100412 125 trabajo colaborativo fase_2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNADESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA
TRABAJO COLABORATIVO 1 CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES
CURSO ACADÉMICO ECUACIONES DIFERENCIALES
ACT. FORO COLABORATIVO MOMENTO 2
DIEGO ARMANDO USECHE
CÓDIGO: 7726043
JAVIER HERNÀN POLANÌA RODRÌGUEZ
CÓDIGO: 7.713.361
RODRIGO ALBERTO SANABRIA
CÓDIGO: 7.702.768
ROLANDO ANTONIO VARGAS PEÑA
CÓDIGO: 7.708.912
COD: 100412_125
Presentado A:
HECTOR IVAN BLANCO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERÍA
ABRIL
2015

INTRODUCCION.
Las actividades se desarrollaran aplicando la estrategia de aprendizaje basada en
problemas organizada en tres momentos para ser desarrolladas asociadas a cada unidad.
La segunda actividad se encuentra dividida en dos partes y se realizara en grupo
colaborativo a partir del reconocimiento, análisis, construcción y solución de problemas. Está
se encuentra organizada en tres fases y cada una de ellas se encuentra asociada a una
unidad del curso.. Su desarrollo se basa en la resolución de los ejercicios propuestos en la
guía de trabajo utilizando como estrategias el debate, los aportes individuales y el trabajo en
equipo.
Este trabajo tiene como fin enfocarnos en los primeros principios de la integración,
además de enseñarnos a utilizar el procedimiento como el del teorema fundamental del
cálculo. Aunque primordialmente el trabajo es sobre la realización de situaciones problemas
solucionando integrales indefinida y definida, aplicando las distintas propiedades que poseen.
Además los diferentes ejercicios que miraremos a continuación están desarrollados
detalladamente para su mayor análisis y comprensión, al igual que hechos a mano para mejor
apropiación y compromiso con respecto a los diferentes temas de estudio.

OBJETIVOS
En la actividad se deben desarrollar los momentos del aprendizaje basado en problemas
por lo tanto debe primero reconocer el problema planteado en la guía, luego en grupo
analizarlo y plantear soluciones y con el apoyo de los contenidos, ideas grupales y
retroalimentación del tutor hacer una síntesis con el fin de elaborar un producto final del
momento 2 para ser presentado en el entorno de evaluación y seguimiento.
Responder los interrogantes a las preguntas del foro inicial y generar debate entre mis
compañeros de grupo.
En el foro del trabajo colaborativo el estudiante debe aportar, discutir y acordar con sus
compañeros cuál será en producto final momento 2 de esta actividad del curso Ecuaciones
Diferenciales.
A través de esta actividad también se lograron adquirir nuevas habilidades, destrezas
conocimientos que fortalecen el proceso de aprendizaje.

Temática: ecuaciones diferenciales de orden superior.
1. Indique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con
coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvalas.
(Rodrigo Sanabria) ( Diego Armando Useche ) (Rolando Antonio Vargas Peña)
A. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑥3
𝑦 = 0
𝑥𝑦1
+ 𝑥2
𝑦 = 0 → 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑜𝑛𝑒𝑎
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥2
𝑦 → 𝑥𝑑𝑦 = 𝑦𝑥2
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
=
𝑥2
𝑑𝑥
𝑥
→ 𝑖𝑛𝑦 −
𝑥2
2
= 𝑐
B. 𝑦2
𝑥′
+ 2𝑦𝑥 = 0 Ecuación lineal de primer orden
 Una ecuación lineal es homogénea cuando está representada en la forma
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 𝑝( 𝑦) 𝑥 = 0
 Dividiendo la ecuación por 𝑦2
𝑦2 𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ 2𝑦𝑥 = 0 / 𝑦2
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
2
𝑦
𝑥 = 0 es una ecuación homogénea
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −
2
𝑦
𝑥
 Sustituyendo
𝜇 =
𝑥
𝑦
 Despejando

x = 𝜇 ∗ 𝑦
 Derivamos x con respecto a y
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= 𝑦
𝑑𝜇
𝑑𝑦
+ 𝜇
 Hacemos la sustitución en la ecuación
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −
2𝑥
𝑦
0
𝑦
𝑑𝜇
𝑑𝑦
+ 𝜇 =- 2 𝜇
 Pasamos la 𝜇 para el otro lado del igual así:
𝑦
𝑑𝜇
𝑑𝑦
= −3𝜇
 Separamos las variables
𝑦 𝑑𝜇 =- 3 𝜇 * 𝑑𝑦
𝑑𝜇
−3 𝜇
=
𝑑𝑦
y
 Ahora procedemos a integrar
∫
𝑑𝜇
−3 𝜇
= ∫
𝑑𝑦
y
−
1
3
∫
𝑑𝜇
𝜇
= ∫
𝑑𝑦
y
−
1
3
𝑙𝑛 | 𝑢| = 𝑙𝑛 | 𝑦| + 𝑙𝑛 | 𝐶|
 Agregamos logaritmo natural a la constante para aplicar propiedad de logaritmos, igual sigue
siendo constante:
−𝑙𝑛 | 𝑢|
−1
3 = 𝑙𝑛 | 𝑦 ∗ 𝐶| Eliminamos el logaritmo de cada lado y queda la ecuación así:
𝜇
−1
3 = 𝑦 ∗ 𝐶 Recuperamos la variable sustituida

𝑥
𝑦
−1
3
= 𝑦 ∗ 𝐶
C. 𝑦′′
− 𝑦′
− 6𝑦 = 0 Ecuación Diferencial Lineal Homogénea con coeficientes constantes y raíces
reales distintas.
Solución:
 Planteamos la ecuación auxiliar
𝑚2
− 𝑚 − 6 = 0
 Factorizamos la expresión
(𝑚 − 3)(𝑚 + 2) = 0
 Por lo tanto tenemos dos raíces diferentes:
𝑚1 = 3 ; 𝑚2 = −2
 Planteamos la solución general:
𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
𝑦 = 𝐶1 𝑒3𝑥
+ 𝐶2 𝑒−2𝑥
D. 𝑦[3]
− 3𝑦[2]
− 3𝑦′
− 𝑦 = 𝑒 𝑥
− 𝑥 + 16.
 Ecuación Diferencial Lineal no Homogénea con raíces reales Iguales
Solución:
 Planteamos la ecuación auxiliar para resolver inicialmente la Homogénea
𝑚3
− 3𝑚2
+ 3𝑚 − 1 = 0
 Factorizamos la expresión

(𝑚 − 1)3
 Por lo tanto tenemos tres raíces Iguales m1=m2=m3=1
 Planteamos la solución complementaria:
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑚𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑚𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑚𝑥
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
 La solución particular:
𝑦 𝑝 = 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑦′ 𝑝 = 3𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝐵
𝑦′′ 𝑝 = 6𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 3𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 3𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
+ 0
𝑦′′ 𝑝 = 6𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 6𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
𝑦′′′ 𝑝 = 6𝐴𝑒 𝑥
+ 6𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 6𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 3𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
𝑦′′′ 𝑝 = 6𝐴𝑒 𝑥
+ 9𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
(6𝐴𝑒 𝑥
+ 9𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥)− 3(6𝐴𝑥𝑒 𝑥
+ 6𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥) + 3(3𝐴𝑥2
𝑒 𝑥
+ 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝐵)
− ( 𝐴𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝐵𝑥 + 𝐶) = 𝑒 𝑥
− 𝑥 + 16
6𝐴𝑒 𝑥
− 𝐵𝑥 + 3𝐵 − 𝐶 = 𝑒 𝑥
− 𝑥 + 16
6𝐴 = 1
−𝐵 = −1
3𝐵 − 𝐶 = 16
 De donde 𝐴 =
1
6
, 𝐵 = 1, 𝐶 = −13, por lo tanto la ecuación particular
𝑦 𝑝 =
1
6
𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝑥 − 13
 Luego la solución
𝑦 𝑔 = 𝑦ℎ + 𝑦 𝑝
𝑦 𝑔 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
+
1
6
𝑥3
𝑒 𝑥
+ 𝑥 − 13
E. 𝑦′′
− 9𝑦 = 54

Ecuación diferencial lineal no homogénea con raíces reales distintas.
Solución:
𝑚2
− 9𝑚 = 54 →→ 𝑚2
− 9 = 0
 Factorizamos para resolver.
(𝑚2
− 9) = 0→→(𝑚 − 3)(𝑚 + 3)
 Por lo tanto tenemos dos raíces distintas
𝑚1 = 3 ; 𝑚2 = −3
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒 𝑥
+ 𝐶2 𝑒 𝑥
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒3𝑥
+ 𝐶2 𝑒−3𝑥
 Para hallar la solución particular debemos proponer una solución, como tenemos un polinomio
de grado cero:
𝑦 𝑝 = 𝐴0
 Reemplazando está en la ecuación diferencial inicial tenemos:
(𝐴0)′′
− 9(𝐴0) = 54
−9(𝐴0) = 54
𝐴0 = −6
 Es decir que nuestra solución particular es:
𝑦 𝑝 = −6
 La solución de la ecuación general no homogénea es la suma de la ecuación diferencial
complementaria y la solución particular:
𝑦 𝑔 = 𝑦𝑐 + 𝑦 𝑝
𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑒3𝑥
+ 𝐶2 𝑒−3𝑥
− 6
F. 𝑦′′
+ 25𝑦 = 6𝑠𝑒𝑛𝑥
 Ecuación diferencial lineal no homogénea con raíces imaginarias distintas
𝑚2
+ 25 = 0
 Factorizamos para resolver:
𝑚2
+ 25 = 0
𝑚2
= −25
𝑚 = √−25
𝑚1 = 5𝑖 ; 𝑚2 = −5𝑖
 Por lo tanto tenemos dos raíces complejas conjugadas:

𝑚1 = 5𝑖; 𝑚2 = −5𝑖
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒 𝑎𝑥
𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑥) + 𝐶2 𝑒 𝑎𝑥
𝑐𝑜𝑠(βx)
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑒0𝑥
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) + 𝐶2 𝑒0𝑥
𝑐𝑜𝑠(−5x)
𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) + 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(−5𝑥)
 Para hallar la solución particular debemos proponer una solución, como tenemos una función
trigonométrica:
𝑦 𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠x
 Reemplazando está en la ecuación diferencial inicial tenemos:
(𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠x)′′
+ 25(𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐵𝑐𝑜𝑠x) = 6𝑠𝑒𝑛𝑥
- 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 + 25𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 25𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛𝑥
24𝐴𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 24𝐵𝑐𝑜𝑠𝑥 = 6𝑠𝑒𝑛𝑥
 Igualando los coeficientes de las funciones trigonométricas tenemos:
24𝐴 = 6 𝐴 =
1
4
𝐵 = 0
 Es decir que nuestra solución particular es:
𝑦 𝑝 =
1
4
𝑠𝑒𝑛𝑥
 La solución de la ecuación general no homogénea es la suma de la ecuación diferencial
complementaria y la solución particular:
𝑦 𝑔 = 𝑦ℎ + 𝑦 𝑝
𝑦 𝑔 = 𝐶1 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)+ 𝐶2 𝑐𝑜𝑠(−5𝑥) +
1
4
𝑠𝑒𝑛𝑥
G. 𝑦′
− 𝑦𝑥 = 5𝑥
𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙, 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎, ( 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛)
𝜇( 𝑥) = 𝑒∫ −𝑥𝑑𝑥
= 𝑒
−𝑥2
2
𝑒
−𝑥2
2 𝑦′
− 𝑦𝑥𝑒
−𝑥2
2 = 5𝑥𝑒
−𝑥2
2
𝑦. 𝑒
−𝑥2
2 = 5∫ 𝑥𝑒
−𝑥2
2 𝑑𝑥
𝑢 =
−𝑥2
2
𝑑𝑢 = −𝑥𝑑𝑥

𝑦 𝑒
−𝑥2
2 = −5∫ 𝑒𝑢𝑑𝑢
𝑦 𝑒
−𝑥2
2 = −5 𝑒
−𝑥2
2 + 𝑐
𝑦 = −5 + 𝑐𝑒
𝑥2
2
H. 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 5𝑥2
NO HOMOGENEA, NO LINEAL
𝑥𝑑𝑦 + ( 𝑦 − 5𝑥2) 𝑑𝑥 = 0
𝑁 = 𝑥 𝑀 = 𝑦 − 5𝑥2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 1
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 1
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 𝑀
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑁
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 𝑦 − 5𝑥2
𝐹 = 𝑥𝑦 −
5𝑥3
3
+ 𝐵( 𝑦)
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑥 + 𝐵´( 𝑦)
𝑥 + 𝐵´( 𝑦) = 𝑥
𝐵( 𝑦) = 𝑒

I. 𝑥2
𝑦′ + 3𝑥𝑦 =
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
NO HOMOGENEA, NO LINEAL
𝑥2
𝑑𝑥 + (3𝑥𝑦 −
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
) 𝑑𝑥
𝑁 = 𝑥2
𝑀 = 3𝑥𝑦 −
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 2𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 3𝑥
𝐹 = 2
∫
1
𝑥2(3𝑥−2𝑥) 𝑑𝑥
= 𝑒
∫
1
𝑥
𝑑𝑥
= 𝑥
𝑥3
𝑑𝑦 + (3𝑥2
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥) 𝑑𝑥
𝑁 = 𝑥3
𝑀 = 3𝑥2
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝜕𝑁
𝜕𝑥
= 3𝑥2
𝜕𝑀
𝜕𝑦
= 3𝑥2
𝜕𝑁
𝜕𝑥
=
𝜕𝑀
𝜕𝑦
;
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= 𝑀;
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑁
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 3𝑥2
𝑦 − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑓 = 𝑥3
𝑦 + cos 𝑥 + 𝐵( 𝑦)
𝜕𝐹
𝜕𝑦
= 𝑥3
+ 𝐵´(𝑦)
𝑥3
+ 𝐵´( 𝑦) = 𝑥3
𝐵´( 𝑦) = 0
𝐵( 𝑦) = 0

2. Demostrar que
3
X y
3
x
; son soluciones linealmente independientes de la siguiente
ecuación diferencial:
𝑥2
𝑦′′
− 4𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 6𝑦 = 0 En el intervalo −∞ < 𝑥 < ∞ (Rodrigo Sanabria)
 Por definición:
Dos soluciones 𝑓1 y 𝑓2 son linealmente independiente en 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 si y sólo si su Wronskiano
es diferente de cero para alguna x de 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.
 Como
| 𝑥|3
= {
−𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥3
𝑠𝑖 𝑥 ⩾ 0
}
 Entonces
𝑦1 = 𝑥3
, 𝑦2 = 𝑥3
, 𝑜, 𝑦2 = −𝑥3
𝑦′1 = 3𝑥2
, 𝑦′2 = 3𝑥2
, 𝑜, 𝑦2 = −3𝑥2
 Generamos el Wronskiano:
𝑊( 𝑦1, 𝑦2) = [ 𝑥3
𝑥3
3𝑥2
3𝑥2] = 3𝑥5
− 3𝑥5
= 0
Por lo tanto las soluciones son linealmente dependientes.
 Si tomamos nuestra segunda posibilidad el Wroskiano será:
𝑊( 𝑦1, 𝑦2) = [ 𝑥3
−𝑥3
3𝑥2
−3x2] = −3x5
− (−3x5) = 0
Por lo tanto las soluciones son linealmente dependientes.
En conclusión 𝑥3
y |𝑥|3
no son soluciones linealmente independientes de la ecuación
diferencial dada.

3. a. Resolver la siguiente ecuación diferencial por el método de variación de parámetros:
𝑎. 𝑋2
𝑌"
− 𝑋𝑌 + 𝑌 = 04𝑋 1𝑛 (𝑥)
Solución
𝑋2
𝑦′′
− 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 0
𝑦 = 𝑢′1 𝑥 + 𝑢1 + 𝑢′2 𝑖𝑛𝑥 + 𝑢2(1 + 1nx)
𝑢′1 𝑥 + 𝑢′2 𝑥 + 𝐼𝑛𝑥 = 0
𝑦′
= 𝑢1 + 𝑢2(1 + 1nx) → 𝑦′′
= 𝑢′1 + 𝑢′
2(1 + Inx) + 𝑢2 (
1
𝑥
)
Sustituyendo en
𝑥2
𝑦′′
− 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 4𝑥1𝑛𝑥
Quedaría
𝑥2
[𝑢′1 + 𝑢′
2 (1 + Inx) + 𝑢2 (
1
𝑥
)] − 𝑥[ 𝑢1 + 𝑢2(1 + Inx)] + 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑥1nx
𝑥2
𝑢′1 + 𝑢′
2( 𝑥2
+ 𝑥2
1𝑛𝑥) + 𝑢2( 𝑥 − 𝑥 − 𝑥1𝑛𝑥 + 𝑥1𝑛𝑥) + 𝑢1(−𝑥 + 𝑥) = 4𝑥1𝑛𝑥
𝑥2
𝑢′1 + 𝑥2(1 + 1𝑛𝑥) 𝑢′
2 = 4𝑥1𝑛𝑥
Dividiendo por 𝑥2
𝑢′
+ (1 + 1𝑛𝑥) 𝑢′
2 =
4
𝑥
1𝑛𝑥
𝑢′
1 𝑦 𝑢′
2 𝑙𝑎𝑠 𝑢𝑏𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶
{
𝑥𝑢′
1 + ( 𝑥1𝑛𝑥) 𝑢′
2 = 0
𝑢′
1 + (1 + 1𝑛𝑥) 𝑢′
2 = 4𝑥−1
1𝑛𝑥
} → {
𝑢′
1 + (1𝑛𝑥) 𝑢′
2 = 0
𝑢′
1 + (1 + 1𝑛𝑥) 𝑢′
2 = 4𝑥−1
1𝑛𝑥
}
El determinante es
𝑤 = |
1 1𝑛𝑥
1 1 + 1𝑛𝑥
| = 1 + 1𝑛𝑥 − 1𝑛𝑥 − 1𝑛𝑥 = 1
𝑢′
1
|
0 1𝑛𝑥
4𝑥−1
1𝑛𝑥 1+ 1𝑛𝑥
|
𝑤
= −4𝑥−1
(1𝑛𝑥2
)

𝑢′
1
|
1 0
1 4𝑥−1
1𝑛𝑥
|
𝑤
= −4𝑥−1
1𝑛𝑥
Entonces
𝑢1 = −4∫ 𝑥−1 (1𝑛𝑥2) 𝑑𝑥 = −4∫(1𝑛𝑥2)
𝑑𝑥
𝑥
= −
4
3
(1𝑛𝑥)3
𝑢1 = 4∫ 𝑥−1
1𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 4 ∫(1𝑛𝑥)
𝑑𝑥
𝑥
= 2(1𝑛𝑥)2
La solución particular
𝑦 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑥1𝑛𝑥 = −
4
3
(1𝑛𝑥)3
𝑥 + 2(1𝑛𝑥)2
𝑥1𝑛𝑥
𝑦( 𝑥) =
2
3
𝑥(1𝑛𝑥)3
La solución general:
𝑦( 𝑥) + 𝑘1 𝑦1( 𝑥)+ 𝑘2 𝑦2( 𝑥)
𝑦 =
2
3
𝑥(1𝑛𝑥)3
+ 𝑘1 𝑥 + 𝑘2 𝑥 1𝑛𝑥
b. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes
indeterminados:
𝑌"
2𝑦′ + 5𝑦 = 24𝑒3𝑥
Solución
𝑏 . 𝑌"
2𝑦′ + 5𝑦 = 24𝑒3𝑥
Encontramos la solución de la ecuación homogénea
𝑌"
2𝑦′ + 5𝑦 = 0
Solucionamos
𝑦𝑐 = 𝑒−𝑥
(𝑐1 cos2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛2𝑥)
Buscamos la solución particular
Tenemos presente la función
𝑓( 𝑥) = 24 𝑒
3𝑥
La forma 𝑦 𝑝 = 𝐴𝑒3𝑥
Encontramos las Constantes de la solución particular

𝑦=𝐴𝑒3𝑥
𝑦′=3𝐴𝑒3𝑥
𝑦′′=9𝐴𝑒3𝑥
Entonces
9𝐴𝑒3𝑥
+ 2(3𝐴𝑒3𝑥) + (5𝐴𝑒3𝑥) = 24𝐴𝑒3𝑥
20𝐴𝑒3𝑥
= 24𝐴𝑒3𝑥
20𝐴 = 24; 𝐴
24
20
=
6
5
𝑌 =
6
5
𝑒3𝑥
La solución de la ecuación seria
𝑌 = 𝑦𝑐 + 𝑦 𝑝
𝑌 = 𝑒−𝑥( 𝐶1 𝐶𝑜𝑠2𝑥 + 𝐶2 𝑆𝑒𝑛2𝑥) +
6
5
𝑒 𝑥
4. Encontrar un operador diferencial que anule a:
(Rodrigo Sanabria) ( Diego Armando Useche )
a. (𝑥3
− 2𝑥)(𝑥2
− 1)
 para dar solución a esta ecuación se debe resolver:
𝑥5
− 𝑥3
− 2𝑥3
+2x
 El operador que anula la ecuación es D6
D6 (𝑥5
− 𝑥3
− 2𝑥3
+2x)
D5 (5𝑥4
− 3𝑥2
− 6𝑥2
+2)
D4 (20𝑥3
− 6𝑥 − 12𝑥)
D3 (60𝑥2
− 6 − 12)
D2 (120x)
D1=120 =0

b. 𝑥 + 3𝑥𝑦𝑒6𝑥
Debemos buscar el operador que anula la ecuación. De la x es el operador D2 debemos identificar
el operador de la otra ecuación.
(𝐷 – 𝛼) 𝑛
(𝐷 – 6)2
𝐷2
(𝐷 – 6)2
𝑥 + 3𝑦𝑒6𝑥
𝐷2
–12𝐷 + 36 ( Validar si es posible eliminar el operador con y en la función)
c. 𝑥𝑒 𝑥
Solución:
 El operador diferencial que anula 𝑥 𝑛−1
𝑒 𝑎𝑥
es (𝐷 − 𝑎) 𝑛
,
En este caso tenemos 𝑛 = 2 y 𝑎 = 1,
Es decir que el operador queda de la forma:
(𝐷 − 1)2
(𝐷 − 1)2
𝑥𝑒 𝑥
= 0
𝑦( 𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥
𝑦′
(𝑥) = 𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
𝑦′′( 𝑥) = 𝑒 𝑥
+ 𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
= 2𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
𝐷2
− 2𝐷 + 1
2𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
− 2( 𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥) + 𝑥𝑒 𝑥
= 0
2𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
− 2𝑒 𝑥
− 2𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑥𝑒 𝑥
= 0
0 = 0
d. 1 − 5𝑥2
+ 8𝑥3

 El operador diferencial que anula 𝑥 𝑛−𝑖
es 𝐷 𝑛
, en este caso tenemos 𝑛 = 4
Es decir que el operador queda de la forma: 𝐷4
𝐷 =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(1 − 5𝑥2
+ 8𝑥3) = 24𝑥2
− 10𝑥
𝐷2
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(24𝑥2
− 10𝑥) = 48𝑥 − 10
𝐷3
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(48𝑥 − 10) = 48
𝐷4
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
(48) = 0
5. Resolver la siguiente ecuación diferencial:
𝑥2
𝑦′′
+ 𝑥𝑦′
+ 𝑦 = 0
 Ecuación de entrada:
𝑥2
𝑦′′
(𝑥) + 𝑥𝑦′
(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0
 Si hacemos
𝑦( 𝑥) = 𝑥 𝑚
𝑦′( 𝑥) = 𝑚𝑥 𝑚−1
𝑦′′( 𝑥) = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2
𝑦′′( 𝑥) = (𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚−2
 La ecuación diferencial nos queda:
𝑥2
𝑑2
𝑑𝑥2
( 𝑥 𝑚) + 𝑥
𝑑
𝑑𝑥
( 𝑥 𝑚)+ 𝑥 𝑚
= 0
 Sustituyendo:
𝑥2
(( 𝑚2
− 𝑚) 𝑥 𝑚−2
) + 𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1
) + 𝑥 𝑚
= 0
(𝑚2
− 𝑚)𝑥 𝑚
+ 𝑚𝑥 𝑚
+ 𝑥 𝑚
= 0

𝑥 𝑚
(𝑚2
− 𝑚 + 𝑚 + 1) = 0
EJERCICIO DE APLICACIÓN
Considere una masa de 30 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante
k=30N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.18 m y se suelta a partir del reposo, determine la
posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el ángulo de
fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.
SOLUCION
Se identifican los datos que suministra el ejercicio
𝑚 = 30𝑘𝑔
𝐾 = 30𝑁/𝑚
𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 = 0.18𝑚
Diagrama de Cuerpo libre
∑ 𝒇 = 𝒎 ∗ 𝒂
𝐹𝑟 = −𝐾 ∗ 𝑥
X equivale a la posición y si se deriva x con respecto a t se halla la velocidad, y si se deriva la
velocidad se halla la aceleración.
Distancia
resorte
0,18 m
Y
a
K= 30 N/m
M= 30 kg
x

𝒗 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝒂 =
𝒅𝒗
𝒅𝒕
Es decir 𝒂 =
𝒅 𝟐
𝒙
𝒅𝒕 𝟐
∑ 𝒇((𝒙) = 𝒎 ∗ 𝒂
𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎
−𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎
−𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑥’’
𝑚 ∗ 𝑥’’ + 𝐾𝑥 = 0 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟.
Reemplazamos los valores que especifica el ejercicio
30 ∗ 𝑥’’ + 30𝑥 = 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑥’’ = 𝒎 𝟐
𝑥’ = 𝑚
𝑋 = 1
30 ∗ 𝒎 𝟐
+ 30 = 0 𝒎 𝟐
=
−𝟑𝟎
𝟑𝟎
𝒎 𝟐
= −𝟏
𝒎 = ±√−1 = 1a La raíz cuadrada de un número negativo es un número imaginario.
La solución para esta ecuación es
𝒎 =∝ ±𝒃𝑖 ∝= 𝟎 𝜷 = 𝟏
𝒎 = 𝟎 ± 𝟏𝑖
X = 𝑒∞𝑡
= 𝑐1 cos(𝑡) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) se aplica la propiedad:

Acosx + 𝐵𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝐴 cos(𝑥 + ∅)
𝑋 = 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ∅)
𝑉 = −𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡 + ∅)
𝑋 (0) = 0,18𝑚 𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 0 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑒𝑛 0,18 𝑚𝑡
𝑉 (0) = 0 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 0 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 0
𝑋 = 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡 + ∅) 0,18 𝑚 = 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠(0 + ∅) 0,18𝑚 = 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠(∅)
2) 0 = −𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(∅) 𝑠𝑒𝑛(∅) = 0 ∅ = 𝑠𝑒𝑛−1
0
∅ = 𝟎 𝑨𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝒇𝒂𝒔𝒆
0,18𝑚 = 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠(0) = 0,18𝑚 = 𝐴∗ 1
A = 0,18 amplitud
X = 0.18 m/s cos ( t) equivale a la posición
V= - 0,18 m/s sen ( t) equivale a la velocidad
T =
2𝜋
1
= 2𝜋 T = Periodo
F =
1
𝑇
=
1
2𝜋
0,16 Hz frecuencia
𝐸𝑐 =
1
2
𝑚𝑣2
𝐸𝑐 =
1
2
30 𝑘𝑔 (0,18 m/s sen ( t))2
𝐸𝑐 = 0,0486 𝐽 𝑠𝑒𝑛2
𝑡 Energía cinética

𝐸 𝑝 =
1
2
𝑘𝑥2
𝐸 𝑝 =
1
2
30𝑁/𝑚 ( 0.18 m/s cos (t))2
𝐸 𝑝 = 0,0486 𝐽 𝑐𝑜𝑠2
𝑡 Energía potencial
EJERCICIO PROPUESTO
a) Calcule las raíces de la ecuación característica
b) Describa si es sub amortiguado, críticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.
c) Calcule 𝑣 para 𝑡 ≥ 0 donde 𝑣0 = 0, 𝑣(0,02) = 10
SOLUCION
a) Calcule las raíces de la ecuación característica
𝛼 =
1
2𝑅𝐶
=
1
2(20𝑘)(0,125𝑢)
= 200 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝜔0 =
1
√ 𝐿𝐶
=
1
√8 ∗ (0,125𝑢)
= 103
𝑟𝑎𝑑/𝑠
+
𝑣0
-
+
𝑣
-

𝜔 𝑑 = √𝜔0
2 − 𝛼2 = √106 − 4𝑥104 = 100√96 = 979,80 𝑟𝑎𝑑/𝑠
𝑠1 = −𝛼 + 𝑗√𝜔0
2 − 𝛼2 = −200 + 𝑗979,80
𝑠2 = −𝛼 − 𝑗√𝜔0
2 − 𝛼2 = −200 − 𝑗979,80
b) Describa si es sub amortiguado, críticamente amortiguado o sobre amortiguado, justifique.
como𝜔0
2
> 𝛼 la respuesta es sub amortiguada y por tanto la ecuación solución tiene la forma
𝑣 = 𝐵1 𝑒−𝛼𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑡
sen 𝜔 𝑑 𝑡
c) Calcule 𝒗 para 𝒕 ≥ 𝟎
𝑣 = 𝐵1 𝑒−𝛼𝑡
cos 𝜔 𝑑 𝑡 + 𝐵2 𝑒−𝛼𝑡
sen 𝜔 𝑑 𝑡
𝑣 = 𝐵1 𝑒−200𝑡
cos979,80𝑡 + 𝐵2 𝑒−200𝑡
sen979,80𝑡
Como 𝑣0 = 0
𝑣 = 𝐵1 𝑒−200∗0
cos979,80 ∗ 0 + 𝐵2 𝑒−200∗0
sen 979,80 ∗ 0
0 = 𝐵1 + 0
𝐵1 = 0
Entonces
𝑣 = 𝐵2 𝑒−200𝑡
sen 979,80𝑡
10 = 𝐵2 𝑒−200∗0,02
sen979,80(0,02)
𝐵2 =
10
𝑒−200∗0,02 sen 979,80(0,02)
= 804,05
Por tanto
𝑣 = 804,05𝑒−200𝑡
sen979,80𝑡
Considere una masa de 10 kg que está unidad a una pared por medio de un resorte de constante
k=10N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0.02 m y se suelta a partir del reposo, determine la
posición y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el àngulo de
fase y las energías potencial y cinética en el tiempo t.
DATOS
Masa =10g
Constante k= 10N/m
Distancia de alargue =0.02 m
Determinar la posición de la masa en el tiempo T.
Determinar la velocidad de la masa en el tiempo T.
Determinar la frecuencia de la oscilación
Determinar la amplitud
Determinar el ángulo de fase.

Determinar energías potenciales y cinéticas en el tiempo t.
En este caso empezaremos buscando la solución a la elongación del resorte el cual se determina de la
siguiente forma
La elongación del resorte es:
x = A.cos(ω t + Ф)
A la amplitud, ω la frecuencia angular y Ф la constante de fase o fase inicial.
Si se suelta a partir del reposo, t = 0, x = A; cos(Ф) = 1; luego Ф = 0
Se sabe que ω = √(k/m) = √(10 N/m / 10 kg) = 1 rad/s
Por lo tanto: x = 0,02 m cos(1 rad/s t) es la ecuación de la elongación o posición
La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo:
v = dx/dt = - 0,02 m . 1 rad/s sen(1 rad/s t)
ω = 2 π f; luego f = ω / (2 π) = 1 rad/s / (2 π rad) = 0,159 Hz
El ángulo de fase es ω t = 1 rad/s t (la constante de fase es nula)
Ep = 1/2.k.x² = 1/2 . 10 N/m . [0,02 m cos(1 rad/s t)]²
Ep = 0,002 J [cos(1 rad/s)]² (energía potencial)
Ec = 1/2.m.v² = 1/2 . 10 kg . [0,02 m/s sen(1 rad/s t)]²
Ec = 0,002 J . [sen(1 rad/s t)]² (energía cinética)

CONCLUSIONES
El desarrollo de esta actividad nos permitió el reconocimiento del curso, su estructura general, toda su
temática y objetivo de la misma, de tal forma que nos proporcionó una visión clara del curso para la
organización y planeación de estrategias adecuadas para desarrollar con éxito el programa.
Es fundamental que yo como estudiante asuma la gestión académica de su proceso formativo con
entereza, compromiso y responsabilidad, para cumplir con todos los eventos formativos.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso, se tomara como
estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu investigativo, de esta forma se espera
que el estudiante amplié la gama de opciones documentales que aportan a la re significación cognitiva.
Se maneja toda la temática del módulo de manera didáctica y de fácil aprendizaje.
El trabajo colaborativo es de gran aporte a nuestro auto aprendizaje y desarrolla un habito de trabajo en
equipo.
Se conoce de manera específica las temáticas, metodología y modelo del curso de Calculo Diferencial.
En estas actividades reconocimos a los compañeros de curso y a mi tutor.

WEBGRAFIA
 Bonnet (2003).Calculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias
experimentales .Alicante, España: Universidad de Alicante.
 RONDON, J.E (2007) Calculo Integral. Primera edición, UNAD Ciencias básicas
 URCELL, E (2001) Cálculo, Pearson Education: Prentice hall, Octava Edición, México.
 HOMAS Y FINNEY (1987). Cálculo con Geometría Analítica Vol. 1. Edición sexta, Addison
Wesley Iberoamericana. México.
 TEWART, J. (2001) Cálculo de una Variable. Thomsom-Learning. Cuarta edición, Bogotá.
 LARSON, R. Y HOSTETLER, R. (1998) Cálculo Vol. 1, Mc Graw Hill, sexta edición, México.
 SMITH, R. Y MINTON, R. (2002) Cálculo Vol. 1. Segunda Edición, Mc Graw Hill, Bogotá.
 Plataforma Virtual “UNAD” “Curso Calculo Diferencial. Recuperado de:
http://66.165.175.239/campus09_20142/course/view.php?id=14.

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