA:
 1. La grafica 𝑋 = 𝑓(𝑡) de una partícula de 0,8kg que oscila con M. A. S. es:
Determinar:
a) La amplitud del movimiento
b) El período
c) La frecuencia angular de oscilación
d) El ángulo de fase inicial
e) Las ecuaciones del movimiento en función del
tiempo.
f) Los diagramas v y a en función del tiempo
g) El tiempo mínimo para alcanzar la aceleración y
velocidad máxima.
h) La posición de la partícula en 3s.
i) La velocidad de la partícula en 4s.
j) La aceleración de la partícula en 6,5s

34. DATOS:
𝒎 = 𝟎, 𝟖 𝒌𝒈
a) A=?
b) T=?
c) f=?
d) 𝜑 =?
e) Ec: X=? V= ? a =?
f) V=f(t) y a = f(t)
g) 𝑡𝑚𝑖𝑛 =? Para alcanzar 𝑎𝑚𝑎𝑥
h) X=? t= 3s.
i) V=? t= 4s.
j) a= ? t= 6,5s
SOLUCIÓN:
𝒙 = 𝑨𝒔𝒆𝒏(𝝎𝒕 + 𝝋)
a= − 𝐴. 𝜔2
. 𝑠𝑒𝑛 𝜔. 𝑡 + 𝜑
𝑽 = 𝐴. 𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 + 𝜑